2024-2025學(xué)年湖南省岳陽市云溪區(qū)高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省岳陽市云溪區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1.若平面α//β,且平面的一個法向量為,則平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若平面α//β，則兩個平面法向量互相平行，所以平面的法向量為，所以當(dāng)時，向量為，故選：A.2.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】根據(jù)題意有，所以.故選：C.3.已知正方體，點(diǎn)是上底面的中心，若，則等于（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】正方體，點(diǎn)是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C4.今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得48000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎金最合理？（）A.甲24000元，乙24000元 B.甲32000元，乙16000元C.甲40000元，乙8000元 D.甲36000元，乙12000元【答案】D【解析】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D.5.設(shè)、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；上述命題中，所有真命題的序號是（）A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】D【解析】對于①，平面與平面也可能相交，故錯誤；對于②，根據(jù)垂直同一條的直線的兩個平面平行得正確；對于③，直線與直線可能相交，可能異面，故錯誤；對于④根據(jù)垂直同一平面的兩條直線平行正確；故答案為：D．6.已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，由，得點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，因此，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B7.在四面體中，平面，，則該四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所?因?yàn)?，所以，，，根?jù)該幾何體的特點(diǎn)可知，該四面體的外接球球心位于的中點(diǎn)，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,8.已知圓和，若動圓與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓和的圓心、半徑分別為，由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)動圓半徑為，依題意，，，則，因此P點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，即，而圓內(nèi)切于，切點(diǎn)在P點(diǎn)的軌跡上，此點(diǎn)可視為極限位置的點(diǎn)，所以橢圓方程為.故選：D二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由于是空間的一個基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個基底；對于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底；對于C，由于，因此這三個向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底.故選：ABD10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在上，則（）A.兩個圓的公切線有2條B.兩個圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在該圓上C.的取值范圍為D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，由，得圓外離，這兩個圓有4條公切線，A錯誤；對于B，直線方程為上，因此直線為兩圓的公共對稱軸，B正確；對于C，，，則的取值范圍為，C正確；對于D，由圓外離，得圓不存在公共弦，D錯誤.故選：BC11.柜子里有雙不同鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A.“取出的鞋成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于【答案】BC【解析】記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯.故選：BC12.已知直線的方向向量，為直線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P(1，0，2)為直線外一點(diǎn)，則P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離可能為（）A.2 B. C. D.1【答案】AB【解析】由題設(shè)條件可知，，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離要大于等于，故選：AB.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，滿足，則______．【答案】6【解析】，∵，則，解得．故答案為：6．14.唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為__________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)，則，解得，即，所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故答案為：15.如圖,邊長為的正的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有___________（只需填上正確命題的序號）．①動點(diǎn)在平面上的射影在線段上；②三棱錐的體積有最大值；③恒有平面平面；④異面直線與不可能互相垂直；⑤異面直線與所成角的取值范圍是．【答案】①②③⑤．【解析】過作面，垂足為,為正三角形且中線與中位線相交，，.又平面，面

，面，∴面面，即平面平面，且面面，在上，故①對，③對．，底面的面積是個定值，當(dāng)為時，即底面時，三棱錐的體積最大，故②正確.由題意可知，故異面直線與所成角即為和的夾角，結(jié)合圖形知：和有可能垂直（當(dāng)時），故它們的夾角范圍為，故異面直線與所成角的取值范圍是，故⑤正確.由于，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，而，故當(dāng)時，,即，即在是繞旋轉(zhuǎn)的過程中，異面直線與可能互相垂直，故④不正確.故答案為：①②③⑤16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且，則______．【答案】2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準(zhǔn)線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點(diǎn)，所以到準(zhǔn)線的距離為,故答案為：2．四、解答題（共4小題，共70分）17.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：（1）向量，，的坐標(biāo)；（2），的坐標(biāo)．解：（1）由已知，則，，；（2），.18.在平面直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過和點(diǎn),且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值解：（1）依題意，線段的中點(diǎn)，直線的斜率，則線段的垂直平分線的方程為，由，解得，因此圓的圓心，半徑，所以圓的方程為.（2）由直線被曲線截得弦長為，得圓心到直線的距離因此，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.19.某校為選拔參加數(shù)學(xué)聯(lián)賽的同學(xué)，先進(jìn)行校內(nèi)數(shù)學(xué)競賽，為了解校內(nèi)競賽成績，從所有學(xué)生中隨機(jī)抽取200名學(xué)生，記錄他們的首輪競賽成績，并作出頻率分布直方圖，根據(jù)圖形，請回答下列問題：（1）求頻率分布直方圖中a的值．若從成績不低于70分的同學(xué)中，按分層抽樣方法抽取12人的成績，求12人中成績不低于90分的人數(shù).（2）用樣本估計(jì)總體，估計(jì)該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)以及中位數(shù).（3）若甲、乙兩位同學(xué)均進(jìn)入第二輪的復(fù)賽，已知甲復(fù)賽獲一等獎的概率為，乙復(fù)賽獲一等獎的概率為，甲、乙是否獲一等獎互不影響，求至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎的概率．解：（1）由頻率分布直方圖可得，解得.的頻率為，的頻率為，的頻率為，按分層抽樣方法抽取12人的成績，則12人中成績不低于90分人數(shù)為.（2）該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)為：.的頻率為，的頻率為，設(shè)中位數(shù)為,則，則，解得，故該校學(xué)生首輪數(shù)學(xué)競賽成績的平均數(shù)約為分，中位數(shù)約為分.（3）設(shè)“至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎”，則,故至少有一位同學(xué)復(fù)賽獲一等獎的概率為.20.已知拋物線的焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，為拋物線上一點(diǎn)，且．（1）求拋物線的方程；（2）過焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，若點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上，且為等邊三角形，求直線的斜率．解：（1）不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，因?yàn)椋?，則，因?yàn)?，所以即拋物線的方程為（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，要使得為等邊三角形，則，但是，，不滿足邊長相等當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為：由，化簡得則，故線段的中點(diǎn)為設(shè)，因?yàn)?，所以，即因?yàn)闉榈冗吶切?，所以即，即，湖南省岳陽市云溪區(qū)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（共8小題，每小題5分，共40分）1.若平面α//β,且平面的一個法向量為,則平面的法向量可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】若平面α//β，則兩個平面法向量互相平行，所以平面的法向量為，所以當(dāng)時，向量為，故選：A.2.若方程表示雙曲線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.或【答案】C【解析】根據(jù)題意有，所以.故選：C.3.已知正方體，點(diǎn)是上底面的中心，若，則等于（）A.2 B. C. D.【答案】C【解析】正方體，點(diǎn)是上底面的中心，如圖，則，不共面，又，于是得，所以.故選：C4.今有水平相當(dāng)?shù)钠迨旨缀推迨忠疫M(jìn)行某項(xiàng)圍棋比賽，勝者可獲得48000元獎金.比賽規(guī)定下滿五局，五局中獲勝局?jǐn)?shù)多者贏得比賽，比賽無平局，若比賽已進(jìn)行三局，甲兩勝一負(fù)，由于突發(fā)因素?zé)o法進(jìn)行后面比賽，如何分配獎金最合理？（）A.甲24000元，乙24000元 B.甲32000元，乙16000元C.甲40000元，乙8000元 D.甲36000元，乙12000元【答案】D【解析】乙最終獲勝的概率為，甲最終獲勝的概率為，所以甲乙兩人按照分配獎金才比較合理，所以甲元，乙元，故選：D.5.設(shè)、為兩條不同的直線，、為兩個不同的平面，給出下列命題：①若，，則；②若，，則；③若，，則；④若，，則；上述命題中，所有真命題的序號是（）A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】D【解析】對于①，平面與平面也可能相交，故錯誤；對于②，根據(jù)垂直同一條的直線的兩個平面平行得正確；對于③，直線與直線可能相交，可能異面，故錯誤；對于④根據(jù)垂直同一平面的兩條直線平行正確；故答案為：D．6.已知為直線上的動點(diǎn)，點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)，由，得點(diǎn)，又點(diǎn)在直線上，因此，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B7.在四面體中，平面，，則該四面體的外接球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，，且平面，平面，所以平面，所?因?yàn)?，所以，，，根?jù)該幾何體的特點(diǎn)可知，該四面體的外接球球心位于的中點(diǎn)，則外接球半徑，故該四面體的外接球的表面積為.故選：C.,8.已知圓和，若動圓與這兩圓一個內(nèi)切一個外切，記該動圓圓心的軌跡為，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】圓和的圓心、半徑分別為，由，得點(diǎn)在圓內(nèi)，設(shè)動圓半徑為，依題意，，，則，因此P點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，其中，即，而圓內(nèi)切于，切點(diǎn)在P點(diǎn)的軌跡上，此點(diǎn)可視為極限位置的點(diǎn)，所以橢圓方程為.故選：D二、多選題（共4小題，每小題5分，共20分）9.若是空間的一個基底，則下列各組中能構(gòu)成空間一個基底的是（

）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由于是空間的一個基底，所以不共面，對于A，向量分別與共線，所以不共面，能構(gòu)成空間一個基底；對于B，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底；對于C，由于，因此這三個向量是共面的，不能構(gòu)成基底.對于D，不存在實(shí)數(shù)滿足，因此不共面，能構(gòu)成空間一個基底.故選：ABD10.點(diǎn)在圓上，點(diǎn)在上，則（）A.兩個圓的公切線有2條B.兩個圓上任意一點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)仍在該圓上C.的取值范圍為D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為【答案】BC【解析】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，對于A，由，得圓外離，這兩個圓有4條公切線，A錯誤；對于B，直線方程為上，因此直線為兩圓的公共對稱軸，B正確；對于C，，，則的取值范圍為，C正確；對于D，由圓外離，得圓不存在公共弦，D錯誤.故選：BC11.柜子里有雙不同鞋子，從中隨機(jī)地取出只，下列計(jì)算結(jié)果正確的是（）A.“取出的鞋成雙”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于【答案】BC【解析】記雙不同的鞋子按左右為，隨機(jī)取只的樣本空間為，共種，則“取出的鞋成雙”的概率等于，A錯；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于，B正確；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于，C正確；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成雙”的概率等于，D錯.故選：BC12.已知直線的方向向量，為直線上一點(diǎn)，若點(diǎn)P(1，0，2)為直線外一點(diǎn)，則P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離可能為（）A.2 B. C. D.1【答案】AB【解析】由題設(shè)條件可知，，所以，設(shè)與的夾角為，則，所以，所以點(diǎn)到直線的距離為，P到直線上任意一點(diǎn)Q的距離要大于等于，故選：AB.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，滿足，則______．【答案】6【解析】，∵，則，解得．故答案為：6．14.唐代詩人李顧的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在的位置為，若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為__________.【答案】【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于對稱點(diǎn)，則，解得，即，所以“將軍飲馬”的最短總路程為.故答案為：15.如圖,邊長為的正的中線與中位線相交于,已知是繞旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，現(xiàn)給出下列命題，其中正確的命題有___________（只需填上正確命題的序號）．①動點(diǎn)在平面上的射影在線段上；②三棱錐的體積有最大值；③恒有平面平面；④異面直線與不可能互相垂直；⑤異面直線與所成角的取值范圍是．【答案】①②③⑤．【解析】過作面，垂足為,為正三角形且中線與中位線相交，，.又平面，面

，面，∴面面，即平面平面，且面面，在上，故①對，③對．，底面的面積是個定值，當(dāng)為時，即底面時，三棱錐的體積最大，故②正確.由題意可知，故異面直線與所成角即為和的夾角，結(jié)合圖形知：和有可能垂直（當(dāng)時），故它們的夾角范圍為，故異面直線與所成角的取值范圍是，故⑤正確.由于，故為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，而，故當(dāng)時，,即，即在是繞旋轉(zhuǎn)的過程中，異面直線與可能互相垂直，故④不正確.故答案為：①②③⑤16.已知拋物線的焦點(diǎn)為F，A為拋物線C上一點(diǎn)．以F為圓心，F(xiàn)A為半徑的圓交拋物線C的準(zhǔn)線于B，D兩點(diǎn)，A，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，且，則______．【答案】2【解析】拋物線的焦點(diǎn)為，，準(zhǔn)線方程為，因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，可得為圓的直徑，如圖示：設(shè)準(zhǔn)線交x軸于E，所以，則，由拋物線的定義可得，又是的中點(diǎn)，所以到準(zhǔn)線的距離為,故答案為：2．四、解答題（共4小題，共70分）17.如圖,在空間直角坐標(biāo)系中有長方體，，，．求：（1）向量，，的坐標(biāo)；（2），的坐標(biāo)．解：（1）由已知，則，，；（2），.18.在平面直角坐標(biāo)系中,圓經(jīng)過和點(diǎn),且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線被圓截得弦長為，求實(shí)數(shù)的值解：（1）依題意