人教版數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)第12章第1-3節(jié)基礎(chǔ)測(cè)試題含答案 (一)

12.1全等三角形

一、選擇題（共16小題：共80分）

1.如圖，已知△ASC的六個(gè)元素，則下列甲、乙、丙三個(gè)三角彩中一定和△ABC全

等的圖彩是（）

A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丙D.乙

2.如圖，點(diǎn)E,尸在線段BC上，AABF與'DCE全等，點(diǎn)A與點(diǎn)。，點(diǎn)B與

點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)M,則NDEC=（）

A.ZBB,N4C.￡EMFD.乙4FB

3.如圖，在方格紙中，以AB為一邊作AABP,使之與△/1BC全等，從%,P2f

尸3,24四個(gè)點(diǎn)中找出符合條件的點(diǎn)P,則點(diǎn)P有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

4,如圖，△力。。2△BOZ），點(diǎn)才與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

C.AO=B0D.N4=N3

5.如圖，在AABC中，4DJ.3C于D,BEJ.AC于E,AD,BE交于H,且

HD=DC,那么下列結(jié)論中正確的是（）

B.HE=EC

C.LAHELBHDD.MADC*XBDH

6.下列語(yǔ)句：①面積相等的兩個(gè)三角形全等：②兩個(gè)等邊三角形一定是全等圖彬；③如

果兩個(gè)三角形全等，它們的陽(yáng)狀和大小一定都相同；④邊教相同的圖冊(cè)一定能互相重

合.其中錯(cuò)誤的說(shuō)法有（）

A.4個(gè)B.3個(gè)C,2個(gè)D,1個(gè)

7.如圖所示，在四邊形ABCD中，AB=CD,AD=BC,且4C與BD互相平

分，則全等的三角形共有（）

A.1組B.2組C.3組D,4組

8.如圖所示，已知MCE*XDBF,下列結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)是（）

①AC=DB；②48=0C；③〃=N2；@AE||DF：⑤SRACE=S^DFB；

⑥6c=4￡；⑦B1'||EC.

A.4個(gè)B.5個(gè)C.6個(gè)D.7個(gè)

9.已知如圖，AD||BC,AB1BC9CDIDE,CD=ED,40=2,BC=3,則

△ADE的面枳為（）

A.1B.2C.5D.無(wú)法確定

10.下列說(shuō)法正確的是（）

A.全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形

B.全等三角形的周長(zhǎng)和面枳分別相等

C.全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形

D.所有的等邊三角彬都是仝等三角秘

11.下列判斷中錯(cuò)誤的是（）

A.有兩角和一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

B.有兩邊和一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

C.有兩邊和其中一邊上的中線對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等

D.有一邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)等邊三角形全等

12.如圖，△ABEMACD,24=60°,N5=25°,則ZDOE的度數(shù)為（）

D

0

BC

A.85°B.95°C.110°D.120°

13.如圖，要使4AB八AABD,下面給出的四組條件中，錯(cuò)誤的一組是（）

A.BC=5D.ZI=Z2B.ZC=ZD.Z1=Z2

C.Z1=Z2,Z3=Z4D.BC=BD,AC=AD

14.如圖，△<OC2△800，點(diǎn)A與點(diǎn)B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

)

A.AB=CDB.AC=BDC.AO=BOD.=NB

15.如圖，已知中，Z45C=45°,F是高AD和BE的交點(diǎn)，0=4,

則線段DF的長(zhǎng)度為（

A.141B.40.D.472

16.如圖，點(diǎn)D,E分別在線段AB,AC上，CD與BE相交于。點(diǎn)，已知

AB=ACf現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE^AACD（）

D

A.￡BB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD

二、填空題（共5小題；共25分）

17.通過(guò)的兩個(gè)三角形叫全等三角形.

18.如圖，在△48。和^DEF中，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，B尸三CE,

AC\\DF,請(qǐng)?zhí)砑右粋€(gè)條件使匕ABCWXDEF,這個(gè)添加的條件可以

是.（只常寫一個(gè)，不添加輔助線）

19.如圖所示，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)AfE重合），在AE同側(cè)分別作

正△/1BC和正&CDE,AD與BE交于點(diǎn)0,AD與BC交于點(diǎn)P,BE與

CD交于點(diǎn)Q,連接PQ下列結(jié)論恒成立的是.

①AD=BE

②PQ\\AE

③4P=6。

④DE=DP

⑤^AOB=60。

20.如圖，bABC*bDEF,請(qǐng)根據(jù)圖中提供的信息，寫出x=

21.如圖，若AABExAACD，且Z/1=65°,ZC=20°,則

Z.AEB=o.

三、解答題（共3小題；共45分）

22.如圖，AB=AC,AD=AE,/.BAD=ACAE,求證：BE=CD.

A

23.如圖1,在四邊形ABCD中，AB=AD,ABAD=120°,ZB=Z?1DC=90°,

E、F分別是BC,CD上的點(diǎn)，且NE4尸=60°,探究國(guó)中線段BE,",FD

之間的數(shù)量關(guān)系.

小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是延長(zhǎng)尸。到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AGr先證明

LABE^LADG,再證明4AE八AAGF,可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)

是；

探索延伸：

如圖2,若在四邊形/I。。。中，＜3=彳0,N3+180。，七，尸分別是8(7,

CD上的點(diǎn)，且,上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由.

BE

圖2

24.如圖，已知&ABCW&DEF,ZB的對(duì)應(yīng)角為",4的對(duì)應(yīng)角為,若

BE=7,CE=3t求。尸的長(zhǎng).

答案

第一部分

1.C

2.D【解析】本題屬于基礎(chǔ)題，主要考察三角形全等的性質(zhì)，根據(jù)全等對(duì)應(yīng)角相等，得

到N0￡C=N4F8.

3.C

4.A【解析】?.△力。△BOD,

=,A0=BO,AC=BD,

B,C,D均正確，而AB,CD不是對(duì)應(yīng)邊，且力。,

..AB/CD.

5.D

6.B【解析】面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等：

兩個(gè)等邊三角形邊長(zhǎng)相等時(shí)全等；

全等三角形的形狀和大小相同；

邊數(shù)相同的圖形不一定能互相重合.

7.D

8.C【解析】.MCE=&DBF,AC=DB,AFBD=AECA,ZA=ZD,

S^ACD=S〉DBF,

...AC-BC=DB-BC,AB=CD,

乙FBD=/.ECB,

/.N1=N2,CE||FB.

義LA=ZD

...AE\\FD,

故①②③④⑤⑦正確.

（提示：本題綜合運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)及平行線、平角的性質(zhì)）

9.A【解析】過(guò)D作BC的垂線交叱于G,過(guò)E作AD的垂線交AD的延長(zhǎng)

線于F,

?./.EDF+/.FDC=90°,NGDC+N尸DC=90°

:，乙EDF二乙GDC,

于是在RtAEDF和RtACDG已，

/F=乙DGC.

</.EDF=/.GDC,

DE=DC,

：、XDEFwkDCG,

，EF=CG=BC-BG=BC=AD=3-2=T

/.S^ADE=(ADxEF);2=(2乂1)=2=1

10.B

11.B

12.C【解析】=60。，ZB=25°,

:.AAEB=180°-60°-25°=95°.

\^ABELACD,

:.Z.ADC=Z.AEB=95°,

/,乙DOE=360°-60°-95°-95°=110°.

13.A

14.A【解析】△4。。言△BOD,

=,AO=BO,AC=BD,

B,C,D均正確，

而AB,CD不是對(duì)應(yīng)邊，且CO#AO,

.\AB/CD.

15.B

【解析】,BELACf

:.AADB=AAEB=/.ADC=90°,

..ZEAF+ZAFE=90°,ZFBD+ZBFD=90°

：LAFE=Z.BFD,

"EAF=ZFBD,

■：￡ADB=90°,￡ABC=45°,

"BAD=450=Z.ABC,

：AD=BD,

在AADC和bBDF中，

ACAD=ADBF,

<AD=BD,

Z.FDB=Z.ADC.

：,LADC邕&BDF

,,DF=CD=4,

故選：B.

16.D【解析】因?yàn)锳B=AC,A4為公共角，

A、如添加乙B=￡C,利用ASA即可證明AABE鼠AACD；

B、如添AD=AE,利用SAS即可證明色ABEwAACD:

C、如添BD=CE,等量關(guān)系可得AD=AE,利用SAS即可證明XABE"ACD

D、如添BE=CD,

因?yàn)镾SA,不能證明△ABE言zUCD,

所以此選項(xiàng)不能作為添加的條件.

第二部分

17.圖形運(yùn)動(dòng)后能完全重合

18.NB=NE（答案不唯一）

19.①②③⑤

【解析】.TC=8C,CD=CEt2ACD=￡BCE,

:RACD用ABCE.

：,AD=BE,LCAD=Z.CBE.

?.AACP=2.BCQ=60°,AC=BC,

:.^ACPBCQ.

：,CP=CQfAP=BQ,

,\AD-AP=BE-BQ,gpPD=EQ

.DE/EQ,

DE*DP.

"PC。=180°-LACP-LQCE=60°,

???△。。?為等邊三角形.

../.PQC=Z.QCE=60°.

..PQIIAE.

\Z.CAD=CBE,

N406=180°-N6>10-N460

=180°-N64C-N45c

=60°.

20.20

【解析】LA=180°-50°-60°=70°,

:bABCXbDEF,

EF=BC=20,

即x=20.

21.95

【解析】?「△ABE會(huì)△4。。,NO=20。,

,\Z5=ZC=20°,

?.乙4=65°,

ZAEB=180°-Z/4-ZB=180°-65°-20°=95°

故答案為：95.

第三部分

22.\^BAD=ZCAE,

/.BAD+/DAE=ZCAE+/.DAE

即乙BAE=ACAD,

在LABE和LCAD中，

AB=AC,

NB4E=NCAD,

1AE=AD,

一△43E/△CCD(SAS),

..BE=CD.

23.EF=BE+FD.

探索延伸：EF=BE+FD仍然成立.

延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G,使DG=BE,連接AG,

■,ZB+ZADC=180°,ZADG-l-ZADC=180°

."B=4ADG.

\AB=AD,

.?.△ABEXAADG,

：,AE=AG,N5/E=/D4G,

;ZEAF=-ABAD

2，

,\￡FAG=LFAD-^LDAG

=AFAD^rABAE

=/.BAD-/LEAF

=/.BAD-\ABAD

2

=\/LBAD.

2

,\￡EAF=/.FAG,

..^AEFLAGF,

EF=GF.

?/FG=DG+DF=BE+DF,

EF=BE+FD.

12.2全等三角形的判定

I.在學(xué)習(xí)"用直尺和圓規(guī)作射線0U使它平分NZ。夕時(shí)，教科書介紹如下：'作法：(I)以。為

圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，交。/于。，交08于E：

(2)分別以D,￡為圓心，以大于,的同樣長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)C;

乙

(3)作射線0C.

則。。就是所求作的射線.

小明同學(xué)想知道為什么這樣做，所得到射線0C就是的平分線.

小華的思路是連接DC、EJ可證A。/?匹△0EC,就能得至此4。。=/6創(chuàng)，其中證明么?！?隹△。87

的理由是

0

2.如圖，Rt〃紇，￡BCA二90°,AC=BC,點(diǎn)。為“8C外一點(diǎn)，且AC=CD,連接DB交4C于點(diǎn)

〃/。。的平分線交DH于點(diǎn)尸,過(guò)8點(diǎn)作憶的垂線交式的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡已知tan/OBG],

5衣,;8,則比的長(zhǎng)為.

3.如圖,Rt“8C中/4<78=90°,^ABC=30°,&ABD、△BCE均為等邊三角形，DE、48交于點(diǎn)F.

AF=3避,則△<生的面積為.

4.如圖，^ACB=9Q°,AC=BC,CD±AB,AE=BF,且FG=2GE,工。二3企，則CH二

5.如圖，“8。中，二AC.z.BAC=90°,BD1BC,CE工BC/DAE=45°,若8。二正，小二祈,

則線段〃￡=.

6.如圖，已知〃80/84。，添加下列條件還不能判定MB隹AS/。的是（）

A.AC=BDB./.CAB^ADBAC.zC=zDD.BC^AD

7.如圖所示，〃是“80的高AD,%的交點(diǎn),且DH=0C,則下列結(jié)論：?BD=AD;@BC=AC,

③BH二AC\?CE=。中正確的有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

8.如圖，在中，AB^AC,D、F在BCh,BD=CE,448C于F,則圖中全等三角形的對(duì)數(shù)

為（）

A.1B.2C.3D.4

9.如圖，已知“史中//%=45。/L4是高/。和比的交點(diǎn)，則線段8H的長(zhǎng)度為（）

A.V6B.4C.273D.5

10.如圖/￡=/5=90。,z5=zC,AE=AF,給出下列結(jié)論:

①/1=/2;②BE=CF]③△ACN^ABM;④CD=DN.

其中正確的結(jié)論有（）

C

1B

F

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

11.不能使兩個(gè)直角三角形全等的條件（）

A.一條直角邊及其對(duì)角對(duì)應(yīng)相等

B.斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等

C.斜邊和一銳角對(duì)應(yīng)相等

D.兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等

12.下列說(shuō)法中:

①如果兩個(gè)三角形可以依據(jù)Z/S來(lái)判定全等，那么一定也可以依據(jù)Z夕I"來(lái)判定它們?nèi)龋?/p>

②如果兩個(gè)三角形都和第三個(gè)三角形不全等，那么這兩個(gè)三角形也一定不全等；

③要判斷兩個(gè)三角形全等，給出的條件中至少要有一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等.

正確的是（）

A.①和②B.②和③C.①和③D.①②③

13，如圖所示，亮亮?xí)系娜切伪荒E污染了一部分,很快他就根據(jù)所學(xué)知識(shí)畫出一個(gè)與書上完全一

樣的三角形，那么這兩個(gè)三角形完全一樣的依據(jù)是（）

A.555B.SASC.AASD.ASA

14.野營(yíng)活動(dòng)中，小明用一張等腰三角形的鐵皮代替鍋，烙一塊與鐵皮形狀、大小相同的餅，烙好一面

后把餅翻身，這塊餅?zāi)苷寐湓凇板仭敝?小麗有四張三角形的鐵皮（如圖所示）,她想選擇其中

的一張鐵皮代替鍋，烙一塊與所選鐵皮形狀、大小相同的餅,烙好一面后，將餅切一刀，然后將兩

小塊都翻身，餅也能正好落在"鍋"中.她的選擇最多有（）

A.1種B.2種C.3種D.4種

15,要測(cè)量圓形工件的外徑，工人師傅設(shè)計(jì)了如圖所示的卡鉗,點(diǎn)。為卡鉗兩柄交點(diǎn)，且有以二0B

=0C=0D,如果圓形工件恰好通過(guò)卡鉗AB,則此工件的外徑必是。之長(zhǎng)了,其中的依據(jù)是全等

三角形的判定條件（）

A.555B.SASC.ASAD.AAS

16.已知和位置如圖所示，AB=AC,AD=AE,zl=z2.

（1）求證；8。=";

（2）求證：zM=z/V.

17.感知：如圖1,AD^LBAC.N8+ZC=180°,=90°,易知：DB二DC.

探究：如圖2,<。平分/初C,/ABD+zACD：180°,z.ABD<90°,求證：DB二DC.

應(yīng)用：如圖3,四邊形4交。中，4=45°,zC=135°,DB=DC=a,則48-40=(用

含2的代數(shù)式表示)

18.如圖(1),AB^Acm,ACLAB,BD^AB.AC^BD三3cm.點(diǎn)P在線段48上以lc/n/s的速

度由點(diǎn)A向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng),同時(shí)，點(diǎn)Q在線段6。上由點(diǎn)8向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng).它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為f(5).

(1)若點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度與點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度相等，當(dāng)仁1時(shí)，A4CP與乙8&是否全等,請(qǐng)說(shuō)明理

由,并判斷此時(shí)線段小和線段PQ的位置關(guān)系；

(2)如圖(2)，將圖(1)中的"AC±AB,BD工AET為改"Q85川=60。",其他條件

不變.設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為xcm/s,是否存在實(shí)數(shù)，使得與A8PQ全等？若存在,求出相

應(yīng)的Xf的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.3角平分線性質(zhì)與判定

一、選擇題

1.如圖，0P平分N4。&PC_L04垂足分別為C,D,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OD=OCC.ZDPOZCroD.PC=OC

2.如圖，若OP平分/A08,PMJ_04于M點(diǎn)，PM=3,N是。8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PN的最小值

是（）

A

A.2B.3C.4D.5

3.如圖，AD是AABC中/B4C的平分線，DE1AB交48于點(diǎn)E,0FL4C交AC于點(diǎn)F.若S-BC=

7,DE二2,止4,則心（）

A.4B.3C.6D.5

4,如圖,AD是△ABC中心B4C的角平分線，DEJ.AB于點(diǎn)E,SAABC=7,DE=2,止4,則AC長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.6D.5

5.如圖，入例:中，ZC=90%AC=BC,AD平分/CAB交3c于。，DE1A3于E,且A3=6cm,則

△DE8的周長(zhǎng)為()

A.4cmB.6cmC.10cmD.不能確定

6,如圖,△ABC中，NC=90S點(diǎn)0為AABC的三條角平分線的交點(diǎn),OD1BC,0E，AC,OF，AB,點(diǎn)

D,E,尸分別是垂足，且AZZOcm,￡0=8cm,CA=6cm,則點(diǎn)。到三邊4k4c和BC的距離分別為

A.2cm?2cm>2cmB.3cm,3cm*3cm

C.4cm,4cm?4cmD.2cm,3cm,5cm

7.如圖，OP平分2MoMP4_LON于點(diǎn)A,點(diǎn)。是射線OM上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=4,則PQ的最小值為

()

A.IB.2C.3D.4

8.如圖，乙BOP=^AOP=15。，PCIIOB,PD1OB于D,PC=2,則PDC勺長(zhǎng)度為（）

0DB

A.4B.3C.2D.1

9.如圖,48〃。）,82和CP分別平分/ABC和NOQUO過(guò)點(diǎn)P,且與AB垂直，若AO=8,則點(diǎn)P到8c的距

A.8B.6C.4D.2

10.如圖，已知AB=AC,AE=AF,BE與。尸交于點(diǎn)Z）,則①AABE絲ZUCF；②△BDb絲③D

在/84。的平分線上，以上結(jié)論中，正確的是（）

A.①B.②C.①②D.①②③

11.如圖所示，若AB〃C。，AP,CP分別平分/BAC和N4CD,PE1AC于E,且尸E=3cm,則AB與

A.3cmB.6cmC.9cmD,無(wú)法確定

12.如圖，在△ABC中，ZC=90%AD平分/B4C交BC于點(diǎn)。，若BC=64,且BD;DC=9;7,則點(diǎn)。到

A5邊的距離為（）

A.18B.32C.28D.24

13.如圖，在△ABC中，P,Q分別是BC,AC上的點(diǎn)，作PR_LAB,PSLAC,垂足分別是R,S,若

AQ=PQ,PR=PS,則下面三個(gè)結(jié)論；①A5=AR,②。尸〃AR,③乙BRP盤ACSP,其中正確的是（）

A.①③B.?@C.①②D.0?③

14.如圖所示，點(diǎn)4,8分別是±NOP/MOP平分線上的點(diǎn)，AB1OP于點(diǎn)E,BC1MN于點(diǎn)C,AD1MN于

點(diǎn)D,下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.AD+BC=ABB,與ZCBO互余的角有兩個(gè)

C.AAOB=90°D.點(diǎn)0是CD的中點(diǎn)

15.如圖，直線小從c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

二、填空題

16.如圖，2.A0B=709,QC1OAfC,QD1OB于0,若QOQD,則ZJ10Q=1

17.如圖，在AABC中，“=90。,AB=\O,A。是△ABC的一條角平分線，若CD=3,則A48Z）的面積

為.

18.如圖，Z.ABC=50°,AQ垂直平分線段于點(diǎn)D,乙48c的平分線8E交AO于點(diǎn)E連接EC,則

19.如圖所示，在AA8C中，AB=AC,AO是△ABC的角平分線，DE1AB,DFLAC,垂足分別是E,F.

下列結(jié)論：①D4平分/￡0凡②4不力凡DE=DFx③40上的點(diǎn)到8,C兩點(diǎn)的距離相等：④圖中共有

3對(duì)全等三角形，其中正確的有

20.如圖，在△ABC中，AB^AC,。為BC的中點(diǎn)，ZMD=30°,E為AC上一點(diǎn)，且A"AO,則NEDC

的度數(shù)為一.

21.如圖所示，己知A48。的周長(zhǎng)是21,BO,。。分別平分248。和/AC&OD_LBC于點(diǎn)。，且

。。=3,則AABC的面積是一.

22.如圖，在△ABC中，BC=5cm,BP，CP分別是/AbC和/ACB的平分線,fiPD//AB,PE//AC,

則APQE的周長(zhǎng)是_cm.

23.如圖，乙4OB=70。，2c1。4于點(diǎn)C,QD工OB于氤D,QC=QD,則右40Q='

24.如圖所示，在四邊形4BCD中，乙4+/D=220。，乙4BC的平分線與/BCD的平分線交于點(diǎn)P,則

LP=.

三、解答題

25.證明：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

26.如圖所示，尸是N5AC內(nèi)的一點(diǎn),PE1AB,PFLAC,垂足分別為點(diǎn)E,F,AE=AF.

⑴PE二PF；

(2)點(diǎn)?在N6AC的平分線上,

27.如圖，在AA3C中，CA=CB,LC=90%4）平分4B4C,DEJ.4B于點(diǎn)E,43=10?11,求43￡。的

周長(zhǎng).

28.如圖所示，EF||BC,力。平分乙B=80。.求ZC的度數(shù).

30.如圖所示，BM￡N分別是△ABC的兩條角平分線，且相交于點(diǎn)P,求證點(diǎn)P在4氏4c的平分線上.

31.如圖，己知RG是OA上兩點(diǎn)，朋，N是。5上兩點(diǎn)，且尸G=MM△戶尸G和△PMN的面積相等.

試判斷點(diǎn)P是否在N4OB的平分線上，并說(shuō)明理由.

32.已知；如圖所示，BE=CF,BFUC于凡CE1AB于點(diǎn)E,BF交CE于點(diǎn)D.求證；3D平分的C.

33.如圖，4P,CP分別是△八3c的夕卜角乙VL4C和乙NCA的平分線，它們交于點(diǎn)P,PD1BM^D.PF1BN于

34.如圖所示，在448C中，分別延長(zhǎng)A4BC的邊4B,3c到D,E,ZCBD與，BCE的平分線相交點(diǎn)P,愛(ài)

動(dòng)腦筋的小明在寫作業(yè)時(shí)發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：

①若〃二50。，則4=65。=90。一。

②若=90°,則zP=45。=90°--

③若乙4=100°,則"=40°=90°-殍.

⑴上述規(guī)律,若4A=150。,則“=—；

(2)請(qǐng)你用數(shù)學(xué)表達(dá)式歸納出ZP與"的關(guān)系:

(3)請(qǐng)說(shuō)明第2題中結(jié)論的正確性,

35.在AA8C中,AD是ZB4C的平分線.

⑴如圖①，求證；沁=名

%ACDAC

⑵如圖②，若BD=CD,求證：AB=AC；

(3)如圖③,若AB=5,《04,BC=6,求的長(zhǎng).

36.工人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，乙40B是任意一個(gè)角，在邊0408上分別截

取0M=ON,移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與點(diǎn)M,M重合,過(guò)角尺頂點(diǎn)P的射線0P便是Z40B的

平分線.請(qǐng)結(jié)合圖形說(shuō)明理由.

37.如圖，李明計(jì)劃在張村、李村之間建一家超市.張、李兩村坐落在兩相交公路內(nèi).超市的位置應(yīng)滿足

下列條件；

(1)使其到兩公路的距離相等：

⑵為了方便群眾，超市.到兩村的距離之和最短，請(qǐng)你通過(guò)作圖確定要建超市的位置,

四、證明題

38.已知；如圖，在中，4=90。，乙ABC=2乙C,BD是4ABC的不分線，求證；CD=2AD.

39,如圖，zP=zC=90%M是BC的中點(diǎn)，DM平分乙4DC,求證；AM平分血B.

40.如圖，48=4瓦ZC=2D,BC=EO,點(diǎn)）是CD的中點(diǎn),則A尸平分NB4E,為什么？

41.如圖所示，射線。M,ON是兩條公路，點(diǎn)A,B,C,。是四個(gè)小商店，其中A,8在公路OM

上：G。在公路ON上，且AB=C。，點(diǎn)P是一座購(gòu)物商場(chǎng)，若S2148P=S.CDP，則商場(chǎng)尸的位置恰好在

△MON的平分線上，為什么？

角平分線性質(zhì)與判定練習(xí)

參考答案

一、選擇題

1.如圖，0P平分/A08,PC10A,.垂足分別為C,D,則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.PC=PDB.OD=OCC.ZDPO=ZCPOD.PC=OC

【答案】D

【解析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)知PC=PD,由PD=PC,OP=OP知RtAPOD竺RtAPOC,所以

NDPO=/CPO,OD=OC.

2.如圖，若。P平分乙4。3,PM_L。月于“點(diǎn)，PM=3,N是OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則線段PN的最小值

是（）

A.2B,3C.4D.5

【答案】B

【解析】過(guò)點(diǎn)P作PQ_LO&垂足為Q,當(dāng)N與。重合時(shí)PN的值最小，由角平分線的性質(zhì)知PQ=PM=3.

故PN的最小值為3,故選B.

3.如圖，4）是△人BC中/BAC的平分線，DE14B交4a于點(diǎn)E力以L4C交4c于點(diǎn)產(chǎn)，若“越。=

7,D￡=2,止4,則心（）

A.4B.3C.6D.5

【答案】B

【解析】：人。是△ABC中NBAC的平分線，DELAB,DFLAC,ADF=D￡=2.VAB=4,：.S^ABD=1X

4x2=4,','Sg8c=7,,',SgcD=3，；?人。=警=3.故選8.

4.如圖，AO是△ABC中/射C的角平分線，。El48于點(diǎn)E,SAABC=7,DE=2,ABM,則AC長(zhǎng)是（）

A.3B.4C.6D.5

【答案】A

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)。作于F，??,4)是AABC中/B4C的角平分線,

DELAB,：,DE=DF,由圖可知，S^ABC=SAABD+S^ACD.

：.-x4x2+-xACx2=7,解得AC=3.故選A.

22

5.如圖，AABC中,ZC=90°,AC=BC,40平分NCAB交3。于D,DEIAB于E,且48=6cm,則

△DEB的周長(zhǎng)為（）

A.4cmB.6cmC.10cmD.不能確定

【答案】B

【解析】由題意知NONA止90。，又因?yàn)锳D平分/CA其所以QE=。C.易證AAQEg/XADC,

所以AE=AC.XDEB的周長(zhǎng)二8。十DE+8E=8。十OC+8E=8。十6七二AC十8七二AE+8E二48二6cm,故選B.

6.如圖,AABC中，“=90°,點(diǎn)。為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn),。。1BC,0E1AC,OF14氏點(diǎn)

D,E,尸分別是垂足，且AB=10cm,BC=8cm,CA=6cm,則點(diǎn)。到三邊力B,AC和8C的距離分別為

()

A.2cm,2cm,2cmB.3cm?3cm,3cm

C.4cm,4cm,4cmD.2cm.3cm,5cm

【答案】A

【解析】點(diǎn)。為△ABC的三條角平分線的交點(diǎn)，0D1BC,0E1AC,OFlABf所以。尸=。力=。凡

根據(jù)5448。=SAAOB+SAAOC+SMOC，得OF+BC-0D+AC-0E=4^,所以0F=0D=0F=2cm.

7.如圖，OP平分乙MON,PAION于點(diǎn)A,點(diǎn)Q是射線0M匕一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PA=4,則P。的最小值為

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】根據(jù)垂線段最短，得當(dāng)PQ10M時(shí)，的值最小.又。P是4MON的平分線，P410M所以

P4=PQ=4.故選D.

8.如圖,LBOP=LAOP=15°,PCIIOB,PD工OB于D,PC=2,則P。的長(zhǎng)度為（）

A.4B.3C.2D.1

【答案】D

【解析】作PE104于E,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可行PE=PD,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得乙4cp=LAOB=

30。由直角三角形30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，可求得PE,即可求得PD,故選D.

9,如圖工3〃CD,BP和CP分別平分/ABC和/DCB工。過(guò)點(diǎn)P,且與AB垂直若AD=8,則點(diǎn)P到BC的距

離是

A.8B.6C.4D.2

【答案】C

【解析】本題考查角平分線的性質(zhì).

過(guò)點(diǎn)?作PE18C于E,則點(diǎn)尸到BC的距離是PE.

，:CD,PA1AB,APDlCD.

?：BP和CP分別平分/ABC和NDCB,：.PA^PE,PD=PE,:?PE=PA二PD.

???PA+PO=AD二8,1.PA二P氏4,，PE=4.故選C.

1().如圖，已知AB=AC,AE=AF,BE與CF交于點(diǎn)D,則①AABEg/kACF；②△BO/且△COE；③O

在NBAC的平分線上，以上結(jié)論中，正確的是()

A.①B.②C.①②D.①②③

【答案】D

【解析】根據(jù)三角形全等的判定方法，由SAS可判定△ABEgZsACR由AAS可判定△8。尸烏△“民

連接AD,由SAS可判定△"7）絲△43。，所以NC40=/8AO,。在N84C的平分線上.故①?③均正

確.

11.如圖所示，若AB〃QZAP,CP分別平分NBAC和NACD,PE工AC于E,且P￡=3cm,則A8與

C0之間的距離為（）

A.3cmB.6cmC.9cmD.無(wú)法確定

【答案】B

【解析】如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸廣"，并反向延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)M則PMLCD,且MN的長(zhǎng)為AB與。。

之間的距離.由角平分線的性質(zhì)得PM=PE,PN=PE,.\MN=PM^-PN=2PE=6cm.

12.如圖，在AABC中，ZO90°,AD平分N8AC交5C于點(diǎn)D,若8064,且BO:009:7,則點(diǎn)。到

AB邊的距離為（）

A.18B.32C.28D.24

【答案】C

【解析】由3c=64,且BD;DC=9;7,可求得DC=28.

過(guò)點(diǎn)。作垂足為￡因?yàn)锳D平分NH4C,DE1AB,DC1AC,所以0E=0C=28故選C.

13.如圖，在△ABC中，P,。分別是BC,AC上的點(diǎn)，作PR1AB,PS1AC,垂足分別是R,S,若

AQ=PQrPR=PS,則下面三個(gè)結(jié)論；①AS=AR,?QP//AR,③4BRP-CSP,其中正確的是（）

A.①③B.??C.①②D.00③

【答案】C

【解析】連接AP,由PR_LA8于R,PS_LAC于S,PR=PS,知AP平分/BAC,所以NRAP=/QAP.因

為AQ=PQ,所以/QAP=/QPA,所以/凡4片/。幺，所以。尸〃AR.易證RsAPRWRQAPS所以

AH二AS,由已知條件不能得到△BRPgACSP,故選C.

14.如圖所示，點(diǎn)48分別是/NOP/MOP平分線上的點(diǎn)，AB10P于點(diǎn)E,BC1MN于點(diǎn)C,AD1MN于

A.4。+BC=ABB.與ZC80互余的角有兩個(gè)

C./.AOB=90°D.點(diǎn)。是CD的中點(diǎn)

【答案】B

[1VOBT^ZMOP,ALBOC=￡BOE,又乙BCO=LBEO=90°,BO=BO,：?4BCOg4BEO,

同理，△AOOgaAOE,，BC;BE,AE=ADf=BE+4E=BC+AD.故A正確.

7/.BOP=-LMOP,LAOP=-Z.NOP,：,LBOP+LAOP=-(Z.MOP+LNOP)=；X180°=90°,即

LAOS=90°,故C正確.???△BCOgaBE。，^AOD^^AOE,：.CO=EO,OD=OE,：,CO=DO,

即點(diǎn)。是CD的中點(diǎn).故D正確.

15.如圖，直線小從c表示三條相互交叉而建的公路，現(xiàn)在要建立一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公

路的距離相等，則可供選擇的地址有（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】D

【解析】???三角形內(nèi)角平分線的變點(diǎn)到三角形三邊的距離相等，，三角形人角平分線的交點(diǎn)滿足條件:

如圖：點(diǎn)P是AA8C兩條外角平分線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE148,PD1BC,PF1

AC,；?PE=PF,PF=PD,：.PE=PF=PD,，點(diǎn)P到△ABC的三邊的距離相等，兩條外角平分

線的交點(diǎn)到其三邊的距離也相等，滿足此條件的點(diǎn)有3個(gè)，綜上，到三條公路的距離相等的點(diǎn)有4

個(gè).，可供選擇的地址有4個(gè).故選D.

二、填空題

16.如圖，LAOB=70°,QC104于C,QD10B于D,若QC=QD,則2A0Q=,

【答案】35

【解析】?「QC1OA.QD108,。0。。,???點(diǎn)。在，AOB的平分線上，???Z40Q〈N/IOQ=70°,

：.LAOQ=35°.

17.如圖，在△ABC中，“=90。,心10,4）是△ABC的一條角平分線，若8=3,則AAB。的面枳

為-

【答案】15

【解析】作。EJL4B于E「??人。平分DE1AB,DC1AC,；?DE=CD=3.

?'.△ABD的面積為:X3X1O=15.故答案是15.

18.如圖，LABC=50%A0垂直平分線段BC于點(diǎn)。，4A8C的平分線8上交AO于點(diǎn)&連接EC,則

乙傷。的度數(shù)是.

【解析】因?yàn)轫剖恰˙C的平分線，LABC=50%所以=T乙4BC=25。.因?yàn)锳O是BC的垂直

平分線，所以乙406=乙4DC=90。，LDCE=LDBE=25°,

所以44EC=LADC+Z.DCE=90°+25°=115°.

19.如圖所示，在aABC中，AB=AC,AD是△ABC的角平分線，DE1AB,DF1AC,垂足分別是E,F,

下列結(jié)論：①D4平分/￡。凡②心AF,DE=DF；③4。上的點(diǎn)到&C兩點(diǎn)的距離相等；④圖中共有

3對(duì)全等三角形，其中正確的有

【答案】①②?④

【解析】在AA8C中，A0是AA8C的角平分線，DE1AB,DFYAC,A0為公共

邊.：.ZEDA=ZFDA,AE=AF,DE=DF,故①②正確.：48二AC,AO是NBAC的

平分線，垂直平分8C,???A。上的點(diǎn)到&C兩點(diǎn)的距離相等，③正確根據(jù)圖形的對(duì)稱性可知，

圖中共有3對(duì)全等三角形，④正確.故填①@③④.

20.如圖，在△ABC中，AB=AC,。為8c的中點(diǎn)，ZBAD=30Q,E為AC上一點(diǎn)，且則NEDC

的度數(shù)為一.

【答案】15。

【解析】在AA8C中，。為8c的中點(diǎn)，AS=AC,???A。為/B4c的平分

線，AD1BC.7ZBAD=30°,AZDA￡=30°,

又TAO=4E,"ADE=75。,

:.ZEDC=ZADC-Z^DE=90°-75°=15°.

21.如圖所示，己知AABC的周長(zhǎng)是21,B。，C。分別平分乙4BC和/ACB,。。13c于點(diǎn)。，且

00=3,則△48C的面積是一?

【答案】31.5

【解析】作?！闘4C,0FLAB,垂足分別為E,F,連接04,

???80和。0分別平分//18。和/4。8,0DLBC,

：?0D=0E二0F.

?，-S&ABC=S&QBC+&0AC+S40AB

=-0DBC+-0EAC+^0FAB

222

=^0D(BC+AC+AB')

=ix3x21

=31.5.

22.如圖，在A4BC中，BC=5cm,BP.CP分別是乙ABC和24CB的平分線，且PQ〃4B,PE//AC,

則APDE的周長(zhǎng)是___cm.

【答案】5

【解析】:BP平分NABC,：.NABP=/DBP,

?:AB//PD,"ABN/BPD,；2DBP=/BPD,IPD;BD,同理可得PE=EC,的周長(zhǎng)

=PD^PE+DE=BD+EC+DE=BC=5cm.

23.如圖，乙4OB=70。，2c1。4于點(diǎn)C,QD工OB于氤D,QC=QD,則右40Q='

【答案】35

【解析】?。。_1。4,。。_108,。。=。。，???點(diǎn)。在/4。6的平分線上，，乙/10(?=)AOB,VNAO8=70°,

：.LAOQ=35°.

24.如圖所示，在四邊形48C。中，Z/1+￡0=220°,乙48。的平分線與Z8C0的平分線交于點(diǎn)P,則

【答案】110。

【解析】:"ABC的平分線與，BCD的平分線交于點(diǎn)P,."PBC=：乙4BC,，PCB="DCB,

又：￡P(guān)=180。一/PBC-/PC8,；?d=180。一：("6。+/。。8)，?在四邊形48。。中，￡4+

LABC+LDCB+4。=360°,：.LABC+Z.DCB=360°-(￡A+ZD)=360°-220°=140°.

.\ZP=1800--X1400=110°.

2

三、解答題

25.證明：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等.

【答案】解：如圖，乙40c=，BOC,點(diǎn)P在0C上，PD1OA,PE1。8垂足分別為D.E,求證PD=PE.

證明：VPD1OA,PELOB,：.LPD0=LPE0=90°.