人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)(下)平行四邊形單元試卷（解析版）

人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)（下）平行四邊形單元試卷

一、單選題（共“題；共21分）

1.如圖，邊長(zhǎng)為6的大正方形中有兩個(gè)小正方形，若兩個(gè)小正方形的面積分別為Si,S2,則S1+S2的值為

（）

A.16B.17

C.18D.19

【答案】B

【解析】

【詳解】如圖

根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)知，AC=J2BC,BC=CE=J2CD,

；.AC=2CD,CD=1=2,

.,.EC2=22+22,即EC=2&;

.??S2的面積為2，）x2企=8；

TS1的邊長(zhǎng)為3,S1的面積為3x3=9,

；.SI+S2=8+9=17.故選B.

2.順次連接矩形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是【】

A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形

【答案】C

【解析】

【詳解】矩形的性質(zhì)，三角形中位線(xiàn)定理，菱形的判定.

【分析】如圖，連接AC.BD,

在△ABD中，：AH=HD,AE=EB,.*.EH=—BD.

2

同理FG」BD,HG=—AC,EF」AC.

222

又?.,在矩形ABCD中，AC=BD,AEH=HG=GF=FE.

，四邊形EFGH為菱形.故選C.

3.如圖，在矩形ABCD中，AD=5,AB=8,點(diǎn)E為射線(xiàn)DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把4ADE沿直線(xiàn)AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)

應(yīng)點(diǎn)F剛好落在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)上時(shí)，則DE的長(zhǎng)為.

A.3或4B.3或10C.*或°D.工或°

22353

【答案】B

【解析】

【詳解】試題解析：①如圖1,當(dāng)點(diǎn)F在矩形內(nèi)部時(shí)，

???四邊形ABC。為矩形，AO=5,AB=8,

AB—CD,

又?.?點(diǎn)F在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN上，

AN=DM=4,

由折疊性質(zhì)得：Ab=AD=5,DE=FE,

在RtC尸中，

NF=ylAF2-AN2=3,

；.FM=5—3=2,

設(shè)DE=EF=x,則M￡=4—?jiǎng)?/p>

在RtDAN/中，

AME2+MF2EF1,BP（4-x）2+22=x2.

5

:.x=—.

2

即DE='.

卦

圖2

?..四邊形ABC。為矩形，AD=5,AB=8,

AB=CD,

又?.?點(diǎn)尸在線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)MN上,

：.AN=DM=4,

由折疊性質(zhì)得：AF=AD=5,DE=FE,

在RtDAN/7中，

,NF=1AF2-AN?=3,

'.FM=5+3=8,

設(shè)DE—EF—y,則ME=y—4,

在RtQEM/中,

?-ME2+MF2=EF2,

即(y-4『+82=y2,

/.y=10.

即DE=10.

故選B.

4.將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF,若AB=3,則菱形AECF的面積為

()

A.1B.272C.2GD.4

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)菱形AECF,得/FCO=/ECO,再利用NECO=/ECB,可通過(guò)折疊的性質(zhì)，結(jié)合直角三角形

勾股定理求得BC的長(zhǎng)，則利用菱形的面積公式即可求解.

【詳解】解：???四邊形AECF是菱形，AB=3,

假設(shè)BE=x,則AE=3-x,CE=3-x,

?.?四邊形AECF是菱形，

AZFCO-ZECO,

VZECO=ZECB,

ZECO=ZECB=ZFCO=30°,

2BE=CE,

/.CE=2x,

2x=3-x,

解得：x=l,

???CE=2,利用勾股定理得出：

BC2+BE2=EC2,

BC=7EC2-JBE2=V22-l2=73，

又：AE=AB-BE=3-1=2,

則菱形的面積是：AEBC=26.

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查折疊問(wèn)題以及勾股定理.解題過(guò)程中應(yīng)注意折疊是一種對(duì)稱(chēng)變換，它屬于軸對(duì)稱(chēng)，根據(jù)

軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，折疊前后圖形的形狀和大小不變，如本題中折疊前后角相等.

5.如圖，在矩形ABCD中，AB=4,AD=6,點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，E為BC邊上一點(diǎn)，且EFLED,連結(jié)DF,M

為DF的中點(diǎn)，連結(jié)MA,ME.若AMLME,則AE的長(zhǎng)為（）

A.5B.275C.2V10D.472

【答案】B

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)BE=x,貝ijEC=6-x,由△EBFS^DCE,得生=絲二列出方程求出X,即可解

，豳海

決問(wèn)題.

設(shè)BE=x,貝|JEC=6-X,VEF±ED,，NFED=90°,AZFEB+ZDEC=90°,

ZDEC+ZEDC=90°,.\ZFEB=ZEDC,VZB=ZC=90°,.".△EBF^ADCE,

——=上，解得x=2或4（舍棄），當(dāng)x=2時(shí)，EF=2畬?zhuān)珼E=4畬,

球一,春4

DF=，蜻存螫產(chǎn)=境廊，/.AM=ME=7W>VAMIME,.,.ZAME=90°,

考點(diǎn)：矩形性質(zhì).

6.如圖，己知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E是邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，BF_LAE交CD于點(diǎn)F,垂足為點(diǎn)G,連接

CG,下列說(shuō)法：①AG>GE；②AE=BF；③點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為支；④CG的最小值6-1.其中正確的

EJ

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：???在正方形ABCD中，BFXAE,

，ZAGB保持90。不變，

AG點(diǎn)的軌跡是以AB中點(diǎn)O為圓心，AO為半徑的圓弧，

.?.當(dāng)E移動(dòng)到與C重合時(shí)，F(xiàn)點(diǎn)和D點(diǎn)重合，此時(shí)G點(diǎn)為AC中點(diǎn),

，AG=GE,故①錯(cuò)誤；

VBF±AE,

.?.ZAEB+ZCBF=90°,

VZAEB+ZBAE=90°,

/BAE=NCBF,

在會(huì)ABE和ABCF中，

ZBAE=ZCBF

{ZABE=ZBCF=90?,

AB=BC

.'.△ABE^ABCF(AAS),

故②正確；

,/當(dāng)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)時(shí)停止，

.?.點(diǎn)G運(yùn)動(dòng)的軌跡為,圓，

4

圓弧的長(zhǎng)兀，故③錯(cuò)誤；

42

由于0C和0G的長(zhǎng)度是一定的，因此當(dāng)0、G、C在同一條直線(xiàn)上時(shí)，CG取最小值,

℃7OB2+BC)=小,

CG的最小值為OC-OG=6-1,故④正確;

綜上所述，正確的結(jié)論有②④.

故選C.

考點(diǎn)：正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，弧長(zhǎng)的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用.

7.在探索“尺規(guī)三等分角”這個(gè)數(shù)學(xué)名題的過(guò)程中，曾利用了如圖，該圖中，四邊形ABC。是矩形，E是BA

延長(zhǎng)線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)是CE上一點(diǎn)，ZACF=ZAFC,ZFAE=ZFEA.若/ACB=21。，則/EC。的度數(shù)是（）

B.21°C.23°D.24°

【答案】C

【解析】

【詳解】試題分析：設(shè)NAEF=x,VZFAE=ZFEA,；.NAFC=2x,VZACF=ZAFC,；.NACF=2x,?四

邊形ABCD是矩形，NB=90°,AZACB+ZACF+ZAEF=90°,21°+x+2x=90°,，x=23°,故選C.

考點(diǎn)：三角形的外角性質(zhì)；直角三角形的性質(zhì).

8.如圖，四邊形A8CD是邊長(zhǎng)為6的正方形，點(diǎn)E在邊A3上，BE=4,過(guò)點(diǎn)￡作EV//6C，分別交

3。,。9于6,尸兩點(diǎn).若M,N分別是。G,CE的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為（）

A.3B.2GV13D.4

【答案】C

【解析】

【分析】連接BRRW,可證明四邊形5CEE是矩形，根據(jù)正方形的性質(zhì)可得/BCD=45。，可知4DFG是

等腰直角三角形，根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)可得4MBF是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊中線(xiàn)

的性質(zhì)，利用勾股定理即可求出MN的長(zhǎng).

【詳解】如圖，連接6尸,￡M,

：ABCD是正方形，EF//BC,

四邊形BCEE是矩形，

：N是CE的中點(diǎn)，BF、CE是矩形BCFE的對(duì)角線(xiàn)，

/.三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上.

???8。是正方形ABCD的對(duì)角線(xiàn)，

/?ZBOC=45°，

ADFG是等腰直角三角形.

又???〃/是AD/G的中線(xiàn)，

也是。G邊上的高，

AM8尸是直角三角形，

?；N為BF的中點(diǎn)，

MN=-BF=-y]BC2+CF2=-x>/62+42=y/13.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊中線(xiàn)的性質(zhì)，等腰

三角形頂角的角平分線(xiàn)、底邊的高和底邊的中線(xiàn)，“三線(xiàn)合一”；直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半；熟練

掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

9.如圖，在AABC中,AB=AC,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，以AC為斜邊作放AAOC,若/C4Z）=/CAB=45。，

則下列結(jié)論不正確的是（）

A.Z￡CD=112.5°B.OE平分Nf￡>CC.ZDEC=30°D.AB=42CD

【答案】C

【解析】

【詳解】試題解析："：AB=AC,NCAB=45。，NB=NACB=67.5。.

?.?RfZkADC中，ZCAD=45°,ZADC=90°,：.ZACD=45°,AD=DC,：.ZECD=ZACB+ZACD=\\2.50,故

A正確，不符合題意；

VE>尸分別是8C、AC的中點(diǎn)，：.FE=—AB,FE//AB,；.NEFC=NBAC=45°,NFEC=NB=67.5°.

2

???尸是AC的中點(diǎn),

ZADC=90°,AD=DC,：.FD=—AC,DF±AC,ZFDC=45°,'：AB=AC,；.FE=FD,：.ZFDE=ZFED=

2

—(180°-ZEFD)=—(180°-135°)=22.5°,：.ZFDE=—ZFDC,：.DE^^ZFDC,故B正確，不

222

符合題意；

,:NFEC=NB=615。,ZFED=22.5°,:.NDEC=NFEC-NFED=45。,故C錯(cuò)誤，符合題意；

?.,RAADC中，ZADC=90°,AD=DC,：.AC=42CD,\'AB=AC,:.AB=^CD,故。正確，不符合題意.

故選C.

10.下列性質(zhì)中菱形不一定具有的性質(zhì)是()

A.對(duì)角線(xiàn)互相平分B.對(duì)角線(xiàn)互相垂直

C.對(duì)角線(xiàn)相等D.既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)

角線(xiàn)互相垂直，并且每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱(chēng)圖形，它有2條對(duì)稱(chēng)軸，分別是兩條對(duì)

角線(xiàn)所在直線(xiàn).

【詳解】解：A、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相平分，此選項(xiàng)正確；

B、菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直，此選項(xiàng)正確；

C、菱形的對(duì)角線(xiàn)不一定相等，此選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、菱形既是軸對(duì)稱(chēng)圖形又是中心對(duì)稱(chēng)圖形，此選項(xiàng)正確；

故選C.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)

11.如圖，已知凸五邊形4BCCE的邊長(zhǎng)均相等，且AC=1,則8。必定滿(mǎn)足()

A.BD<2B.BD=2

C.BD>2D.以上情況均有可能

【答案】A

【解析】

【詳解】試題分析：VAE=AB,；.NABE=NAEB,同理NCBD=NCDB

VZABC=2ZDBE,AZABE+ZCBD=ZDBE,VZABE=ZAEB,ZCBD=ZCDB,

/.ZAEB+ZCDB=ZDBE,AZAED+ZCDE=180°,；.AE〃CD,；AE=CD,.?.四邊形AEDC為平行四邊

形，...DE=AC=AB=BC,.二△ABC是等邊三角形，，BC=CD=1,在ABCD中，；BD<BC+CD,；.BD<2.故

選A.

考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì).

二、綜合題(共12題；共134分)

12.如圖，在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD,/BAD=/B=NC=ND=90°,點(diǎn)E、F分別在正方形ABCD的邊

DC、BC±,AG_LEF且AG=AB,垂足為G,則：

(1)△ABF與△AGF全等嗎？說(shuō)明理由；

(2)求NEAF的度數(shù);

(3)若AG=4,4AEF的面積是6,求4CEF的面積.

【答案】(1)見(jiàn)解析;(2)45°；(3)4

【解析】

【詳解】試題分析：(1)根據(jù)HL可得出口A3F也DAGF.

(2)只要證明N84b=NG4RNGAEn/DAE；所以可求NE4b=45°.

(3)設(shè)FC=x,EC=y,則3尸=4-y,DE=4-y,構(gòu)建方程組，求出孫即可解決問(wèn)題.

試題解析：(1)ZVIB尸與aAGF全等，理由如下：

在RtCABF和RtAAGP中，

AB=AG

<AF=AF.

AQABFUAGF.

(2)'：UABF^DAGF.

：.ZBAF=ZGAF,

同理易得：Q4GE也OADE.有NGAE=NDAE,

即ZEAF=ZEAD+ZFAG=-ZBAD=45°.

2

(3),/SAAc-FrF=2—EF-AGfAG=4,

:.6=1EF.AG,

2

:.EF=3,

,:BF=FG,EG=DE,AG=AB=BC=CD=4,

設(shè)/C=x,EC~y,則DE=4-y,

?:BF+DE=FG+EG=EF=3,

;.4-x+4—y=3,

x+y=5①

在Rt/XEFC中，EF2=EC2+FC2,

x2+y2=320

①2-②得到，2肛=16,

SCEF=-xy=4.

13.如圖，在RtA46c中，AB^AC,ZBAC=90°＞。為3C的中點(diǎn).

(1)寫(xiě)出。點(diǎn)到AABC的三個(gè)頂點(diǎn)AB,C的距離關(guān)系.

(2)如果點(diǎn)M,N分別在線(xiàn)段AB,AC上移動(dòng)，移動(dòng)中保持=請(qǐng)寫(xiě)出△QWN的形狀，并證

明你的結(jié)論.

【答案】(1)OA=OB=OC，(2)AOMN是等腰直角三角形，見(jiàn)解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可解題，

(2)證明AAON絲ABOM(SAS)即可解題.

【詳解】解：(1)VAB=AC，N8AC=90°，

/.ABAC是等腰直角三角形

OA-OB—OC-

(2)AOMN是等腰直角三角形.

證明：?；AC=AB,OC=OB,

：.AOLBC,即4。8=90°，ZCAO=ZBAO.

又?:NBAC=90°，

ZC4O=-ZBAC=45\

2

VAC=AB,ZR4C=90°，

NB=45°，

ZCAO=ZB.

又,：AN=BM,OA=OB,

.".△AON^ABOM(SAS),

：.OM=ON,ZNOA^ZMOB,

：.ZNOA+ZAOM=ZMOB+ZAOM.

/.ZNOM=ZAOB=90°.由ON=OM,ZNOM=90°可知bOMN是等腰直角三角形.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)，屬于簡(jiǎn)單題,熟悉三角全等的判定方法是

解題關(guān)鍵.

14.正方形ABC。中，E是邊上一點(diǎn)，

（1）將口/E繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使A。、A3重合，得到口/歸尸，如圖1所示.觀察可知：與DE

相等的線(xiàn)段是，ZAFB=N______.

（2）如圖2,正方形ABC。中，P、Q分別是8C、CD邊上的點(diǎn)，且NQ4Q=45。，試通過(guò)旋轉(zhuǎn)的方式

說(shuō)明：DQ+BP=PQ

（3）在（2）題中，連接分別交AP、AQ于M、N,你還能用旋轉(zhuǎn)的思想說(shuō)明創(chuàng)〃+。可2=削2.

【答案】（1）BF,AED；（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

【詳解】試題分析：（1）、直接根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到DE=BF,ZAFB=ZAED；（2）、將△ADQ繞點(diǎn)A按順時(shí)

針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°,則AD與AB重合，得到△ABE,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NEAQ=NBAD=90。，AE=AQ,BE=DQ,

而/PAQ=45。，則NPAE=45°,再根據(jù)全等三角形的判定方法得到△APE也aADQ,則PE=PQ,于是

PE=PB+BE=PB+DQ,即可得至ljDQ+BP=PQ；

（3）、根據(jù)正方形的性質(zhì)有/ABD=/ADB=45。，將△ADN繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，則AD與AB重

合，得到AABK,根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得NABK=NADN=45。，BK=DN,AK=AN,與（2）一樣可證明

△AMN絲aAMK得到MN=MK,由于NMBA+NKBA=45o+45o=90。，得到△BMK為直角三角形，根據(jù)勾

股定理得BK2+BM2=MK2,然后利用等相等代換即可得到BM2+DN2=MN2.

試題解析：（1）、??,△ADE繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使AD、AB重合，得到△ABF,

：DE=BF,ZAFB=ZAED.

（2）、將△ADQ繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，則AD與AB重合，得到△ABE,如圖2,

則/D=NABE=90。，即點(diǎn)E、B、P共線(xiàn)，ZEAQ=ZBAD=90°,AE=AQ,BE=DQ,；NPAQ=45。，

ZPAE=45°；.NPAQ=/PAE,/.△APE^AAPQ（SAS）,，PE=PQ,

而PE=PB+BE=PB+DQ,；.DQ+BP=PQ；

（3）、：四邊形ABCD為正方形，.,.ZABD=ZADB=45°,

如圖，將△ADN繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。，則AD與AB重合，得到△ABK,

則/ABK=/ADN=45°,BK=DN,AK=AN,與（2）一樣可證明△AMNgAAMK,得到MN=MK,

VZMBA+ZKBA=45o+45°=90°,，△BMK為直角三角形，BK2+BM2=MK2,ABM2+DN2=MN2.

考點(diǎn)：（1）、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；（2）、全等三角形的判定與性質(zhì)；（3）、勾股定理；（4）、正方形的性質(zhì).

15.如圖，在長(zhǎng)方形A3CO中，AB=CD=6an，BC=10cm,點(diǎn)、P從點(diǎn)、B出發(fā),以2?！?秒的速度沿

向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為/秒：

（1）PC=_cm.（用f的代數(shù)式表示）

（2）當(dāng)f為何值時(shí)，DABP力。CP?

（3）當(dāng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，以v。加/秒的速度沿向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P到

達(dá)C點(diǎn)或點(diǎn)Q到達(dá)D點(diǎn)時(shí)，P、Q運(yùn)動(dòng)停止，是否存在這樣v的值，使得AABP與△PQC全等？若存在,

請(qǐng)求出v的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】（1）PC=10-2f；（2）t=2.5,理由見(jiàn)解析；（3）存在，v=2.4或者v=2.

【解析】

【分析】⑴根據(jù)S=vt計(jì)算線(xiàn)段BP=2t,利用BP+PC=BC求PC即可；

（2）根據(jù)三角形全等，得BP=PC=5,所以t=2秒；

2

（3）分BP=CQ和BA=CQ兩種情形討論求解.

【詳解】（1）點(diǎn)尸從點(diǎn)8出發(fā)，以2cm/秒的速度沿向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，秒，

二BP=2t,

PC=10—2r.

(2)當(dāng)，=2.5時(shí)，口他2注小尸.

理由：?.?當(dāng)r=2.5時(shí)，BP=2.5x2=5

PC=10-5=5

???在/XABP和口。。尸中

AB=DC

<NB=NC=90°

BP=CP

.-.QABP^DCP(SASy

(3)①當(dāng)BP=CQ時(shí)，AB=PC時(shí)，UABPRDCP；

?/AB=6,

■-PC=6,

BP=10—6=4,

"1?2r=4,

解得r=2,

CQ=BP=4,

所以2y=4,

v—2；

②當(dāng)BA=CQ,PB=PC時(shí),□ABPRDCP；

???PB=PC,

：.PB=PC=-BC=5,

2

2/=5,

解得r=2.5,

CQ=BA=6,

解得v=2.4；

綜上所述，當(dāng)u=2.4或者v=2時(shí)ZxABP與口QCP.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練掌握三角形全等，靈活運(yùn)用分類(lèi)思想是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，已知tanZE0F=2,點(diǎn)C在射線(xiàn)OF上，0C=12.點(diǎn)M是NEOF內(nèi)一點(diǎn)，MCLOF于點(diǎn)C,MC=4.在

射線(xiàn)CF上取一點(diǎn)A,連結(jié)AM并延長(zhǎng)交射線(xiàn)0E于點(diǎn)B,作BDJ_OF于點(diǎn)D.

(1)當(dāng)AC的長(zhǎng)度為多少時(shí)，AAMC和ABOD相似；

(2)當(dāng)點(diǎn)M恰好是線(xiàn)段AB中點(diǎn)時(shí)，試判斷AAOB的形狀，并說(shuō)明理由;

(3)連結(jié)BC.當(dāng)SA.=S△恥時(shí)，求AC的長(zhǎng).

【答案】(1)2或8；(2)直角三角形，理由見(jiàn)解析；(3)18；

【解析】

【詳解】試題分析：(1)由于NMCA=NBDO=RtN,所以4AMC和ABOD相似時(shí)分兩種情況：

?△AMC^ABOD；②△AMCSAOBD.則兩種情況都可以根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等及tanZEOF=2

列出關(guān)于AC的方程，解方程即可求出AC的長(zhǎng)度；

(2)先由MC〃BD,得出AAMCS^ABD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)求出

BD=2MC=8,OD=4,CD=8,AC=CD=8,再利用SAS證明△AMC絲△BOD,得到NCAM=NDBO,根據(jù)

平行線(xiàn)的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出/ABO=90。，進(jìn)而得出4ABO為直角三角形；

(3)設(shè)OD=a,根據(jù)tan/EOF=2得出BD=2a,由三角形的面積公式求出SAAMC=2AC,SABoc-12a,根據(jù)

SAAMC=SABOC,得到AC=6a.由△AMCsaABD,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比相等列出關(guān)于a的方程，解

方程求出a的值，進(jìn)而得出AC的長(zhǎng).

解：⑴VZMCA=ZBDO=RtZ,

AAMC和4BOD中，C與D是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，

/.AAMC和小BOD相似時(shí)分兩種情況：

①當(dāng)△AMCs/XBOD時(shí)，—^S=tanZEOF=2,

MCDO

VMC=4,

.AC)

..—=2,

4

解得AC=8；

②當(dāng)△AMC^AOBD時(shí),些懸…F=2,

VMC=4,

解得AC=2.

故當(dāng)AC的長(zhǎng)度為2或8時(shí)，AAMC和^BOD相似;

(2)AABO為直角三角形.理由如下：

：MC〃BD,

/.△AMC^AABD,

.MC_AW_AC

,BD^AB^AD,ZAMC=ZABD,

：M為AB中點(diǎn),

；.C為AD中點(diǎn),BD=2MC=8.

VtanZEOF=2,

.*.OD=4,

.\CD=OC-OD=8,

；.AC=CD=8.

在公AMC與4BOD中，

'AC=BD=8

-ZACM=ZBD0=90°，

CM=DO=4

??.△AMC^ABOD(SAS),

...NCAM=NDBO,

.?.ZABO=ZABD+ZDBO=ZAMC+ZCAM=90°,

...△ABO為直角三角形；

(3)連結(jié)BC,設(shè)OD=a,則BD=2a.

"?"SAAMC=SABOC,SAAMC="^ACMC=2AC,SABOC=^OCBD=12a,

.,.2AC=12a,

/.AC=6a.

?/△AMC^AABD,

.MCACHn4_6a

??二，[AJ-f

BDAD2a6a+12-a

解得ai=3,a2=-4(舍去)，

3

，AC=6x3=18.

考點(diǎn)：相似三角形的判定與性質(zhì).

17.如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)P、Q分別是邊AB、BC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A、B、C不重

合）且始終保持BP=BQ,AQXQE,QE交正方形外角平分線(xiàn)CE于點(diǎn)E,AE交CD于點(diǎn)F,連結(jié)PQ.

BQC

（1）求證：AAPQ絲ZXQCE.

（2）求NQAE的度數(shù).

（3）設(shè)BQ=x,當(dāng)x為何值時(shí)，QF〃CE,并求出此時(shí)AAQF的面積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）ZQAE=45°；（3）x=2血-2時(shí)，QF//CE,SAAQF=4&-4.

【解析】

【分析】（1）判斷出4PBQ是等腰直角三角形，然后求出/APQ=/QCE=135。，再根據(jù)同角的余角相等求

出/PAQ=/CQE,再求出AP=CQ,然后利用ASA證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得AQ=EQ,

可證明4AQE是等腰直角三角形，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得答案；（3）根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)可得

ZCQF=45°,可求出CQ=CF,把a(bǔ)ABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADG,求出NGAF=45。，從而得到

ZGAF=ZQAF,再利用SAS證明△AQF絲ZiAGF,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得QF=GF,分別用x表

示出CQ、CF、QF,利用勾股定理列出方程求出x即可，利用三角形面積公式求出4AGF的面積即可得4AQF

的面積.

【詳解】(1)在正方形ABCD中,ZB=90°,AB=BC,

VBP=BQ,

???△PBQ是等腰直角三角形，

AAB-BP=BC-BQ,即AP二CQ,ZBPQ=45°,

???CE為正方形外角的平分線(xiàn)，

.\ZAPQ=ZQCE=135°,

VAQ1QE,

AZCQE+ZAQB=90°,

VZPAQ+ZAQB=90°,

AZPAQ=ZCQE,

ZPAQ=ZCQE

在aAPQ和aQUE中，｛AP=CQ,

ZAPQ=ZQCE

.,.△APQ^AQCE(ASA).

(2)VAAPQ^AQCE,

AAQ=QE,

VAQ±QE,

???AAQE是等腰直角三角形，

.??ZQAE=45°.

(3)???QF〃CE,

???ZCQF=ZECH=45°,

???ACQF是等腰直角三角形，

ACQ=CF=2-x,

ABQ=DF,

如圖，把AABQ繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到AADG,

ABQ=DG,AQ=AG,ZBAD=ZDAG,ZADG=ZB=90°,

???點(diǎn)F、D、G在一條直線(xiàn)上，

*.?ZQAF=45°,

.??NBAQ+NFAD=45。,

ZDAG+ZFAD=45°,即ZFAG=45°,

ZQAF=ZFAG,

AQ=AG

在△AQF和aAGF中，＜ZQAG=ZFAG,

AF=AF

.,.△AQF^AAGF,

；.QF=GF

VBQ=DF,BQ=DG,

；.QF=GF=2BQ=2x,

，在RtZ\CQF中，QF=2CQ2,即(2xp=2(2-x)2,

解得：x=2&-2或x=—2夜-2(舍去)，

,當(dāng)x=2及一2時(shí)，QF//CE.

SAAQF=SAAGF=；GF-AD=yx2x(272-2)x2=4&-4.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性

質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正確作出作輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形并利用勾股定理列出方程是解題關(guān)鍵.

18.已知，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6,菱形EFGH的三個(gè)頂點(diǎn)E、G、H分別在正方形ABCD邊AB、CD、DA±,

AH=2.

(1)如圖1,當(dāng)DG=2,且點(diǎn)F在邊BC上時(shí).

求證:①AAHE^ADGH；

②菱形EFGH是正方形;

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)F在正方形ABCD的外部時(shí)，連接CF.

H\

B

圖2

①探究：點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離是否發(fā)生變化？并說(shuō)明理由；

②設(shè)DG=x,aFCG的面積為S,是否存在x的值，使得S=l,若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理

由.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①2②不存在

【解析】

【詳解】

試題解析：（1）①由正方形的性質(zhì)得/A=/Z>90。，由菱形的性質(zhì)得￡74，G,又AH=DG=2,故可證AA”

EqADGH；②由①可得NG”E=90。，故菱形EFG”是正方形.

（2）①作FM_L￡>C于M,連結(jié)GE.

通過(guò)證明絲/XA/FG得FM=H4=2,即無(wú)論菱形EFGH如何變化，點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離始終為定值2.

②在R34HE中，4芯=歷>6,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊48上.故不可能有S=l.

試題解析：（1）①在正方形ABC￡>中，/A=ND=90。，

在菱形EFGH中，EH=HG,

又：AH=DG=2,

：."HE會(huì)ADGH

②由（1）知

NAHE=NDGH.

?：NDGH+NDHG=90。,

：.NDHG+NAHE=90。,

ZGHE=90°,

：.菱形EFGH是正方形.

(2)①點(diǎn)F到直線(xiàn)CO的距離沒(méi)有發(fā)生變化，理由如下:

作于M,連結(jié)GE如圖，

AB//CD,：.ZAEG=ZMGE,

??,HE//GF,：.ZHEG=ZFGE,

：.ZAEH=ZMGF.

在和AMFG中，ZA=ZM=90°,HE=FG,

：.〉A(chǔ)HE"4MFG.

：.FM=HA=2,即無(wú)論菱形EFG”如何變化，點(diǎn)F到直線(xiàn)CD的距離始終為定值2.

②不存在.

???DG=x,???GC=6-x.

1,,

S=SAFCG=—x2x(6-x)=6-x.

2

若S二S,CG=1,?,?由S"CG=6-X,得X=5.

此時(shí)，在RSDGH中，HG=,必+出="2+52=a.

相應(yīng)地，在RlAAHE中，A￡=V37>6,即點(diǎn)E已經(jīng)不在邊AB上.

故不可能有S=l.

19.在圖1--圖4中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為3,/A=60。，點(diǎn)M是AD邊上一點(diǎn)，且DM《AD,點(diǎn)N是

折線(xiàn)AB-BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).

(1)如圖1,當(dāng)N在BC邊上，且MN過(guò)對(duì)角線(xiàn)AC與BD的交點(diǎn)時(shí)，則線(xiàn)段AN的長(zhǎng)度為

(2)當(dāng)點(diǎn)N在AB邊上時(shí)，將AAMN沿MN翻折得到AAWN,如圖2,

①若點(diǎn)A，落在AB邊上，則線(xiàn)段AN的長(zhǎng)度為；

②當(dāng)點(diǎn)A，落在對(duì)角線(xiàn)AC上時(shí)，如圖3,求證：四邊形AMA小是菱形；

A〃

③當(dāng)點(diǎn)A，落在對(duì)角線(xiàn)BD上時(shí)，如圖4,求”的值.

AN

【答案】（1）V13：（2）①1；②證明見(jiàn)解析；（3）y

【解析】

【詳解】試題分析：（1）過(guò)點(diǎn)N作NGLA8于G,構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理解決問(wèn)題；

（2）①利用線(xiàn)段中垂線(xiàn)的性質(zhì)得到AN=AN,再由三角函數(shù)求得；

②利用菱形的性質(zhì)得到對(duì)角線(xiàn)平分每一組對(duì)角，得到NZMC=NC45=30。，根據(jù)翻折的性質(zhì)得到

AC人MNAM=A'M,AN=A'N,ZAMN=ZANM=60°,AM=AN,AM=A'M^AN^A'N,四邊形AM4W是菱

形；

③根據(jù)菱形的性質(zhì)得到AB^AD,ZADB=ZABD=60°,求得證得

A'M=AM^,4NAM=N4⑥得到用三角形相似得到結(jié)果.

試題解析：（1）如圖1,過(guò)點(diǎn)N作NGL48于G,

：.AD//BC,OD=OB,

DMOD,

-----=——=1,

BNOB

BN=DM=1AD=1,

3

NDAB=60°,

，ZNBG=60°.

/.BG=-,GN

22

AAN=y]AG2+GN2=Jf->l+H]=屈.

丫（2）I2j

故答案為而.

⑵①當(dāng)點(diǎn)4'落在A8邊上，則M/V為AH的中垂線(xiàn),

;NZM8=60°,AM=2,

A7V」AM=1,

2

故答案為1；

②在菱形ABCQ中，AC平分ND4B,

???ZDAB=60°,

二ZDAC=ZCAB=30°,

叢AMN沿MN翻折得到△ANN,

：.ACLMNAM=A'M,AN=A'N,

???ZAMN=ZANM=60°,

：.AM=AN,

：.AM=A'M=AN=A'N,

四邊形AMAW是菱形；

③在菱形ABC。中，AB=AD,

ZADB=AABD=6^,

：.ZBA'M=ZDMA'+ZADB,

：.A'M=AM=2,/NKM=NA=60°,

ZNA'B=ZDMA',

.DMA'B

"A'M"AW,

?：MD=-AD=1,A'M=2,

3

.A，B-1

,?而-3

點(diǎn)睛：四條邊相等的四邊形是菱形.

20.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,D為邊BC上一點(diǎn)，以AB,BD為鄰邊作平行四邊形ABDE,連

接AD,EC.

(1)求證：△ADC^AECD；

(2)當(dāng)點(diǎn)D在什么位置時(shí)，四邊形ADCE是矩形，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(2)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形.

【解析】

【分析】(1)利用等邊對(duì)等角以及平行四邊形的性質(zhì)可以證得/EDC=NACB,則易證△ADC絲4ECD,利

用全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；

(2)根據(jù)平行四邊形性質(zhì)推出AE=BD=CD,AE〃CD,得出平行四邊形，根據(jù)AC=DE推出即可.

【詳解】解：(1)證明：VAB=AC,/.ZB=ZACB,又「oABDE中，AB=DE,AB〃DE,

/B=/EDC=ZACB,AC=DE,

AC=DE

在4ADC和4ECD中，｛NEDC=NACB,

DC=CD

.".△ADC^AECD(SAS).

(2)點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形，?.?四邊形ABDE是平行四邊形，

；.AE=BD,AE〃BC,為邊長(zhǎng)中點(diǎn)，；.BD=CD,，AE=CD,AE〃CD,

四邊形ADCE是平行四邊形，VAADC^AECD,；.AC=DE,

，四邊形ADCE是矩形，即點(diǎn)D在BC的中點(diǎn)上時(shí)，四邊形ADCE是矩形.

考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的判定的應(yīng)用.

21.如圖，菱形A8CD的對(duì)角線(xiàn)AC、8。相交于點(diǎn)0,過(guò)點(diǎn)。作。E//AC且。E=連接CE、

2

0E,連接AE交。。于點(diǎn)F.

(1)求證：0E=CD；

(2)若菱形ABC。的邊長(zhǎng)為2,NA3C=60°.求AE的長(zhǎng).

【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)J7

【解

【詳解】試題分析：(1)先求出四邊形OCEO是平行四邊形，再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直求出NCOO=90°,

證明OCED是矩形，可得0E=8即可；

(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC=A8,再根據(jù)勾股定理得出AE的長(zhǎng)度即可.

(1)證明：在菱形ABC。中，OC=g/lC.

：.DE=OC.

\'DE//AC,

四邊形OCE。是平行四邊形.

'：ACA.BD,

平行四邊形OCEO是矩形.

/.OE=CD.

(2)在菱形ABC。中，ZABC=60°,

；.AC=AB=2.

.??在矩形。CEO中，

CE=OD=^AD2-AO2=>/3.

在RSACE中，

AE=JAC2-CE2=此

點(diǎn)睛：本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題，熟記矩形的判定方法與

菱形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

22.如圖，在等腰直角三角形ABC中，ZM￡B=B<T?4==D是AB的中點(diǎn)，E,F分別是AC,BC.

上的點(diǎn)(點(diǎn)E不與端點(diǎn)A,C重合)，且AE=CF連接EF并取EF的中點(diǎn)O,連接DO并延長(zhǎng)至點(diǎn)G,使

GO=OD,連接DE,DF,GE,GF

GjC

B

(1)求證:四邊形EDFG是正方形；

(2)直接寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)E在什么位置時(shí)，四邊形EDFG的面積最小?最小值是多少？

【答案】(1)詳見(jiàn)解析；(2)當(dāng)點(diǎn)E為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4

【解析】

【分析】(1)連接CD,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出NA=NDCF=45。、AD=CD,結(jié)合AE=CF可證出

△ADE^ACDF(SAS),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得出DE=DF、ADE=/CDF,通過(guò)角的計(jì)算可得出

NEDF=90。，再根據(jù)O為EF的中點(diǎn)、GO=OD,即可得出GD_LEF,且GD=2OD=EF,由此即可證出四邊形

EDFG是正方形；

(2)過(guò)點(diǎn)D作DE，J_AC于以，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出DE，的長(zhǎng)度，從而得出2WDEV2加,再

根據(jù)正方形的面積公式即可得出四邊形EDFG的面積的最小值.

【詳解】⑴證明:連接CD,如圖1所示.

?；AA3C為等腰直角三角形，ZACB=90.

D是AB的中點(diǎn)，

ZA=ZDCF=45°,AD=CD

在MDE和ACDF中AE=CF?NA=ZDCF-AD=CD,

AADE=ACDF(SAS),

DE=DF,ZADE=ZCDF,

NADE+NEDC=90°，

???ZEDC+ZCDF=ZEDF=90°.

.??△EDF為等腰直角三角形.

?；O為EF的中點(diǎn)，GO=OD,

AGD1EF,且GD=2OD=EF,

四邊形EDFG是正方形；

（2）解:過(guò)點(diǎn)D作DE_LAC于E’,如圖2所示.

圖2

：AA3C為等腰直角三角形，NACB=90°,AC=BC=4,

???DE'=2,AB=40,點(diǎn)E，為AC的中點(diǎn),

2<DE<2V2（點(diǎn)E與點(diǎn)E，重合時(shí)取等號(hào)）.

4<S四邊形BDFG=DE<8

...當(dāng)點(diǎn)E為線(xiàn)段AC的中點(diǎn)時(shí)，四邊形EDFG的面積最小，該最小值為4

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形以及全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是:

（1）找出GD1.EF且GD=EF；（2）根據(jù)正方形的面積公式找出4/S四娜EDFG<8.

23.如圖1,在中，ZA=90°,AB=AC,點(diǎn)。，E分別在邊AB,AC上，AD=AE,連接。C,點(diǎn)

M,P,N分別為DE,DC,BC的中點(diǎn).

（1）觀察猜想：圖1中，線(xiàn)段PM與PN的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

（2）探究證明：把△AOE繞點(diǎn)4逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到圖2的位置，連接MN,BD,CE,判斷的形狀,

并說(shuō)明理由；

（3）拓展延伸：把△AQE繞點(diǎn)A在平面內(nèi)自由旋轉(zhuǎn)，若AD=4,AB=10,請(qǐng)直接寫(xiě)出△PMN面積的最大

值.

49

【答案】（1）PM=PN,PMLPN；（2）△2〃代是等腰直角三角形.理由見(jiàn)解析；（3）SAPMN2.

2

【解析】

【分析】（1）由已知易得3O=CE,利用三角形的中位線(xiàn)得出PM=」CE,PN=LBD,即可得出數(shù)

22

量關(guān)系，再利用三角形的中位線(xiàn)得出PM//CE得出NDPM=N0CA，最后用互余即可得出位置關(guān)系；

（2）先判斷出AABOMMCE,得出BD=CE，同（1）的方法得出PM=LB。，PN=-BD,即可

22

得出尸M=PN,同（1）的方法由NMPN=NDCE+NDC3+ND3C=NACB+NA3C,即可得出結(jié)論；

（3）方法1：先判斷出MN最大時(shí)，APMN的面積最大，進(jìn)而求出AN,AM，即可得出MN最大

^AM+AN,最后用面積公式即可得出結(jié)論.方法2：先判斷出BO最大時(shí)，APMN的面積最大，而B(niǎo)D

最大是AB+AP=14，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：（1）???點(diǎn)P，N是BC,CO的中點(diǎn)，

:.PNHBD,PN=>BD,

2

???點(diǎn)P，M是CO，OE的中點(diǎn)，

:.PM//CE,PM=-CE,

2

-.AB=AC,AD^AE，

BD=CE,

PM=PN,

\-PNHBD,

:.ADPN=ZADC,

-,-PM//CE,

：.ADPM=NDCA,

?.?NBAC=90。，

:.ZADC+ZACD^90°,

：.AMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCA+ZADC=90°,

PMVPN,

故答案為：PM=PN,PM1PN；

（2）APMN是等腰直角三角形.

由旋轉(zhuǎn)知，ZBAD=ZCAE,

-.AB=AC,AD^AE，

AABD=MCE（SAS）,

.-.ZABD^ZACE,BD=CE,

利用三角形的中位線(xiàn)得，PN=-BD,PM=-CE,

22

：.PM=PN,

”MN是等腰三角形，

同（1）的方法得，PMHCE,

：.ZDPM=ZDCE,

同(1)的方法得，PNHBD,

：.4PNC=4DBC,

4DPN=NDCB+NPNC=/DCB+NDBC，

ZMPN=ZDPM+4DPN=ZDCE+ZDCB+NDBC

=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC

=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,

-.-ZBAC=90°,

:.ZACB+ZABC=90°,

.?.ZMPN=90°,

"MN是等腰直角三角形；

（3）方法1：如圖2,同（2）的方法得，APMN是等腰直角三角形,

.'MN最大時(shí)，APMV的面積最大，

DEI/BC昱￡>￡在頂點(diǎn)A上面，

MN最大=AM+AN,