2025屆湖南省部分名校高三上學(xué)期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省部分名校2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，集合，所以，故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，從?故選：D.4.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槔忮F的高和球的半徑均為，所以底面正方形的外接圓圓心即為球心，外接圓半徑即為球的半徑，所以正四棱錐的底面邊長，故四棱錐的體積為.故選：B.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，所以為奇函數(shù).又，在定義域R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，所以，即，解得，故選：A.6.已知函數(shù)，其中，，若圖象上的點(diǎn)與之相鄰的一條對稱軸為直線，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于函數(shù)，易知的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)為的最小正周期，則，又，得，當(dāng)時(shí)，，，得到，，又，可得，故選：C.7.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，，的面積為，且為鈍角，，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】則由雙曲線定義可知，，所以，，，所以，解得，因?yàn)闉殁g角，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以雙曲線方程為.故選：B.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)椋魰r(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)時(shí)，f所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因?yàn)?，故恒有f'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)方程有2個(gè)不同的解；要使方程恰有5個(gè)不同的解，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，.則（）A. B.C.時(shí)，的最小值為 D.最小時(shí)，【答案】BC【解析】對于A，由，則，又，則，故A錯(cuò)誤；對于B，由A已得，則，故B正確；對于C，由上分析，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，又，所以時(shí)，的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)最小時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.，，三線不共點(diǎn)C.與平面所成角為 D.設(shè)，則多面體的體積為1【答案】AC【解析】對于A，如圖，連接，，由G，E分別為，的中點(diǎn)，可得，由可知，側(cè)面為正方形，所以，所以，故A正確；對于B，如圖，連接，，由題易知,則，延長，相交于點(diǎn)P，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，，三線共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，作于點(diǎn)M，因，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平?而，所以為與平面所成的角，等于，故C正確；對于D，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，連接，易知直三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，柱高，則，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，錐高，則，則多面體的體積為.故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，則下列說法中正確的是（）A.的方程為 B.已知點(diǎn)，則MA+MF1C. D.若，則與的面積相等【答案】BCD【解析】當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯(cuò)誤；過點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故B正確；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故C正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在點(diǎn)1,f1處的切線方程為______.【答案】【解析】因?yàn)?，則f1=0所以切點(diǎn)為1,0，且，則，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡可得，所以切線方程為.故答案為：13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________.【答案】【解析】因，可得則，又則，…,則.故故答案為：.14.將2個(gè)“0”、2個(gè)“1”和2個(gè)“2”這6個(gè)數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構(gòu)成____個(gè)自然數(shù)，在所有構(gòu)成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為__________.【答案】①.60②.3333330【解析】因?yàn)橐獦?gòu)成自然數(shù)，所以第一位數(shù)只能是1和2，故共有個(gè)自然數(shù)；第一位數(shù)為1共有30個(gè)自然數(shù)，第二位排0，1，2，分別有、、種排法；根據(jù)對稱性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分別有12、6、12種排法；所以，所有第一位數(shù)為1的自然數(shù)之和為.故答案為：60；3333330.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，，因?yàn)椋?（2）由，，得，即，解得，由余弦定理可得，，則.16.已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極值點(diǎn).證明：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?,+∞，所以，由于函數(shù)，在0,+∞上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)椋詘∈0,1，f'x<0，x∈所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，所以.（2）因?yàn)?，的定義域?yàn)?,+∞，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，h'x>0，所以hx所以，即，所以.又，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，，當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，所以函數(shù)Fx有唯一的極值點(diǎn)17.如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿對折至，使得，點(diǎn)F是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：由（1）知，平面，因?yàn)槠矫妫?因?yàn)椋?所以.又，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，.因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，所以，取，則，，所以，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.18.電動車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機(jī)抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再從這5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計(jì)男性市民200100300女性市民80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關(guān).（2）因?yàn)槠檬╇姵仉妱榆嚨氖忻裰校行允忻衽c女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.（3）因?yàn)樗袇⒓诱{(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽樣知，隨機(jī)抽取的5名市民中，男性市民有3人，女性市民有2人.根據(jù)頻率估計(jì)概率知，男性市民偏好石墨烯電池電動車的概率為，偏好鉛酸電池電動車的概率為，從選出的5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，則X可能的取值為0，1，2.“3名被抽取的男性市民中，恰好抽到k人參加座談”記為事件，則.“參加座談的2名市民中是偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)恰好為m人”記為事件，則，，，，，，所以，，，故X的分布列如下：X012P.19.“工藝折紙”是一種把紙張折成各種不同形狀物品的藝術(shù)活動，在我國源遠(yuǎn)流長，某些折紙活動蘊(yùn)含豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，例如：用一張紙片，按如下步驟折紙：步驟1：在紙上畫一個(gè)圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B；步驟2：把紙片折疊，使得點(diǎn)B折疊后與圓A上某一點(diǎn)重合；步驟.3：把紙片展開，并得到一條折痕；步驟4：不斷重復(fù)步驟2和3，得到越來越多的折痕.你會發(fā)現(xiàn)，當(dāng)折痕足夠密時(shí)，這些折痕會呈現(xiàn)出一個(gè)雙曲線的輪廓.若取一張足夠大的紙，畫一個(gè)半徑為2的圓A，并在圓外取一定點(diǎn)B，，按照上述方法折紙，點(diǎn)B折疊后與圓A上的點(diǎn)W重合，折痕與直線交于點(diǎn)E，E的軌跡為曲線T.（1）以所在直線為x軸建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線T的方程；（2）設(shè)曲線T的左、右頂點(diǎn)分別為E，H，點(diǎn)P在曲線T上，過點(diǎn)P作曲線T的切線l與圓交于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)），記，的斜率分別為，，證明：為定值；（3）F是T的右焦點(diǎn)，若直線n過點(diǎn)F，與曲線T交于C，D兩點(diǎn)，是否存在x軸上的點(diǎn)，使得直線n繞點(diǎn)F無論怎么轉(zhuǎn)動，都有成立?若存在，求出T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.（1）解：以所在直線為x軸，以為x軸的正方向，以的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，，由折紙方法知，，則，根據(jù)雙曲線的定義，曲線T是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為2的雙曲線，設(shè)其方程，則，，所以，.故曲線T的方程為.（2）證明：易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為，且，，聯(lián)立方程組，整理得，由，可得，可得，聯(lián)立方程組，整理得，，則，，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)?，代入可得，由于，則，由于點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè)，故，所以，代入可得，又因?yàn)?，則，所以為定值，定值為3.（3）解：假設(shè)存在點(diǎn)，使恒成立，由已知得，當(dāng)直線n的斜率存在時(shí)，設(shè)直線n的方程為，，，聯(lián)立，得，，且，則，，，，則，若恒成立，則恒成立，即，解得，當(dāng)直線n的斜率不存在時(shí)，直線n的方程為，此時(shí)，解得，不妨取，，則，，又，解得或，綜上所述，，所以存在點(diǎn)，使恒成立.湖南省部分名校2025屆高三上學(xué)期11月期中聯(lián)合考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槿?，集合，所以，故選：B.2.（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.3.已知向量，滿足，，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，從?故選：D.4.已知正四棱錐的頂點(diǎn)都在球上，且棱錐的高和球的半徑均為，則正四棱錐的體積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)槔忮F的高和球的半徑均為，所以底面正方形的外接圓圓心即為球心，外接圓半徑即為球的半徑，所以正四棱錐的底面邊長，故四棱錐的體積為.故選：B.5.已知函數(shù)，則的解集為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】函數(shù)的定義域?yàn)镽，又，所以為奇函數(shù).又，在定義域R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增，所以，即，解得，故選：A.6.已知函數(shù)，其中，，若圖象上的點(diǎn)與之相鄰的一條對稱軸為直線，則的值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】對于函數(shù)，易知的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，設(shè)為的最小正周期，則，又，得，當(dāng)時(shí)，，，得到，，又，可得，故選：C.7.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與C交于A，B兩點(diǎn)，，的面積為，且為鈍角，，則雙曲線C的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】則由雙曲線定義可知，，所以，，，所以，解得，因?yàn)闉殁g角，所以，所以，由余弦定理可知，所以，，所以雙曲線方程為.故選：B.8.已知函數(shù)，若方程恰有5個(gè)不同的解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?，若時(shí)，由求導(dǎo)得，，故當(dāng)時(shí)，f'x<0；當(dāng)時(shí)，f所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；若時(shí)，由求導(dǎo)得，，因?yàn)椋屎阌衒'x>0，即在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，恒有.作出函數(shù)的大致圖象如圖所示.又由可得或，由圖知有兩個(gè)根，此時(shí)方程有2個(gè)不同的解；要使方程恰有5個(gè)不同的解，需使有3個(gè)零點(diǎn)，由圖知，需使，即，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故選：B.二、選擇題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差為，已知，.則（）A. B.C.時(shí)，的最小值為 D.最小時(shí)，【答案】BC【解析】對于A，由，則，又，則，故A錯(cuò)誤；對于B，由A已得，則，故B正確；對于C，由上分析，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，又，又，所以時(shí)，的最小值為，故C正確；對于D，當(dāng)最小時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.如圖，在直三棱柱中，，，E，F(xiàn)，G，H分別為，，，的中點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.，，三線不共點(diǎn)C.與平面所成角為 D.設(shè)，則多面體的體積為1【答案】AC【解析】對于A，如圖，連接，，由G，E分別為，的中點(diǎn)，可得，由可知，側(cè)面為正方形，所以，所以，故A正確；對于B，如圖，連接，，由題易知,則，延長，相交于點(diǎn)P，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，所以，，三線共點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，作于點(diǎn)M，因，，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又，所以，又，平面，平面，所以平?而，所以為與平面所成的角，等于，故C正確；對于D，過點(diǎn)H作交于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作，連接，易知直三棱柱的底面是直角邊長為1的等腰直角三角形，柱高，則，四棱錐的底面是邊長為1的正方形，錐高，則，則多面體的體積為.故D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，，則下列說法中正確的是（）A.的方程為 B.已知點(diǎn)，則MA+MF1C. D.若，則與的面積相等【答案】BCD【解析】當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A錯(cuò)誤；過點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故B正確；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故C正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：BCD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.曲線在點(diǎn)1,f1處的切線方程為______.【答案】【解析】因?yàn)?，則f1=0所以切點(diǎn)為1,0，且，則，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡可得，所以切線方程為.故答案為：13.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則__________.【答案】【解析】因，可得則，又則，…,則.故故答案為：.14.將2個(gè)“0”、2個(gè)“1”和2個(gè)“2”這6個(gè)數(shù)，按從左到右的順序排成一排，則能構(gòu)成____個(gè)自然數(shù)，在所有構(gòu)成的自然數(shù)中，第一位數(shù)為1的所有自然數(shù)之和為__________.【答案】①.60②.3333330【解析】因?yàn)橐獦?gòu)成自然數(shù)，所以第一位數(shù)只能是1和2，故共有個(gè)自然數(shù)；第一位數(shù)為1共有30個(gè)自然數(shù)，第二位排0，1，2，分別有、、種排法；根據(jù)對稱性可知：第2位至第6位，每位均可排0，1，2，且均分別有12、6、12種排法；所以，所有第一位數(shù)為1的自然數(shù)之和為.故答案為：60；3333330.四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）15.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知.（1）求A；（2）若，，，求.解：（1）在中，由及正弦定理得，整理得，又由余弦定理得，，因?yàn)?，所?（2）由，，得，即，解得，由余弦定理可得，，則.16.已知函數(shù).（1）證明：；（2）設(shè)函數(shù)，證明：函數(shù)有唯一的極值點(diǎn).證明：（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?,+∞，所以，由于函數(shù)，在0,+∞上均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在0,+∞上單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以x∈0,1，f'x<0，x∈所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，所以在處取得極小值，也是最小值，所以.（2）因?yàn)?，的定義域?yàn)?,+∞，所以.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，h'x>0，所以hx所以，即，所以.又，且在0,+∞上單調(diào)遞增，所以存在唯一的，使得，即，當(dāng)x∈0,x0時(shí)，，當(dāng)x∈x0,+∞時(shí)，所以函數(shù)Fx有唯一的極值點(diǎn)17.如圖，在直角梯形中，，，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，將沿對折至，使得，點(diǎn)F是的中點(diǎn).（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.（1）證明：因?yàn)?，，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，所以，，所以四邊形是平行四邊形，又，，所以四邊形是正方形，所以，且，所以，且，即，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)镕是的中點(diǎn)，，所以，因?yàn)?，，平面，所以平面，因?yàn)槠矫妫?（2）解：由（1）知，平面，因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)椋?所以.又，由余弦定理得，因?yàn)?，所以，所以，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為x軸，所在直線為y軸，作平面為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，A2,0,0，，，.因?yàn)镕是的中點(diǎn)，所以.所以，，，由（1）知，，又，面所以平面，所以為平面的法向量，設(shè)平面一個(gè)法向量為n=x,y,z，則，所以，取，則，，所以，所以，設(shè)二面角的平面角為，所以，所以二面角的正弦值為.18.電動車的安全問題越來越引起廣大消費(fèi)者的關(guān)注，目前電動車的電池有石墨烯電池與鉛酸電池兩種.某公司為了了解消費(fèi)者對兩種電池的電動車的偏好，在社會上隨機(jī)調(diào)查了500名市民，其中被調(diào)查的女性市民中偏好鉛酸電池電動車的占，得到以下的2－2列聯(lián)表：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計(jì)男性市民200100女性市民合計(jì)500（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與性別有關(guān)；（2）采用分層抽樣的方法從偏好石墨烯電池電動車的市民中隨機(jī)抽取7人，再從這7名市民中抽取2人進(jìn)行座談，求在有女性市民參加座談的條件下，恰有一名女性市民參加座談的概率；（3）用頻率估計(jì)概率，在所有參加調(diào)查的市民中按男性和女性進(jìn)行分層抽樣，隨機(jī)抽取5名市民，再從這5名市民中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行座談，記2名參加座談的市民中來自偏好石墨烯電池電動車的男性市民的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：，其中.參考數(shù)據(jù)：0.1000.0500.0250.0100.0050.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828解：（1）被調(diào)查的女性市民人數(shù)為，其中偏好鉛酸電池電動車的女性市民人數(shù)為.偏好石墨烯電池電動車的女性市民人數(shù)為，所以2×2列聯(lián)表為：偏好石墨烯電池電動車偏好鉛酸電池電動車合計(jì)男性市民200100300女性市民80120200合計(jì)280220500零假設(shè)：市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別無關(guān)，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可以求得，由于，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為市民對這兩種電池的電動車的偏好與市民的性別有關(guān).（2）因?yàn)槠檬╇姵仉妱榆嚨氖忻裰?，男性市民與女性市民的比為，所以采用分層抽樣的方法抽取7的人中，男性市民有5人，女性市民有2人，設(shè)“有女性市民參加座談”為事件A，“恰有一名女性市民參加座談”為事件B，則，，所以.（3）因?yàn)樗袇⒓诱{(diào)查的市民中，男性市民和女性市民的比為，所以由分層抽