高中數(shù)學(xué)(人教B版)必修二同步講義第4章第03講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算(學(xué)生版+解析)

第03講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)；2．掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程；3．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；4．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的化簡與證明.1.了解對(duì)數(shù)的概念，會(huì)進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)值；2.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并能正確利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算；3.掌握換底公式及其推論；4.掌握常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念與記法.知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)1、對(duì)數(shù)的概念：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱定義記法常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)，且時(shí)，；（2）負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)，即；（3）特殊值：1的對(duì)數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即（，且）；（4）對(duì)數(shù)恒等式：；（5）．【即學(xué)即練1】1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化.(1)3a=27(2)lg0.001=?32.已知logx8=2，則x=(A．2 B．22 C．3 知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用1、運(yùn)算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.【即學(xué)即練2】log222A．4 B．92 C．5 D．知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)運(yùn)算常用方法技巧1、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后進(jìn)行化簡合并；（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對(duì)數(shù)相減的形式．2、對(duì)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)運(yùn)算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對(duì)數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進(jìn)行化簡；（2）的應(yīng)用技巧：對(duì)數(shù)運(yùn)算過程中如果出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)數(shù)相乘且兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧：對(duì)于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解．【即學(xué)即練3】計(jì)算：=題型01對(duì)數(shù)的概念及辨析【典例1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)【變式1】（23-24高一上·貴州貴陽·月考）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【變式2】對(duì)數(shù)中的實(shí)數(shù)的取值范圍與下列哪個(gè)不等式的解相同（

）.A．且 B．C． D．且題型02對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換【典例2】已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．12【變式1】若，則（

）A． B． C． D．【變式2】若（且），則（

）A． B．C． D．【變式3】若，，則的值為．【變式4】已知，則的值為．【變式5】將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．題型03利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡【典例1】（24-25高三上·廣東梅州·開學(xué)考試）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【變式1】已知，則．【變式2】（23-24高一上·江蘇常州·期中）.【變式3】（1）化簡求值：；（2）已知，求的值.【變式4】（24-25高一·上?！ふn堂例題）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【變式5】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算．題型04用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)【典例04】（23-24高一上·天津·階段練習(xí)），，試用a，b表示（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一上·上?！て谀┮阎?，則可以用a、b表示為.【變式2】（23-24高一上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，，則.（結(jié)果用，表示）題型05利用換底公式化簡求值【典例05】（23-24高一上·山東淄博·期末）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【變式1】（23-24高一上·云南保山·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C．2 D．【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）（多選）設(shè)都是正數(shù)，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【變式3】（23-24高一上·吉林·期中）若，，，則下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【變式4】已知，則．題型06實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算【典題06】(2024·貴州遵義·一模)近年來，中國成為外來物種入侵最嚴(yán)重的國家之一，物種入侵對(duì)中國生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅．某地的一種外來動(dòng)物數(shù)量快速增長，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個(gè)月就增長1倍．假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要(lg2≈0.3010)(A．8年 B．10年 C．12年 D．20年【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海，”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．70天 B．80天 C．90天 D．100天【變式2】（23-24高一上·新疆·期末）把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經(jīng)過（?。海?/p>

）A． B． C． D．【變式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級(jí)地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則一、單選題1．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．42．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，3．（23-24高一上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）下列計(jì)算結(jié)果為2的式子是（

）A． B． C． D．4．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）里氏震級(jí)M的計(jì)算公式：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為________級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_______倍．（

）A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，100005．（23-24高一上·四川涼山·期末）計(jì)算的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．86．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．8．（23-24高一上·吉林長春·期中）設(shè)，且，則（

）A． B．10 C．100 D．1000二、多選題9．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．且B．且C．且D．且10．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，則下列等式一定正確的是（

）A． B． C． D．11．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．5三、填空題12．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）若，則.13．（23-24高一上·北京·期中）計(jì)算．14．（23-24高一上·寧夏吳忠·階段練習(xí)）若，則的值為四、解答題15．（23-24高一上·江西宜春·期末）計(jì)算：(1)；(2)．16．（23-24高一上·吉林長春·期中）（1）計(jì)算：（2）求下列式中的的值：；17．（23-24高一上·青海海東·階段練習(xí)）（1）求值：；（2）設(shè)，，試用，表示.18．（23-24高一上·上?！て谥校?）已知，，用a、b表示.（2）設(shè)，為方程的兩個(gè)根，求的值.19．（23-24高一上·廣東·期末）潮汕人喜歡喝功夫茶，茶水的口感和水的溫度有關(guān)，如果剛泡好的茶水溫度是℃，環(huán)境溫度是℃，那么t分鐘后茶水的溫度（單位：℃）可由公式求得．現(xiàn)有剛泡好茶水溫度是100℃，放在室溫25℃的環(huán)境中自然冷卻，5分鐘以后茶水的溫度是70℃．(1)求k的值；(2)經(jīng)驗(yàn)表明，當(dāng)室溫為15℃時(shí)，該種茶剛泡好的茶水溫度95℃，自然冷卻至80℃時(shí)飲用，可以產(chǎn)生最佳口感，那么，剛泡好的茶水大約需要放置多長時(shí)間才能達(dá)到最佳飲用口感？（結(jié)果精確到0.1；參考值：，）第03講對(duì)數(shù)及其運(yùn)算課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)；2．掌握指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，能應(yīng)用對(duì)數(shù)的定義和性質(zhì)解方程；3．理解對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，能用換底公式將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)；4．會(huì)運(yùn)用運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行一些簡單的化簡與證明.1.了解對(duì)數(shù)的概念，會(huì)進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，會(huì)求簡單的對(duì)數(shù)值；2.掌握積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，并能正確利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)進(jìn)行對(duì)數(shù)運(yùn)算；3.掌握換底公式及其推論；4.掌握常用對(duì)數(shù)、自然對(duì)數(shù)的概念與記法.知識(shí)點(diǎn)01對(duì)數(shù)的概念與性質(zhì)1、對(duì)數(shù)的概念：如果（且），那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作，其中a叫作對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫作真數(shù)．2、常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)名稱定義記法常用對(duì)數(shù)以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)自然對(duì)數(shù)以無理數(shù)為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)3、對(duì)數(shù)的性質(zhì)（1）當(dāng)，且時(shí)，；（2）負(fù)數(shù)和0沒有對(duì)數(shù)，即；（3）特殊值：1的對(duì)數(shù)是0，即0（，且）；底數(shù)的對(duì)數(shù)是1，即（，且）；（4）對(duì)數(shù)恒等式：；（5）．【即學(xué)即練1】1.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化.(1)3a=27(2)lg0.001=?3【答案】a=log3【分析】根據(jù)指數(shù)式和對(duì)數(shù)式互化的規(guī)定：底數(shù)不變，指數(shù)變對(duì)數(shù)，冪值變真數(shù)進(jìn)行變換即得.【詳解】(1)由3a=27可得：a=log327故答案為：a=log32.已知logx8=2，則x=(A．2 B．22 C．3 【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】因?yàn)閘ogx8=2=log且x∈0,1∪1,+.知識(shí)點(diǎn)02對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及應(yīng)用1、運(yùn)算性質(zhì)：,且，（1）；（2）；（3）2、換底公式（1）換底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)．（2）可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.【即學(xué)即練2】log222A．4 B．92 C．5 D．【答案】A【分析】利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可.【詳解】log2.知識(shí)點(diǎn)03對(duì)數(shù)運(yùn)算常用方法技巧1、對(duì)數(shù)混合運(yùn)算的一般原則（1）將真數(shù)和底數(shù)化成指數(shù)冪形式，使真數(shù)和底數(shù)最簡，用公式化簡合并；（2）利用換底公式將不同底的對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為同底的對(duì)數(shù)式；（3）將同底對(duì)數(shù)的和、差、倍運(yùn)算轉(zhuǎn)化為同底對(duì)數(shù)真數(shù)的積、商、冪；（4）如果對(duì)數(shù)的真數(shù)可以寫成幾個(gè)因數(shù)或因式的相乘除的形式，一般改寫成幾個(gè)對(duì)數(shù)相加減的形式，然后進(jìn)行化簡合并；（5）對(duì)數(shù)真數(shù)中的小數(shù)一般要化成分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)一般寫成對(duì)數(shù)相減的形式．2、對(duì)數(shù)運(yùn)算中的幾個(gè)運(yùn)算技巧（1）的應(yīng)用技巧：在對(duì)數(shù)運(yùn)算中如果出現(xiàn)和，則一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出現(xiàn)，再應(yīng)用公式進(jìn)行化簡；（2）的應(yīng)用技巧：對(duì)數(shù)運(yùn)算過程中如果出現(xiàn)兩個(gè)對(duì)數(shù)相乘且兩個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)位置顛倒，則可用公式化簡；（3）指對(duì)互化的轉(zhuǎn)化技巧：對(duì)于將指數(shù)恒等式作為已知條件，求函數(shù)的值的問題，通常設(shè)，則，，，將值帶入函數(shù)求解．【即學(xué)即練3】計(jì)算：=【答案】1【詳解】由.題型01對(duì)數(shù)的概念及辨析【典例1】（23-24高一上·全國·專題練習(xí)）（多選）下列選項(xiàng)中錯(cuò)誤的是（

）A．零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)B．任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式C．以10為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)D．以e為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)【答案】CCD【解析】對(duì)于A：由對(duì)數(shù)的定義可知：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù).故A正確；對(duì)于B：只有符合，且，才有，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，故D錯(cuò)誤.CD.【變式1】（23-24高一上·貴州貴陽·月考）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】D【解析】由式子有意義，則滿足，解得且..【變式2】對(duì)數(shù)中的實(shí)數(shù)的取值范圍與下列哪個(gè)不等式的解相同（

）.A．且 B．C． D．且【答案】A【分析】首先根據(jù)對(duì)數(shù)中的實(shí)數(shù)a和b的取值要求求出a和b取值范圍，再解不等式分析下面選項(xiàng)中的a和b取值范圍，看是否一致即可.【詳解】對(duì)數(shù)中的實(shí)數(shù)a的取值要求為：且，，A：本選項(xiàng)顯然不符合題意；B：或，顯然不符合題意；C：或，顯然不符合題意；D：且且，所以有且，，顯然符合題意，.題型02對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互換【典例2】已知，，則（

）A．5 B．6 C．7 D．12【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，利用指數(shù)的運(yùn)算即可求得答案.【詳解】由，得，故，【變式1】若，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由對(duì)數(shù)的運(yùn)算求出，再結(jié)合對(duì)數(shù)和指數(shù)的運(yùn)算化簡即可.【詳解】由題得，所以..【變式2】若（且），則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的定義將指數(shù)化為對(duì)數(shù).【詳解】因?yàn)椋ㄇ遥?，所?.【變式3】若，，則的值為．【答案】43/【分析】將對(duì)數(shù)化為指數(shù)，結(jié)合指數(shù)冪運(yùn)算求解.【詳解】因?yàn)?，，則，，所以．故答案為：.【變式4】已知，則的值為．【答案】【分析】將對(duì)數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式，再結(jié)合指數(shù)運(yùn)算公式，即可求解.【詳解】，則，則．故答案為：【變式5】將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)．【答案】(1)(2)(3)(4)(5)(6)【分析】運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化.【詳解】（1），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（2），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（3），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（4），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（5），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.（6），運(yùn)用指數(shù)對(duì)數(shù)互化規(guī)則“底不變，其他換”，可轉(zhuǎn)化為.題型03利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡【典例1】（24-25高三上·廣東梅州·開學(xué)考試）化簡的值為（

）A．1 B．2 C．4 D．6【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的性質(zhì)及換底公式可求代數(shù)式的值.【詳解】原式.【變式1】已知，則．【答案】【分析】運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)化簡即可.【詳解】由于，則，則.故答案為：.【變式2】（23-24高一上·江蘇常州·期中）.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解即可【詳解】.故答案為：3【變式3】（1）化簡求值：；（2）已知，求的值.【答案】（1）2；（2）4【分析】（1）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可；（2）由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡后再結(jié)合定義域解方程即可；【詳解】（1）原式；（2）由已知可得，因?yàn)椋?，化簡可得，解得（舍去），或，所以【變?】（24-25高一·上?！ふn堂例題）化簡下列各式：(1)；(2)；(3)；(4)．【答案】(1)(2)(3)1(4)【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)以及指數(shù)運(yùn)算法則計(jì)算即可得到結(jié)果；【詳解】（1）；（2）；（3）；（4）.【變式5】（24-25高一上·全國·課前預(yù)習(xí)）計(jì)算．【答案】【分析】運(yùn)用換底公式及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算即可.【詳解】原式．題型04用已知對(duì)數(shù)表示其他對(duì)數(shù)【典例04】（23-24高一上·天津·階段練習(xí)），，試用a，b表示（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用對(duì)數(shù)換底公式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則算計(jì)即得.【詳解】由，，則.【變式1】（23-24高一上·上?！て谀┮阎?，則可以用a、b表示為.【答案】【分析】利用指數(shù)、對(duì)數(shù)互化關(guān)系及對(duì)數(shù)換底公式求解即得.【詳解】由，得，而，所以.故答案為：【變式2】（23-24高一上·湖北荊州·階段練習(xí)）已知，，則.（結(jié)果用，表示）【答案】【分析】應(yīng)用指對(duì)互化及對(duì)數(shù)的運(yùn)算律及換底公式即可.【詳解】，則，，則，則，故答案為：題型05利用換底公式化簡求值【典例05】（23-24高一上·山東淄博·期末）設(shè)a，b，c都是正數(shù)，且，那么下列關(guān)系正確的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，得，，，，，，則，根據(jù)可知，.【變式1】（23-24高一上·云南保山·階段練習(xí)）若，則（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】由已知表示出，再由換底公式化簡可求.【詳解】∵，∴，∴.．【變式2】（23-24高一上·江蘇鹽城·期中）（多選）設(shè)都是正數(shù)，且，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CCD【分析】連等式一般可以先設(shè)為，分別求值后再逐個(gè)驗(yàn)證判斷即可.【詳解】令，則，所以，對(duì)于A：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，A正確；對(duì)于B：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，B錯(cuò)誤；對(duì)于C：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，C錯(cuò)誤；對(duì)于D：兩邊同除等價(jià)于，由上可知，，所以，D錯(cuò)誤，CD【變式3】（23-24高一上·吉林·期中）若，，，則下列計(jì)算正確的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】根據(jù)題意求出、和，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)判斷選項(xiàng)中的命題是否正確．【詳解】若，，，則，，，所以，選項(xiàng)A正確；，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，又，，所以等號(hào)不不成立，即，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由，選項(xiàng)D正確．D【變式4】已知，則．【答案】1【分析】利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化和換底公式即可求值．【詳解】，則，，．故答案為：．題型06實(shí)際問題中的對(duì)數(shù)運(yùn)算【典題06】(2024·貴州遵義·一模)近年來，中國成為外來物種入侵最嚴(yán)重的國家之一，物種入侵對(duì)中國生物多樣性、農(nóng)牧業(yè)生產(chǎn)等構(gòu)成巨大威脅．某地的一種外來動(dòng)物數(shù)量快速增長，不加控制情況下總數(shù)量每經(jīng)過7個(gè)月就增長1倍．假設(shè)不加控制，則該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要(lg2≈0.3010)(A．8年 B．10年 C．12年 D．20年【答案】D【分析】設(shè)經(jīng)過x個(gè)月動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億，可得100?2【詳解】設(shè)經(jīng)過x個(gè)月動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億，所以100?2x7兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)可得：lg2所以x7?lg而139.5312所以該動(dòng)物數(shù)量由入侵的100只增長到1億只大約需要12年..【變式1】（23-24高一上·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海，”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是，一年后是；而把看作是每天的“退步”率都是，一年后是．這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的倍．那么當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．70天 B．80天 C．90天 D．100天【答案】C【分析】先根據(jù)天后的“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍列方程，應(yīng)用指對(duì)轉(zhuǎn)化求值.【詳解】設(shè)天后的“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍，則，即，兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，化簡得，所以．故當(dāng)“進(jìn)步值”是“退步值”的5倍時(shí)，大約經(jīng)過80天．故選:B．【變式2】（23-24高一上·新疆·期末）把某種物體放在空氣中冷卻，若該物體原來的溫度是，空氣的溫度是，則后該物體的溫度可由公式求得.若將溫度分別為和的兩塊物體放入溫度是的空氣中冷卻，要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則至少要經(jīng)過（?。海?/p>

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題中定義的公式，代入相關(guān)數(shù)值，再列出不等式求解即可.【詳解】的物塊經(jīng)過后的溫度，的物塊經(jīng)過后的溫度.要使得兩塊物體的溫度之差不超過，則，即，解得..【變式3】（22-23高一下·浙江杭州·期中）通過科學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：地震時(shí)釋放的能量（單位：焦耳）與地震里氏震級(jí)之間的關(guān)系為.已知2011年甲地發(fā)生里氏9級(jí)地震，2019年乙地發(fā)生里氏7級(jí)地震，若甲、乙兩地地震釋放能量分別為，，則【答案】1000【分析】首先根據(jù)題意得到，再作差即可得到答案.【詳解】由題知：.故答案為：1000一、單選題1．（23-24高一上·福建廈門·期末）已知，則（

）A．2 B． C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算分析求解.【詳解】因?yàn)椋傻?，且，解?.2．（23-24高一上·貴州貴陽·階段練習(xí)）使式子有意義的的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．，【答案】D【分析】根據(jù)題意，結(jié)合對(duì)數(shù)式的定義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由式子有意義，則滿足，解得且..3．（23-24高一上·山東濟(jì)南·階段練習(xí)）下列計(jì)算結(jié)果為2的式子是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算逐一計(jì)算即可.【詳解】，A錯(cuò)誤；，B正確；，C錯(cuò)誤；，D錯(cuò)誤.4．（23-24高一上·山東菏澤·階段練習(xí)）里氏震級(jí)M的計(jì)算公式：，其中A是測震儀記錄的地震曲線的最大振幅，是相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅．假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則此次地震的震級(jí)為________級(jí)；9級(jí)地震的最大振幅是5級(jí)地震最大振幅的_______倍．（

）A．6，1000 B．4，1000 C．6，10000 D．4，10000【答案】D【分析】根據(jù)題中的震級(jí)計(jì)算公式及對(duì)數(shù)運(yùn)算可得結(jié)果．【詳解】根據(jù)題意，假設(shè)在一次地震中，測震儀記錄的最大振幅是1000，此時(shí)標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅為0.001，則；

設(shè)9級(jí)地震的最大的振幅是x，5級(jí)地震最大振幅是y，則有，解得，所以，.5．（23-24高一上·四川涼山·期末）計(jì)算的值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算法則、換底公式、對(duì)數(shù)恒等式運(yùn)算即可.【詳解】..6．（23-24高一上·甘肅武威·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)即可結(jié)合換底公式求解.【詳解】，故選:B.7．（22-23高一上·新疆烏魯木齊·期末）若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先由換底公式將表示為，再將代入計(jì)算即可.【詳解】由題知，，..8．（23-24高一上·吉林長春·期中）設(shè)，且，則（

）A． B．10 C．100 D．1000【答案】D【分析】利用指數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算法則可得，再由換底公式即可得，計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)題意由可得，所以，即可得，即.二、多選題9．（23-24高一上·云南曲靖·階段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．且B．且C．且D．且【答案】CCD【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式判斷即可得到答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可以判斷選項(xiàng)B正確；對(duì)于選項(xiàng)C，由換底公式可以判斷選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，，故選項(xiàng)D正確.CD10．（23-24高一上·江蘇南京·階段練習(xí)）已知，則下列等式一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【分析】根據(jù)可推出，依此并結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算，一一判斷各選項(xiàng)，即可得答案.【詳解】由，得，且，即，而此時(shí)不總是不成立，則C錯(cuò)誤；由于，即，結(jié)合以上分析可知A錯(cuò)誤；由于，即為，故B正確；又，D正確，D11．（22-23高一上·山東臨沂·期末）已知正實(shí)數(shù)a，b滿足，且，則的值可以為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】DD【分析】指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式得到，利用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則和換底公式得到，從而求出可得答案.【詳解】由得到，則，即，整理得，解得或，當(dāng)時(shí)，，，則；當(dāng)時(shí)，，，則．D．三、填空題12．