高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第4章第05講指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系(學(xué)生版+解析)

第05講指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．知道對數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù)(a＞0且a≠1)2．能利用反函數(shù)與原函數(shù)圖像、單調(diào)性等性質(zhì)的關(guān)系解決相關(guān)的問題．1．了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，了解它們的圖像間的對稱關(guān)系．2．利用圖像比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異．3．利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)解決一些簡單問題．知識點01反函數(shù)的概念一般地，如果在函數(shù)yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為yf(x)的反函數(shù)．此時，稱yf(x)存在反函數(shù)．而且，如果函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)yf(x)的反函數(shù)的表達(dá)式，可以通過對調(diào)yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．【即學(xué)即練1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）下列函數(shù)沒有反函數(shù)的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④知識點02反函數(shù)的性質(zhì)一般地，函數(shù)yf(x)的反函數(shù)記作yf－1(x)．則(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱．(3)單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)一定存在，且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同．【即學(xué)即練2】函數(shù)ylog3x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數(shù)的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)知識點03求反函數(shù)的步驟(1)求值域：由函數(shù)yf(x)求y的范圍．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只取一個．(3)得反函數(shù)：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數(shù)．提醒：求反函數(shù)時，若原函數(shù)yf(x)的定義域有限制條件，其反函數(shù)的定義域只能是根據(jù)原函數(shù)的值域來求．【即學(xué)即練3】函數(shù)yx＋3的反函數(shù)為__________．知識點04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax的圖像關(guān)于直線yx對稱．【即學(xué)即練4】已知a>0，且a≠1，則函數(shù)yax與ylogax的圖像只能是()ABCD題型01反函數(shù)存在的條件【典例01】判斷下列函數(shù)是否有反函數(shù)．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【變式1】下列各圖象表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是（）A．B．C．D．【變式2】若函數(shù)在上存在反函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【變式3】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在反函數(shù)，則的取值范圍是．【變式4】判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．題型02求反函數(shù)的解析式【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則它的反函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)y的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)y=fx的反函數(shù)為，則y=fx的解析式為【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數(shù)與互為反函數(shù)，則.【變式4】（23-24高一上·上?！て谀┖瘮?shù)的反函數(shù)為.題型03反函數(shù)過定點問題【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數(shù)（且）的反函數(shù)過定點．【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象過點，其反函數(shù)的圖象過點，則的表達(dá)式是.【變式2】已知函數(shù)y=fx存在反函數(shù)y=f【變式3】已知函數(shù)f?1x為函數(shù)fx的反函數(shù)，且函數(shù)fx?1題型04根據(jù)反函數(shù)求參數(shù)【典例4】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么a、b的值分別是、．【變式1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線A．?e B．?1e C．e 【變式2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為題型05反函數(shù)的定義域問題【典例5】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)，的反函數(shù)的定義域是（

）．A． B．C． D．【變式2】函數(shù)的反函數(shù)的定義域為．【變式3】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若且，則函數(shù)的定義域為（）A．B．RC．D．【變式4】（多選）已知函數(shù)和，以下結(jié)論正確的有（）A．它們互為反函數(shù)B．它們的定義域與值域正好互換C．它們的單調(diào)性相反D．它們的圖像關(guān)于直線對稱題型06反函數(shù)的圖像【典例6】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知函數(shù)，則它的反函數(shù)的大致圖像是（）A．B．C．D．【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、第三象限，則的圖像經(jīng)過（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，題型07單調(diào)性問題【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【變式2】若函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B．C． D．題型08反函數(shù)與零點問題【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A．1 B．2023 C． D．4046【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習(xí)）若，分別是方程，的根，則（

）A． B．2023 C． D．4046【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型09指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數(shù)；(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【變式1】已知指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，求不等式的解集．【變式2】設(shè)函數(shù)（其中a>0且）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，，如果當(dāng)時，恒不成立，求a的取值范圍．【變式3】已知，(1)求的反函數(shù)；(2)已知，若，使得，求的最大值．一、單選題1．下列命題組真命題的個數(shù)為（

）①存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)②偶函數(shù)存在反函數(shù)③奇函數(shù)必存在反函數(shù)A．0 B．1 C．2 D．32．函數(shù)是與函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線對稱3．若函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．4．已知函數(shù)的反函數(shù)為，則的圖像為（

）A． B．C． D．5．已知函數(shù)過點，若的反函數(shù)為，則的值域為（

）A． B． C． D．6．函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為（

）A． B． C． D．7．若函數(shù)的反函數(shù)為，則必有（

）A．，為任意實數(shù)； B．，為任意實數(shù)；C．，； D．，或，為任意實數(shù)．8．已知函數(shù)的反函數(shù)圖像的對稱中心是，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．二、多選題9．設(shè)且，函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．與在各自的定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性B．與兩者的圖象關(guān)于直線對稱C．與兩者都既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)D．與有相同的定義域和值域10．設(shè)分別是方程與的實數(shù)解，則（

）A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，則關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)在上為減函數(shù)三、填空題12．已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則過定點.13．已知函數(shù)，，則.14．定義在上的函數(shù)不存在反函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．函數(shù)與互為反函數(shù)，若（x<0）．求函數(shù)的解析式，定義域，值域．16．已知(1)求，并指出其在定義域內(nèi)的單調(diào)性，無需寫出證明過程；(2)已知為的反函數(shù)，解不等式．17．已知(1)求的反函數(shù)；(2)若，求a的值.(3)如何作出滿足（2）中條件的的圖像18．我們知道與（且）互為反函數(shù)，它們具有以下性質(zhì)：①圖象關(guān)于直線對稱；②的定義域是的值域，的值域是的定義域，反之亦然；③若點在函數(shù)的圖象上，則點一定在函數(shù)的圖象上.(1)若函數(shù)與互為反函數(shù)，求實數(shù)a，b的值；(2)運用（1）題中得到的函數(shù)，若對，使得不成立，求實數(shù)a的取值范圍.19．已知函數(shù)，且y=fx的反函數(shù)為y=gx(1)求的值；(2)若函數(shù)，問：?x是否存在零點，若存在，請求出零點及相應(yīng)實數(shù)的取值范圍：若不存在，請說明理由第05講指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．知道對數(shù)函數(shù)ylogax與指數(shù)函數(shù)yax互為反函數(shù)(a＞0且a≠1)2．能利用反函數(shù)與原函數(shù)圖像、單調(diào)性等性質(zhì)的關(guān)系解決相關(guān)的問題．1．了解反函數(shù)的概念，知道指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，了解它們的圖像間的對稱關(guān)系．2．利用圖像比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)增長的差異．3．利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)解決一些簡單問題．知識點01反函數(shù)的概念一般地，如果在函數(shù)yf(x)中，給定值域中任意一個y的值，只有唯一的x與之對應(yīng)，那么x是y的函數(shù)，這個函數(shù)稱為yf(x)的反函數(shù)．此時，稱yf(x)存在反函數(shù)．而且，如果函數(shù)的自變量仍用x表示，因變量仍用y表示，則函數(shù)yf(x)的反函數(shù)的表達(dá)式，可以通過對調(diào)yf(x)中的x與y，然后從xf(y)中求出y得到．【即學(xué)即練1】（24-25高一上·上?！ふn堂例題）下列函數(shù)沒有反函數(shù)的是（）①；②；③；④A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④【答案】C【分析】根據(jù)與之間是否一一對應(yīng)逐個分析判斷即可.【詳解】對于①，當(dāng)時，，所以沒有反函數(shù)；對于②，當(dāng)時，，所以沒有反函數(shù)；對于③，與一一對應(yīng)，所以有反函數(shù)；對于④，當(dāng)時，或，所以沒有反函數(shù)．知識點02反函數(shù)的性質(zhì)一般地，函數(shù)yf(x)的反函數(shù)記作yf－1(x)．則(1)yf(x)的定義域與yf－1(x)的值域相同，yf(x)的值域與yf－1(x)的定義域相同．(2)yf(x)與yf－1(x)的圖像關(guān)于直線yx對稱．(3)單調(diào)函數(shù)的反函數(shù)一定存在，且互為反函數(shù)的兩個函數(shù)的單調(diào)性相同．【即學(xué)即練2】函數(shù)ylog3x的定義域為(0，＋∞)，則其反函數(shù)的值域是()A．(0，＋∞) B．RC．(－∞，0) D．(0,1)【答案】A【詳解】由原函數(shù)與反函數(shù)間的關(guān)系知，反函數(shù)的值域為原函數(shù)的定義域，故選A．知識點03求反函數(shù)的步驟(1)求值域：由函數(shù)yf(x)求y的范圍．(2)解出x：由yf(x)解出xf－1(y)．若求出的x不唯一，要根據(jù)條件中x的范圍決定取舍，只取一個．(3)得反函數(shù)：將x，y互換得yf－1(x)，注意定義域得反函數(shù)．提醒：求反函數(shù)時，若原函數(shù)yf(x)的定義域有限制條件，其反函數(shù)的定義域只能是根據(jù)原函數(shù)的值域來求．【即學(xué)即練3】函數(shù)yx＋3的反函數(shù)為__________．【答案】yx－3(x∈R)【詳解】由yx＋3，得xy－3，x，y互換得yx－3，所以原函數(shù)的反函數(shù)為yx－3(x∈R)．知識點04指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系(1)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax互為反函數(shù)．(2)指數(shù)函數(shù)yax與對數(shù)函數(shù)ylogax的圖像關(guān)于直線yx對稱．【即學(xué)即練4】已知a>0，且a≠1，則函數(shù)yax與ylogax的圖像只能是()ABCD【答案】A【詳解】因為a>1時，是減函數(shù)，恒過(0,1)點，ylogax為增函數(shù)，恒過(1,0)點，故選A．題型01反函數(shù)存在的條件【典例01】判斷下列函數(shù)是否有反函數(shù)．(1)f(x)eq\f(x＋1,x－1)；(2)g(x)x2－2x.【分析】由反函數(shù)的定義判斷，當(dāng)函數(shù)沒有反函數(shù)時，可取值說明．【詳解】(1)令yf(x)，因為yeq\f(x＋1,x－1)1＋eq\f(2,x－1)，是由反比例函數(shù)yeq\f(2,x)向右平移一個單位，向上平移一個單位得到，在(－∞，1)，(1，＋∞)上都是減函數(shù)，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x與之對應(yīng)，所以f(x)存在反函數(shù)．(2)令g(x)3，即x2－2x－30，解得x－1或x3，即對應(yīng)的x不唯一，因此g(x)的反函數(shù)不存在．【變式1】下列各圖象表示的函數(shù)中，存在反函數(shù)的只能是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根據(jù)反函數(shù)的定義，存在反函數(shù)的函數(shù)應(yīng)滿足一個y至多對應(yīng)一個x.對于A，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，A錯；對于B，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，B錯；對于C，當(dāng)y為正數(shù)時，一個y對應(yīng)兩個x，不滿足反函數(shù)的定義，C錯；對于D，滿足反函數(shù)的定義，D對.【變式2】若函數(shù)在上存在反函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若函數(shù)在上存在反函數(shù)，則函數(shù)在上單調(diào)即可，又因為函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，所以..【變式3】設(shè)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，若存在反函數(shù)，則的取值范圍是．【答案】或.【解析】當(dāng)時，，，是定義在上的奇函數(shù)，所以，即時，，所以，若存在反函數(shù)，則在每段單調(diào)且各段值域無重合，當(dāng)，，；所以或所以或.【變式4】判斷下列函數(shù)是否存在反函數(shù)．(1)yeq\f(1,x＋1)－2；(2)y－2x2＋4x，x∈(1，＋∞)．【解析】(1)yeq\f(1,x＋1)－2是由函數(shù)yeq\f(1,x)向左平移1個單位，向下平移2個單位得到，在(－∞，－1)，(－1，＋∞)上是減函數(shù)，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．(2)y－2x2＋4x－2(x－1)2＋2，對稱軸為x1，在(1，＋∞)上是減函數(shù)，因此任意給定值域中的一個值，只有唯一的x值與之對應(yīng)，所以函數(shù)存在反函數(shù)．題型02求反函數(shù)的解析式【典例2】（23-24高一上·廣東茂名·期末）若指數(shù)函數(shù)經(jīng)過點，則它的反函數(shù)的解析式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由指數(shù)函數(shù)的定義，結(jié)合反函數(shù)的概念即可求解.【詳解】設(shè)指數(shù)函數(shù)且，點在的圖象上，所以，解得.所以，故反函數(shù).【變式1】（23-24高一上·遼寧大連·期末）函數(shù)y的反函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)反函數(shù)定義求解即可.【詳解】解：∵y，∴，∴，即，∴，將x，y調(diào)換可得，，故函數(shù)y的反函數(shù)是．．【變式2】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）若函數(shù)y=fx的反函數(shù)為，則y=fx的解析式為【答案】【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義求解即可.【詳解】由，得，將互換得，，且函數(shù)的值域為R，因此，函數(shù)，故答案為：．【變式3】（23-24高一上·山西太原·期末）已知函數(shù)與互為反函數(shù)，則.【答案】9【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)可得答案.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)可得，故.故答案為：9.【變式4】（23-24高一上·上?！て谀┖瘮?shù)的反函數(shù)為.【答案】【分析】利用反函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因為的反函數(shù)為，所以，則.故答案為：.題型03反函數(shù)過定點問題【典例3】（23-24高一上·遼寧·期末）函數(shù)（且）的反函數(shù)過定點．【答案】2,1【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及反函數(shù)的性質(zhì)計算得到.【詳解】對于函數(shù)（且），令，即，所以，即函數(shù)（且）恒過點，所以函數(shù)（且）的反函數(shù)恒過點.故答案為：【變式1】（22-23高三上·遼寧撫順·開學(xué)考試）已知函數(shù)的圖象過點，其反函數(shù)的圖象過點，則的表達(dá)式是.【答案】.【分析】利用互為反函數(shù)的兩函數(shù)圖象對稱性可得函數(shù)也過，代入點的坐標(biāo)待定系數(shù)可得.【詳解】由函數(shù)的圖象與其反函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，又其反函數(shù)的圖象過點，則函數(shù)的圖象過點.則，解得.又函數(shù)的圖象過點，則，解得.故.故答案為：.【變式2】已知函數(shù)y=fx存在反函數(shù)y=f【答案】?1,?1【分析】由已知可得f(1)=?1，再由反函數(shù)的性質(zhì)可得f?1?1【詳解】因為函數(shù)y=fx+2的圖像經(jīng)過點（1，1），所以所以由反函數(shù)的性質(zhì)可得f?1?1=1，所以f?1?1?2=?1【變式3】已知函數(shù)f?1x為函數(shù)fx的反函數(shù)，且函數(shù)fx?1【答案】1,0【分析】先求出函數(shù)fx的的圖象經(jīng)過點的坐標(biāo)，再由函數(shù)f?1x與函數(shù)f【詳解】因為函數(shù)fx?1的圖象經(jīng)過點1,1，所以函數(shù)fx的的圖象經(jīng)過點0,1，因為函數(shù)f?1x與函數(shù)fx的圖象關(guān)于y=題型04根據(jù)反函數(shù)求參數(shù)【典例4】（24-25高一上·上?！るS堂練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么a、b的值分別是、．【答案】－9【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義即可求解.【詳解】因為直線與直線關(guān)于直線對稱，所以函數(shù)與互為反函數(shù)，又的反函數(shù)為，所以，．故答案為：；.【變式1】在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線A．?e B．?1e C．e 【答案】A【分析】由題得f(x)=ln【詳解】解：因為函數(shù)f(x)的圖象與y=ex的圖象關(guān)于直線y=【變式2】已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則實數(shù)m的值為【答案】1【解析】由得，即，即的反函數(shù)為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故與為同一函數(shù)，故.題型05反函數(shù)的定義域問題【典例5】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）函數(shù)的反函數(shù)的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】計算函數(shù)的值域，可求出原函數(shù)的反函數(shù)的定義域.【詳解】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：函數(shù)的值域為，則反函數(shù)的定義域為..【變式1】（24-25高一上·上海·隨堂練習(xí)）函數(shù)，的反函數(shù)的定義域是（

）．A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)反函數(shù)的定義域就是原函數(shù)的值域求解即可.【詳解】因為函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，因為反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，所以反函數(shù)的定義域為，．【變式2】函數(shù)的反函數(shù)的定義域為．【答案】【解析】∵，∴，∴函數(shù)的值域為．∵的定義域即函數(shù)的值域∴的定義域為．【變式3】函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，若且，則函數(shù)的定義域為（）A．B．RC．D．【答案】D【解析】∵當(dāng)時，，∴函數(shù)，的值域為，又與互為反函數(shù)互為反函數(shù)，故的定義域為..【變式4】（多選）已知函數(shù)和，以下結(jié)論正確的有（）A．它們互為反函數(shù)B．它們的定義域與值域正好互換C．它們的單調(diào)性相反D．它們的圖像關(guān)于直線對稱【答案】ABD【解析】A選項，注意到，則其與函數(shù)互為反函數(shù)，故A正確；B選項，函數(shù)定義域為，值域為R.函數(shù)定義域為R，值域為.故B正確；C選項，當(dāng)時，兩函數(shù)均在定義域內(nèi)單調(diào)遞減.當(dāng)時，兩函數(shù)均在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.故C錯誤；D選項，兩函數(shù)互為反函數(shù)，則函數(shù)圖像關(guān)于直線對稱，故D正確.BD.題型06反函數(shù)的圖像【典例6】（2023·遼寧·高一校聯(lián)考期末）如圖，已知函數(shù)，則它的反函數(shù)的大致圖像是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意得，函數(shù)的反函數(shù)是，這是一個在上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，所以只有選項C的圖像符合..【變式1】（2023·高一課時練習(xí)）函數(shù)的圖像經(jīng)過第二、第三象限，則的圖像經(jīng)過（）A．第一、第二象限；B．第二、第三象限；C．第三、第四象限；D．第一、第四象限．【答案】D【解析】∵的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，若函數(shù)的圖像經(jīng)過第二象限，即的圖像上的任意點滿足，則關(guān)于直線的對稱點在第四象限，且在的圖像上，∴的圖像經(jīng)過第四象限；同理可得：若函數(shù)的圖像經(jīng)過第三象限，則的圖像經(jīng)過第三象限；故的圖像經(jīng)過第三、第四象限..【變式2】（23-24高一上·福建泉州·期末）若函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則的大致圖象是（

）A．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】由題意首先得，根據(jù)它的定義域、單調(diào)性以及它所過定點即可得解.【詳解】由題意函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以，解得，它在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，且過定點，對比選項可知A符合題意..【變式3】（23-24高二上·天津和平·階段練習(xí)）如果直線與直線關(guān)于直線對稱，那么，的值分別為（

）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)直接求解即可.【詳解】因為直線與直線關(guān)于直線對稱，顯然，所以函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，又因為的反函數(shù)為，所以，即，題型07單調(diào)性問題【典例7】（23-24高一上·遼寧丹東·期末）已知函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，且，則函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用反函數(shù)知識求出，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷出的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】因為函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，所以，因為，所以，解得：.所以，由，可得的定義域為，令，則在單調(diào)遞減，而在定義域單調(diào)遞增，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知:在單調(diào)遞減..【變式1】（22-23高一上·云南昆明·期末）已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，求得，然后根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)得出答案.【詳解】由題意，函數(shù)與互為反函數(shù)，則，所以，由，解得或，即函數(shù)的定義域為或，令，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，又在上單調(diào)遞增，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為..【變式2】若函數(shù)，函數(shù)與函數(shù)圖象關(guān)于對稱，則的單調(diào)減區(qū)間是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用反函數(shù)的性質(zhì)及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)求解即可.【詳解】∵函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對稱，∴函數(shù)是的反函數(shù)，則，∴，由，解得，所以的定義域為，令，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又在上單調(diào)遞減，∴的單調(diào)減區(qū)間為..題型08反函數(shù)與零點問題【典例8】（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）已知方程與的根分別為，則下列說法不正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】對于A，用函數(shù)圖象的對稱性來判斷；對于B，利用零點存在定理來判斷；對于C，直接計算可得答案；對于D，作差判斷大小．【詳解】對于A、C，方程與的根分別為，，即與的交點橫坐標(biāo)為，與的交點橫坐標(biāo)為，由題知，，與的圖象關(guān)于對稱，都與相交，可得點與點,關(guān)于對稱，所以，即，故A，C正確；設(shè)，顯然函數(shù)在R上單調(diào)遞增，又，對于B，由零點存在定理可知，根據(jù)對稱性可得，B正確；對于D，由B選項知，，，則，所以，D錯誤，．【變式1】（23-24高一上·北京·階段練習(xí)）若是函數(shù)的零點，是函數(shù)的零點，則的值為（

）A．1 B．2023 C． D．4046【答案】C【分析】利用指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于對稱，結(jié)合反比例函數(shù)的圖象也關(guān)于對稱，從而數(shù)形結(jié)合即可得解.【詳解】因為是函數(shù)的一個零點，是函數(shù)的一個零點，所以，，即，，設(shè)函數(shù)與的交點為，則Ax1,y1，，設(shè)函數(shù)與的交點為，則Bx2,y2，，因為函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，所以它們的圖象關(guān)于對稱，而的圖象也關(guān)于對稱，所以點關(guān)于對稱，即，所以由得，即..【變式2】（23-24高一上·廣東·階段練習(xí)）若，分別是方程，的根，則（

）A． B．2023 C． D．4046【答案】A【分析】由于的圖像與圖像關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，利用對稱性，結(jié)合數(shù)形結(jié)合，再利用中點坐標(biāo)公式可求出的值.【詳解】由題意可得是函數(shù)的圖像與直線交點的橫坐標(biāo)，是函數(shù)圖像與直線交點的橫坐標(biāo)，因為的圖像與圖像關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，所以線段的中點就是直線與的交點，由，得，即線段的中點為，所以.【變式3】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）已知函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)分別，，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，利用反函數(shù)的性質(zhì)即可判斷【詳解】作出函數(shù)和的圖象以及直線的圖象，如圖，

由函數(shù)和的圖象與直線交點的橫坐標(biāo)分別為，，由題意知，也即,由于函數(shù)和互為反函數(shù)，二者圖像關(guān)于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點,故關(guān)于對稱，故..題型09指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的綜合應(yīng)用【典例9】已知f(x)eq\f(a·2x－1,2x＋1)(a∈R)，f(0)0．(1)求a的值，并判斷f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的反函數(shù)；(3)對任意的k∈(0，＋∞)，解不等式f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)．【分析】(1)判斷奇偶性?奇偶性定義．(2)求反函數(shù)?反解，改寫，標(biāo)注定義域．(3)對數(shù)不等式?構(gòu)建不等式組?解不等式組?得出解集．【詳解】(1)由f(0)0，得a1，所以f(x)eq\f(2x－1,2x＋1)．因為f(x)＋f(－x)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(2－x－1,2－x＋1)eq\f(2x－1,2x＋1)＋eq\f(1－2x,1＋2x)0，所以f(－x)－f(x)，即f(x)為奇函數(shù)．(2)因為f(x)yeq\f(2x－1,2x＋1)1－eq\f(2,2x＋1)，所以2xeq\f(1＋y,1－y)(－1<y<1)，所以f－1(x)log2eq\f(1＋x,1－x)(－1<x<1)．(3)因為f－1(x)>log2eq\f(1＋x,k)，即log2eq\f(1＋x,1－x)>log2eq\f(1＋x,k)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1＋x,1－x)>\f(1＋x,k)，,－1<x<1，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>1－k，,－1<x<1，))所以當(dāng)0<k<2時，原不等式的解集為{x|1－k<x<1}；當(dāng)k≥2時，原不等式的解集為{x|－1<x<1}．【變式1】已知指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)已知函數(shù)，求不等式的解集．【答案】(1)f(2)【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的定義可得，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)是對數(shù)函數(shù)分析可解；（2）根據(jù)奇偶性的定義以及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷的奇偶性和單調(diào)性，進(jìn)而解不等式.【詳解】（1）若為指數(shù)函數(shù)，則，且，解得，即，所以指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)為fx=（2）因為，可知的定義域為R，且，可知為定義在R上的偶函數(shù)，又因為在上單調(diào)遞增，且y=fx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，且在內(nèi)單調(diào)遞減，對于不等式，可得，整理得，解得，所以等式的解集為.【變式2】設(shè)函數(shù)（其中a>0且）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)，，如果當(dāng)時，恒不成立，求a的取值范圍．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)求反函數(shù)的基本方法求出反函數(shù)即可；（2）先求出?x的解析式，依題意，可得，根據(jù)，可轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的恒不成立問題，即可求出a的取值范圍．【詳解】（1），．（2），，依題意，，即．由，得，解得，即，設(shè)，其對稱軸，所以函數(shù)在單調(diào)遞增．由，解得，又，所以a的取值范圍是.【變式3】已知，(1)求的反函數(shù)；(2)已知，若，使得，求的最大值．【答案】(1)(2)．【分析】（1）易得，從而根據(jù)其單調(diào)性求得值域，然后再利用反函數(shù)的定義求解；（2）易得，由，得到其定義域為，由在上單調(diào)遞增，其中．根據(jù)，由得到求解.【詳解】（1）解：，則其在上單調(diào)遞增，其值域為．在中互換得，整理得，，即反函數(shù)，定義域為．（2）依題意，其中，解得，即的定義域為，則在上單調(diào)遞增，其中．，，．，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得，此時不成立，的最大值為．一、單選題1．下列命題組真命題的個數(shù)為（

）①存在反函數(shù)的函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)②偶函數(shù)存在反函數(shù)③奇函數(shù)必存在反函數(shù)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【分析】取特例結(jié)合反函數(shù)定義和性質(zhì)判斷即可.【詳解】對①，取函數(shù)，顯然存在反函數(shù)，但不單調(diào)，①錯誤；對②，取偶函數(shù)函數(shù)，則，顯然函數(shù)不存在反函數(shù)，②錯誤；對③，取奇函數(shù)函數(shù)，當(dāng)時有和與之對應(yīng)，即從到的映射不滿足函數(shù)定義，故奇函數(shù)沒有反函數(shù)，③錯誤.2．函數(shù)是與函數(shù)的圖象（

）A．關(guān)于軸對稱 B．關(guān)于軸對稱C．關(guān)于原點對稱 D．關(guān)于直線對稱【答案】A【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷可得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)是與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱..3．若函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可得出，結(jié)合可得出的值，進(jìn)而可求得函數(shù)的解析式.【詳解】由于函數(shù)是函數(shù)（且）的反函數(shù)，則，則，解得，因此，..4．已知函數(shù)的反函數(shù)為，則的圖像為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】先求出函數(shù)的反函數(shù)，進(jìn)而得到，再利用單調(diào)性排除部分選項，再利用特殊值法求解.【詳解】因為函數(shù)的反函數(shù)為，所以，是R上的減函數(shù)，排除AB，又當(dāng)時，，排除D,.5．已知函數(shù)過點，若的反函數(shù)為，則的值域為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把點代入，求得解析式，可得反函數(shù)解析式，由，得的定義域為，可求值域.【詳解】函數(shù)過點，則，解得，∴，的反函數(shù)為，得，由，∴的定義域為，當(dāng)，有，則的值域為.6．函數(shù)的反函數(shù)的解析表達(dá)式為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】將中的互換位置，再化簡得到.【詳解】令，化簡得：，即.7．若函數(shù)的反函數(shù)為，則必有（

）A．，為任意實數(shù)； B．，為任意實數(shù)；C．，； D．，或，為任意實數(shù)．【答案】A【分析】根據(jù)題意結(jié)合反函數(shù)的概念運算求解.【詳解】由，解得，故函數(shù)的反函數(shù)為，由題意可得：，解得或，故A錯誤，B、C不一定不成立，D正確..8．已知函數(shù)的反函數(shù)圖像的對稱中心是，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題可根據(jù)反函數(shù)性質(zhì)得出函數(shù)的對稱中心是，然后通過即可得出結(jié)果.【詳解】因為函數(shù)的反函數(shù)圖像的對稱中心是，所以函數(shù)的對稱中心是，則，即，解得，.二、多選題9．設(shè)且，函數(shù)，下列說法正確的是（

）A．與在各自的定義域內(nèi)有相同的單調(diào)性B．與兩者的圖象關(guān)于直線對稱C．與兩者都既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)D．與有相同的定義域和值域【答案】ABC【分析】根據(jù)指對數(shù)的關(guān)系及指對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷各項正誤.【詳解】由指對數(shù)關(guān)系知：互為反函數(shù)，即關(guān)于直線對稱，B對；由于相同，則在各自定義域上單調(diào)性相同，且都是非奇非偶函數(shù)，A、C對；由定義域為R，值域為，定義域為，值域為R，所以與的定義域和值域都不同，D錯.BC10．設(shè)分別是方程與的實數(shù)解，則（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】利用反函數(shù)性質(zhì)結(jié)合圖像求解即可.【詳解】方程與分別變形為：因為和互為反函數(shù)，且關(guān)于對稱，所以，故CD正確，畫出和，的圖像，易知A正確；又因為，結(jié)合圖像，易知，故B錯誤.CD11．已知函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，令，則關(guān)于函數(shù)說法正確的是（

）A．函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱 B．函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱C．函數(shù)的最小值為 D．函數(shù)在上為減函數(shù)【答案】CC【分析】求出的解析式后可研究函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和最值等性質(zhì)，從而可得正確的選項.【詳解】因為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，則，，，則函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱，所以B正確，A錯誤；函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以C正確，D錯誤.C.三、填空題12．已知函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，則過定點.【答案】1,0【分析】首先求出原函數(shù)過定點坐標(biāo)，再根據(jù)反函數(shù)的性質(zhì)得解【詳解】函數(shù)是函數(shù)的反函數(shù)，又函數(shù)過定點所以函數(shù)過定點1,0.故答案為：1,013．已知函數(shù)，，則.【答案】3【分析】求反函數(shù)的值的問題，只需利用原函數(shù)與反函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，使原函數(shù)的函數(shù)值取反函數(shù)的自變量的值，在原函數(shù)的定義域內(nèi)求得自變量的值即反函數(shù)的對應(yīng)函數(shù)值.【詳解】根據(jù)原函數(shù)與其反函數(shù)的關(guān)系，要求的值，只需使函數(shù)()的函數(shù)值取，即，解得，因，故，即得：故答案為：.14．