人教版平行四邊形單元 期末復(fù)習(xí)測試題試題

一、選擇題

1.如圖，正方形ABCD的邊長為2a,點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿著線段AD向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)

A、D重合），同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)D出發(fā)沿著線段DC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)D、C重合），點(diǎn)E與點(diǎn)F

的運(yùn)動(dòng)速度相同.BE與AF相交于點(diǎn)G,H為BF中點(diǎn)，則有下列結(jié)論：①NBGF是定值；

②BF平分/CBE：③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，GH=^?；④當(dāng)JAGB=（"+2）白時(shí)，S叫形

GEDF=-a2,其中正確的是（）

5K-----

A.①③B.①②③C.①③④D.①④

2.矩形ABCD中，AB=3,BC=4,點(diǎn)E是BC邊上一點(diǎn)，連接AE,把NB沿AE折疊，使

點(diǎn)B落在點(diǎn)處，當(dāng)△CEB，為直角三角形時(shí)，BE的長為（）

C.2或3

3.如圖，在菱形A8CD中，48=5cm,Z4DC=120°,點(diǎn)、E、F同時(shí)由4C兩點(diǎn)出發(fā)，分別

沿48.C8方向向點(diǎn)8勻速移動(dòng)（到點(diǎn)8為止），點(diǎn)E的速度為lcm/s,點(diǎn)F的速度為

2cm/s,經(jīng)過t秒為等邊三角形，則t的值為（）

4

3

4.如圖，在ABC中，BD,CE是ABC的中線，與CE相交于點(diǎn)。，點(diǎn)產(chǎn)，G

分別是80,C0的中點(diǎn)，連接4。，若要使得四邊形DEFG是正方形，則需要滿足條件

5.如圖，依次連結(jié)第一個(gè)菱形各邊的中點(diǎn)得到一個(gè)矩形，再依次連結(jié)矩形各邊的中點(diǎn)得到

第二個(gè)菱形，按此方法繼續(xù)下去.已知第一個(gè)菱形的面積為1,則第4個(gè)菱形的面積是

（）

<TQq??????

1111

A.-B.—C.—D.—

4163264

6.已知：如圖，在正方形ABCD外取一點(diǎn)E,連接AE、BE、DE.過點(diǎn)A作AE的垂線交DE

于點(diǎn)P.若AE=AP=1,PD=2,下列結(jié)論：①EBJ_ED；②NAEB=135°；③S正方/ABCD=

5+2J5；④PB=2；其中正確結(jié)論的序號(hào)是（）

7.已知，在平面直角坐標(biāo)系中放置了5個(gè)如圖所示的正方形（用陰影表示），點(diǎn)耳在y軸

上，點(diǎn)Er馬、。2、目、G均在x軸正半軸上，若已知正方形4g的

邊長為1,ZB.C.O=60\且B\CJ/B2c2UB3G，則點(diǎn)人的坐標(biāo)是（）

A.（3+4卒）B.（國次）C.（用”）D.（3+4窄）

262lo262lo

8.如圖，在A/C中，A8=4C=6,N8=45。，。是8c上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接4D,以4。為邊

向右側(cè)作等腰ADE,其中4。=人￡,乙4。￡=45。，連接CE.在點(diǎn)。從點(diǎn)8向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)過程

中，/XCDE周長的最小值是（）

A.6>/2B.6a+6

C.9&D.9a+6

9.如圖的AABC中，AB>AC>BC,且D為BC上一點(diǎn).現(xiàn)打算在AB上找一點(diǎn)R在AC上找一

點(diǎn)Q,使得△APQ與以P、D、Q為頂點(diǎn)的三角形全等，以下是甲、乙兩人的作法：

甲：連接AD,作AD的中垂線分別交AB、AC于P點(diǎn)、Q點(diǎn)，則P、Q兩點(diǎn)即為所求；

乙：過D作與AC平行的直線交AB于P點(diǎn)，過D作與AB平行的直線交AC于Q點(diǎn)，貝I]

P、Q兩點(diǎn)即為所求；對(duì)于甲、乙兩人的作法，下列判斷何者正確（）

A.兩人皆正確B.兩人皆錯(cuò)誤

C.甲正確，乙錯(cuò)誤D.甲錯(cuò)誤乙正確

10.在ABC尸中，BC=2AB,。。_1.718于點(diǎn)。，點(diǎn)后為4尸的中點(diǎn)，若

NADE=50°,則DB的度數(shù)是（）

二、填空題

11.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=2,E為邊CD的中點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段48

上運(yùn)動(dòng)，尸是CP的中點(diǎn)，則ACEF的周長的最小值是.

12.如圖，正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)。，對(duì)角線長為1cm,過點(diǎn)。任作一條直線分

別交AD,BC于E,F,則陰影部分的面積是.

13.如圖，四邊形A8C。是菱形，ZDA8=48°,對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)O,DH1.48于

H,連接0H,則N0H0=度.

14.如圖，在等邊A/C和等邊OE尸中，尸。在直線AC上，8。=3￡>￡=3,連接

BD,BE,則BD+BE的最小值是.

3

15.已知在矩形A8CD中，AB=5，BC=3,點(diǎn)尸在直線5c上，點(diǎn)。在直線CO上，且

42_1尸。,當(dāng)4尸=82時(shí)，AP=.

16.在A8c中，AB=12,AC=10,BC=9,AD是BC邊上的高.將ABC按如圖所示的方

式折疊，使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，折痕為EF,則OE尸的周長為.

AA

17.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M為線段

AB的中點(diǎn).點(diǎn)D、E分別在x軸、y軸的負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=AB=10.以DE為邊在第

三象限內(nèi)作正方形DGFE,則線段MG長度的最大值為.

18.已知：一組鄰邊分別為6cm加10cm的平行四邊形ABC。，ND48和NA8C的平分

線分別交CO所在直線于點(diǎn)E,F,則線段EF的長為cm.

19.如圖，矩形A8CO中，CE=CB=BE,延長BE交于點(diǎn)M,延長CE交AO

于點(diǎn)F,過點(diǎn)、E作EN工BE,交BA的延長線于點(diǎn)N,FE=2,AN=3,貝ij

BC=.

20.如圖，矩形紙片ABCD,AB=5,BC=3,點(diǎn)P在BC邊上，將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落

在點(diǎn)E處，PE,DE分別交AB于點(diǎn)O,F,且OP=OF,則AF的值為.

三、解答題

21.如圖，矩形08co中，。8=5,。。=3,以。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)8,點(diǎn)。

分別在x軸，y軸上，點(diǎn)C在第一象限內(nèi)，若平面內(nèi)有一動(dòng)點(diǎn)P,且滿足5APO8=：5矩形

OBCD，問：

（1）當(dāng)點(diǎn)P在矩形的對(duì)角線0C上，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)點(diǎn)P到。，8兩點(diǎn)的距離之和PO+P8取最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

22.已知：如圖，在AABC中，D是BC邊上的一點(diǎn)，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行

線交于BE的延長線于點(diǎn)F,且AF=DC,連接CF.

（2）如果AB=AC,試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論.

23.如圖，M為正方形A8CD的對(duì)角線8。上一點(diǎn).過M作8。的垂線交AO于E,連

BE,取班:中點(diǎn)0.

DM、MN、之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

（3）如圖3,延長對(duì)角線30至。延長。B至尸，連CRC。若P5=2,PQ=9,且

ZPCQ=135°,則PC=_.（直接寫出結(jié)果）

24.在正方形A8CO中，點(diǎn)E是。。邊上任意一點(diǎn)，連接4E,過點(diǎn)8作于

F,交AO于〃.

。）如圖1,過點(diǎn)。作OGJ.AE于G.求證:B產(chǎn)一。G=R7；

（2）如圖2,點(diǎn)E為CO的中點(diǎn)，連接。尸，試判斷?！晔?所存在什么數(shù)量關(guān)系并說

明理由；

(3)如圖3,AB=\t連接E”，點(diǎn)尸為EH的中點(diǎn)，在點(diǎn)E從點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過程

中，點(diǎn)尸隨之運(yùn)動(dòng)，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路徑長.

25.如圖1,在正方形488(正方形四邊相等，四個(gè)角均為直角)中，48=8,P為線段

8c上一點(diǎn)，連接4P,過點(diǎn)8作8QL4P,交CD于點(diǎn)Q,將△8QC沿8Q所在的直線對(duì)折得

到△8QC,延長QC交4。于點(diǎn)N.

(1)求證：BP=CQ；

(2)若8PPC,求4V的長;

3

(3)如圖2,延長QV交84的延長線于點(diǎn)M,若8P=x(0<xV8),△BMC?的面積為

5,求5與x之間的函數(shù)關(guān)系式.

26.如圖，四邊形ABCD為正方形.在邊AO上取一點(diǎn)E,連接BE,使N4EB=60。.

(1)利用尺規(guī)作圖(保留作圖痕跡)：分別以點(diǎn)B、。為圓心，長為半徑作弧交正

方形內(nèi)部于點(diǎn)丁，連接B7并延長交邊AO于點(diǎn)E,則NA￡B=60。；

(2)在前面的條件下，取班:中點(diǎn)M,過點(diǎn)M的直線分別交邊48、CD于點(diǎn)P、Q.

①當(dāng)尸Q_L3E時(shí)，求證：BP=2AP；

②當(dāng)尸Q=BE時(shí)，延長8石，CD交于N點(diǎn)，猜想N。與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

27.在正方形48C0中，連接BQP為射線CB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)C不重合)，連接4P,

AP的垂直平分線交線段于點(diǎn)E,連接力生PE.

提出問題：當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，乙4PE的度數(shù)是否發(fā)生改變?

探究問題：

（1）首先考察點(diǎn)P的兩個(gè)特殊位置：

①當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，如圖1所示，乙4PE=°

②當(dāng)BP=BC時(shí)，如圖2所示，①中的結(jié)論是否發(fā)生變化？直接寫你的結(jié)論：

;（填"變化"或"不變化"）

（2）然后考察點(diǎn)P的一般位置：依題意補(bǔ)全圖3,圖4,通過觀察、測量，發(fā)現(xiàn)：（1）中

①的結(jié)論在一般情況下；（填"成立”或"不成立〃）

圖3圖1

（3）證明猜想：若（1）中①的結(jié)論在一般情況下成立，請(qǐng)從圖3和圖4中任選一個(gè)進(jìn)行

證明；若不成立，請(qǐng)說明理由.

28.如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中,A（1,O）、C（0,2）,現(xiàn)將線段。1繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。

得到點(diǎn)瓦連接A8.

jAy八

⑴求出直線5c的解析式；

（2）若動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā),沿線段CB以每分鐘J歷個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，過M作MN//AB

交）'軸于N,連接AN.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，分鐘，當(dāng)四邊形ABMN為平行四邊形時(shí)，求t的值.

⑶?為直線8c上一點(diǎn)，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在一點(diǎn)Q,使得以。、B、P、。為頂點(diǎn)的四

邊形為菱形,若存在，求出此時(shí)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

29.如圖1,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)。，過點(diǎn)。作直線EF_LBD,且交

（1）①求證：四邊形BFDE是菱形；②求NEBF的度數(shù).

（2）把（1）中菱形BFDE進(jìn)行分離研究，如圖2,G,I分別在BF,BE邊上，且BG=BI,

連接GD,H為GD的中點(diǎn)，連接FH,并延長FH交ED于點(diǎn)J,連接IJ,IH,IF,IG.試探究

線段IH與FH之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）把（1）中矩形ABCD進(jìn)行特殊化探究，如圖3,矩形ABCD滿足AB=AD時(shí)，點(diǎn)E是

對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接DE,作EFJ_DE,垂足為點(diǎn)E,交AB于點(diǎn)F,連接DF,交AC于點(diǎn)

G.請(qǐng)直接寫出線段AG,GE,EC三者之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

30.定義：只有一組對(duì)角是直角的四邊形叫做損矩形，連結(jié)它的兩個(gè)非直角頂點(diǎn)的線段叫

做這個(gè)損矩形的直徑。

（1）如圖1,損矩形ABCD,NABC=NADC=90°,則該損矩形的直徑是線段AC,同時(shí)我

們還發(fā)現(xiàn)損矩形中有公共邊的兩個(gè)三角形角的特點(diǎn)，在公共邊的同側(cè)的兩個(gè)角是相等的。

如圖1中：△ABC和4ABD有公共邊AB,在AB同側(cè)有NADB和NACB,此時(shí)NADB=

ZACB；再比如△ABC和aBCD有公共邊BC,在CB同側(cè)有NBAC和/BDC,此時(shí)NBAC=

NBDC。請(qǐng)?jiān)僬乙粚?duì)這樣的角來___=

（2）如圖2,ZXABC中，ZABC=90°,以AC為一邊向形外作菱形ACEF,D為菱形ACEF

的中心，連結(jié)BD,當(dāng)BD平分NABC時(shí)，判斷四邊形ACEF為何種特殊的四邊形？請(qǐng)說明

理由。

（3）在第（2）題的條件下，若此時(shí)AB=3,BD=4近，求BC的長。

【參考答案】***試卷處理標(biāo)記，請(qǐng)不要?jiǎng)h除

一、選擇題

1.A

解析：A

【解析】

【分析】

根據(jù)題意很容易證得4BAEgZ\ADF,即可得到AF=BE,利用正方形內(nèi)角為90。，得出

AF_LDE,即可判斷①，②無法判斷，③根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半即可求解.

④根據(jù)△BAEg/\ADF,即可得到S四邊杉GEDF=s般,即可求解.

【詳解】

①證明：：E在4。邊上（不與A.D重合），點(diǎn)F在OC邊上（不與D.C重合）.

又???點(diǎn)E.F分別同時(shí)從A.D出發(fā)以相同的速度運(yùn)動(dòng)，

:?AE=DF,

???四邊形4BCD是正方形，

???AB=DA^BAE=ZD=90,

在&BAE和MDF中，

AE=DE

?ZB4E=ZADF=90

AB=AD,

，△班E經(jīng)ZkADRSAS）,

AZ1=Z2,

VN2+N3=90

???Nl+N3=90

即ZAGB=90

ZBGF=90,

NBGF是定值；正確.

②無法判斷NGB/與NC8/的大小，BF平分NCBE：錯(cuò)誤.

③當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到AD中點(diǎn)時(shí)，

點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到CD中點(diǎn)，

CF=-CD=a,

2

BF=4BC2+CF2=#）a,

GH==—BF=正確.

22

④"AE絲"?！?/p>

則S即功形GEDF=SABG，

當(dāng)CAAGB=(V6+2)4時(shí)，

AG+GB=Aa,

(AG+G8)2=AG2+2AGGB+GB2=6a2,

AG2+BG2=AB2=4a\

2

:.2AGGB=2ay

11,

S=-AGGB=-a\

/A*RcoC22〉

S四邊形GEDF=a?,故S四邊形GEDF=7"a2,錯(cuò)誤.

26

故選A.

【點(diǎn)睛】

考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理

是解題的關(guān)鍵.

2.D

解析：D

【解析】

【分析】

當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)夕落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示.

連結(jié)AC,先利用勾股定理計(jì)算出AC=5,根據(jù)折疊的性質(zhì)得NAB，E=NB=90。，而當(dāng)ACEB，為

直角三角形時(shí)，只能得到NEB(=90。，所以點(diǎn)A、B\C共線，即NB沿AE折疊，使點(diǎn)B落

在對(duì)角線AC上的點(diǎn)夕處，貝ljEB=EB',AB=AB'=3,可計(jì)算出CB=2,設(shè)BE=x，則EB'=x,

CE=4-x,然后在RSCEB，中運(yùn)用勾股定理可計(jì)算出X.

②當(dāng)點(diǎn)B，落在AD邊上時(shí)，如圖2所示.此時(shí)ABEB，為正方形.

【詳解】

當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，有兩種情況：

①當(dāng)點(diǎn)B，落在矩形內(nèi)部時(shí)，如圖1所示.

連結(jié)AC,

B

圖1

在R3ABC中，AB=3,BC=4,

???AC="2+32=5,

YNB沿AE折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)上處，

工NAB'E=NB=90°,

當(dāng)ACEB，為直角三角形時(shí)，只能得到NEBt=90。，

???點(diǎn)A、B\C共線，即/B沿AE折疊，使點(diǎn)B落在對(duì)角線AC上的點(diǎn)力處,

.,.EB=EB\AB=AB'=3,

/.CB/=5-3=2,

設(shè)BE=x,則EB'=x,CE=4-x,

在RtACEB'中，

VEB/2+CB/2=CE2,

3

/.X2+22=(4-X)2?解得x=一?

2

3

/.BE=-；

2

②當(dāng)點(diǎn)&落在AD邊上時(shí)，如圖2所示.

此時(shí)ABEB，為正方形,

ABE=AB=3.

3

綜上所述，BE的長為二或3.

2

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊問題：折疊前后兩圖形全等，即對(duì)應(yīng)線段相等；對(duì)應(yīng)角相等.也考查了矩

形的性質(zhì)以及勾股定理.注意本題有兩種情況，需要分類討論，避免漏解.

3.D

解析：D

【分析】

由題意知道AE=t,CF=2t,連接BD,證明aDEB經(jīng)△DFC,得到EB=FC=2t,進(jìn)而

AB=AE+EB=3t=5,進(jìn)而求出t的值.

【詳解】

解：連接DB,如下圖所示，

:四邊形ABCD為菱形，且/ADC=120。，

NCDB=60°

..?△CDB為等邊三角形,ADB=DC

又〈△DEF為等邊三角形，.,.ZEDF=60°,DE=DF

/.ZCDB=ZEDF

ZCDB-ZBDF=ZEDF-ZBDF

AZCDF=ZBDE

在4EDB和4FDC中：

DE=DF

./EDB=NFDC,工AEDB^AFDC(SAS)

DB=DC

AFC=BE=2t

AAB=AE+EB=t+2t=3t=5

5

At=-.

3

故答案為：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形全等、菱形的性質(zhì)等相關(guān)知識(shí)，關(guān)鍵是能想到連接BD后證明三角形全

等，本題是動(dòng)點(diǎn)問題，將線段長用t的代數(shù)式表示，化動(dòng)為靜.

4.D

解析：D

【分析】

根據(jù)三角形中位線定理得到DEIIBC,FG=-BC,FG//BC,得到四

22

邊形OEFG為平行四邊形，根據(jù)正方形的判定定理解答即可.

【詳解】

解：點(diǎn)E、O分別為A3、AC的中點(diǎn)，

..DE=-BCtDEHBC,

2

點(diǎn)尸、G分別是B。、CO的中點(diǎn)，

；.FGJBC.FGHBC.

2

..DE=FG,DE//FG,

二.四邊形DEFG為平行四邊形，

點(diǎn)E、尸分別為AB、OB的中點(diǎn)，

:.EF=-OA,EF//OA,

2

當(dāng)EF=FG,即AO=BC時(shí)平行四邊形OE尸G為菱形，

當(dāng)40_LBC時(shí)，DE1OA,

EF//OA,

?.EF1FG,

二.四邊形DEFG為正方形,

則當(dāng)40=8。且AO_L8c時(shí)，四邊形。EFG是正方形，

故選；D.

【點(diǎn)睛】

本題考查的是三角形中位線定理、正方形的判定，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且

等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

5.D

解析：D

【分析】

易得第二個(gè)菱形的面積為（!）2,第三個(gè)菱形的面積為（!）4,依此類推，第n個(gè)菱形

22

的面積為（^）2足，把n=4代入即可.

2

【詳解】

解：已知第一個(gè)菱形的面積為1；

則第二個(gè)菱形的面積為原來的（1）2,

第三個(gè)菱形的面積為（!）4,

依此類推，第n個(gè)菱形的面積為（；）2n-2,

當(dāng)n=4時(shí)，

則第4個(gè)菱形的面積為（!）2如=（1）6=二.

2264

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角形的中位線定理及矩形、菱形的性質(zhì)，是一道找規(guī)律的題目，這類題型在

中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變

化的.

6.D

解析：D

【分析】

先證明△APDgAAEB得出BE=PD,ZAPD=ZAEB,由等腰直角三角形的性質(zhì)得出/APE

=NAEP=45。，得出NAPD=NAEB=135。，②正確；得出NPEB=/AEB-/AEP=90°,

EB±ED,①正確；作BF_LAE交AE延長線于點(diǎn)F,證出EF=BF=0,得出AF=AE+EF=

1+＞/2＞由勾股定理得出AB==J5+2點(diǎn),得出S正方彩ABCD=AB2=

5+2V2?③正確；EP=J^AE=&,由勾股定理得出BP=+=瓜,④錯(cuò)

誤；即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：VZEAB+ZBAP=90°,ZPAD+ZBAP=90°,

.\ZEAB=ZPAD,

AP=AE

在4APD和aAEB中，＜NPAD=NEAB,

AD=AB

.,.△APD^AAEB（SAS）,

/.BE=PD,ZAPD=ZAEB,

VAE=AP,ZEAP=90°,

.,.ZAPE=ZAEP=45°,

???NAPD=135°,

/.ZAEB=135°,②正確;

/.ZPEB=ZAEB-ZAEP=135°-45°=90°,

/.EB±ED,①正確；

作BF_LAE交AE延長線于點(diǎn)F,如圖所示：

VZAEB=135°,

AZEFB=45°,

???EF=BF,

VBE=PD=2,

???EF=BF=&,

/.AF=AE+EF=1+V2?

AB=4AF2+BF2=7（1+V2）2+（V2）2=小5+20,

*,?S正方形ABCD=AB?=（《5+2應(yīng)）2=5+2y/2?③正確；

EP=&AE=&,

BP=dBE?+E產(chǎn)=百+（丘丫=#，④錯(cuò)誤；

故選：D.

D

C

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)、等腰宜角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角

形的判定、勾股定理等知識(shí)；本題綜合性強(qiáng)，有一定難度，證明三角形全等是解題的關(guān)

鍵.

7.C

解析：C

【分析】

根據(jù)兩直線平行，同位角相等可得NB3c3O=NB2c2O=NBCQ=60。，然后利用三角形全等

可得B2E2=E|E2=D]E尸E3c2,E2C2=E3E4=B3E4,解直角三角形求出OC|、GE、E]E2、

E2c2、C2E3、E3E4、E4C3,再求出B3c3,過點(diǎn)A3延長正方形的邊交x軸于M,過點(diǎn)A3作

A3NJ_x軸于N,先求出A3M,再解直角三角形求出A3N、C3N,然后求出ON,再根據(jù)點(diǎn)

A3在第一象限寫出坐標(biāo)即可.

【詳解】

懈，：2c//B3c3,

:.ZB3C3OZB2C2O=ZB|Cl0=60°,

???正方形A1B1GD]的邊長為LBICI=CJDI,NBQD|=90。,

/.ZClBiO=ZDiCiE)=30°,

，BQ=GEi，OC!=DIEI，

同理可得B2E2=E1E2=D,E|=E3C2；E2C2=E3E4=B3E4；

..0cl=D,E,=ElE2=B2E2=C2E3=1X1=1

C1E\=—Dlcl=^~xl=~^~

EG=E3E4=B3E4=與T

.?.B3C3=2F4C3=2xl=l

o3

過點(diǎn)A.3延長正方形的邊交工軸于.區(qū)過點(diǎn)43作AW_Lx軸于M

貝

IJAM=A3D2+

2,926

3+613+6

CM=-A,M=--x—=---

39218

fl63+>/3-\/3—1

.\C3N=E4M-C3M—xx92

33186

ON=OG+Gg+E]E?+E2C2+G4+砧4+GN

=肉3

，+直+L—雪旦L與

222626662

???點(diǎn)4在第一象限,

工點(diǎn)4的坐標(biāo)是

故選C.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，30。角的直角三角

形.熟練掌握有30°角的直角三角形各邊之間的數(shù)量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.

8.B

解析：B

【分析】

如圖（見解析），先根據(jù)等腰直角三角形的判定與性質(zhì)可得

ZBAC=ZDAE=90°,BC=6五,DE=叵AD，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)

可得BO=CE,從而可得△COE周長為3C+J5AD，然后根據(jù)垂線段最短可求出AD

的最小值，由此即可得.

【詳解】

在A8C中，AB-AC-6,Z.B-45°,

ABC是等腰直角三角形，ZBAC=90°,BC=VAB2+AC2=672?

在七中，AO=A￡ZADE=45°,

：.VADE是等腰直角三角形，ZDAE=90°,DE=ylAD2^AE2=yj2AD，

/BAD+ZCAD=ZCAE+NCAO=90°，

NBAD=NCAE,

AB=AC

在△4BQ和△4CE中，<N8AD=NCAE,

AD=AE

ABD^ACE（SAS）,

/.BD=CE,

???CDE周長為CD+CE+DE=CD+BD+DE=BC+DE=6y（2+42AD，

則當(dāng)AD取得最小值時(shí)，△CDE的周長最小，

由垂線段最短可知，當(dāng)AO_L8C時(shí)，AD取得最小值，

「.AO是BC邊上的中線（等腰三角形的三線合一），

?.AD=^-BC=3>/2（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），

2

CQE周長的最小值為6及+J5x3&=6五+6，

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、三角形全等的判定

定理與性質(zhì)、垂線段最短等知識(shí)點(diǎn)，正確找出兩個(gè)全等三角形是解題關(guān)鍵.

9.A

解析：A

【分析】

如圖1,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到PA=PD,QA=QD,則根據(jù)“SSS”可判斷

APQgDPQ,則可對(duì)甲進(jìn)行判斷；如圖2,根據(jù)平行四邊形的判定方法先證明四邊形APDQ

為平行四邊形，則根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到PA=DQ,PD=AQ,則根據(jù)“SSS”可判斷

△APQgZWQP,則可對(duì)乙進(jìn)行判斷.

【詳解】

解：如圖1,

,:PQ垂直平分AD,

，PA=PD,,QA=QD,

VPQ=PQ,

/.△APQ^ADPQ(SSS),所以甲正確;

如圖2,?.?PD〃AQ,DQ〃AP,

???四邊形APDQ為平行四達(dá)形，

APA=DQ/,PD=AQ,

PQ=QP,

.,.△APQ^ADQP(SSS),所以乙正確；

本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖，一般是結(jié)合了

幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法，解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì)，結(jié)合

幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作，也考查了線段垂直平分線的

性質(zhì)、平行四邊形的判定與性質(zhì)和三角形全等的判定.

10.D

解析：D

【分析】

連結(jié)CE,并延長CE,交84的延長線于點(diǎn)N,根據(jù)已知條件和平行四邊形的性質(zhì)可證明

ANAE^^CFE,所以N￡=CE,NA=CF,再由已知條件CD_L48于D,ZADE=50°,即可

求出N8的度數(shù).

【詳解】

解：連結(jié)CE,并延長CE,交函的延長線于點(diǎn)N,

???四邊形4BCF是平行四邊形,

：.AB//CF,AB=CF,

：.ZNAE=ZFf

???點(diǎn)￡是的4F中點(diǎn)，

：.AE=FE,

在△岫￡和aCFE中，

4NAE=4F

?AE=FE,

NAEN=NFEC

:?△NAE匕MCFE(ASA),

:?NE=CE,NA=CF,

*：AB=CF,

:?NA=AB,即8N=〃8,

\'BC=2AB,

,BC=BN,NN=NNCB,

???C0J_A8于0,即NA/DC=90°且NE=CE,

1

：.DE=—NC=NE,

2

，/N=NNDE=50°=NNCB,

???N8=80°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)，難度較大，解答本題的關(guān)鍵是正確作出輔助

線，構(gòu)造全等三角形，在利用等腰三角形的性質(zhì)解答.

二、填空題

11.2亞+2

【分析】

由題意根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)得到EF=g"PD,得到QcEF=CE+CF+EF=CE+g>(CP+PD)

=—(CD+PC+PD)=yCACDP，當(dāng)4CDP的周長最小時(shí),Z\CEF的周長最小;即PC+PD的值

最小時(shí)，ACEF的周長最?。徊⒆鱀關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)D',連接CD，交AB于P,進(jìn)而分

析即可得到結(jié)論.

【詳解】

解：TE為CD中點(diǎn)，F(xiàn)為CP中點(diǎn)，

I

AEF=—PD,

2

111

AC△cEF=CE+CF+EF=CE+y(CP+PD)=—(CD+PC+PD)=yCACDP

:.當(dāng)ACDP的周長最小時(shí)，4CEF的周長最小;

即PC+PD的值最小時(shí)，4CEF的周長最??；

如圖，作D關(guān)于AB的對(duì)稱點(diǎn)T,連接CT,則PD=PT,

VAD=AT=BC=2,CD=4,ZCDT=90°,

2

：?CT=yjcif+DT=A/42+42=4>/2，

VACDP的周長=CD+DP+PC=CD+PT+PC,

VPT+POCT,

???PT+PC>4夜，

???PT+PC的最小值為4正，

AAPDC的最小值為4+4應(yīng)，

:.CACEF=~CACDP=25/2+2-

故答案為：2五+2.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱-最短距離問題以及三角形的周長的計(jì)算等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用軸

對(duì)稱解決最值問題.

12.—cni1

8

【分析】

根據(jù)正方形的性質(zhì)可以證明△AE04CF0,就可以得出SnAEo=Sg：o，就可以求出AAOD面積

等于正方形面積的根據(jù)正方形的面積就可以求出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖:

???正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)0,

AAAE0與ACFO關(guān)于0點(diǎn)成中心對(duì)稱,

/.△AEO^CFO,

:.SziAEO=SaCF。，

SAAOD=SADEO+SACFO，

???對(duì)角線長為lcm,

1一12

，S正方形ABCD=1X1x1=彳cm，

22

._12

??SAAOD=T"cm,

8

???陰影部分的面積為Jcm?,

o

故答案為：-cm2.

o

【點(diǎn)睛】

本題考查了正方形的性質(zhì)的運(yùn)用，全等三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用正方形的面積及三角形

的面積公式的運(yùn)用，在解答時(shí)證明△AEOgCFO是關(guān)鍵.

13.24

【分析】

由菱形的性質(zhì)可得OD=OB,ZCOD=90%由直角三角形的斜邊中線等于斜邊的一半，可

得OH='BD=OB,可得NOHB=/OBH,由余角的性質(zhì)可得NDHO=NDCO,即可求解.

2

【詳解】

【解答】解：???四邊形4BCO是菱形，

：.OD=OB,ZCOD=90",ND43=NDCB=48°,

,：DHA.AB,

1

：.OH=-BD=OB,

2

：.NOHB=/OBH,

乂

:?NOBH=NODC,

在RtZXCOO中，ZODC+ZDCO=90°,

在RtZXOHB中，ZDHO+ZOH5=90°,

/.ZDHO=ZDCO=-ZDCB=24°,

2

故答案為：24.

【點(diǎn)睛】

本題考查了菱形的性質(zhì)，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，是幾何綜合題，判斷

出0H是BD的一半，和NDHO=/DCO是解決本題的關(guān)鍵.

14.737

【分析】

如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接TW,

DW,過點(diǎn)W作WK_LBC交BC的延長線于K.證明BE=DT,BD=DW,把問題轉(zhuǎn)化為求

DT+DW的最小值.

【詳解】

解：如圖，延長CB到T,使得BT=DE,連接DT,作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)W,連接

TW,DW,過點(diǎn)W作WK_LBC交BC的延長線于K.

VAABC,ZXDEF都是等邊三角形,BC=3DE=3,

ABC=AB=3,DE=1,ZACB=ZEDF=60°,

ADE//TC.

VDE=BT=1,

，四邊形DEBT是平行四邊形，

.\BE=DT,

ABD+BE=BD+AD,

VB,W關(guān)于直線AC對(duì)稱，

/.CB=CW=3,ZACW=ZACB=60°,DB=DW,

ZWCK=60°,

VWK1CK,

/.ZK=90°,ZCWK=30°,

13r-3J3

，CK=—CW=—，WK=j3CK=12^,

22、2

—311

.*.TK=l+3+—=一,

22

：.y\N=^TK2+WK2=1ly+苧=后，

：.DB+BE=DB+DT=DW+DT>TW,

/.BD+BE>737，

???BD+BE的最小值為相，

故答案為而.

【點(diǎn)睛】

本題考查軸對(duì)稱?最短問題，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，平行四邊形的判定和性質(zhì)

等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用轉(zhuǎn)化的思想思考問題，屬于中考填空題中的壓軸題.

is.3夜或3后

22

【分析】

根據(jù)點(diǎn)尸在直線5c上，點(diǎn)。在直線C。上，分兩種情況：l.P、Q點(diǎn)位于線段上；2.P、Q

點(diǎn)位于線段的延長上，再通過三角形全等得出相應(yīng)的邊長，最后根據(jù)勾股即可求解.

【詳解】

解：當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC上，Q點(diǎn)位于線段CD上時(shí)：

???四邊形ABCD是矩形

APLPQ,

/.ZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

???ABP=PCQ

333

/.PC=AB=—，BP=BC-PC=3--=-

222

.*.AP=J（1）2+（-）2=|>/2

V222

當(dāng)P點(diǎn)位于線段BC的延長線上，Q點(diǎn)位于線段CD的延長線上時(shí)：

APA.PQ,

AZBAP=ZCPQ,ZAPB=ZPQC

VAP=PQ

：.ABP=PCQ

，PC=AB=-，BP=BC+PC=3+-=-

222

???AP=J(3)2+(2)2=t加

V222

故答案為：;0或

22

【點(diǎn)睛】

此題主要考查三角形全等的判定及性質(zhì)、勾股定理，熟練運(yùn)用判定定理和性質(zhì)定理是解題

的關(guān)鍵.

16.15.5

【分析】

先根據(jù)折疊的性質(zhì)可得區(qū)=再根據(jù)垂直的定義、直角三角形的性

質(zhì)可得NB=/BDE,又根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得BE=OE,從而可得

DE=AE=BE=6,同理可得出=AF=C產(chǎn)=5,然后根據(jù)三角形中位線定理可得

EF=？BC=4.5,最后根據(jù)三角形的周長公式即可得.

2

【詳解】

由折疊的性質(zhì)得：AE=DE,NEAD=NEDA

AD是BC邊上的高，即4O18C

NB+ZEAD=90°,ZBDE+4EDA=90°

/.ZB=Z.BDE

..BE=DE

DE=AE=BE=-AB=-x[2=6

22

同理可得：。尸=A/UC/MLACM'XIOMS

22

又AE=BE,AF=CF

點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AC的中點(diǎn)

??.七”是ABC的中位線

.\EF=-BC=-x9=4.5

22

則OE/的周長為OE+O尸+M=6+5+4.5=15.5

故答案為：15.5.

【點(diǎn)睛】

本題考查了折疊的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、三角形中位線定理、直角三角形的性質(zhì)等知

識(shí)點(diǎn)，利用折疊的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出BE=DE是解題關(guān)鍵.

17.10+5逐

【分析】

取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)。N、NG、0M.根據(jù)勾股定理可得NG=5右.在點(diǎn)M與G之間總

有MGWMO+ON+NG（如圖1）,M、0、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立（如圖2）.可得

線段MG的最大值.

【詳解】

如圖1,取DE的中點(diǎn)N,連結(jié)ON、NG、OM.

1

/.0M=-AB=5.

2

同理0N=5.

???正方形DGFE,N為DE中點(diǎn)，DE=10,

???NG=^IDN2-^DG2=4\02+52=5>/5?

在點(diǎn)M與G之間總有MGWMO+ON+NG（如圖1）,

如圖2,由于NDNG的大小為定值，只要NDON=!NDNG,且M、N關(guān)于點(diǎn)0中心對(duì)稱時(shí),

2

\1、0、N、G四點(diǎn)共線，此時(shí)等號(hào)成立，

???線段MG取最大值10+5^5.

故答案為：10+5逐.

【點(diǎn)睛】

此題考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，四點(diǎn)共線的最值問題，得出M、。、N、G四點(diǎn)

共線，則線段MG長度的最大是解題關(guān)鍵.

18.2或14

【分析】

利用當(dāng)AB=10cm,AD=6cm,由于平行四邊形的兩組對(duì)邊互相平行，又AE平分NBAD,由此

可以推出所以NBAE=NDAE,則DE=AD=6cm；同理可得：CF=CB=6cm,而EF=CF+DE-DC,

由此可以求出EF長；同理可得：當(dāng)AD=10cm,AB=6cm時(shí)，可以求出訐長

【詳解】

解：如圖1,當(dāng)AB=10cm,AD=6cm

VAE平分NBAD

AZBAE=ZDAE,

又?..AD〃CB

AZEAB=ZDEA,

AZDAE=ZAED,則AD=DE=6cm

同理可得：CF=CB=6cm

,/EF=DE+CF-DC=6+6-10=2(cm)

如圖2,當(dāng)AD=10cm,AB=6cm,

VAE平分NBAD,

AZBAE=ZDAE

又?.?AD〃CB

AZEAB=ZDEA,

:.NDAE=NAED貝ijAD=DE=10cm

同理可得，CF=CB=10cmEF=DE+CF-DC=10+10-6=14(cm)

故答案為：2或14.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了角平分線的定義、平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，關(guān)鍵是平行

四邊形的不同可能性進(jìn)行分類討論.

19.6+66

【分析】

通過四邊形ABCD是矩形以及CE=CB=BE,得到AFEM是等邊三角形，根據(jù)含30。直

角三角形的性質(zhì)以及勾股定理得到KM,NK,KE的值，進(jìn)而得到NE的值，再利用30。直角

三角形的性質(zhì)及勾股定理得到BN.BE即可.

【詳解】

解：如圖，設(shè)NE交AD于點(diǎn)K,

丁四邊形ABCD是矩形，

，AD〃BC,ZABC=90°,

/.ZMFE=ZFCB,ZFME=ZEBC

,:CE=CB=BE,

/.△BCE為等邊三角形，

AZBEC=ZECB=ZEBC=60°,

VZFEM=ZBEC,

:.ZFEM=ZMFE=ZFME=60°,

???△FEM是等邊三角形，F(xiàn)M=FE=EM=2,

VEN1BE,

AZNEM=ZNEB=90°,

AZNKA=ZMKE=30Q,

AKM=2EM=4,NK=2AN=6,

：?在內(nèi)△KME中，KE=>JKM2-EM[2=26，

，NE=NK+KE=6+273>

VZABC=90°,

/.ZABE=30°,

，BN=2NE=12+4技

???BE=JBN2-NE2=6+6>/3>

??.BC=BE=6+65

故答案為：6+65/5

【點(diǎn)睛】

本題考查了矩形，等邊三角形的性質(zhì)，以及含30。直角三角形的性質(zhì)與勾股定理的應(yīng)用,

解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用30。直角三角形的性質(zhì).

【分析】

根據(jù)折疊的性質(zhì)可得出DC=DE、CP=EP,由"AAS"可證ZkOEF絲△OBP,可得出OE=OB、

EF=BP,設(shè)EF=x,則BP=x、DF=5-x>BF=PC=3-x,進(jìn)而可得出AF=2+x,在RSDAF中,利用

勾股定理可求出x的值，即可得AF的長.

【詳解】

解：??,將4CDP沿DP折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，

/.DC=DE=5,CP=EP.

在AOEF和△OBP中，