中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習壓軸大題突破訓(xùn)練專題03 動點問題中三角形、四邊形的存在性問題（解析版）

專題03動點問題中三角形、四邊形的存在性問題幾何動態(tài)問題包括幾何動點問題、幾何線動問題和面動問題，本專題重點探究動點問題，線動和面動問題，將在圖形變換專題中進行探究。幾何動點問題的考查面比較多，但總體看以考查點在幾何圖形中運動時產(chǎn)生的線段的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，角度關(guān)系以及三角形、四邊形的存在性居多。線段和角度問題會在其他專題中進行分析，在這里只討論三角形和四邊形的存在性問題。在解決幾何動點問題中的三角形和四邊形存在性問題時，一般有以下幾種情況：1.等腰三角形存在性問題：在解等腰三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點的運動而處于不斷變化的線段的長度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達出三角形的各個邊長，利用等腰三角形的概念，有2條邊相等的三角形是等腰三角形，進行分類討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進行檢驗。2.直角三角形存在性問題：在解直角三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點的運動而處于不斷變化的線段的長度為x，其次結(jié)合幾何圖形的性質(zhì)用x表達出三角形的各個邊長，利用勾股定理的逆定理，同時進行分類討論，找出等量關(guān)系，列出方程求解，在解出方程后注意要進行檢驗。3.全等三角形存在性問題：在解全等三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點的運動而處于不斷變化的線段的長度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長，然后找出或者用x表示出動態(tài)三角形的各邊長，最后利用全等三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進行檢驗。4.相似三角形存在性問題：在解相似三角形存在性問題時，通常設(shè)出由動點的運動而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長度為x，其次求出或者用x表示出已知三角形的各邊長，然后找出或者用x表示出動態(tài)三角形的各邊長，最后利用相似三角形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進行檢驗。5.平行四邊形的存在性問題：在解平行四邊形存在性問題時，通常設(shè)出由動點的運動而產(chǎn)生的處于不斷變化的線段的長度為x，其次求出或者用x表示出平行四邊形、矩形、菱形或正方形的其他各邊的長度，最后利用平行四邊形、矩形、菱形或正方形的判定定理，建立方程求解，在解出方程后注意要進行檢驗?？梢娫诮鉀Q此類問題時，關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)x，并用x表示出各線段的長度，利用各幾何圖形的判定，列出方程進行求解，是此類題型的共性，但要注意，在解決此類問題時，要注意分類討論。 （2022·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，點P從點A出發(fā)，沿AB方向以每秒cm的速度向終點B運動，同時動點Q從點B出發(fā)沿BC方向以每秒1cm的速度向終點C運動，設(shè)運動的時間為t秒．(1)如圖①，若PQ⊥BC，求t的值；(2)如圖②，將△PQC沿BC翻折至△P′QC，當t為何值時，四邊形QPCP′為菱形？（1）根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列出比例式，計算即可．（2）作于，于，證明出為直角三角形，進一步得出和為等腰直角三角形，再證明四邊形為矩形，利用勾股定理在、中，結(jié)合四邊形為菱形，建立等式進行求解．【答案】(1)當t＝2時，PQ⊥BC(2)當t的值為時，四邊形QPCP′為菱形【詳解】（1）解：（1）如圖①，∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，∴AB＝＝（cm），由題意得，AP＝tcm，BQ＝tcm，則BP＝（4﹣t）cm，∵PQ⊥BC，∴∠PQB＝90°，∴∠PQB＝∠ACB，∴PQAC，，，∴＝，∴，解得：t＝2，∴當t＝2時，PQ⊥BC．（2）解：作于，于，如圖，，，，，為直角三角形，，和為等腰直角三角形，，，，四邊形為矩形，，，，在中，，在中，，四邊形為菱形，，，，（舍去）．的值為．此題是相似形綜合題，主要考查的是菱形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．（2021·廣西河池·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，，，，D，E分別是AB，BC邊上的動點，以BD為直徑的交BC于點F．（1）當時，求證：；（2）當是等腰三角形且是直角三角形時，求AD的長．（1）根據(jù)BD是圓的直徑，可以得到∠BFD=90°，即∠DFC=90°，然后利用“HL”證明△CAD≌△CFD即可；（2）因為三角形CED為等腰三角形，故每一條邊都可能是底邊，可以分三類討論，由于三角形DEB是直角三角形，所以D和F都可以為直角的頂點，需要分兩類討論；當∠EDB=90°時，∠DEB＜90°，∠CED是鈍角，所以此時只能構(gòu)造EC=ED的等腰三角形，故取D點使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，可以證明DE=DC，且DE∥DC，得到△BDE∽△BAC即可求解；當∠AED=90°時，若三角形CED為等腰三角形，則∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DE，利用三角函數(shù)或相似即可求出AD.【答案】（1）證明見解析；（2）或【詳解】解：（1）∵BD是圓的直徑，∴∠DFB=90°，∴∠DFC=90°，在Rt△CAD和Rt△FCD中，，∴△CAD≌△CFD（HL）；（2）∵三角形DEB是直角三角形，且∠B＜90°，∴直角頂點只能是D點和E點，若∠EDB=90°，如圖在AB上取D點使CD平分∠ACB，作DE⊥AB交BC于E，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∵∠CAB=∠EDB=90°，∴AC∥DE，∴∠ACD=∠CDE，∴∠ECD=∠CDE，∴CE=DE，此時三角形ECD為E為頂角頂點的等腰三角形，三角形DEB是E為直角頂點的直角三角形，設(shè)CE=DE=x，在直角三角形ABC中，∴BE=5-x，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴，∴，解得，∴，∵DE∥AC，∴，∴，∴；若∠DEB=90°，如圖所示，∠CED=90°，∵△CED為等腰三角形，∴∠ECD=∠EDC=45°，即EC=DC，設(shè)EC=DC=y，∵，∴，∴，∵，∴∴，∴，∵，∴，∴∴AD的長為或.本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定，三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵在于能夠利用數(shù)形結(jié)合的思想進行分類討論求解.1．（2022·上海松江·校考三模）如圖，在梯形中，動點在邊上，過點作，與邊交于點，過點作，與邊交于點，設(shè)線段．(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出定義域；(2)當是以為腰的等腰三角形時，求的值；(3)如圖，作的外接圓，當點在運動過程中，外接圓的圓心落在的內(nèi)部不包括邊上時，求出的取值范圍．【答案】(1)，；(2)或；(3)【分析】（1）由題中條件、可知四邊形是平行四邊形，故CE；過點作垂線交于點，交于點，可得相似的和，用含、的表達式表示它們的邊長，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求得關(guān)于的解析式；下一步即為求得和的各自邊長，過點作垂線交延長線于點，由且可得四邊形為矩形，則；在中，由勾股定理可算得的長度；在中，，則可由勾股定理求得的長度，，至此已求得所有所需邊長，根據(jù)相似三角形邊長比例關(guān)系：，代入各邊長表達式即可得關(guān)于的解析式，再根據(jù)題中要求寫出定義域即可；（2）因為是以為腰的等腰三角形，，由勾股定理知，過點作交于點，則四邊形是矩形，；在直角三角形中，運用勾股定理進行計算即可得解；（3）根據(jù)三角形的外接圓圓心落在三角形的內(nèi)部，得到為銳角三角形，分析點運動過程可知，隨點向右運動角度不斷減小，且和始終是銳角．根據(jù)題意，令點的位置滿足，則大于此時對應(yīng)的長度就可使得外接圓圓的圓心落在的內(nèi)部．【詳解】（1）解：如圖所示：過點作交延長線于點，再過點作垂線交于點，交于點，，四邊形是矩形，，在中，由勾股定理得：，又，四邊形是平行四邊形，，，，，，，化簡得：，點在上運動，故定義域為：；（2）如圖所示，此時是以為腰的等腰三角形，過點作交于點，，四邊形是矩形，又是以為腰的等腰三角形，，由（得，，，在中，由勾股定理得：，，即，解得：的值為或，因此，的值為或；（3）解：分析點運動過程可知，隨點向右運動角度不斷減小，且和始終是銳角．根據(jù)題意，令點的位置滿足，則大于此時對應(yīng)的長度就可使得外接圓圓的圓心落在的內(nèi)部．如下圖所示，此時，，，同角的余角相等，同理可得：，∽，，，，解得：，綜上可得，當時，外接圓圓的圓心落在的內(nèi)部．2．（2022·廣東揭陽·?？既＃┤鐖D1，在矩形中，，，E是邊上一點，連接，將矩形沿折疊，頂點D恰好落在邊上點F處，延長交的延長線于點G．(1)求線段的長；(2)如圖2，M，N分別是線段上的動點（與端點不重合），且，設(shè)．①求證四邊形AFGD為菱形；②是否存在這樣的點N，使是直角三角形？若存在，請求出x的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)3；(2)①見解析；②或2【分析】（1）由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題．（2）①由計算出的長度，再證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)一組鄰邊相等的平行四邊形的菱形即可證明；②若是直角三角形，則有兩種情況，一是當時，二是當時，分別利用相似三角形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)的定義即可計算得出．【詳解】（1）解：∵四邊形是矩形，∴，∴，由翻折可知：．，設(shè)，則．在中，，∴，在中，則有：，∴，∴．（2）①證明：∵四邊形是矩形，∴∴，∴，∵，∴，∴，由（1）可得：，∴，∴四邊形是平行四邊形，又∵，∴平行四邊形是菱形．②∵，∴若是直角三角形，則有兩種情況，當時，∵，∴又∵，∴∴，又∵，，∴∴，即，∴；當時，則，又∵，，∴，∴，∴，∵s，∵，∴，∴，∵∴∴，即解得：，綜上所述：或2．3．（2022·浙江麗水·一模）在菱形中，，，點E在邊上，，點P是邊上一個動點，連結(jié)，將沿翻折得到．(1)當時，求的度數(shù)；(2)若點F落在對角線上，求證：；(3)若點P在射線上運動，設(shè)直線與直線交于點H，問當為何值時，為直角三角形．【答案】(1)60°；(2)見解析；(3)或或或．【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得，求得，由翻折的性質(zhì)可得，即可求解；（2）易證是等邊三角形，由翻折可得，證得，即可證明相似；（3）如圖2，當點P在線段AB上，∠PHB=90°，延長EF交AB的延長線于點K，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，，，設(shè)AP=x，則FP=x，求得，，，在中，，求解即可得；如圖3，當點P在線段AB上，∠HPB=90°，過點E作EQ⊥AB于點Q，由折疊的性質(zhì)可得：，求得，，，即可得AP的長度；如圖4，當點P在BA的延長線上，∠HPB=90°，過點E作EM⊥AB于點M，設(shè)AP=a，易得，，在中，，∴，求解即可；如圖5，當點P在BA延長線上，∠PHB=90°，延長EF交AB于點N，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，，，證得，，，即可求得AP的長度．【詳解】（1）解：∵，∴，∵∴∵是由翻折得到，∴，∴；（2）證明：當點F在BD上時，如圖1所示，∵菱形ABCD中，，∴AD=AB，是等邊三角形，∴∵是由翻折得到，∴，∴∵∴∴在和中，∴；（3）解：如圖2，當點P在線段AB上，∠PHB=90°，延長EF交AB的延長線于點K，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，，設(shè)AP=x，則FP=x，∵∠PHB=90°，∴，∴，，∴∵，∴，∴，在中，，即，解得：，即；如圖3，當點P在線段AB上，∠HPB=90°，過點E作EQ⊥AB于點Q，由折疊的性質(zhì)可得：，∵EQ⊥AB，∴，，∴，，∴，∴；如圖4，當點P在BA的延長線上，∠HPB=90°，過點E作EM⊥AB于點M，設(shè)AP=a，∵EM⊥AB，，∴，由折疊的性質(zhì)可得：，∵EM⊥AB，∴，在中，，∴，解得：，即；如圖5，當點P在BA延長線上，∠PHB=90°，延長EF交AB于點N，由翻折的性質(zhì)可得：AP=FP，，∵∠PHB=90°，∠PBH=60°，∴，∵∴∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，∴．綜上，AP的長度為或或或．4．（2022·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，點P為對角線上的動點，連接，將繞點D按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至，使與交于點E．(1)求證：；(2)已知，①當時，求的面積；②連接，當為直角三角形時，求的長．【答案】(1)見解析；(2)①；②的值等于4或【分析】（1）與為兩個等腰三角形，得到，從而推算出從而證明；（2）①根據(jù)勾股定理算出DO，證明，根據(jù)相似比分別求出DP、AP，計算出面積，再利用三角形的相似比計算出的面；

②當時，證明得出AP=CP計算出AP；當證明，根據(jù)相似比計算出AP．【詳解】（1）證明：在菱形中，∴．∵∴，∵∴∴∵，，∴．∵∴（2）解：如圖2，連接在菱形中，與互相垂直平分，得，∵∴∵∴∴得∴．∵∴∴②如下圖所示,當時，∵∴∵∴∴∵，∴,∴．∵∴．如下圖所示，當時，延長交于H，設(shè)，則．∵∴．∵∴，∴∴解得∵當時∴的情況不存在綜上所述，的值等于4或．5．（2022·寧夏吳忠·統(tǒng)考二模）如圖，在四邊形ABCD中，，，，，，動點E從點A出發(fā)，在線段AD上以每秒1cm的速度向點D運動，動點F從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒2cm的速度運動向點B運動，點E、F分別從點A、C同時出發(fā)，當點F運動到點B時，點E隨之停止運動，設(shè)運動的時間為t（秒）．(1)用含t的代數(shù)式表示DE，______；(2)若四邊形EFCD是平行四邊形，求此時t的值；(3)是否存在點F，使△FCD是等腰三角形？若存在，請直接寫出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)存在，或5或【分析】（1）由題意得的cm，即可得出結(jié)論．（2）由平行四邊形的性質(zhì)得，再分兩種情況，當時，當時，分別求解即可．（3）過D作于G，則四邊形ABGD是矩形，得，，再由勾股定理求出，然后分情況討論：①②，③，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理分別求解即可．【詳解】（1）解：經(jīng)過ts后cm，則，，故答案為：．（2）當時，解得：；∵，∴，∴當時四邊形EFCD是平行四邊形．（3）存在點F，使△FCD是等腰三角形，理由如下：過D作于G，則四邊形ABGD是矩形，∴，，∴，在Rt△CDG中，由勾股定理得：分情況討論：①，如圖1，則，解得：；②，如圖2，∵，∴，∴，，∴；③，如圖3，在RT△FDG中，由勾股定理得：∵，，∴，，解得：，綜上所述，存在點F，使△FCD是等腰三角形，t的值為或5或．6．（2022·浙江金華·校聯(lián)考三模）在四邊形中，，，．(1)如圖1，①求證：；②求的正切值；(2)如圖2，動點從點出發(fā)，以1個單位每秒速度，沿折線運動，同時，動點從點出發(fā)，以2個單位每秒速度，沿射線運動，當點到達點時，點，同時停止運動，設(shè)運動時間為秒，以為斜邊作，使點落在線段或上，在整個運動過程中，當不再連接其他線段，且圖中存在與相似的三角形時，求的值．【答案】(1)①見解析；②(2)或或或【分析】（1）①連接AC，根據(jù)“SSS”證明，即可得出結(jié)論；②過點A作，交CD于點E，過點E作EF⊥BC于點F，先證明四邊形為矩形，得出，∠AEF=90°，再根據(jù)“ASA”證明，得出，設(shè)，則，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，解方程得出x的值，即可得出結(jié)果；（2）按照點M、N、P的位置，或，以及當三角形全等也是特殊的相似，進行分類討論，求出t的值即可．【詳解】（1）證明：①連接A