《導(dǎo)數(shù)和極值》課件

導(dǎo)數(shù)和極值導(dǎo)數(shù)的概念變化率導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的瞬時(shí)變化率，描述了函數(shù)值隨自變量變化的速度。斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在該點(diǎn)切線的斜率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)的變化趨勢(shì)。微分導(dǎo)數(shù)是微積分的核心概念，它與微分密切相關(guān)，是研究函數(shù)變化的工具。什么是導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)是微積分中的一個(gè)基本概念，它表示函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率。導(dǎo)數(shù)可以用來描述函數(shù)在該點(diǎn)處的斜率，即切線的斜率。導(dǎo)數(shù)也可以用來計(jì)算函數(shù)的最大值和最小值，即函數(shù)的極值。導(dǎo)數(shù)的幾何意義切線的斜率導(dǎo)數(shù)在某一點(diǎn)的值等于該點(diǎn)處的切線的斜率。變化率導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，即函數(shù)值的變化量與自變量變化量的比值。導(dǎo)數(shù)的基本性質(zhì)加法法則如果u和v是可導(dǎo)函數(shù)，則它們的和的導(dǎo)數(shù)等于它們各自導(dǎo)數(shù)的和。乘法法則如果u和v是可導(dǎo)函數(shù)，則它們的積的導(dǎo)數(shù)等于第一個(gè)函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)加上第二個(gè)函數(shù)乘以第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。除法法則如果u和v是可導(dǎo)函數(shù)，且v不等于0，則它們的商的導(dǎo)數(shù)等于分母乘以分子的導(dǎo)數(shù)減去分子乘以分母的導(dǎo)數(shù)，再除以分母的平方。2.導(dǎo)數(shù)的求法常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)恒為0。變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù)為1。常數(shù)的導(dǎo)數(shù)1定義常數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終為0，因?yàn)樗闹凳冀K保持不變，沒有變化率。2公式如果f(x)=c，其中c是一個(gè)常數(shù)，則f'(x)=0。3例子例如，函數(shù)f(x)=5的導(dǎo)數(shù)為f'(x)=0。變量的導(dǎo)數(shù)定義變量的導(dǎo)數(shù)是指函數(shù)值相對(duì)于自變量的變化率，也就是函數(shù)曲線在該點(diǎn)的斜率。公式對(duì)于函數(shù)y=f(x)，其導(dǎo)數(shù)記為f'(x)或dy/dx，表示自變量x變化一個(gè)無窮小量時(shí)，函數(shù)值y的變化量?；境醯群瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)公式冪函數(shù)(x^n)'=nx^(n-1)指數(shù)函數(shù)(a^x)'=a^x*ln(a)對(duì)數(shù)函數(shù)(log_a(x))'=1/(x*ln(a))三角函數(shù)(sin(x))'=cos(x),(cos(x))'=-sin(x),(tan(x))'=sec^2(x),(cot(x))'=-csc^2(x),(sec(x))'=sec(x)tan(x),(csc(x))'=-csc(x)cot(x)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則鏈?zhǔn)椒▌t若y=f(u)和u=g(x)可導(dǎo)，則y=f(g(x))的導(dǎo)數(shù)為y'=f'(u)*g'(x)求導(dǎo)步驟先對(duì)y=f(u)求導(dǎo)，再對(duì)u=g(x)求導(dǎo)，最后將兩者的導(dǎo)數(shù)相乘。應(yīng)用實(shí)例例如，求y=sin(x^2)的導(dǎo)數(shù)。令u=x^2，則y=sin(u)。3.高階導(dǎo)數(shù)高階導(dǎo)數(shù)是導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，指的是對(duì)函數(shù)進(jìn)行多次求導(dǎo)得到的結(jié)果。例如，二階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，三階導(dǎo)數(shù)是函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以此類推。一階導(dǎo)數(shù)1定義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)，是指函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的瞬時(shí)變化率。2表示方法用f'(x)或df/dx表示。3幾何意義函數(shù)f(x)在點(diǎn)x處的導(dǎo)數(shù)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)(x,f(x))處的切線的斜率。二階導(dǎo)數(shù)定義函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)，記作f''(x)或d^2y/dx^2。求解方法對(duì)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)即可得到二階導(dǎo)數(shù)。幾何意義二階導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)曲線的凹凸性。如果二階導(dǎo)數(shù)為正，則曲線向上凹；如果二階導(dǎo)數(shù)為負(fù)，則曲線向下凹。高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終為0。例如，y=5的導(dǎo)數(shù)為0。多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍然是多項(xiàng)式函數(shù)。例如，y=x^2的導(dǎo)數(shù)為2x。4.函數(shù)的單調(diào)性與極值函數(shù)的單調(diào)性研究函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)極大值與極小值的定義函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取得的最大值或最小值函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)遞增當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值也隨之增大。單調(diào)遞減當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值也隨之減小。常函數(shù)函數(shù)值始終保持不變。極大值與極小值的定義極大值設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任何一點(diǎn)x（x≠x0），都有f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在x0處的極大值。極小值設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果對(duì)于該鄰域內(nèi)的任何一點(diǎn)x（x≠x0），都有f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數(shù)f(x)在x0處的極小值。求解函數(shù)極值的方法1求導(dǎo)首先，求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)。2求駐點(diǎn)找到導(dǎo)數(shù)為零或不存在的點(diǎn)，這些點(diǎn)稱為駐點(diǎn)。3判斷極值通過二階導(dǎo)數(shù)或其他方法判斷駐點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。應(yīng)用舉例最大最小問題尋找函數(shù)的最大值或最小值。幾何問題計(jì)算面積、體積或最優(yōu)尺寸。經(jīng)濟(jì)問題分析利潤(rùn)最大化或成本最小化。最大最小問題最大面積已知圍欄長(zhǎng)度，求矩形場(chǎng)地的最大面積。最小成本已知材料成本，求最小包裝成本。最短路徑已知起點(diǎn)和終點(diǎn)，求最短的運(yùn)輸路線。幾何問題求解幾何圖形的面積、周長(zhǎng)、體積等。求解幾何圖形的角的大小、邊長(zhǎng)等。求解幾何圖形的直線方程、曲線方程等。經(jīng)濟(jì)問題1利潤(rùn)最大化通過分析成本函數(shù)和收益函數(shù)，可以利用導(dǎo)數(shù)找到利潤(rùn)最大化的產(chǎn)量。2投資收益率利用導(dǎo)數(shù)可以計(jì)算出投資收益率，幫助投資者做出更明智的投資決策。3市場(chǎng)需求分析導(dǎo)數(shù)可以用來分析市場(chǎng)需求的變化趨勢(shì)，預(yù)測(cè)產(chǎn)品價(jià)格和銷量?？偨Y(jié)與重點(diǎn)本課程回顧了導(dǎo)數(shù)和極值的概念、求法、性質(zhì)以及應(yīng)用。1導(dǎo)數(shù)概念導(dǎo)數(shù)是函數(shù)變化率的度量，它描述了函數(shù)在某一點(diǎn)處的瞬時(shí)變化趨勢(shì)。2導(dǎo)數(shù)求法學(xué)習(xí)了求導(dǎo)的基本公式和法則，以及高階導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)。3極值問題利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，尋找函數(shù)的極值，并應(yīng)用于實(shí)際問題求解。導(dǎo)數(shù)的概念和意義變化率導(dǎo)數(shù)是函數(shù)在某一點(diǎn)的變化率，反映了函數(shù)在該點(diǎn)處的變化趨勢(shì)。切線斜率導(dǎo)數(shù)的幾何意義是函數(shù)曲線在該點(diǎn)處的切線的斜率，可以用來描述曲線的局部變化。應(yīng)用廣泛導(dǎo)數(shù)在物理、工程、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，可以用來解決優(yōu)化、速度、加速度等問題。導(dǎo)數(shù)的求法1常數(shù)的導(dǎo)數(shù)常數(shù)的導(dǎo)數(shù)始終為零，即d/dx(c)=0，其中c為常數(shù)。2變量的導(dǎo)數(shù)變量的導(dǎo)數(shù)為1，即d/dx(x)=1。3基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式常見的基本初等函數(shù)，如指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等的導(dǎo)數(shù)公式需要記憶。4復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則對(duì)于復(fù)合函數(shù)，需要運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t求導(dǎo)，即外層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以內(nèi)層函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。高階導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)二階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)凹凸性三階導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)拐點(diǎn)函數(shù)的單調(diào)性與極值單調(diào)遞增當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值也隨之增大，函數(shù)圖形向上傾斜。單調(diào)遞減當(dāng)自變量增大時(shí)，函數(shù)值隨之減小，函數(shù)圖形向下傾斜。極值函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)取得的最大值或最小值稱為極值，分別稱為極大值