微專題03 解三角形-2025年新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)微專題提分突破140分方案

PAGE1微專題03解三角形【秒殺總結(jié)】在解三角形的問題中，若已知條件同時(shí)含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：（1）若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”；（2）若式子中含有、、的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”；（3）若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”；（4）代數(shù)式變形或者三角恒等變換前置；（5）含有面積公式的問題，要考慮結(jié)合余弦定理求解；（6）同時(shí)出現(xiàn)兩個(gè)自由角（或三個(gè)自由角）時(shí)，要用到三角形的內(nèi)角和定理．【典型例題】例1．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知該三角形的面積．(1)求角的大?。?2)若時(shí)，求面積的最大值．【解析】（1）在中，，而，即，，由余弦定理得，所以.（2）由（1）知，，，而，于是，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，因此的面積，所以當(dāng)時(shí)，面積取得最大值.例2．（2024·廣東湛江·統(tǒng)考一模）已知在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求A；(2)若外接圓的直徑為，求的取值范圍．【解析】（1）由可得：，所以，所以，，，由正弦定理可得，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)椋?（2）由正弦定理可得，所以，故，又，所以，所以，又，所以，所以，所以的取值范圍為.例3．（2024·全國(guó)·武鋼三中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知中，角，，所對(duì)的邊分別為.(1)求的值；(2)若為線段上一點(diǎn)且滿足平分，求的面積的取值范圍.【解析】（1）由題意知，即，故，即，結(jié)合，得；（2）由于平分，故，故，而，即得,設(shè)，則，即，則，故，當(dāng)，即時(shí)，取到最大值，最大值為3；又，滿足，當(dāng)無(wú)限趨近于1或2時(shí)，無(wú)限趨近于0，故的面積的取值范圍為.例4．（2024·山西呂梁·統(tǒng)考一模）設(shè)的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知．(1)求；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)，求的最小值．【解析】（1）.由正弦定理，得，即，即（2）由題意可得，即當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為9.例5．（2024·廣東佛山·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為，其中，．(1)求角的大?。?2)如圖，為外一點(diǎn)，，，求的最大值．【解析】（1）因?yàn)?，所以，由正弦定理，可得，整理可得，又因?yàn)?，化?jiǎn)可得，而，則，又，則（2）在中，由可得，在中，由可得，所以，設(shè)，由余弦定理，，可得，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最大值為，此時(shí).例6．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．(1)求；(2)若，連接，求的值．【解析】（1）由題意，得，整理，得，所以，所以，解得．又，所以；（2）方法一：根據(jù)正弦定理，得，所以．由，知是邊的中點(diǎn)，在中，由余弦定理，得；方法二：根據(jù)正弦定理，得，所以，由，得，又，所以，所以．例7．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，，，且的外接圓半徑為4.(1)若，，求的面積；(2)若，求的最大值.【解析】（1）因?yàn)?，的外接圓半徑為4，所以，解得.在中，，則，解得.又，所以；在中，，，，所以.（2）設(shè)，.又，所以.因?yàn)?，所?在中，，由正弦定理得，即，解得.在中，，由正弦定理得，即，解得，所以.又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以的最大值為.【過關(guān)測(cè)試】1．（2024·河南安陽(yáng)·統(tǒng)考一模）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．(1)證明：；(2)若，求的值．【解析】（1）證明：由正弦定理及條件可得，由余弦定理可得，化簡(jiǎn)得．（2）由得，化簡(jiǎn)得，又，故，所以，故．2．（2024·湖北·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在中，已知，D為的中點(diǎn).(1)求A；(2)當(dāng)時(shí)，求的最大值.【解析】（1），，即，，即.或，當(dāng)時(shí)，，由，有，即時(shí).當(dāng)時(shí)，（舍）..（2）設(shè)，，由（1）及余弦定理有，即.，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.由D為邊的中點(diǎn)有，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.的最大值為.3．（2024·湖北黃岡·浠水縣第一中學(xué)校考一模）在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且的面積.(1)求角A；(2)若，求的取值范圍.【解析】（1）∵，∴.∵，∴，又∵，∴.（2）∵，∴.∵，∴，∴，∴，∴，即的取值范圍為.4．（2024·山東日照·統(tǒng)考一模）在銳角中，角A，B，C．所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知且，(1)求角B及邊b的大?。?2)求的值．【解析】（1）依題意，，由正弦定理得，由于銳角三角形中，所以，而是銳角，所以.由余弦定理得.（2）由余弦定理得，而是銳角，所以，所以..5．（2024·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求；(2)若的面積為，求邊上的中線長(zhǎng).【解析】（1）由正弦定理可得，所以，即，又，所以，整理得，解得；（2）依題意，，解得，又，所以為鈍角，所以由,解得，由正弦定理可得，又，所以，設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，所以邊上的中線長(zhǎng)為.6．（2024·江西·新余市第一中學(xué)校聯(lián)考一模）在中，已知內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且的面積為，點(diǎn)D是線段上靠近點(diǎn)B的一個(gè)三等分點(diǎn)，．(1)若，求c；(2)若，求的值．【解析】（1）由題可得：，故又，即，，即在中，根據(jù)余弦定理得即，即，（2），，即又，①又②，由①②得：7．（2024·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）記的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，已知.(1)求角；(2)若的角平分線交于，求的長(zhǎng).【解析】（1）解法一：由及正弦定理，可得.又，所以.又在中，，故，,所以.解法二：由及余弦定理，可得.即，所以.,所以.（2）由（1）知.又，所以.所以.8．（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖所示，在平行四邊形中，有：.(1)求的大??；(2)若，求平行四邊形的面積.【解析】（1）由題意得，由正弦定理得，，又，則，（2）在平行四邊形中，，在中，由余弦定理得，，即解得：或，當(dāng)時(shí)，平行四邊形的面積：當(dāng)時(shí)，平行四邊形的面積：.9．（2024·陜西咸陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知該三角形的面積．(1)求角A的大?。?2)若，求面積的最大值，并求當(dāng)面積取得最大值時(shí)對(duì)應(yīng)的周長(zhǎng)．【解析】（1）由，得．由余弦定理得：，．（2）方法一：因?yàn)?，，由余弦定理得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等，，所以的面積：，此時(shí)，的周長(zhǎng)為12．方法二：，，由正弦定理得，的面積，，又，，當(dāng)時(shí)，面積最大值為．此時(shí)，，于是的周長(zhǎng)為12．10．（2024·廣東茂名·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知.(1)求的值；(2)若為的中點(diǎn)，且，求的最小值.【解析】（1）由正弦定理及，得，又，所以，又，∴，∴，即，又，∴.（2）由為的中點(diǎn)，得，而，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為.11．（2024·湖南長(zhǎng)沙·統(tǒng)考一模）在中，角，，所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，，，且滿足.

(1)證明：；(2)如圖，點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上，且，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，探究是否為定值？【解析】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，再由余弦定得得，整理?（2）因?yàn)榛パa(bǔ)，所以，結(jié)合余弦定理可得，因?yàn)?，，則，整理得，又，則，從而，故為定值.12．（2024·云南曲靖·統(tǒng)考一模）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且．(1)求；(2)線段上一點(diǎn)滿足，求的長(zhǎng)度．【解析】（1）由題設(shè)及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由題設(shè)，且，，在中，則，在中，則，綜上，可得，則，故.13．（2024·云南楚雄·云南省楚雄彝族自治州民族中學(xué)模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，為的中點(diǎn)，，，，(1)求；(2)若，，求.【解析】（1）因?yàn)?，，，為的中點(diǎn)，所以在中，，所以，所以，在中，，所以，.（2）因?yàn)?，所以，所以，所以，在中，，所?4．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．(1)試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，點(diǎn)在內(nèi)，，，求．【解析】（1）由正弦定理，可將化為，即．因?yàn)?，所以．即，即．所以或．所以或．又，即，所以，即．所以，則為直角三角形．（2）因?yàn)?，所以．因?yàn)?，所以．在中，，所以．所以．在Rt中，，所以．在中，設(shè)，則．由正弦定理，知，即．化簡(jiǎn)，得．所以．因?yàn)?，所以?5．（2024·全國(guó)·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在銳角中，角、、所對(duì)的邊分別為，，，有．(1)證明：；(2)若，求的取值范圍．【解析】（1）由及余弦定理，得，由正弦定理邊化角，得，而，即，，整理得，由是銳角三角形，得，所以，即.（2）由（1）知，，則，由正弦定理角化邊得，又是銳角三角形，則，解得，，因此，所以的取值范圍為.16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，已知．(1)若，證明：為直角三角形；(2)若，求的面積．【解析】（1）證明：因?yàn)樗栽谥?，由正弦定理得：，在中，由正弦定理得：．因?yàn)?，所?則.因?yàn)?，所以，所以．不妨令，由，得，?所以，解得：，即所以為直角三角形．（2）當(dāng)時(shí)，為的中點(diǎn).則.設(shè)，由（1）可知，所以，所以，即，所以．因?yàn)椋?，所以，則.所以．17．（2024·浙江嘉興·嘉興一中?？家荒＃┰谥?，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，.(1)求角A；(2)作角A的平分線與交于點(diǎn)，且，求.【解析】（1）因，由正弦定理可得：，即.因，故，則有，即，因，故.（2）因?yàn)闉榻瞧椒志€，所以，所以.因，，，則，即，所以.又由余弦定理可得：，把，分別代入化簡(jiǎn)得：，解得：或（舍去），所以.18．（2024·湖南邵陽(yáng)·統(tǒng)考一模）在中，角所對(duì)的邊分別為，向量，向量，且.(1)求證：；(2)延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得.當(dāng)最大時(shí)，求的值.【解析】（1）因?yàn)?，所以，?又，所以，.整理可得.再由正弦定理得：，結(jié)合，可得，.即.顯然，兩邊同時(shí)除以可得，，即.（2）如圖：設(shè)，則.因?yàn)?，所以，則.故.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).所以，.此時(shí)，所以，故為等邊三角形，即.19．（2024·山東泰安·新泰市第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在中，角所對(duì)的邊分別為.若.(1)求；(2)若為銳角三角形，求的取值范圍.【解析】（1）因?yàn)椋淼?，所以，由正弦定理得：，因?yàn)?，所以，所?（2）因?yàn)闉殇J角三角形，，所以，且，所以，解法，因?yàn)椋裕?，即的取值范圍?解法，因?yàn)?，所以，得，所以，即的取值范圍?20．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，分別為角，，所對(duì)的邊，點(diǎn)為的中點(diǎn)．(1)若，，，求的值；(2)若，求的值．【解析】（1）在中，由余弦定理得，所以，解得或（舍去），所以，在中，由余弦定理得，所以．（2）由，得，則．又，則．在中，由正弦定理得①；在中，由正弦定理得②；由①②得，所以．所以．因?yàn)?，有意義，所以，．所以．21．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將其縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍得到的圖象．(1)設(shè)，，當(dāng)時(shí)，求的值域；(2)在中，a，b，c分別是角A，B，C所對(duì)的邊，已知，，，求內(nèi)切圓半徑r的值．【解析】（1）由題意知，所以，，所以，因?yàn)椋?，所以，所以．又，令，則．當(dāng)時(shí)，是減函數(shù)，是增函數(shù)，所以是減函數(shù)，且則在是增函數(shù)，當(dāng)趨向0，趨向1，當(dāng)趨向1，趨向正無(wú)窮，所以函數(shù)的值域是；（2）因?yàn)椋?，則，所以．因?yàn)橛烧叶ɡ?，，得．又，所以，即．所以，，．所以．由，得，解得．所以?nèi)切圓半徑的值為.22．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在“①；②；③”這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并加以解答．在中，角所對(duì)的邊分別為，且______．(1)求角的大小；(2)若表示內(nèi)切圓的半徑，求的最大值．【解析】（1）選擇①：由正弦定理，得，所以，即．又，所以，且．所以．又，所以．選擇②：由正弦定理，得．又，所以，．所以．即．又，所以．又，所以，即．選擇③：由正弦定理，得．所以，即．又，所以．所以．因?yàn)?，所以．?）由余弦定理，得，所以．設(shè)的周長(zhǎng)為，面積為，則，．所以內(nèi)切圓的半徑．將式代入上式，得．因?yàn)?，所以由式可得，即（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得等號(hào)）．所以的最大值為．23．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角的對(duì)邊分別為，．(1)求角B的大?。?2)若，是否存在正整數(shù)b，使得是銳角三角形？若存在，求出b的最小值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ恚茫驗(yàn)?，所以．所以．因?yàn)锽是三角形的內(nèi)角，所以；（2）因?yàn)椋?，所以?dāng)且僅當(dāng)A為銳角時(shí)，△ABC是銳角三角形．由余弦定理，得，所以（*）．又，代入（*），得．因?yàn)?，，所以．所以，即．所以存在正整?shù)b，使得△ABC是銳角三角形，且正整數(shù)b的最小值為4．24．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b