北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高三（上）期末數(shù)學(xué)試題（含答案）

北京市東城區(qū)2024-2025學(xué)年高三（上）期末數(shù)學(xué)試題本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘?？忌鷦?wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（A）（B）（C）（D）（3）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角以O(shè)x為始邊，它的終邊繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后與軸的非負(fù)半軸重合，則（A） （B）（C） （D）（4）近年來，人工智能快速發(fā)展，AI算法是人工智能的核心技術(shù)之一.現(xiàn)有一臺(tái)計(jì)算機(jī)平均每秒可進(jìn)行次運(yùn)算，在這臺(tái)計(jì)算機(jī)上運(yùn)行某個(gè)AI算法來生成一個(gè)文案需要次運(yùn)算，則生成這個(gè)文案需要的時(shí)間約為（本題?。ˋ）秒 （B）秒（C）秒 （D）秒（5）設(shè)等比數(shù)列的公比為，前項(xiàng)和為，使有最小值的一組和可以為（A）， （B），（C），（D）， （6）已知平面向量，，為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）下列函數(shù)中，使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（8）在平面直角坐標(biāo)系中，整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn).已知一個(gè)圓經(jīng)過，，三點(diǎn)，則該圓經(jīng)過的整點(diǎn)共有（A）個(gè) （B）個(gè)（C）個(gè) （D）個(gè)（9）如圖，在棱長(zhǎng)為6的正四面體中，以為頂點(diǎn)的圓錐在正四面體的內(nèi)部（含表面），則該圓錐體積的最大值為（A） （B） （C） （D）（10）已知.用表示中的最大值，設(shè).若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分．（11）函數(shù)的定義域?yàn)?（12）在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）（13）寫出一個(gè)焦點(diǎn)在軸上且離心率為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：.（14）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中，對(duì)于，數(shù)列，，是公差為的等差數(shù)列，且也是等差數(shù)列.已知，，，則_________；的前9項(xiàng)和等于_______.（15）已知非空數(shù)集,滿足：（=1\*romani），有；（=2\*romanii），，有；（=3\*romaniii）且，有，則稱是的“理想子集”.給出下列四個(gè)結(jié)論：=1\*GB3①若,則是的“理想子集”；=2\*GB3②若是的“理想子集”，且存在非零實(shí)數(shù)，則；=3\*GB3③若，是的“理想子集”，則也是的“理想子集”；=4\*GB3④若，是的“理想子集”，則也是的“理想子集”.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是______________．解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△ABC中，為鈍角，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使得△ABC存在，求．條件①：；條件②：；條件③：△ABC的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，側(cè)面與底面垂直，△為正三角形，底面為菱形，，，分別為棱，的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．（18）（本小題13分）某甜品店打算推出三款新品，在前期市場(chǎng)調(diào)研時(shí)，將顧客按照年齡分為青少年組、中年組和老年組.隨機(jī)調(diào)查了200名顧客對(duì)這三款新品的購(gòu)買意愿，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下（單位：人）：青少年組中年組老年組愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意第一款402080202020第二款303060403010第三款501080201030假設(shè)顧客購(gòu)買的意愿相互獨(dú)立.用頻率來估計(jì)概率.（Ⅰ）從顧客中隨機(jī)抽取1人，估計(jì)該名顧客愿意購(gòu)買第一款新品的概率；（Ⅱ）從三個(gè)不同年齡組的顧客中各隨機(jī)抽取1人，記為這3人中愿意購(gòu)買第二款新品的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）用“”表示顧客愿意購(gòu)買第款新品，“”表示顧客不愿意購(gòu)買第款新品．直接寫出方差，，的大小關(guān)系．（19）（本小題15分）設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（Ⅱ）求的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)；（Ⅲ）若時(shí)，，求的取值范圍．（20）（本小題15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，且焦距為2.為第一象限內(nèi)上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作斜率為的直線分別與交于點(diǎn)（均異于點(diǎn)），直線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，直線與軸交于點(diǎn)．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）當(dāng)時(shí),求點(diǎn)橫坐標(biāo)．

（21）（本小題15分）已知有窮正整數(shù)數(shù)列滿足：，且當(dāng)時(shí)，總有.定義數(shù)列,其中，.當(dāng)時(shí)，稱數(shù)列具有性質(zhì).（Ⅰ）判斷下列數(shù)列是否具有性質(zhì)；=1\*GB3①4，3，2，1；=2\*GB3②1，2，3，5，4.（Ⅱ）已知數(shù)列具有性質(zhì)，求的最小值；（Ⅲ）是否存在數(shù)列具有性質(zhì)，且？若存在，請(qǐng)找到使最小的一個(gè)數(shù)列；若不存在，請(qǐng)說明理由.（考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）D （3）A （4）B（5）B（6）C （7）B （8）D （9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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） （12）（13）（答案不唯一）（14）12,140（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ 三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因?yàn)?，由正弦定理得又因?yàn)?，所以因?yàn)?，所以因?yàn)椋裕?分（Ⅱ）若選條件=1\*GB3①：因?yàn)?，所以．因?yàn)椋?所以．此時(shí)，為鈍角，符合題意．……13分若選條件=3\*GB3③：因?yàn)椤鰽BC的面積為，所以.由（=1\*ROMANI）知，所以.由余弦定理得，即.所以.因?yàn)闉殁g角，所以.此時(shí)，為鈍角，符合題意．…13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取的中點(diǎn)，連接.在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，所以且.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，底面為菱形，所以且.所以且.所以四邊形為平行四邊形.所以.又因?yàn)?，，所以平?………………6分（Ⅱ）連接,.因?yàn)闉檎切危?因?yàn)閭?cè)面與底面垂直，側(cè)面底面,平面，所以底面.所以.由題知為正三角形，為的中點(diǎn),所以.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則．于是，，，，，，.所以,.設(shè)是平面的法向量，則即令，則，.于是．因?yàn)?，所?所以直線與平面所成角的正弦值為.…………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，在200人中愿意購(gòu)買第一款新品的人數(shù)為，所以該名顧客愿意購(gòu)買第一款新品的概率可估計(jì)為.………4分（Ⅱ）由題設(shè)，的所有可能值為0，1，2，3.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得青少年組的人數(shù)為.隨機(jī)抽取1人，此人愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為，此人不愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為.中年組的人數(shù)為.隨機(jī)抽取1人，此人愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為，此人不愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為.老年組的人數(shù)為.隨機(jī)抽取1人，此人愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為，此人不愿意購(gòu)買第二款新品的概率可估計(jì)為.所以可估計(jì)為，可估計(jì)為，可估計(jì)為，可估計(jì)為.的分布列為：0123所以.………10分（Ⅲ）.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，．所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令，．由知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，又，則存在唯一，使得．當(dāng)變化時(shí)，的情況如下：↗極大值↘由上表可知，的極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為1.………………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且時(shí)，.若，則，符合題意；若，則由知.當(dāng)，且時(shí)，，因此，與題設(shè)矛盾.綜上，的取值范圍為．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題意得解得，．所以的方程為．………………5分（Ⅱ）設(shè)，，，，.則直線，.由得.所以，故．由得.所以，故．因?yàn)闉榫€段中點(diǎn)，所以，故直線．令，則，所以．設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，因?yàn)?，，，共線，所以.解得．所以.因?yàn)椋裕C上，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為．………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①4，3，2，1不具有性質(zhì)；=2\*GB3②1，2，3，5，4具