2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(解答題)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練【含答案】

2025高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)-專(zhuān)題04導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用(解答題)-專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)2024全國(guó)甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化?？键c(diǎn)2恒成立問(wèn)題2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點(diǎn)3與三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題2023Ⅱ卷甲卷2022天津卷2021Ⅰ卷2020Ⅱ卷甲卷與三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題隨著新高考新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類(lèi)題目一壓軸題出現(xiàn)的頻率會(huì)變大?？键c(diǎn)04導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題2024北京天津2023乙卷北京Ⅰ卷天津2022甲卷ⅠⅡ卷2021乙卷Ⅰ卷2020ⅡⅢ卷導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，隱零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)放縮問(wèn)題。未來(lái)也是高考重難點(diǎn)考點(diǎn)05新定義問(wèn)題2024上海卷隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題將成為高頻考點(diǎn)考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)解答題1．（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．2．（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．3．（2024·全國(guó)·高考甲卷理）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．4．（2023·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．5．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．6．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．7．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.9．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.10．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．11．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.12．（2022·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．13．（2021·全國(guó)甲卷）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．14．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．15．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.考點(diǎn)02恒成立問(wèn)題解答題1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．2．（2023全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．4．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．7．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷（文））（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．9．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．考點(diǎn)03三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一、解答題1．（2023年全國(guó)高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．2．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．4．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.5．（2021年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)類(lèi)綜合問(wèn)題1（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求的值；(3)若，證明．3．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.4．（2022·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．5．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．6．（2022年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．7．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．8．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.9．（2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．10．（2020年全國(guó)高考Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．11．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．13．（2021·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）求曲線過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線與曲線的公共點(diǎn)的坐標(biāo)．14．（2021年全國(guó)高考Ⅱ卷（文））已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．15．（2020·全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=的單調(diào)性．16．（2020·全國(guó)高考Ⅲ卷(文)）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若有三個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．17（2021·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.考點(diǎn)05函數(shù)導(dǎo)數(shù)新定義1（2024·上?！じ呖颊骖}）對(duì)于一個(gè)函數(shù)和一個(gè)點(diǎn)，令，若是取到最小值的點(diǎn)，則稱(chēng)是在的“最近點(diǎn)”．(1)對(duì)于，求證：對(duì)于點(diǎn)，存在點(diǎn)，使得點(diǎn)是在的“最近點(diǎn)”；(2)對(duì)于，請(qǐng)判斷是否存在一個(gè)點(diǎn)，它是在的“最近點(diǎn)”，且直線與在點(diǎn)處的切線垂直；(3)已知在定義域R上存在導(dǎo)函數(shù)，且函數(shù)在定義域R上恒正，設(shè)點(diǎn)，．若對(duì)任意的，存在點(diǎn)同時(shí)是在的“最近點(diǎn)”，試判斷的單調(diào)性參考答案與詳細(xì)解析考點(diǎn)五年考情（2020-2024）命題趨勢(shì)考點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)2024全國(guó)甲卷Ⅰ卷2023Ⅱ卷乙甲2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷乙卷2021甲卷Ⅰ卷2020Ⅰ卷Ⅲ卷含參的函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)問(wèn)題是高考中的一個(gè)高頻考點(diǎn)，也是必考點(diǎn)，通過(guò)函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化成為恒成立問(wèn)題或者存在使成立問(wèn)題以及其他問(wèn)題，可直接求導(dǎo)或者是利用分離參數(shù)去轉(zhuǎn)化?？键c(diǎn)2恒成立問(wèn)題2023甲卷2022甲卷Ⅰ卷Ⅱ卷2021乙卷Ⅱ卷2020ⅠⅡⅢ卷考點(diǎn)3與三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題2023Ⅱ卷甲卷2022天津卷2021Ⅰ卷2020Ⅱ卷甲卷與三角函數(shù)相關(guān)問(wèn)題隨著新高考新結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)，這類(lèi)題目一壓軸題出現(xiàn)的頻率會(huì)變大?？键c(diǎn)04導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題2024北京天津2023乙卷北京Ⅰ卷天津2022甲卷ⅠⅡ卷2021乙卷Ⅰ卷2020ⅡⅢ卷導(dǎo)數(shù)綜合類(lèi)問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)的壓軸題一般牽扯到不等式的證明問(wèn)題，極值點(diǎn)偏移問(wèn)題，拐點(diǎn)偏移問(wèn)題，隱零點(diǎn)問(wèn)題，函數(shù)放縮問(wèn)題。未來(lái)也是高考重難點(diǎn)考點(diǎn)05新定義問(wèn)題2024上海卷隨著高考數(shù)學(xué)新結(jié)構(gòu)的形式出現(xiàn)。導(dǎo)數(shù)新定義問(wèn)題將成為高頻考點(diǎn)考點(diǎn)01利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性，求參數(shù)解答題1．（2024·全國(guó)·高考Ⅰ卷）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對(duì)稱(chēng)圖形；(3)若當(dāng)且僅當(dāng)，求的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）時(shí)，，其中，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，而成立，故即，所以的最小值為.，（2）的定義域?yàn)椋O(shè)為圖象上任意一點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為，因?yàn)樵趫D象上，故，而，，所以也在圖象上，由的任意性可得圖象為中心對(duì)稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心為.（3）因?yàn)楫?dāng)且僅當(dāng)，故為的一個(gè)解，所以即，先考慮時(shí)，恒成立.此時(shí)即為在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，設(shè)，則，當(dāng)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)時(shí)，，故恒成立，故在上為增函數(shù)，故即在上恒成立.當(dāng)，則當(dāng)時(shí)，故在上為減函數(shù)，故，不合題意，舍；綜上，在上恒成立時(shí).而當(dāng)時(shí)，而時(shí)，由上述過(guò)程可得在遞增，故的解為，即的解為.綜上，.2．（2024·全國(guó)·高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，則，，可得，，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線斜率，所以切線方程為，即.（2）解法一：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若，則對(duì)任意恒成立，可知在上單調(diào)遞增，無(wú)極值，不合題意；若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，由題意可得：，即，構(gòu)建，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為；解法二：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，若有極小值，則有零點(diǎn)，令，可得，可知與有交點(diǎn)，則，若，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則有極小值，無(wú)極大值，符合題意，由題意可得：，即，構(gòu)建，因?yàn)閯t在內(nèi)單調(diào)遞增，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，不等式等價(jià)于，解得，所以a的取值范圍為.3．（2024·全國(guó)·高考甲卷理）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的極值；(2)當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．【答案】(1)極小值為，無(wú)極大值.(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，故，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，故在上為增函數(shù)，而，故當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在處取極小值且極小值為，無(wú)極大值.（2），設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故，即，所以在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，故在上，即在上即為減函數(shù)，故在上，不合題意，舍.當(dāng)，此時(shí)在上恒成立，同理可得在上恒成立，不合題意，舍；綜上，.4．（2023·年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證得即可.方法二：構(gòu)造函數(shù)，證得，從而得到，進(jìn)而將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為的恒成立問(wèn)題，由此得證.【詳解】（1）因?yàn)?，定義域?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.5．（2023年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調(diào)遞增，求的取值范圍．【答案】(1)；(2).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，所以函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，滿足題意時(shí)在區(qū)間上恒成立.令，則，令，原問(wèn)題等價(jià)于在區(qū)間上恒成立，則，當(dāng)時(shí)，由于，故，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，不合題意;令，則，當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，滿足題意.當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減，注意到，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，由于，故當(dāng)時(shí)，，不合題意.綜上可知：實(shí)數(shù)得取值范圍是.6．（2022年全國(guó)高考乙卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，求的最大值；(2)若恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以；（2），則，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；所以，此時(shí)函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，不合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；又，由（1）得，即，所以，當(dāng)時(shí)，，則存在，使得，所以僅在有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，又，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上，，單調(diào)遞增；在上，，單調(diào)遞減；此時(shí)，由（1）得當(dāng)時(shí)，，，所以，此時(shí)存在，使得，所以在有一個(gè)零點(diǎn)，在無(wú)零點(diǎn)，所以有唯一零點(diǎn)，符合題意；綜上，a的取值范圍為.7．（2022年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線．(1)若，求a；(2)求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)【詳解】（1）由題意知，，，，則在點(diǎn)處的切線方程為，即，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，解得，則，解得；（2），則在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，設(shè)該切線與切于點(diǎn)，，則，則切線方程為，整理得，則，整理得，令，則，令，解得或，令，解得或，則變化時(shí)，的變化情況如下表：01000則的值域?yàn)?，故的取值范圍?8．（2021年全國(guó)高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)函數(shù)，其中.（1）討論的單調(diào)性；（2）若的圖象與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，求a的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，又，因?yàn)?，故，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）因?yàn)榍业膱D與軸沒(méi)有公共點(diǎn)，所以的圖象在軸的上方，由（1）中函數(shù)的單調(diào)性可得，故即.9．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，令，解得，令，解得，所以的減區(qū)間為，增區(qū)間為；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，即有兩個(gè)解，從方程可知，不成立，即有兩個(gè)解，令，則有，令，解得，令，解得或，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，而時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)有兩個(gè)解時(shí)，有，所以滿足條件的的取值范圍是：.10．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．11．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由題意可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.12．（2022·全國(guó)乙卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以切點(diǎn)為,所以切線斜率為2所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為（2）設(shè)若,當(dāng),即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若,當(dāng),則所以在上單調(diào)遞增所以,即所以在上單調(diào)遞增,故在上沒(méi)有零點(diǎn),不合題意若(1)當(dāng),則,所以在上單調(diào)遞增所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增所以當(dāng),令則所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又，，所以在上有唯一零點(diǎn)又沒(méi)有零點(diǎn),即在上有唯一零點(diǎn)(2)當(dāng)設(shè)所以在單調(diào)遞增所以存在,使得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增,又所以存在,使得,即當(dāng)單調(diào)遞增,當(dāng)單調(diào)遞減，當(dāng)，，又，而,所以當(dāng)所以在上有唯一零點(diǎn),上無(wú)零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)所以,符合題意所以若在區(qū)間各恰有一個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍為13．（2021·全國(guó)甲卷）已知且，函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，,令得,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,∴函數(shù)在上單調(diào)遞增；上單調(diào)遞減；（2）[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù),設(shè)函數(shù),則,令，得,在內(nèi),單調(diào)遞增；在上,單調(diào)遞減；,又，當(dāng)趨近于時(shí)，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)，即曲線與直線有兩個(gè)交點(diǎn)的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.[方法二]：構(gòu)造差函數(shù)由與直線有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)知，即在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解，取對(duì)數(shù)得方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)解．構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)得．當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，在內(nèi)最多只有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，，令得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以，函數(shù)的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為．由于，當(dāng)時(shí)，有，即，由函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)知，所以，即．構(gòu)造函數(shù)，則，所以的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的解為且．所以，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法三]分離法：一曲一直曲線與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)等價(jià)為在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不相同的解．因?yàn)?，所以兩邊取?duì)數(shù)得，即，問(wèn)題等價(jià)為與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，與只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意．②當(dāng)時(shí)，取上一點(diǎn)在點(diǎn)的切線方程為，即．當(dāng)與為同一直線時(shí)有得直線的斜率滿足：時(shí)，與有且僅有兩個(gè)交點(diǎn)．記，令，有．在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；時(shí)，最大值為，所當(dāng)且時(shí)有．綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍為．[方法四]：直接法．因?yàn)椋傻茫?dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，由得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．因?yàn)?，且，所以，即，即，兩邊取?duì)數(shù)，得，即．令，則，令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以，所以，則的解為，所以，即．故實(shí)數(shù)a的范圍為．]14．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）【分析】（I）求出在處的導(dǎo)數(shù)，即切線斜率，求出，即可求出切線方程；（II）令，可得，則可化為證明與僅有一個(gè)交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求出的變化情況，數(shù)形結(jié)合即可求解；（III）令，題目等價(jià)于存在，使得，即，利用導(dǎo)數(shù)即可求出的最小值.【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.15．（2020年全國(guó)高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）≥x3+1，求a的取值范圍.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）【詳解】(1)當(dāng)時(shí)，，，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，，其中，①.當(dāng)x=0時(shí)，不等式為：，顯然成立，符合題意；②.當(dāng)時(shí)，分離參數(shù)a得，，記，，令，則，，故單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞增，，由可得：恒成立，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍是.[方法二]：特值探路當(dāng)時(shí)，恒成立．只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，．只需證明⑤式成立．⑤式，令，則，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減．從而，即，⑤式成立．所以當(dāng)時(shí)，恒成立．綜上．[方法三]：指數(shù)集中當(dāng)時(shí)，恒成立，記，，①.當(dāng)即時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，，不合題意；②.若即時(shí)，則當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時(shí)，成立；③當(dāng)即時(shí)，，又由②可知時(shí)，成立，所以時(shí)，恒成立，所以時(shí)，滿足題意.綜上，.考點(diǎn)02恒成立問(wèn)題解答題1．（2024·全國(guó)·高考甲卷文）已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.綜上所述，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為；時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2），且時(shí)，，令，下證即可.，再令，則，顯然在上遞增，則，即在上遞增，故，即在上單調(diào)遞增，故，問(wèn)題得證2．（2023全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)．(1)討論的單調(diào)性；(2)證明：當(dāng)時(shí)，．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋x域?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，由于，則，故恒成立，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增；綜上：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）方法一：由（1）得，，要證，即證，即證恒成立，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.方法二：令，則，由于在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以要證，即證，即證，令，則，令，則；令，則；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，則恒成立，所以當(dāng)時(shí)，恒成立，證畢.3．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)設(shè)，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(3)證明：對(duì)任意的，有．【答案】(1)(2)在上單調(diào)遞增.(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）解：因?yàn)?，所以，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，又，∴切線斜率∴切線方程為：（2）解：因?yàn)椋?/p>

所以，令，則，∴在上單調(diào)遞增，∴∴在上恒成立，∴在上單調(diào)遞增.（3）解：原不等式等價(jià)于，令，，即證，∵，，由（2）知在上單調(diào)遞增，∴，∴∴在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，∴，所以命題得證.4．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類(lèi)討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（ⅰ）分析知在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明令，因?yàn)椋栽趨^(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（?。┊?dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．5．（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）若在處取得極值，求的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值．【答案】（1）；（2）函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，最小值為.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，，，此時(shí)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2）因?yàn)?，則，由題意可得，解得，故，，列表如下：增極大值減極小值增所以，函數(shù)的增區(qū)間為、，單調(diào)遞減區(qū)間為.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以，，.6．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)．（I）求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（II）證明存在唯一的極值點(diǎn)（III）若存在a，使得對(duì)任意成立，求實(shí)數(shù)b的取值范圍．【答案】（I）；（II）證明見(jiàn)解析；（III）【詳解】（I），則，又，則切線方程為；（II）令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出大致圖像如下：所以當(dāng)時(shí)，與僅有一個(gè)交點(diǎn)，令，則，且，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則，單調(diào)遞減，為的極大值點(diǎn)，故存在唯一的極值點(diǎn)；（III）由（II）知，此時(shí)，所以，令，若存在a，使得對(duì)任意成立，等價(jià)于存在，使得，即，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，故，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍.7．（2020年全國(guó)新高考Ⅰ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程即可；（2）方法一：由（1）可得，易知在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，采用反證法，推出矛盾即可.【詳解】（1）因?yàn)?，由題意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱(chēng)軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋O(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．（?。┤?，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法五］：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．．則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．（2023年全國(guó)新高考Ⅱ卷（文））（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.9．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷（文）數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【詳解】（1），，.，∴切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1+e),∴函數(shù)在點(diǎn)(1,f(1)處的切線方程為,即,切線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)分別為,∴所求三角形面積為．（2）［方法一］：通性通法,，且.設(shè),則∴g(x)在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，,∴,∴成立.當(dāng)時(shí)，，，,∴存在唯一，使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，，因此>1,∴∴恒成立；當(dāng)時(shí)，∴不是恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[1,+∞).［方法二］【最優(yōu)解】：同構(gòu)由得，即，而，所以．令，則，所以在R上單調(diào)遞增．由，可知，所以，所以．令，則．所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以，則，即．所以a的取值范圍為．［方法三］：換元同構(gòu)由題意知，令，所以，所以．于是．由于，而在時(shí)為增函數(shù)，故，即，分離參數(shù)后有．令，所以．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，取得最大值為．所以．［方法四］：因?yàn)槎x域?yàn)?，且，所以，即．令，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以時(shí)，有，即．下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立．令，只需證當(dāng)時(shí)，恒成立．因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則．因此要證明時(shí)，恒成立，只需證明即可．由，得．上面兩個(gè)不等式兩邊相加可得，故時(shí)，恒成立．當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋@然不滿足恒成立．所以a的取值范圍為．考點(diǎn)03三角函數(shù)相關(guān)導(dǎo)數(shù)問(wèn)題一、解答題1．（2023年全國(guó)高考Ⅱ卷）（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）已知函數(shù)，若是的極大值點(diǎn)，求a的取值范圍．【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）【詳解】（1）構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；構(gòu)建，則，構(gòu)建，則對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，即對(duì)恒成立，則在上單調(diào)遞增，可得，所以；綜上所述：.（2）令，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?，若，則，因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故是的極小值點(diǎn)，不合題意，所以.當(dāng)時(shí)，令因?yàn)?，且，所以函?shù)在定義域內(nèi)為偶函數(shù)，由題意可得：，（i）當(dāng)時(shí)，取，，則，由（1）可得，且，所以，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞減，所以是的極小值點(diǎn)，不合題意；（ⅱ）當(dāng)時(shí)，取，則，由（1）可得，構(gòu)建，則，且，則對(duì)恒成立，可知在上單調(diào)遞增，且，所以在內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則，且，則，即當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：在上單調(diào)遞增，所以是的極大值點(diǎn)，符合題意；綜上所述：，即，解得或，故a的取值范圍為.2．（2023·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．【答案】(1)答案見(jiàn)解析.(2)【分析】（1）求導(dǎo),然后令,討論導(dǎo)數(shù)的符號(hào)即可;（2）構(gòu)造,計(jì)算的最大值,然后與0比較大小,得出的分界點(diǎn),再對(duì)討論即可.【詳解】（1）令,則則當(dāng)當(dāng),即.當(dāng),即.所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減（2）設(shè)設(shè)所以.若,即在上單調(diào)遞減,所以.所以當(dāng),符合題意.若當(dāng),所以..所以,使得,即,使得.當(dāng),即當(dāng)單調(diào)遞增.所以當(dāng),不合題意.綜上,的取值范圍為.3．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）已知，函數(shù)(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若和有公共點(diǎn)，（i）當(dāng)時(shí)，求的取值范圍；（ii）求證：．【答案】(1)(2)（i）；（ii）證明見(jiàn)解析【詳解】（1），故，而，曲線在點(diǎn)處的切線方程為即.（2）（i）當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，故有解，設(shè)，故，故在上有解，設(shè)，故在上有零點(diǎn)，而，若，則恒成立，此時(shí)在上無(wú)零點(diǎn)，若，則在上恒成立，故在上為增函數(shù)，而，，故在上無(wú)零點(diǎn)，故，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，，故在上存在唯一零點(diǎn)，且時(shí)，；時(shí)，；故時(shí)，；時(shí)，；所以在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故，因?yàn)樵谏嫌辛泓c(diǎn)，故，故，而，故即，設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，而，故.（ii）因?yàn)榍€和有公共點(diǎn)，所以有解，其中，若，則，該式不成立，故.故，考慮直線，表示原點(diǎn)與直線上的動(dòng)點(diǎn)之間的距離，故，所以，下證：對(duì)任意，總有，證明：當(dāng)時(shí)，有，故成立.當(dāng)時(shí)，即證，設(shè)，則（不恒為零），故在上為減函數(shù)，故即成立.綜上，成立.下證：當(dāng)時(shí)，恒成立，，則，故在上為增函數(shù)，故即恒成立.下證：在上恒成立，即證：，即證：，即證：，而，故成立.故，即成立.4．（2020年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)f(x)=sin2xsin2x.（1）討論f(x)在區(qū)間(0，π)的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)n∈N*，證明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.【答案】（1）當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.（2）證明見(jiàn)解析；（3）證明見(jiàn)解析.(3)[方法一]將所給的式子進(jìn)行恒等變形，構(gòu)造出(2)的形式，利用(2)的結(jié)論即可證得題中的不等式.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，則：，在上的根為：，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.(2)[方法一]【最優(yōu)解】：基本不等式法由四元均值不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)等號(hào)成立．所以．[方法二]：構(gòu)造新函數(shù)+齊次化方法因?yàn)?，令，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最大值．求導(dǎo)得，令，得．當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的最大值為，故．[方法三]：結(jié)合函數(shù)的周期性進(jìn)行證明注意到，故函數(shù)是周期為的函數(shù)，結(jié)合(1)的結(jié)論，計(jì)算可得：，，，據(jù)此可得：，，即.(3)利用(2)的結(jié)論由于，所以．5．（2021年全國(guó)高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)f（x）=2sinx－xcosx－x，f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：f′（x）在區(qū)間（0，π）存在唯一零點(diǎn)；（2）若x∈[0，π]時(shí)，f（x）≥ax，求a的取值范圍．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）.【詳解】（1）令，則當(dāng)時(shí)，令，解得：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減又，，即當(dāng)時(shí)，，此時(shí)無(wú)零點(diǎn)，即無(wú)零點(diǎn)

，使得又在上單調(diào)遞減

為，即在上的唯一零點(diǎn)綜上所述：在區(qū)間存在唯一零點(diǎn)（2）若時(shí)，，即恒成立令則，由（1）可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減且，，，①當(dāng)時(shí)，，即在上恒成立在上單調(diào)遞增，即，此時(shí)恒成立②當(dāng)時(shí)，，，，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減又，在上恒成立，即恒成立③當(dāng)時(shí)，，，使得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增時(shí)，，可知不恒成立④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減

可知不恒成立綜上所述：考點(diǎn)04導(dǎo)數(shù)類(lèi)綜合問(wèn)題1（2024·北京·高考真題）設(shè)函數(shù)，直線是曲線在點(diǎn)處的切線．(1)當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間.(2)求證：不經(jīng)過(guò)點(diǎn).(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)，，，為與軸的交點(diǎn)，與分別表示與的面積．是否存在點(diǎn)使得成立？若存在，這樣的點(diǎn)有幾個(gè)？（參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明見(jiàn)解析(3)2【詳解】（1），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.則的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2），切線的斜率為，則切線方程為，將代入則，即，則，，令，假設(shè)過(guò)，則在存在零點(diǎn).，在上單調(diào)遞增，，在無(wú)零點(diǎn)，與假設(shè)矛盾，故直線不過(guò).（3）時(shí)，.，設(shè)與軸交點(diǎn)為，時(shí)，若，則此時(shí)與必有交點(diǎn)，與切線定義矛盾.由（2）知.所以，則切線的方程為，令，則.，則，，記，滿足條件的有幾個(gè)即有幾個(gè)零點(diǎn).，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；因?yàn)椋杂闪泓c(diǎn)存在性定理及的單調(diào)性，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，在上必有一個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，有兩個(gè)零點(diǎn)，即滿足的有兩個(gè).2．（2024·天津·高考真題）設(shè)函數(shù)．(1)求圖象上點(diǎn)處的切線方程；(2)若在時(shí)恒成立，求的值；(3)若，證明．【答案】(1)(2)2(3)證明過(guò)程見(jiàn)解析【詳解】（1）由于，故.所以，，所以所求的切線經(jīng)過(guò)，且斜率為，故其方程為.（2）設(shè)，則，從而當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增，這就說(shuō)明，即，且等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng).設(shè)，則.當(dāng)時(shí)，的取值范圍是，所以命題等價(jià)于對(duì)任意，都有.一方面，若對(duì)任意，都有，則對(duì)有，取，得，故.再取，得，所以.另一方面，若，則對(duì)任意都有，滿足條件.綜合以上兩個(gè)方面，知的值是2.（3）先證明一個(gè)結(jié)論：對(duì)，有.證明：前面已經(jīng)證明不等式，故，且，所以，即.由，可知當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí).所以在上遞減，在上遞增.不妨設(shè)，下面分三種情況（其中有重合部分）證明本題結(jié)論.情況一：當(dāng)時(shí)，有，結(jié)論成立；情況二：當(dāng)時(shí)，有.對(duì)任意的，設(shè)，則.由于單調(diào)遞增，且有，且當(dāng)，時(shí)，由可知.所以在上存在零點(diǎn)，再結(jié)合單調(diào)遞增，即知時(shí)，時(shí).故在上遞減，在上遞增.①當(dāng)時(shí)，有；②當(dāng)時(shí)，由于，故我們可以取.從而當(dāng)時(shí)，由，可得.再根據(jù)在上遞減，即知對(duì)都有；綜合①②可知對(duì)任意，都有，即.根據(jù)和的任意性，取，，就得到.所以.情況三：當(dāng)時(shí)，根據(jù)情況一和情況二的討論，可得，.而根據(jù)的單調(diào)性，知或.故一定有成立.綜上，結(jié)論成立.3．（2023·全國(guó)乙卷）已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)是否存在a，b，使得曲線關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，若存在，求a，b的值，若不存在，說(shuō)明理由.(3)若在存在極值，求a的取值范圍.【答案】(1)；(2)存在滿足題意，理由見(jiàn)解析.(3).【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，據(jù)此可得，函數(shù)在處的切線方程為，即.（2）由函數(shù)的解析式可得，函數(shù)的定義域滿足，即函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，由題意可得，由對(duì)稱(chēng)性可知，取可得，即，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，故.即存在滿足題意.（3）由函數(shù)的解析式可得，由在區(qū)間存在極值點(diǎn)，則在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn);令，則，令，在區(qū)間存在極值點(diǎn)，等價(jià)于在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，此時(shí)，在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不合題意;當(dāng)，時(shí)，由于，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，所以在區(qū)間上無(wú)零點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，由可得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故的最小值為，令，則，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，，據(jù)此可得恒成立，則，令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，故，即(取等條件為)，所以，，且注意到，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知:在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，單調(diào)減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以.令，則，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上存在變號(hào)零點(diǎn)，符合題意.綜合上面可知:實(shí)數(shù)得取值范圍是.4．（2022·全國(guó)甲卷）已知函數(shù)．(1)若，求a的取值范圍；(2)證明：若有兩個(gè)零點(diǎn)，則．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)的解析【詳解】（1）[方法一]：常規(guī)求導(dǎo)的定義域?yàn)?，則令,得當(dāng)單調(diào)遞減當(dāng)單調(diào)遞增，若,則,即所以的取值范圍為[方法二]：同構(gòu)處理由得：令，則即令，則故在區(qū)間上是增函數(shù)故，即所以的取值范圍為（2）[方法一]：構(gòu)造函數(shù)由題知,一個(gè)零點(diǎn)小于1,一個(gè)零點(diǎn)大于1，不妨設(shè)要證,即證因?yàn)?即證又因?yàn)?故只需證即證即證下面證明時(shí)，設(shè)，則設(shè)所以,而所以,所以所以在單調(diào)遞增即,所以令所以在單調(diào)遞減即,所以；綜上,,所以.[方法二]：對(duì)數(shù)平均不等式由題意得：令，則，所以在上單調(diào)遞增，故只有1個(gè)解又因?yàn)橛袃蓚€(gè)零點(diǎn)，故兩邊取對(duì)數(shù)得：，即又因?yàn)椋剩聪伦C因?yàn)椴环猎O(shè)，則只需證構(gòu)造，則故在上單調(diào)遞減故，即得證5．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù)和有相同的最小值．(1)求a；(2)證明：存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，并且從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列．【答案】(1)(2)見(jiàn)解析【詳解】（1）的定義域?yàn)?，而，若，則，此時(shí)無(wú)最小值，故.的定義域?yàn)?，?當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，故.因?yàn)楹陀邢嗤淖钚≈?，故，整理得到，其中，設(shè)，則，故為上的減函數(shù)，而，故的唯一解為，故的解為.綜上，.（2）[方法一]：由（1）可得和的最小值為.當(dāng)時(shí)，考慮的解的個(gè)數(shù)、的解的個(gè)數(shù).設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，設(shè)，其中，則，故在上為增函數(shù)，故，故，故有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，即的解的個(gè)數(shù)為2.設(shè)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，所以，而，，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)即的解的個(gè)數(shù)為2.當(dāng)，由（1）討論可得、僅有一個(gè)解，當(dāng)時(shí)，由（1）討論可得、均無(wú)根，故若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，則.設(shè)，其中，故，設(shè)，，則，故在上為增函數(shù)，故即，所以，所以在上為增函數(shù)，而，，故上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，且：當(dāng)時(shí)，即即，當(dāng)時(shí)，即即，因此若存在直線與曲線、有三個(gè)不同的交點(diǎn)，故，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，此時(shí)有兩個(gè)不同的根，故，，，所以即即，故為方程的解，同理也為方程的解又可化為即即，故為方程的解，同理也為方程的解，所以，而，故即.[方法二]：由知，，，且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且①時(shí)，此時(shí)，顯然與兩條曲線和共有0個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；②時(shí)，此時(shí)，故與兩條曲線和共有2個(gè)交點(diǎn)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為0和1；③時(shí)，首先，證明與曲線有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為其次，證明與曲線和有2個(gè)交點(diǎn)，即證明有2個(gè)零點(diǎn)，，所以上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，，令，則，所以在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為，在上存在且只存在1個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為再次，證明存在b，使得因?yàn)?，所以，若，則，即，所以只需證明在上有解即可，即在上有零點(diǎn)，因?yàn)椋?，所以在上存在零點(diǎn)，取一零點(diǎn)為，令即可，此時(shí)取則此時(shí)存在直線，其與兩條曲線和共有三個(gè)不同的交點(diǎn)，最后證明，即從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列，因?yàn)樗?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，即，所以，同理，因?yàn)?，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，即，，所以，又因?yàn)?，所以，即直線與兩條曲線和從左到右的三個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)成等差數(shù)列.6．（2022年全國(guó)高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．(1)當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性；(2)當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；(3)設(shè)，證明：．【答案】(1)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.(2)(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）設(shè)，則，又，設(shè)，則，若，則，因?yàn)闉檫B續(xù)不間斷函數(shù)，故存在，使得，總有，故在為增函數(shù)，故，故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.若，則，下證：對(duì)任意，總有成立，證明：設(shè)，故，故在上為減函數(shù)，故即成立.由上述不等式有，故總成立，即在上為減函數(shù)，所以.當(dāng)時(shí)，有，

所以在上為減函數(shù)，所以.綜上，.（3）取，則，總有成立，令，則，故即對(duì)任意的恒成立.所以對(duì)任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.7．（2021·全國(guó)乙卷）設(shè)函數(shù)，已知是函數(shù)的極值點(diǎn)．（1）求a；（2）設(shè)函數(shù)．證明:．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）由題意求出，由極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0即可求解出參數(shù)；（2）由（1）得，且，分類(lèi)討論和，可等價(jià)轉(zhuǎn)化為要證，即證在和上恒成立，結(jié)合導(dǎo)數(shù)和換元法即可求解【詳解】（1）由，，又是函數(shù)的極值點(diǎn)，所以，解得；（2）[方法一]：轉(zhuǎn)化為有分母的函數(shù)由（Ⅰ）知，，其定義域?yàn)椋C，即證，即證．（?。┊?dāng)時(shí)，，，即證．令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，，即證，由（?。┓治鲋趨^(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，所以．綜合（?。áⅲ┯校甗方法二]【最優(yōu)解】：轉(zhuǎn)化為無(wú)分母函數(shù)由（1）得，，且，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；同理，當(dāng)時(shí)，要證，，，即證，化簡(jiǎn)得；令，再令，則，，令，，當(dāng)時(shí)，，單減，故；當(dāng)時(shí)，，單增，故；綜上所述，在恒成立.[方法三]：利用導(dǎo)數(shù)不等式中的常見(jiàn)結(jié)論證明令，因?yàn)?，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，所以，即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）．故當(dāng)且時(shí)，且，，即，所以．（ⅰ）當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，同理可證得．綜合（?。áⅲ┑?，當(dāng)且時(shí)，，即．8．（2022年全國(guó)新高考Ⅰ卷）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)，為兩個(gè)不相等的正數(shù)，且，證明：.【答案】（1）的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見(jiàn)解析.【詳解】(1)的定義域?yàn)椋傻?，，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，．故在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，(2)[方法一]：等價(jià)轉(zhuǎn)化由得，即．由，得．由（1）不妨設(shè)，則，從而，得，①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)，，從而，所以，由（1）得即．①令，則，當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)，，從而，所以．又由，可得，所以．②由①②得．[方法二]【最優(yōu)解】：變形為，所以．令．則上式變?yōu)椋谑敲}轉(zhuǎn)換為證明：．令，則有，不妨設(shè)．由（1）知，先證．要證：．令，則，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即．再證．因?yàn)?，所以需證．令，所以，故在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．所以．故，即．綜合可知．[方法三]：比值代換證明同證法2．以下證明．不妨設(shè)，則，由得，，要證，只需證，兩邊取對(duì)數(shù)得，即，即證．記，則.記，則，所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．，則，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．由得，所以，即．[方法四]：構(gòu)造函數(shù)法由已知得，令，不妨設(shè)，所以．由（Ⅰ）知，，只需證．證明同證法2．再證明．令．令，則．所以，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即又因?yàn)?，所以，即．因?yàn)椋裕矗C上，有結(jié)論得證．9．（2022年全國(guó)新高考Ⅱ卷）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）從下面兩個(gè)條件中選一個(gè)，證明：只有一個(gè)零點(diǎn)①；②．【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析.【詳解】(1)由函數(shù)的解析式可得：，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增；(2)若選擇條件①：由于，故，則，而，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.若選擇條件②：由于，故，則，當(dāng)時(shí)，，，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，注意到，故恒成立，從而有：，此時(shí)：，當(dāng)時(shí)，，取，則，即：，而函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，故函數(shù)在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn).，由于，，故，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可知函數(shù)在區(qū)間上沒(méi)有零點(diǎn).綜上可得，題中的結(jié)論成立.10．（2020年全國(guó)高考Ⅲ卷）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)(，f())處的切線與y軸垂直．（1）求b．（2）若有一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，證明：所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋深}意，，即：，則．（2）［方法一］：通性通法由（1）可得，，令，得或；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且，若所有零點(diǎn)中存在一個(gè)絕對(duì)值大于1的零點(diǎn)，則或，即或.當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；當(dāng)時(shí)，，又，由零點(diǎn)存在性定理知在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，即在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，在上不存在零點(diǎn)，此時(shí)不存在絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，與題設(shè)矛盾；綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1.［方法二］【最優(yōu)解】：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)，且，則．從而．令，由判別式，可知在R上有解，的對(duì)稱(chēng)軸是，所以在區(qū)間上有一根為，在區(qū)間上有一根為（當(dāng)時(shí)，），進(jìn)而有，所以的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值均不大于1．［方法三］：設(shè)是函數(shù)的一個(gè)絕對(duì)值不大于1的零點(diǎn)，且．設(shè)，則，顯然在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．又，于是的值域?yàn)椋O(shè)為函數(shù)的零點(diǎn)，則必有，于是，所以解得，即．綜上，的所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法四］：由（1）知，，令，得或．則在區(qū)間內(nèi)遞增，在區(qū)間內(nèi)遞減，在區(qū)間內(nèi)遞增，所以的極大值為的極小值為．（ⅰ）若，即或，有唯一一個(gè)零點(diǎn)，顯然有，不滿足題意；（ⅱ）若，即或，有兩個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)一個(gè)零點(diǎn)為，顯然有，此時(shí)，，則，另一個(gè)零點(diǎn)為1，滿足題意；同理，若一個(gè)零點(diǎn)為，則另一個(gè)零點(diǎn)為．（ⅲ）若，即，有三個(gè)零點(diǎn)，易知在區(qū)間內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，不妨設(shè)為，顯然有，又，，所以在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)m，顯然，同理，在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)n，有．綜上，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．［方法五］：設(shè)是的一個(gè)零點(diǎn)且，則是的另一個(gè)零點(diǎn)．．則，設(shè)，由判別式，所以方程有解．假設(shè)實(shí)數(shù)滿足．由，得．與矛盾，假設(shè)不成立．所以，所有零點(diǎn)的絕對(duì)值都不大于1．11．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．(1)求的值；(2)設(shè)函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；(3)求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)(2)答案見(jiàn)解析(3)3個(gè)【詳解】（1）因?yàn)椋?，因?yàn)樵谔幍那芯€方程為，所以，，則，解得，所以.（2）由（1）得，則，令，解得，不妨設(shè)，，則，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，即的單調(diào)遞減區(qū)間為和，單調(diào)遞增區(qū)間為和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，即所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；所以在上有一個(gè)極大值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，故，所以在上存在唯一零點(diǎn)，不妨設(shè)為，則，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以在上有一個(gè)極小值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，所以，則單調(diào)遞增，所以在上無(wú)極值點(diǎn)；綜上：在和上各有一個(gè)極小值點(diǎn)，在上有一個(gè)極大值點(diǎn)，共有個(gè)極值點(diǎn).12．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)．(1)求曲線在處切線的斜率；(2)當(dāng)時(shí)，證明：；(3)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1），則，所以，故處的切線斜率為；（2）要證時(shí)，即證，令且，則，所以在上遞增，則，即.所以時(shí).（3）設(shè)，，則，由（2）知：，則，所以，故在上遞