高中數(shù)學(xué)四作業(yè)2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精課時(shí)作業(yè)(三十二)1．計(jì)算1－2sin222.5°的結(jié)果等于(）A.eq\f(1，2） B。eq\f（\r(2),2)C.eq\f(\r(3),3） D。eq\f（\r（3）,2）答案B解析1－2sin222。5°＝cos45°＝eq\f（\r(2),2)。2．求eq\f（1，1－tan22。5°)－eq\f(1，1＋tan22.5°）的值是（）A．0 B．1C．－1 D。eq\f(\r(2），2)答案B解析原式＝eq\f（2tan22。5°，1－tan222。5°)＝tan45°＝1.3．若sineq\f（θ，2）＝eq\f(3，5)，coseq\f（θ,2）＝－eq\f（4,5)，則θ在（）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案D解析cosθ＝2cos2eq\f(θ,2)－1＝2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)）)eq\s\up12（2)－1＝eq\f（7，25）〉0，sinθ＝2sineq\f(θ，2）·coseq\f（θ,2）＝2×eq\f(3,5）×eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(－\f(4，5）))＝－eq\f(24，25）<0,∴θ在第四象限．4．若α∈(0，π),且cosα＋sinα＝－eq\f（1，3），則cos2α等于(）A。eq\f(\r(17),9) B．±eq\f（\r(17),9）C．－eq\f(\r(17），9） D。eq\f（\r（17),3）答案A解析將cosα＋sinα＝－eq\f（1,3）平方整理得2sinα·cosα＝－eq\f(8,9).∵α∈（0，π)，∴cosα〈0，sinα>0.∴cosα－sinα＝－eq\r(（cosα－sinα)2）＝－eq\r(1－2sinαcosα)＝－eq\f(\r（17），3）?！郼os2α＝cos2α－sin2α＝（cosα＋sinα)(cosα－sinα)＝(－eq\f（1，3))×(－eq\f(\r(17）,3))＝eq\f(\r(17）,9）.5.eq\r(1＋cos100°)－eq\r(1－cos100°）等于（）A．－2cos5° B．2cos5°C．2sin5° D．－2sin5°答案D解析原式＝eq\r（2cos250°）－eq\r(2sin250°)＝eq\r(2)(cos50°－sin50°）＝2(eq\f(\r(2),2)cos50°－eq\f（\r(2）,2）sin50°）＝2sin(45°－50°)＝2sin(－5°）＝－2sin5°.6．已知等腰三角形底角的余弦為eq\f(2,3），則頂角的正弦值是（）A。eq\f（2\r（5），9) B.eq\f（4\r（5），9）C．－eq\f（4\r(5）,9） D．－eq\f（2\r(5）,9）答案B解析∵sin(π－2α)＝sin2α＝2sinαcosα＝2×eq\r(1－(\f（2,3）)2)×eq\f（2，3）＝eq\f(4\r（5)，9)。7．若eq\f（cos2α,sin(α－\f(π，4)））＝－eq\f(\r(2)，2）,則cosα＋sinα的值為(）A．－eq\f（\r（7），2） B．－eq\f(1，2)C。eq\f（1，2) D。eq\f（\r（7），2）答案C解析原式＝eq\f(cos2α－sin2α,－\f(\r(2)，2）（cosα－sinα))＝－eq\f(\r(2）,2),化簡得sinα＋cosα＝eq\f（1,2)。8．若△ABC的內(nèi)角A滿足sin2A＝eq\f(2，3)，則sinA＋cosA的值為（)A。eq\f（\r(15），3） B．－eq\f(\r(15）,3)C.eq\f（5，3） D．－eq\f(5，3)答案A解析方法一∵sin2A＝2sinAcosA＝eq\f（2,3）,∴1＋2sinAcosA＝eq\f(5，3），即sin2A＋2sinAcosA＋cos2A＝eq\f（5,3）.∴|sinA＋cosA｜＝eq\f（\r（15）,3)。又∵A為銳角，∴sinA＋cosA＝eq\f(\r(15),3），故選A。方法二∵A為銳角，∴sinA＋cosA>0.∴B、D不合題意．若sinA＋cosA＝eq\f(\r(15），3），則（sinA＋cosA）2＝eq\f(5,3)＝1＋2sinAcosA＝1＋sin2A。∴sin2A＝eq\f(2,3），滿足題意,故選A。9．若sinxtanx<0，則eq\r(1＋cos2x)等于（)A。eq\r(2）cosx B．－eq\r（2）cosxC。eq\r（2）sinx D．－eq\r(2)sinx答案B解析∵sinx·tanx<0，即eq\f（sin2x,cosx）<0，∴cosx〈0.又eq\r(1＋cos2x）＝eq\r（1＋2cos2x－1）＝eq\r(2cos2x)＝－eq\r(2)cosx.10．函數(shù)f（x)＝sin2x＋eq\r（3)sinxcosx在區(qū)間［eq\f(π，4）,eq\f(π，2）］上的最大值是（)A．1 B。eq\f(1＋\r(3）,2）C。eq\f(3,2) D．1＋eq\r（3)答案C解析f（x）＝sin2x＋eq\r(3）sinxcosx＝eq\f(1－cos2x,2）＋eq\f（\r（3)，2）sin2x＝sin（2x－eq\f(π,6）)＋eq\f(1,2），x∈[eq\f（π,4),eq\f(π,2)]，∴2x－eq\f（π,6)∈［eq\f(π,3）,eq\f(5π，6）］．∴f(x)的最大值為eq\f（3,2）。11．(高考真題·江西卷）若tanθ＋eq\f（1,tanθ)＝4，則sin2θ＝()A。eq\f（1，5） B。eq\f(1,4)C。eq\f(1，3） D。eq\f（1,2)答案D解析∵tanθ＋eq\f(1，tanθ）＝eq\f(1＋tan2θ，tanθ)＝4，∴4tanθ＝1＋tan2θ.∴sin2θ＝2sinθcosθ＝eq\f(2sinθcosθ,sin2θ＋cos2θ)＝eq\f(2tanθ，1＋tan2θ）＝eq\f(2tanθ，4tanθ）＝eq\f(1,2）.12．已知sin（eq\f(π,4）－x)＝eq\f（3,5)，則sin2x的值為________．答案eq\f（7，25）解析sin2x＝cos(eq\f（π,2)－2x）＝cos2（eq\f(π，4）－x）＝1－2sin2（eq\f(π，4)－x）＝eq\f(7，25）.13．若cos(eq\f(π,4）－θ)cos（eq\f（π，4)＋θ）＝eq\f（\r（2）,6)（0〈θ<eq\f(π，2))，則sin2θ＝________．答案eq\f(\r(7)，3)解析cos(eq\f（π,4）－θ)cos(eq\f(π,4）＋θ)＝cos[eq\f（π,2）－（eq\f(π,4）＋θ）］cos（eq\f（π，4）＋θ)＝sin（eq\f(π,4)＋θ)cos（eq\f（π，4)＋θ）＝eq\f(1,2）sin[2(eq\f（π,4)＋θ)］＝eq\f(1,2)sin（eq\f(π,2)＋2θ）＝eq\f（1,2)cos2θ＝eq\f(\r(2），6),∴cos2θ＝eq\f（\r(2)，3)，∴sin2θ＝±eq\r(1－cos22θ）＝±eq\f（\r（7），3）.又∵0<θ〈eq\f（π,2)，∴0〈2θ〈π，∴sin2θ＝eq\f(\r（7），3).14．在△ABC中，cos（eq\f(π,4）＋A)＝eq\f(5，13），求cos2A的值．解析在△ABC中，cos(eq\f(π，4）＋A)＝eq\f（5，13)>0.∴sin(eq\f(π，4）＋A）＝eq\r（1－cos2(\f（π，4）＋A)）＝eq\f(12，13).∴cos2A＝sin(eq\f（π,2)＋2A)＝sin2（eq\f（π,4）＋A)＝2sin（eq\f（π,4)＋A)·cos(eq\f（π,4）＋A)＝2×eq\f（12,13）×eq\f(5，13）＝eq\f（120，169）。15．已知tan(eq\f(π，4)＋α）＝eq\f（1,3），(1）求tanα的值；（2）求eq\f（sin2α－cos2α,1＋cos2α）的值．解析（1)方法一：∵tan（eq\f（π，4）＋α)＝eq\f（1,3),∴tanα＝tan[（eq\f(π，4)＋α)－eq\f(π,4）］＝eq\f（tan(\f(π,4）＋α)－tan\f（π，4）,1＋tan(\f(π,4）＋α）·tan\f（π,4）)＝eq\f(\f(1,3）－1，1＋\f(1,3)）＝－eq\f（1,2)。方法二:∵tan(eq\f（π，4）＋α)＝eq\f（tan\f(π，4）＋tanα，1－tan\f(π，4)·tanα）＝eq\f（1＋tanα,1－tanα）＝eq\f(1,3),∴tanα＝－eq\f（1，2)。（2)方法一:原式＝eq\f（2sinαcosα－cos2α，2cos2α)＝tanα－eq\f(1,2)＝－eq\f（1，2)－eq\f(1,2)＝－1。方法二：sin2α＝eq\f(2sinαcosα，sin2α＋cos2α）＝eq\f（2tanα,1＋tan2α），cos2α＝eq\f（cos2α－sin2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1－tan2α,1＋tan2α)。原式＝eq\f(sin2α,1＋cos2α）－eq\f(1，2）＝eq\f（\f（2tanα,1＋tan2α），1＋\f(1－tan2α,1＋tan2α）)－eq\f(1，2）＝tanα－eq\f（1，2）＝－eq\f(1，2）－eq\f(1，2)＝－1。?重點(diǎn)班·選做題16．（高考真題·山東卷)若θ∈[eq\f（π，4），eq\f(π,2）］，sin2θ＝eq\f（3\r（7)，8），則sinθ＝（)A.eq\f(3,5） B。eq\f（4，5）C.eq\f(\r（7)，4） D。eq\f（3,4)答案D解析因?yàn)棣取剩踖q\f(π，4)，eq\f（π,2）]，所以2θ∈[eq\f(π,2)，π］，所以cos2θ<0,所以cos2θ＝－eq\r(1－sin22θ）＝－eq\f(1,8）.又cos2θ＝1－2sin2θ＝－eq\f（1，8），所以sin2θ＝eq\f(9,16)，所以sinθ＝eq\f（3,4）,選D.17．已知cos（x－eq\f（π,4））＝eq\f(\r(2）,10），x∈(eq\f（π,2)，eq\f（3π，4））．（1)求sinx的值；(2）求sin(2x＋eq\f(π,3））的值．解析(1)因?yàn)閤∈(eq\f（π，2），eq\f(3π，4））,所以x－eq\f(π，4）∈（eq\f（π，4)，eq\f（π，2)），于是sin(x－eq\f（π,4))＝eq\r(1－cos2（x－\f(π,4））)＝eq\f（7\r(2),10）,則sinx＝sin［(x－eq\f(π，4)）＋eq\f（π，4）]＝sin(x－eq\f(π,4)）coseq\f(π，4)＋cos（x－eq\f(π,4))sineq\f（π，4）＝eq\f(7\r(2）,10)×eq\f(\r（2),2）＋eq\f(\r(2），10）×eq\f（\r（2)，2)＝eq\f(4,5)。（2)因?yàn)閤∈(eq\f(π,2)，eq\f（3π，4))故cosx＝－eq\r（1－sin2x）＝－eq\r(1－(\f（4,5))2）＝－eq\f(3,5），sin2x＝2sinxcosx＝－eq\f(24，25)，cos2x＝2cos2x－1＝－eq\f（7,25),所以sin（2x＋eq\f(π，3））＝sin2xcoseq\f(π，3）＋cos2xsineq\f(π，3)＝－eq\f（24＋7\r(3）,50）。1．已知cosα＝eq\f(1,7),cos（α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β〈α〈eq\f(π，2)。(1)求tan2α的值；（2)求β.解析（1）由cosα＝eq\f（1，7），0〈α〈eq\f(π,2），得sinα＝eq\r（1－cos2α)＝eq\r(1－（\f(1,7））2）＝eq\f(4\r(3），7).∴tanα＝eq\f(sinα,cosα）＝eq\f（4\r（3）,7)×eq\f（7,1)＝4eq\r（3)。于是tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α）＝eq\f（2×4\r（3),1－（4\r(3))2）＝－eq\f（8\r(3），47）。(2)∵0<β〈α<eq\f（π，2），∴0〈α－β〈eq\f（π，2).又∵cos（α－β)＝eq\f(13，14),∴sin（α－β）＝eq\r（1－cos2（α－β）)＝eq\r(1－(\f（13,14））2)＝eq\f（3\r（3)，14）.則β＝α－（α－β）,得cosβ＝cos[α－（α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝eq\f(1，7)×eq\f（13,14)＋eq\f(4\r（3），7)×eq\f(3\r（3），14）＝eq\f（1,2)。∴β＝eq\f(π,3)。2．已知向量a＝(cosα，sinα），b＝(cosβ，sinβ），c＝(－1，0）．(1)求向量b＋c的長度的最大值；（2）設(shè)α＝eq\f（π,4），且a⊥（b＋c），求cosβ的值．解析(1)方法一b＋c＝(cosβ－1，sinβ）,則|b＋c|2＝（cosβ－1）2＋sin2β＝2(1－cosβ）．∵－1≤cosβ≤1，∴0≤｜b＋c｜2≤4，即0≤|b＋c｜≤2。當(dāng)cosβ＝－1時(shí)，有|b＋c|＝2,∴向量b＋c的長度的最大值為2。方法二∵｜b｜＝1，｜c(diǎn)|＝1,｜b＋c｜≤｜b|＋｜c(diǎn)｜＝2。當(dāng)cosβ＝－1時(shí)，有b＋c＝(－2，0),即|b＋c|＝2，∴向量b＋c的長度的最大值為2。(2）方法一由已知可得b＋c＝（cosβ－1,sinβ)，a·(b＋c)＝cosαcosβ＋sinαsinβ－cosα＝cos(α－β）－cosα?！遖⊥（b＋c)，∴a·(b＋c）＝0,即cos（α－β）＝cosα。由α＝eq\f（π,4），得cos(eq\f(π,4）－β）＝coseq\f（π,4),即β－eq\f(π,4）＝2kπ±eq\f（π,4）（k∈Z),∴β＝2kπ＋eq\f（π,2)或β＝2kπ，k∈Z，于是cosβ＝0或cosβ＝1。方法二若α＝eq\f(π,4）,則a＝（eq\f（\r（2),2），eq\f(\r(2）,2))．又由b＝（cosβ，sinβ），c＝（－1，0),得a·（b＋c)＝(eq\f（\r(2）,2)，eq\f（\r(2），2)）·（cosβ－1，sinβ)＝eq\f（\r（2)，2）cosβ＋eq\f（\r(2），2)sinβ－eq\f（\r(2)，2)。∵a⊥(b＋c),∴a·（b＋c)＝0,即cosβ＋sinβ＝1.∴sinβ＝1－cosβ。平方后化簡得cosβ(cosβ－1)＝0.解得c