2025屆上海市閔行區(qū)高三上學期學業(yè)質量調研數(shù)學試卷（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE1上海市閔行區(qū)2025屆高三上學期學業(yè)質量調研數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設集合，，則______．【答案】【解析】因為，，所以.故答案為：2.不等式的解集為______．【答案】【解析】不等式等價于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：3.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】設直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．4.已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為______．【答案】2【解析】正實數(shù)、滿足，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為2.故答案為：25.已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側面積為______．【答案】【解析】因為圓錐的高為8，底面半徑為，所以圓錐的母線長為，則圓錐的側面積.故答案為：.6.的二項展開式中，項的系數(shù)為______．【答案】28【解析】在的二項展開式中，含的項為，所以項的系數(shù)為28.故答案為：287.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，當時，所以.故答案為：8.從10名數(shù)學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為______．【答案】144【解析】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種.所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.故答案為：1449.已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當、取遍所有正整數(shù)時，的值中不同虛數(shù)的個數(shù)為______．【答案】6【解析】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個.故答案為：610.已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則______．【答案】【解析】橢圓，則、，設Ax0,y0即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案為：.11.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點、分別為、的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域為草坪．現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段上，另外兩個頂點在線段上，則該游樂區(qū)面積的最大值為______平方米．（結果保留整數(shù)）【答案】137【解析】設游樂區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當分別于圓弧相切時，取得最大值，由對稱性，只討論，設與圓弧相切于點，連接，設，因為≌，≌，則，，因為，所以，，，，所以，因為，所以，令，則，則，當且僅當，即時等號成立，所以平方米，即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米．故答案為：137.12.已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，，因為，所以，所以，即，，所以，當且僅當時，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時，必然成立；若，因，，不妨設，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯(lián)立得，即，所以，又，所以，，當時，，不符合條件；當時，，則，此時；當時，，則或，此時或，因為，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，B是；對于C，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，C不是；對于D，當時，在上是嚴格增函數(shù)，D不是.故選：B.15.設，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】對于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當時，，當時，，而當時，，當時，，取，則，A不是；對于B，當為第二象限時，，，取，，則，B不；對于C，當為第三象限時，，取，，，C不是；對于D，當為第四象限時，，，則，當為第四象限時，，D正確.故選：D16.已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對于下述兩個命題：①對于任意的，任意的，都有是嚴格增數(shù)列；②對于任意的，存在，使得是嚴格減數(shù)列．以下說法正確的為（）A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】A【解析】對于①，時，，，時，；時，，也有，故①為真命題.對于②，時，，，當時，，，不嚴格遞減；當時，，，不嚴格遞減；當時，，若，則，同理當時，，則存在，使得，則，，不嚴格遞減.綜上所述，時，不可能是嚴格遞減數(shù)列.故②為假命題.故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17.在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的大?。?）證明：如圖所示：連接，因為、分別為和中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）解：建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為m=x則，即，令，得，則，易知平面ABC的一個法向量為：，設二面角的大小為，則，二面角大小為.18.已知（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，函數(shù)，當時，，當且僅當時取等號，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，，所以函數(shù)的值域是.（2）當時，，由，得，則，整理得，而，，因此，所以實數(shù)的取值范圍.19.為了解某市高三學生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學生中隨機抽取600人，統(tǒng)計他們的日均睡眠時長及分布人數(shù)如下表所示：睡眠時長（小時）人數(shù)150270180注：睡眠時長在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．（1）估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為多少？（2）估計該市高三學生日均睡眠時長；（3）若從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取4人做進一步訪談調查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率．解：（1）由題知，隨機抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)為（人），所以估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為（萬人）；（2）隨機抽取的600人的日均睡眠時長為（小時），所以估計該市高三學生日均睡眠時長約為（小時）；（3）從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，所以睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，睡眠時長在抽取（人），睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，則從這20人中隨機抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率為.20.已知圓，雙曲線，直線，其中．（1）當時，求雙曲線的離心率；（2）若與圓相切，證明：與雙曲線的左右兩支各有一個公共點；（3）設與軸交于點，與圓交于點、，與雙曲線的左右兩支分別交于點、，四個點從左至右依次為、、、．當時，是否存在實數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．（1）解：由題意，，所以，，因此，雙曲線的離心率.（2）證明：由直線與圓相切，得，即，聯(lián)立得，即，該一元二次方程的判別式，因此有兩個不相等的實數(shù)根，且兩根之積為，因此兩根一正一負，即與雙曲線的左右兩支各有一個公共點.（3）解：設，聯(lián)立，得，得，由可得.聯(lián)立得，得且分別交于左右兩支可得又，又、、、四個點在同一直線上，，，還可得，，即，化簡后可得:，代入后化簡可得:，解得，由，得.經(jīng)檢驗，此時與兩支分別有交點，為唯一滿足條件的實數(shù).21.設函數(shù)的定義域為，集合．若中有且僅有一個元素，則稱為函數(shù)的一個“值”（1）設，求的值；（2）設，且，若的函數(shù)值中不存在值，求實數(shù)取值的集合；（3）已知定義域為的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值，若，證明：在上為嚴格增函數(shù)的一個充要條件是．（1）解：由題設知：有唯一解，即有唯一解，所以，解得：.所以的值為.（2）解：，當時，由可得：或，由可得：或，所以在，上單調遞減，在，上單調遞增，當時，，當時，，且，，畫簡圖如下：若的函數(shù)值中不存在值，則不存在唯一解，即，解得：；當時，，令，則，令，則，所以在上單調遞減，在上單調遞增，此時存在有唯一解，不符合題意，所以，實數(shù)取值的集合為.（3）證明：由函數(shù)的圖象是一條連續(xù)曲線，且函數(shù)的所有函數(shù)值均為值可知，的任一解均唯一，即是單調函數(shù).充分性：若在上為嚴格增函數(shù)，則對，有，即成立，則有；必要性：若在上不為嚴格增函數(shù)，因為是單調函數(shù)，則假設是單調減函數(shù)，則對，都有，即成立，與矛盾，所以假設不成立，即在上為嚴格增函數(shù).得證.上海市閔行區(qū)2025屆高三上學期學業(yè)質量調研數(shù)學試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）1.設集合，，則______．【答案】【解析】因為，，所以.故答案為：2.不等式的解集為______．【答案】【解析】不等式等價于，解得，所以不等式的解集為.故答案為：3.直線的傾斜角為______．【答案】【解析】設直線的傾斜角為．由直線化為，故，又，故，故答案為．4.已知正實數(shù)、滿足，則的最小值為______．【答案】2【解析】正實數(shù)、滿足，則，當且僅當時取等號，所以的最小值為2.故答案為：25.已知圓錐的高為8，底面半徑為6，則該圓錐的側面積為______．【答案】【解析】因為圓錐的高為8，底面半徑為，所以圓錐的母線長為，則圓錐的側面積.故答案為：.6.的二項展開式中，項的系數(shù)為______．【答案】28【解析】在的二項展開式中，含的項為，所以項的系數(shù)為28.故答案為：287.已知函數(shù)為奇函數(shù)，則______.【答案】【解析】因為函數(shù)為奇函數(shù)，當時，所以.故答案為：8.從10名數(shù)學老師中選出3人安排在3天的假期中值班，每天有且只有一人值班．若老師甲必須參加且不安排在假期第一天值班，則不同的值班安排方法種數(shù)為______．【答案】144【解析】依題意，安排老師甲有種，從除甲外的9名老師中任選2人并安排值班有種.所以不同的值班安排方法種數(shù)為（種）.故答案為：1449.已知（i為虛數(shù)單位，為正整數(shù)），當、取遍所有正整數(shù)時，的值中不同虛數(shù)的個數(shù)為______．【答案】6【解析】依題意，，，則，因此，，所以的值中不同虛數(shù)有：，共6個.故答案為：610.已知、分別為橢圓的左、右焦點，過的直線交橢圓于、兩點．若，則______．【答案】【解析】橢圓，則、，設Ax0,y0即，又，解得，不妨取，則的方程為，由，解得或，所以，所以，，所以.故答案為：.11.如圖，某小區(qū)內(nèi)有一塊矩形區(qū)域，其中米，米，點、分別為、的中點，左右兩個扇形區(qū)域為花壇（兩個扇形的圓心分別為、，半徑均為20米），其余區(qū)域為草坪．現(xiàn)規(guī)劃在草坪上修建一個三角形的兒童游樂區(qū)，且三角形的一個頂點在線段上，另外兩個頂點在線段上，則該游樂區(qū)面積的最大值為______平方米．（結果保留整數(shù)）【答案】137【解析】設游樂區(qū)所在的三角形為，在線段上，在線段上，如圖所示，當分別于圓弧相切時，取得最大值，由對稱性，只討論，設與圓弧相切于點，連接，設，因為≌，≌，則，，因為，所以，，，，所以，因為，所以，令，則，則，當且僅當，即時等號成立，所以平方米，即該游樂區(qū)面積的最大值為137平方米．故答案為：137.12.已知，若存在、，且，使得成立，則的取值范圍是______．【答案】【解析】因為，所以，，因為，所以，所以，即，，所以，當且僅當時，成立，所以，必要條件：，解得；若，即時，必然成立；若，因，，不妨設，則，，且，所以，，所以①，②，①②兩式聯(lián)立得，即，所以，又，所以，，當時，，不符合條件；當時，，則，此時；當時，，則或，此時或，因為，所以；綜上，或，所以的取值范圍是.故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）13.在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的（）．A.充分非必要條件 B.必要非充分條件 C.充要條件 D.既非充分又非必要條件【答案】A【解析】直線a、b為異面直線，則直線a、b不相交，反之，直線a、b不相交，直線a、b可能平行，也可能是異面直線，所以在空間中，“a、b為異面直線”是“a、b不相交”的充分非必要條件.故選：A14.下列函數(shù)中，在區(qū)間上是嚴格減函數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】對于A，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，A不是；對于B，函數(shù)在上是嚴格減函數(shù)，B是；對于C，函數(shù)在上是嚴格增函數(shù)，C不是；對于D，當時，在上是嚴格增函數(shù)，D不是.故選：B.15.設，若、為同一象限的角，且不存在、，使得，則、所在的象限為（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】對于A，若，，由，解得，顯然，令方程的根為，，當時，，當時，，而當時，，當時，，取，則，A不是；對于B，當為第二象限時，，，取，，則，B不；對于C，當為第三象限時，，取，，，C不是；對于D，當為第四象限時，，，則，當為第四象限時，，D正確.故選：D16.已知數(shù)列滿足，其中為常數(shù)．對于下述兩個命題：①對于任意的，任意的，都有是嚴格增數(shù)列；②對于任意的，存在，使得是嚴格減數(shù)列．以下說法正確的為（）A.①真命題；②假命題 B.①假命題；②真命題C.①真命題；②真命題 D.①假命題；②假命題【答案】A【解析】對于①，時，，，時，；時，，也有，故①為真命題.對于②，時，，，當時，，，不嚴格遞減；當時，，，不嚴格遞減；當時，，若，則，同理當時，，則存在，使得，則，，不嚴格遞減.綜上所述，時，不可能是嚴格遞減數(shù)列.故②為假命題.故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）解答下列各題必須在答題紙的相應位置寫出必要的步驟．17.在直三棱柱中，，，，連接，、分別為和的中點．（1）證明：直線平面；（2）求二面角的大?。?）證明：如圖所示：連接，因為、分別為和中點，所以，又平面，平面，所以直線平面；（2）解：建立如圖所示空間直角坐標系，則，所以，設平面的一個法向量為m=x則，即，令，得，則，易知平面ABC的一個法向量為：，設二面角的大小為，則，二面角大小為.18.已知（1）若，求函數(shù)的值域；（2）若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）當時，函數(shù)，當時，，當且僅當時取等號，當時，在上單調遞增，在上單調遞減，，所以函數(shù)的值域是.（2）當時，，由，得，則，整理得，而，，因此，所以實數(shù)的取值范圍.19.為了解某市高三學生的睡眠時長，從該市6.6萬名高三學生中隨機抽取600人，統(tǒng)計他們的日均睡眠時長及分布人數(shù)如下表所示：睡眠時長（小時）人數(shù)150270180注：睡眠時長在的為睡眠充足，在的為睡眠良好，在的為睡眠不足．（1）估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為多少？（2）估計該市高三學生日均睡眠時長；（3）若從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，再從這20人中隨機抽取4人做進一步訪談調查，求這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率．解：（1）由題知，隨機抽取的600人中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)為（人），所以估計該市6.6萬名高三學生中日均睡眠時長大于等于6小時的人數(shù)約為（萬人）；（2）隨機抽取的600人的日均睡眠時長為（小時），所以估計該市高三學生日均睡眠時長約為（小時）；（3）從這600名學生中利用分層抽樣的方法抽取20人，抽樣比例為，所以睡眠時長在抽?。ㄈ耍?，睡眠時長在抽?。ㄈ耍邥r長在抽?。ㄈ耍瑒t從這20人中隨機抽取4人，這4人中既有睡眠充足，又有睡眠良好，也有睡眠不足學生的概率為.20.已知圓，雙曲線，直線，其中．（1）當時，求雙曲線的離心率；（2）若與圓相切，證明：與雙曲線的左右