高中數(shù)學(人教B版)必修二同步講義第6章第01講平面向量的概念(學生版+解析)

第01講平面向量的概念課程標準學習目標掌握向量、相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示；對共線向量的理解及掌握.通過對生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景；理解向量的意義及幾何表示；掌握相等向量與共線向量的意義.知識點01向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．【解讀】（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。炯磳W即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4知識點02向量的表示法1．有向線段具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2．向量的表示方法（1）字母表示法：如等.（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.【注意】（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．【即學即練2】已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是()A．也可以用eq\o(MN,\s\up7(―→))表示B．方向是由M指向NC．起點是MD．終點是M知識點03向量的有關(guān)概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).【解讀】（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大小．2．零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個單位的向量.【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點平移到同一點，則它們的終點構(gòu)成一個半徑為1的圓.4．相等向量：長度相等且方向相同的向量.【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．【即學即練3】（2024·高二課時練習）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個數(shù)是（

）①任一向量與它的相反向量不相等；②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；③若，則；④兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.A．0 B．1 C．2 D．3知識點04向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.(2)理解平行向量的概念時，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．(3)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac.而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因為零向量平行于任意向量．【即學即練4】在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量．正確的命題是________．題型01平面向量的基本概念【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個數(shù)是（

）①兩個相等向量的模相等；②若和都是單位向量，則；③相等的兩個向量一定是共線向量；④零向量是唯一沒有方向的向量；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量的大小為0，沒有方向B．C．起點相同的單位向量，終點必相同D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說法正確的是（

）A．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；B．若，則與的長度相等且方向相同或相反；C．若，且與的方向相同，則D．若，則與方向相同或相反【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個不同的點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件題型02平面向量的表示【典例2】（25-26高一上·全國·隨堂練習）如圖，在圓中，向量，，是（

）

A．有相同起點的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習）如圖，B是線段AC的中點，若分別以圖中各點為起點和終點，則最多可以寫出個共線非零向量．

【變式2】如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南方向行走了km．【變式3】一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點,然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200km到達C點,又改變方向,向東行駛了100km到達D點。(1)作出向量AB,BC,CD;(2)求汽車從A點到D點的位移大小|AD|。題型03平行向量與相等向量【典例3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說法正確的是（

）

A．與相等的向量只有1個（不含）B．與的模相等的向量有9個（不含）C．的模恰為的模的倍D．與不相等【變式1】下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【變式3】如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有個.

題型04平面向量的簡單應用【典例4】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個不同的點，若，則A、B、C的位置關(guān)系是；若進一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是；（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是．【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（

）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．長方形【變式2】已知四邊形，下列說法正確的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【變式3】已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習）下列量中是向量的為（

）A．體積 B．距離C．拉力 D．質(zhì)量2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說法正確的是（

）A．數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則4．（23-24高一下·全國·隨堂練習）下列關(guān)于向量的描述正確的是（

）A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共線5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則與共線 B．若與是平行向量，則C．若，則 D．共線向量方向必相同6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習）下列說法錯誤的是（）．A．零向量沒有方向B．兩個相等的向量若起點相同，則終點必相同C．只有零向量的模等于0D．向量與的長度相等7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A． B．、是單位向量，則C．兩個相同的向量的模相等 D．單位向量均相等二、多選題9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（

）A．在正方形ABCD中，B．的模長為0C．若，則向量是單位向量D．若向量與向量是共線向量，則向量與向量的方向相同10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個單位向量，則下列四個命題中錯誤的是（

）A．與相等 B．如果與平行，那么與相等C．與共線 D．如果與平行，那么或11．（23-24高一下·廣西來賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則三、填空題12．下列各量中，向量有：．（填寫序號）①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開學考試）在下列判斷中，真命題的是.①長度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．14．如圖所示，每個小正方形的邊長都是1，在其中標出了6個向量，在這6個向量中：(1)有兩個向量的模相等，這兩個向量是________，它們的模都等于________．(2)存在著共線向量，這些共線的向量是________，它們的模的和等于________．四、解答題15．.如圖，D，E，F(xiàn)分別是正三角形ABC各邊的中點．(1)寫出圖中所示與向量eq\o(DE,\s\up7(―→))長度相等的向量；(2)寫出圖中所示與向量eq\o(FD,\s\up7(―→))相等的向量；(3)分別寫出圖中所示向量與向量eq\o(DE,\s\up7(―→))，eq\o(FD,\s\up7(―→))共線的向量．16．（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知線段被n（）等分，等分點為，，，…，.從這個點中任取兩點作為向量的起點和終點.(1)當時，一共可以構(gòu)成多少個互不相等的非零向量？(2)求互不相等的非零向量總數(shù)，用n表示.第01講平面向量的概念課程標準學習目標掌握向量、相等向量、共線向量的概念及向量的幾何表示；對共線向量的理解及掌握.通過對生活中力、速度、位移等的分析，了解平面向量的實際背景；理解向量的意義及幾何表示；掌握相等向量與共線向量的意義.知識點01向量的概念1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2．數(shù)量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質(zhì)量等），稱為數(shù)量．【解讀】（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．（3）向量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。炯磳W即練1】有下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥功．其中，不是向量的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4【答案】D【解析】質(zhì)量、路程、功只有大小，沒有方向不是向量，而速度、力、加速度均是既有大小又有方向的物理量．故選C.知識點02向量的表示法1．有向線段具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．2．向量的表示方法（1）字母表示法：如等.（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量.【注意】（1）用字母表示向量便于向量運算；（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關(guān)，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．【即學即練2】已知向量a如圖所示，下列說法不正確的是()A．也可以用eq\o(MN,\s\up7(―→))表示B．方向是由M指向NC．起點是MD．終點是M【答案】A【解析】由向量的幾何表示知，A、B、C正確，D不正確．故選D.知識點03向量的有關(guān)概念1．向量的模：向量的大小叫向量的模(就是用來表示向量的有向線段的長度).【解讀】（1）向量的模．（2）向量不能比較大小，但是實數(shù)，可以比較大?。?．零向量：長度為零的向量叫零向量.記作，它的方向是任意的．3．單位向量：長度等于1個單位的向量.【解讀】定義中的零向量和單位向量都是只限制大小，沒有確定方向．我們規(guī)定零向量的方向是任意的；單位向量有無數(shù)個，它們大小相等，但方向不一定相同，在平面內(nèi)，將所有單位向量的起點平移到同一點，則它們的終點構(gòu)成一個半徑為1的圓.4．相等向量：長度相等且方向相同的向量.【解讀】在平面內(nèi)，相等的向量有無數(shù)多個，它們的方向相同且長度相等．【即學即練3】（2024·高二課時練習）下列關(guān)于向量的命題中，真命題的個數(shù)是（

）①任一向量與它的相反向量不相等；②長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量；③若，則；④兩個向量相等，則它們的起點與終點相同.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】利用零向量、相等向量與向量的模的定義逐一判斷即可.【詳解】對于①，因為零向量與它的相反向量相等，所以①不是真命題；對于②，根據(jù)向量的定義，知長度相等、方向相同的兩個向量是相等向量，所以②是真命題；對于③，當時，滿足，但，所以③不是真命題；對于④，只要模相等，方向相同，兩個向量就是相等向量，與向量的起點與終點無關(guān)，所以④不是真命題.綜上，只有②是真命題，即真命題的個數(shù)是..知識點04向量的共線或平行方向相同或相反的非零向量，叫共線向量(共線向量又稱為平行向量).規(guī)定：與任一向量共線.【解讀】（1）零向量的方向是任意的，注意0與0的含義與書寫區(qū)別.(2)理解平行向量的概念時，需注意平行向量和平行直線是有區(qū)別的，平行直線不包括重合的情況，而平行向量是可以重合的．(3)共線向量就是平行向量，其中“共線”的含義不是平面幾何中“共線”的含義．實際上，共線向量(平行向量)有以下四種情況：方向相同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不等．這樣，也就找到了共線向量與相等向量的關(guān)系，即共線向量不一定是相等向量，而相等向量一定是共線向量．(4)向量相等具有傳遞性，即ab，bc，則ac.而向量的平行不具有傳遞性，若a∥b，b∥c，未必有a∥c.因為零向量平行于任意向量．【即學即練4】在下列命題中：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個非零向量的兩個向量是共線向量．正確的命題是________．【答案】④⑥【解析】由向量的相關(guān)概念可知④⑥正確．題型01平面向量的基本概念【典例1】（23-24高一下·北京·期中）以下命題中正確的個數(shù)是（

）①兩個相等向量的模相等；②若和都是單位向量，則；③相等的兩個向量一定是共線向量；④零向量是唯一沒有方向的向量；A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】由相等向量、零向量、單位向量以及共線向量的定義逐一判斷各個序號即可求解.【詳解】對于①，兩個相等向量的模相等，且它們的方向也相同，故①正確；對于②，若和都是單位向量，當它們的方向不同時，則不不成立，故②錯誤；對于③，相等的兩個向量方向相同，所以它們一定是共線向量，故③正確；對于④，任何向量都有大小以及方向，零向量也是向量，只不過零向量是方向任意的向量，故④錯誤.故正確的有①③，共兩個..【變式1】（23-24高一下·福建莆田·階段練習）下列結(jié)論中，正確的是（

）A．零向量的大小為0，沒有方向B．C．起點相同的單位向量，終點必相同D．若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等【答案】C【分析】根據(jù)零向量特點即可判斷A；根據(jù)向量模的定義即可判斷B，根據(jù)單位向量以及向量共線的性質(zhì)即可判斷CD.【詳解】對A，既有大小又有方向的量叫向量，則零向量既有大小又有方向，故A錯誤；對B，由于與方向相反，長度相等，故B正確；對C，起點相同的單位向量，終點不一定相同，故C錯誤；對D，若兩個單位向量平行，則這兩個單位向量相等或相反，故D錯誤．．【變式2】（24-25高二上·甘肅臨夏·階段練習）判斷下列各命題的真假：①向量與平行，則與的方向相同或相反；②兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同；③零向量是沒有方向的；④有向線段就是向量，向量就是有向線段．其中假命題的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)零向量的定義及共線向量的定義判斷即可得.【詳解】對①：因為零向量的方向是任意的且零向量與任何向量共線，故當與中有一個為零向量時，其方向是不確定的，故為假命題；對②：兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同，故為真命題；對③：零向量也是向量，故也有方向，只是方向是任意的，故為假命題；對④：向量可用有向線段來表示，但并不是有向線段，故為假命題..【變式3】（23-24高一下·吉林·期末）下列說法正確的是（

）A．平面上所有單位向量，其終點在同一個圓上；B．若，則與的長度相等且方向相同或相反；C．若，且與的方向相同，則D．若，則與方向相同或相反【答案】D【分析】考慮向量的起點位置可判斷A；利用向量相等的定義可判斷BC；考慮特殊向量可判斷D.【詳解】對于A，只有平面上所有單位向量的起點移到同一個點時，其終點才會在同一個圓上，故A錯誤：對于B，由只能判斷兩向量長度相等，不能確定它們的方向關(guān)系，故B錯誤；對于C，因為，且與同向，由兩向量相等的條件，可得，故C正確；對于D，依據(jù)規(guī)定：與任意向量平行，故當時，與的方向不一定相同或相反，故D錯誤.．【變式4】（23-24高一下·北京·期中）已知是平面內(nèi)四個不同的點，則“”是“四邊形為平行四邊形”的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【分析】根據(jù)向量平行的意義進行判斷即可.【詳解】一方面，時，可能共線，此時不構(gòu)成四邊形，充分性不不成立；另一方面，四邊形為平行四邊形時，則，故，必要性不成立.故“”是“四邊形為平行四邊形”的必要不充分條件.題型02平面向量的表示【典例2】（25-26高一上·全國·隨堂練習）如圖，在圓中，向量，，是（

）

A．有相同起點的向量 B．相反向量C．模相等的向量 D．相等向量【答案】D【分析】根據(jù)向量的幾何表示，可判斷出選項A和C的正誤，再利用相反向量及相等向量的概念，結(jié)合圖形，即可判斷選項B和D的正誤.【詳解】對于選項A，因為向量，的起點為，而向量的起點為，所以選項A錯誤，對于選項B，因為相反向量是方向相反，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項B錯誤，對于選項C，向量，，的模長均為圓的半徑，所以選項C正確，對于選項D，因為相等向量是方向相同，長度相等的向量，而向量，，方向不同，所以選項D錯誤，

.【變式1】（23-24高一下·江西九江·階段練習）如圖，B是線段AC的中點，若分別以圖中各點為起點和終點，則最多可以寫出個共線非零向量．

【答案】6【分析】根據(jù)題意，直接寫出滿足題意的向量即可.【詳解】根據(jù)題意，可得所有共線非零向量有：，共有個.故答案為：.【變式2】如圖，是某人行走的路線，那么的幾何意義是某人從A點沿西偏南方向行走了km．【答案】80°2【分析】直接由圖求解即可【詳解】解析：由已知圖形可知，的幾何意義是從A點沿西偏南80°方向，行走了2km．故答案為：80°；2【變式3】一輛汽車從A點出發(fā)向西行駛了100km到達B點,然后改變方向向西偏北70°方向行駛了200km到達C點,又改變方向,向東行駛了100km到達D點。(1)作出向量AB,BC,CD;(2)求汽車從A點到D點的位移大小|AD|。【解析】(1)如圖所示。(2)由題意,易知AB與CD方向相反,故AB與CD平行。又因為|AB|=|CD|,所以在四邊形ABCD中,AB∥CD,且AB=CD。所以四邊形ABCD為平行四邊形。所以|AD|=|BC|=200km,即這輛汽車從A點到D點的位移大小為200km。題型03平行向量與相等向量【典例3】（24-25高一下·全國·課后作業(yè)）如圖，在菱形中，，則以下說法正確的是（

）

A．與相等的向量只有1個（不含）B．與的模相等的向量有9個（不含）C．的模恰為的模的倍D．與不相等【答案】ABC【分析】根據(jù)相等向量以及模長定義，結(jié)合結(jié)合圖形求解ABD，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解C.【詳解】由于，因此與相等的向量只有，而與的模相等的向量有，，，，，，，，，故A，B正確；而在中，，，故，故C正確；由于，因此與是相等的，故D錯誤．BC【變式1】下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數(shù)是（）A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.【變式2】（23-24高一下·福建泉州·階段練習）關(guān)于向量，下列命題中正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】利用向量的有向知識逐項判斷即可得結(jié)論.【詳解】對于A：當時，，但，得不出，故A錯誤；對于B：若，則與沒有關(guān)系，故B錯誤；對于C：若，則，故C正確；對于D：若，則和不能比較大小，故D錯誤．．【變式3】如圖，點O是正六邊形ABCDEF的中心，在分別以正六邊形的頂點和中心為始點和終點的向量中，與向量相等的向量有個.

【答案】3【分析】根據(jù)相等向量的定義及正六邊形的性質(zhì)即可求解.【詳解】根據(jù)正六邊形的性質(zhì)和相等向量的定義知，與向量相等的向量有，，，共3個.故答案為：3題型04平面向量的簡單應用【典例4】（24-25高一上·上海·課后作業(yè)）（1）A、B、C是平面上三個不同的點，若，則A、B、C的位置關(guān)系是；若進一步有，則A、B、C的位置關(guān)系是；（2）如圖，在四邊形中，若，則四邊形是．【答案】A、B、C三點共線B是的中點平行四邊形【分析】（1）根據(jù)共線向量的概念即可判斷；（2）根據(jù)相等向量的概念即可判斷．【詳解】（1）且有一個公共點，A、B、C三點共線；，方向相同，B是的中點，故答案為：A、B、C三點共線；B是的中點；（2）在四邊形中，若，則一組對邊平行且相等，則四邊形是平行四邊形；故答案為：平行四邊形【變式1】（23-24高一下·陜西咸陽·期中）已知四邊形中，，并且，則四邊形是（

）A．菱形 B．正方形 C．等腰梯形 D．長方形【答案】A【分析】由，得到四邊形為平行四邊形，再由，得到，得出四邊形為菱形.【詳解】由題意，四邊形中，因為，可得且，所以四邊形為平行四邊形，又因為，可得，所以四邊形為菱形..【變式2】已知四邊形，下列說法正確的是（）A．若，則四邊形為平行四邊形B．若，則四邊形為矩形C．若，且，則四邊形為矩形D．若，且，則四邊形為梯形【答案】A【解析】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；選項，如圖，但是四邊形不是矩形，錯誤；選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.【變式3】已知點，，，分別是平面四邊形的邊，，，的中點，求證：．【答案】證明見解析【解析】證明：如圖，連接AC，因為，分別是，的中點，所以為的中位線，所以，且，同理，因為，分別是，的中點，所以，且，所以，且，因為向量與方向相同，所以.一、單選題1．（24-25高二上·黑龍江佳木斯·階段練習）下列量中是向量的為（

）A．體積 B．距離C．拉力 D．質(zhì)量【答案】D【分析】由向量的定義即可判斷【詳解】A，B，D只有大小，C既有大小又有方向故選:C2．（23-24高一下·陜西寶雞·期中）下列說法正確的是（

）A．數(shù)量可以比較大小，向量也可以比較大小B．由于零向量的方向不確定，因此零向量不能與任意向量平行C．模為1的向量都是相等向量D．向量的?？梢员容^大小【答案】A【分析】由向量的相關(guān)概念逐一判斷即可.【詳解】向量是有大小又有方向的矢量，不能比較大小，故A錯；由于零向量的方向不確定，故規(guī)定零向量與任意向量平行，故B錯；長度相等、方向相同的向量稱為相等向量，模長為1的向量只規(guī)定了長度相等，方向不一等相同，故C錯；向量的模長是一個數(shù)量，因此可以比較大小，故D正確..3．（23-24高一下·天津河北·期中）下列說法中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若且，則 D．若，則【答案】C【分析】對于A：根據(jù)向量與數(shù)量的定義分析判斷；對于B：根據(jù)向量相等和向量共線分析判斷；對于C：舉反例說明即可；對于D：根據(jù)零向量和向量共線分析判斷.【詳解】對于選項A：因為為向量，均為數(shù)量，故A錯誤；對于選項B：根據(jù)相等向量與平行向量的關(guān)系，知，即有，故B正確；對于選項C：例如，滿足且，但，故C錯誤；對于選項D：由零向量可知：對任意，均有，即不一定不成立，故D錯誤；4．（23-24高一下·全國·隨堂練習）下列關(guān)于向量的描述正確的是（

）A．若向量，都是單位向量，則B．若向量，都是單位向量，則C．任何非零向量都有唯一的與之共線的單位向量D．平面內(nèi)起點相同的所有單位向量的終點共線【答案】C【分析】利用單位向量的定義，即可判斷出選項ABD的正誤；選項C，利用共線向量的定義，即可判斷出選項C的正誤.【詳解】對于選項A，向量包括長度和方向，單位向量的長度相同均為，方向不定，故向量和不一定相同，故選項A錯誤；對于選項B，單位向量的長度相同均為，所以，故選項B正確；對于選項C，任意一個非零向量有兩個與之共線的單位向量，故選項C錯誤；對于選項D，因為所有單位向量的模為，且共起點，所以所有單位向量的終點在半徑為的圓周上，故選項D錯誤；.5．（23-24高一下·江西南昌·期中）下列說法正確的是（

）A．若，則與共線 B．若與是平行向量，則C．若，則 D．共線向量方向必相同【答案】A【分析】利用共線向量、相等向量的概念逐項判斷即得.【詳解】對于A，相等向量必是共線向量，A正確；對于B，與是平行向量，如為非零向量，而，顯然，B錯誤；對于C，模相等的兩個向量，它們的方向不一定相同，即不一定不成立，C錯誤；對于D，共線向量的方向可以相反，D錯誤.6．（23-24高一下·陜西寶雞·階段練習）下列說法錯誤的是（）．A．零向量沒有方向B．兩個相等的向量若起點相同，則終點必相同C．只有零向量的模等于0D．向量與的長度相等【答案】A【分析】A.由零向量的定義判斷；B.由相等向量的定義判斷；C.由向量模的定義判斷；D.由相反向量的定義判斷.【詳解】A.規(guī)定零向量的方向是任意的，所以零向量有方向，故錯誤；B.兩個相等的向量大小相同，方向相同，所以若起點相同，則終點必相同，故正確；C.由向量模的定義可知只有零向量的模等于0，故正確；D.向量與是相反向量，大小相同，方向相反，故正確；7．（23-24高一下·黑龍江大慶·階段練習）下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】D【分析】根據(jù)向量的概念逐一判斷.【詳解】對于A：若，則只是大小相同，并不能說方向相同，A錯誤；對于B：向量不能比較大小，B錯誤；對于C：若，則方向相同，C正確；對于D：若，如果為零向量，則不能推出平行，D錯誤..8．（22-23高一下·江蘇連云港·階段練習）下列說法錯誤的是（

）A． B．、是單位向量，則C．兩個相同的向量的模相等 D．單位向量均相等【答案】A【分析】根據(jù)相等向量、單位向量的定義判斷即可.【詳解】對于A：因為，又互為相反向量的兩個向量的模相等，所以，故A正確；對于B：因為、是單位向量，所以，故B正確；對于C：兩個相同的向量的模相等，故C正確；對于D：單位向量的模相等均為，由于無法確定方向是否相同，故單位向量不一定相等，故D錯誤.二、多選題9．（23-24高一下·廣東佛山·期中）下列命題是真命題的是（

）A．在正方形ABCD中，B．的模長為0C．若，則向量是單位向量D．若向量與向量是共線向量，則向量與向量的方向相同【答案】CC【分析】對于A，根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合相等向量的定義分析判斷，對于B，由零向量的定義判斷，對于C，由單位向量的定義判斷，對于D，根據(jù)共線向量的定義判斷.【詳解】對于A，在正方形ABCD中，與的方向不同，A錯誤.對于B，的模長為0，B正確.對于C，若，則向量是單位向量，C正確.對于D，若向量與向量是共線向量，則向量與向量的可能相反，D錯誤.C10．（23-24高一下·陜西渭南·期末）已知，為兩個單位向量，則下列四個命題中錯誤的是（

）A．與相等 B．如果與平行，那么與相等C．與共線 D．如果與平行，那么或【答案】ABC【分析】根據(jù)相等向量，共線向量的定義進行判斷.【詳解】A選項，與為兩個單位向量，它們模長相等，但方向不一定相同，A選項錯誤；B選項，如果與平行，即與共線，根據(jù)共線向量性質(zhì)，此時它們可能同向共線或者反向共線，當它們反向共線時，與不相等，B選項錯誤；C選項，兩個單位向量的夾角為或，它們才共線，但這是不一定的，C選項錯誤；D選項，如果與平行，即與共線，根據(jù)共線向量性質(zhì)，此時它們可能同向共線或者反向共線，即或，D選項正確.BC.11．（23-24高一下·廣西來賓·期末）關(guān)于非零向量，，下列命題中，正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，，則 D．若，則【答案】CC【分析】對于A，由相等向量定義即可判斷；對于B,由共線向量的內(nèi)涵即可判斷；對于C，因為非零向量，故可以利用平行傳遞性判斷；對于D，因向量有方向，不能比較大小即可判斷.【詳解】對于A，若，但與方向不確定，則得不到，，故A錯誤；對于B，若，說明與方向相反，故，即B正確；對于C，因，由，，易得，故C正確；對于D，若，但、不能比較大小，故D錯誤．C．三、填空題12．下列各量中，向量有：．（填寫序號）①濃度；②年齡；③風力；④面積；⑤位移；⑥人造衛(wèi)星的速度；⑦電量；⑧向心力；⑨盈利；⑩加速度．【答案】③⑤⑥⑧⑩【分析】根據(jù)向量的概念判斷即可.【詳解】解：向量是有大小有方向的量，故符合的有：風力，位移，人造衛(wèi)星的速度，向心力，加速度.故答案為：③⑤⑥⑧⑩.13．（23-24高一下·江蘇宿遷·開學考試）在下列判斷中，真命題的是.①長度為的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③單位向量的長度都相等；④單位向量都是同方向；⑤任意向量與零向量都共線．【答案】①③⑤【分析】根據(jù)向量的定義及知識即可逐項判斷求解.【詳解】對①：由定義知①正確；對②：由于兩個零向量是平行的，但不能確定是否同向，也不能確定是哪個具體方向，故②不正確；對③