2025屆福建省部分學校高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1福建省部分學校2025屆高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項是符合題意的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，且，所以.故選：B.2.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設非零向量夾角為，向量在向量方向上的投影向量是，則，又，解得．故選：C.3.展開式中項的系數(shù)是（）A. B.40 C. D.80【答案】A【解析】的通項是令則展開式中項的系數(shù)為故選：A.4.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為3，且它們彼此的夾角都是，則對角線長為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，由已知，，，∵，∴，∴，即，故選：A.5.若一個圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知圓錐的母線長，底面圓周長為，底面圓面積為，所以圓錐側面積為，故該圓錐表面積為.故選：C6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則，，.故選：D7.把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是℃，空氣的溫度是℃，則tmin后液體A的溫度℃可由公式求得.現(xiàn)把溫度是60℃的液體A放在13℃的空氣中冷卻，液體A的溫度冷卻到37℃和25℃所用的時間分別為min，min，則的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2.3 B.2.7 C.3.7 D.4.7【答案】A【解析】由已知，，所以，，所以.故選：A8.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由隱對稱點的定義可知函數(shù)的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，令，則，所以，所以，因為，又，所以函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”等價于與在上有交點，即方程有零點，則，又，當且僅當，即等號成立，所以.故選：.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的不得分.）9.若復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復數(shù)是C.的模是D.在復平面內(nèi)對應的點在第二象限【答案】BC【解析】對于A選項，，這里，，所以的虛部是，A選項錯誤.對于B選項，因為，所以的共軛復數(shù)，B選項正確.對于C選項，對于，則，C選項正確.對于D選項，先計算.在復平面內(nèi)對應的點為，這個點在第四象限，D選項錯誤.故選：BC.10.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（

）A.若為銳角三角形，則B.若，，則是等邊三角形C.若，則是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】ABC【解析】對于A，若為銳角三角形，則，所以，所以即，故A正確；對于B，若，，則，所以，所以，所以，所以即，所以，即是等邊三角形，故B正確；對于C，由余弦定理可得，若，則，即是等腰三角形，故C正確；對于D，因為為鈍角三角形，且，，，所以，所以由余弦定理得即，整理得，解得或，當時，，故A為鈍角，滿足題意；當時，，故B為鈍角，滿足題意，的面積為或.故D錯誤.故選：ABC.11.已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點（點位于點上方），且，延長，分別交橢圓于點，，連接交軸于點，若的面積是的面積的3倍，則下列說法正確的有（

）A.橢圓的離心率為 B.的周長為C. D.直線的斜率是直線的斜率的倍【答案】ACD【解析】如圖，因的面積是的面積的3倍，則，不妨設，則，，在中，由余弦定理，，解得或（舍去）故，，，，則由，可得為等腰直角三角形，則，，于是橢圓方程為.對于A，由上知，橢圓的離心率為，故A正確；對于B，的周長為，故B錯誤；對于C，由題意，，則直線代入，整理得，解得，代入，得，又直線，即代入，整理得，由解得，代入，即得，又直線，代入，整理得，解得，代入，即得,故直線，即，令，解得，故，C正確；對于D，由C已得，而,故直線的斜率是直線的斜率的倍，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗，和均符合題意.故答案為：或.13.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________.【答案】【解析】令，可得：，結合，令，可得，得，解得，再令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.14.在四面體中，，，，若四面體的體積最大時，則四面體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】如圖，作的中點,連接，因為，，所以該三棱錐以為底，點到底面的距離為高，因為，要使體積最大，則高最大為，此時平面，故,平面平面設則底面積由余弦定理可知，當且僅當時等號成立，故的最大值為，此時，所以當四面體底面為等邊三角形，,平面平面時，四面體體積最大，此時底面的外接圓圓心為，連接由正弦定理可知，顯然所以所以所以故點為該三棱錐外接球球心，外接球半徑所以外接球表面積為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.）15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求.解：（1）因為，所以，又，所以，因為為等比數(shù)列，所以，即，化簡得.因為，得.因此，易知為等比數(shù)列；所以，（2）由（1）知，.，16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點、為分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為點、E分別為、的中點，所以是的中位線所以且，又因為為的中點，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中點，連結，因為，可得，且，又因為，且，所以，所以，又因為，且平面，所以平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，因為為中點，為的中點，可得，則，設是平面的法向量，則，取，可得，所以，設是平面的法向量，則，取，可得，所以；設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.某中學舉辦“數(shù)學知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲?乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲?乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個小組所有輪次比賽的結果互不影響.（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個數(shù)為，求的分布列；（2）已知甲?乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲?乙兩個小組搶到該題的可能性分別是，假設每道題搶與答的結果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.解：（1）設甲?乙通過兩輪制的初賽分別為事件，則，由題意可得，X的取值有，，，，分布列如下：012（2）依題意甲?乙搶到并答對一題的概率分別為，，乙已得100分，甲若想獲勝情況有：甲得200分：其概率為；②甲得100分，乙再得分，其概率為；③甲得0分，乙再得分，其概率；故乙先得100分后甲獲勝的概率為.18.已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過焦點且與軸垂直的直線與拋物線交于P，Q兩點，求證：直線AP與BQ的交點在一條定直線上.（1）解：由題意得，直線方程為：，令，則，故，于是，解得（負值舍去），故拋物線方程為.（2）解：設的方程為，，，由題意得，，即，可得，通分可得，聯(lián)立和拋物線，得到，，由，代入可得，整理可得，解得或，故，滿足題意.（3）證明：由題意，，則直線，直線，兩直線方程相減得到：，由（2）知，，于是，即，即，即，于是，解得，即直線AP與BQ的交點在一條定直線上19.已知函數(shù)及其導函數(shù)f'x的定義域都為R，設直線：是曲線的任意一條切線，切點橫坐標為，若，當且僅當時“=”成立，則稱函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（1）判斷是否滿足“性質(zhì)”，并說明理由；（2）若f'x是單調(diào)增函數(shù)，證明：滿足“性質(zhì)”；（3）若函數(shù)滿足“性質(zhì)”，求實數(shù)的取值范圍.（1）解：滿足“性質(zhì)”，理由如下：因為，設曲線的一條切線，其切點為，則直線的方程為：，因為，當且僅當時“”成立，由的任意性可知，滿足“性質(zhì)”.（2）證明：設直線是曲線y=fx的任意一條切線，切點為則直線方程為：，設，則，因為f'則當時，，遞減，；當x∈x0,+∞時，，遞增，即對任意，，當且僅當時取等號.由的任意性可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.（3）解：①當時，因為，設，因為，所以hx在R上單調(diào)遞增，即在R上單調(diào)遞增，由（2）可知，函數(shù)滿足“性質(zhì)”.②下證當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.方法一：設直線與曲線y=gx切于點則直線的方程為：，設，根據(jù)“性質(zhì)”的定義，要證不滿足“性質(zhì)”，只要證存在，使得.因為，設，則，設，則遞增，且，所以當時，，遞減；當x∈0,+∞時，，遞增；因為，，所以存在，使得，且當時，，取，則當時，，遞減，即遞減，此時，，F(xiàn)x在上遞減，所以，所以當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.綜上，實數(shù)的取值范圍為.方法二：考慮曲線y=fx在處的切線方程為，f'x導函數(shù)，f″x在0,+∞上單調(diào)遞增，，，所以存在，使得，所以時，，f'x單調(diào)遞減，又，所以時，f'x<0，單調(diào)遞減，又，所以時，，即不恒成立，所以當時，函數(shù)不滿足“性質(zhì)”.綜上，實數(shù)的取值范圍為.福建省部分學校2025屆高三上學期第三次聯(lián)考數(shù)學試題一、單項選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個選項是符合題意的.）1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題意可得：，且，所以.故選：B.2.已知非零向量滿足，向量在向量方向上的投影向量是，則與夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】設非零向量夾角為，向量在向量方向上的投影向量是，則，又，解得．故選：C.3.展開式中項的系數(shù)是（）A. B.40 C. D.80【答案】A【解析】的通項是令則展開式中項的系數(shù)為故選：A.4.如圖，在平行六面體中，以頂點A為端點的三條棱長均為3，且它們彼此的夾角都是，則對角線長為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】如圖，由已知，，，∵，∴，∴，即，故選：A.5.若一個圓錐底面半徑為1，高為，則該圓錐表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意可知圓錐的母線長，底面圓周長為，底面圓面積為，所以圓錐側面積為，故該圓錐表面積為.故選：C6.已知，，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)題意可得，，則，，.故選：D7.把液體A放在冷空氣中冷卻，如果液體A原來的溫度是℃，空氣的溫度是℃，則tmin后液體A的溫度℃可由公式求得.現(xiàn)把溫度是60℃的液體A放在13℃的空氣中冷卻，液體A的溫度冷卻到37℃和25℃所用的時間分別為min，min，則的值約為（）（參考數(shù)據(jù)：，）A.2.3 B.2.7 C.3.7 D.4.7【答案】A【解析】由已知，，所以，，所以.故選：A8.對于函數(shù)，若存在，使，則稱點與點是函數(shù)的一對“隱對稱點”.若函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由隱對稱點的定義可知函數(shù)的圖象上存在關于原點對稱的點，設的圖象與函數(shù)的圖象關于原點對稱，令，則，所以，所以，因為，又，所以函數(shù)的圖象存在“隱對稱點”等價于與在上有交點，即方程有零點，則，又，當且僅當，即等號成立，所以.故選：.二、多項選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.每小題有多個選項是符合題意的，全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的不得分.）9.若復數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的虛部是B.的共軛復數(shù)是C.的模是D.在復平面內(nèi)對應的點在第二象限【答案】BC【解析】對于A選項，，這里，，所以的虛部是，A選項錯誤.對于B選項，因為，所以的共軛復數(shù)，B選項正確.對于C選項，對于，則，C選項正確.對于D選項，先計算.在復平面內(nèi)對應的點為，這個點在第四象限，D選項錯誤.故選：BC.10.已知的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，下列四個命題中正確的是（

）A.若為銳角三角形，則B.若，，則是等邊三角形C.若，則是等腰三角形D.若為鈍角三角形，且，，，則的面積為【答案】ABC【解析】對于A，若為銳角三角形，則，所以，所以即，故A正確；對于B，若，，則，所以，所以，所以，所以即，所以，即是等邊三角形，故B正確；對于C，由余弦定理可得，若，則，即是等腰三角形，故C正確；對于D，因為為鈍角三角形，且，，，所以，所以由余弦定理得即，整理得，解得或，當時，，故A為鈍角，滿足題意；當時，，故B為鈍角，滿足題意，的面積為或.故D錯誤.故選：ABC.11.已知橢圓（）的左、右焦點分別為，，過點的直線與橢圓交于兩點（點位于點上方），且，延長，分別交橢圓于點，，連接交軸于點，若的面積是的面積的3倍，則下列說法正確的有（

）A.橢圓的離心率為 B.的周長為C. D.直線的斜率是直線的斜率的倍【答案】ACD【解析】如圖，因的面積是的面積的3倍，則，不妨設，則，，在中，由余弦定理，，解得或（舍去）故，，，，則由，可得為等腰直角三角形，則，，于是橢圓方程為.對于A，由上知，橢圓的離心率為，故A正確；對于B，的周長為，故B錯誤；對于C，由題意，，則直線代入，整理得，解得，代入，得，又直線，即代入，整理得，由解得，代入，即得，又直線，代入，整理得，解得，代入，即得,故直線，即，令，解得，故，C正確；對于D，由C已得，而,故直線的斜率是直線的斜率的倍，故D正確.故選：ACD.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分.）12.某校四個植樹小隊，在植樹節(jié)這天種下柏樹的棵數(shù)分別為，若這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，那么_____.【答案】或【解析】當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，與范圍不符，故排除當時，將數(shù)據(jù)進行排列，得到，因為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)相等，所以，解得，經(jīng)檢驗，和均符合題意.故答案為：或.13.已知函數(shù)的圖象關于點對稱，則的單調(diào)遞增區(qū)間為_____________.【答案】【解析】令，可得：，結合，令，可得，得，解得，再令，可得，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，故答案為：.14.在四面體中，，，，若四面體的體積最大時，則四面體的外接球的表面積為__________．【答案】【解析】如圖，作的中點,連接，因為，，所以該三棱錐以為底，點到底面的距離為高，因為，要使體積最大，則高最大為，此時平面，故,平面平面設則底面積由余弦定理可知，當且僅當時等號成立，故的最大值為，此時，所以當四面體底面為等邊三角形，,平面平面時，四面體體積最大，此時底面的外接圓圓心為，連接由正弦定理可知，顯然所以所以所以故點為該三棱錐外接球球心，外接球半徑所以外接球表面積為.故答案為：四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程及驗算步驟.）15.已知數(shù)列為等比數(shù)列，數(shù)列滿足，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，記數(shù)列的前項和為，求.解：（1）因為，所以，又，所以，因為為等比數(shù)列，所以，即，化簡得.因為，得.因此，易知為等比數(shù)列；所以，（2）由（1）知，.，16.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，，點、為分別為、的中點．（1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值．（1）證明：取的中點，連接，因為點、E分別為、的中點，所以是的中位線所以且，又因為為的中點，可得且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又因為平面，且平面，所以平面．（2）解：取的中點，連結，因為，可得，且，又因為，且，所以，所以，又因為，且平面，所以平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，可得，因為為中點，為的中點，可得，則，設是平面的法向量，則，取，可得，所以，設是平面的法向量，則，取，可得，所以；設平面與平面的夾角為，則，即平面與平面夾角的余弦值為．17.某中學舉辦“數(shù)學知識競賽”，初賽采用“兩輪制”方式進行，要求每個班級派出兩個小組，且每個小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過的小組才具備參與決賽的資格.高三（6）班派出甲?乙兩個小組參賽，在初賽中，若甲?乙兩組通過第一輪比賽的概率分別是，通過第二輪比賽的概率分別是，且各個小組所有輪次比賽的結果互不影響.（1）若高三（6）班獲得決賽資格的小組個數(shù)為，求的分布列；（2）已知甲?乙兩個小組在決賽中相遇，決賽以三道搶答題形式進行，搶到并答對一題得100分，答錯一題扣100分，得分高的獲勝.假設這兩組在決賽中對每個問題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，且甲?乙兩個小組搶到該題的可能性分別是，假設每道題搶與答的結果均互不影響，求乙已在第一道題中得100分的情況下甲獲勝的概率.解：（1）設甲?乙通過兩輪制的初賽分別為事件，則，由題意可得，X的取值有，，，，分布列如下：012（2）依題意甲?乙搶到并答對一題的概率分別為，，乙已得100分，甲若想獲勝情況有：甲得200分：其概率為；②甲得100分，乙再得分，其概率為；③甲得0分，乙再得分，其概率；故乙先得100分后甲獲勝的概率為.18.已知為拋物線的焦點，為坐標原點，過焦點作一條直線交于A，B兩點，點在的準線上，且直線MF的斜率為的面積為1.（1）求拋物線的方程；（2）試問在上是否存在定點，使得直線NA與NB的斜率之和等于直線NF斜率的平方？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由；（3）過焦點且與軸垂直