人教版多選題單元專項訓(xùn)練檢測試題

一、函數(shù)的概念與基本初等函數(shù)多選題

1.已知函數(shù)/(x)=["nxl'x>2,若函數(shù)y=/(『(x))+4有6個不同零點，則實數(shù)〃

x+1,x<0

的可能取值是()

11

A.0B.C.—1D.——

23

【答案】BD

【分析】

分別代入各個選項中〃的值，選解出f(f(x))+a=O中的/*),然后再根據(jù)數(shù)形結(jié)合可

得出答案.

【詳解】

畫出函數(shù)"x)=F八的圖象：

3+1,元，0

函數(shù)y=f(.f*))+。有零點，即方程/(/(外)+。=0有根的問題.

對于A：當(dāng)〃=0時，/(/(x))=o,

故/(x)=-l,/(x)=l,故x=0,x=-2,x=i,x=e,

故方程/(/(幻)+a=。有4個不等實根；

對于3：當(dāng)。=一不時,/(/(x))=—,

故/(1)=一3，f(x)=yfe,f(x)=-J=,

當(dāng)/(幻二-3時，由圖象可知，有1個根，

當(dāng)/(%)=&時，由圖象可知，有2個根，

當(dāng)/")=9時，由圖象可知，有3個根，

故方程/(/(x))+。=0有6個不等實根；

對于C：當(dāng)〃=一1時，/(/?)=1,

故f(x)=O，fM=ef(x)=-

fet

當(dāng)f(x)=O時，由圖象可知，有2個根，

當(dāng)f(x)=e時，由圖象可知，有2個根，

當(dāng)時，由圖象可知，有3個根，

e

故方程/(/(X))+。=0有7個不等實根；

對于0：當(dāng)〃=一;時，/(/(x))=1,

故/。)=一§，/(X)=yfe,/*)=亞，

2

當(dāng)/。)=-可時，由圖象可知，有1個根，

當(dāng)/“)=及時，由圖象可知，有2個根，

當(dāng)‘")=七時，由圖象可知，有‘3個根，

故方程/(一(幻)+。=。有6個不等實根；

故選：BD.

【點睛】

關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵一是將問題轉(zhuǎn)化為方程問題，二是先解出/(力的值，三是根據(jù)數(shù)形

結(jié)合得到每一個新的方程的根.

2.已知“X)為定義在R上且周期為5的函數(shù)，當(dāng)％《0,5)時，/(力=任-?+3］.則下

列說法中正確的是()

A./(x)的增區(qū)間為(l+5Z,2+5Z)u(3+5女,5+5女)，keZ

B.若丁=。與〉=/(力在［—5,7］上有10個零點，則。的范圍是(0,1)

C.當(dāng)"?0,同時,/(力的值域為［0,3］,則〃的取值范圍［1,4］

D.若、二依-2(々>0)與)，=〃戈)有3個交點，則Z的取值范圍為

【答案】BC

【分析】

首先作出了(力的圖象幾個周期的圖象，由于單調(diào)區(qū)間不能并，可判斷選項A不正確；利

用數(shù)形結(jié)合可判斷選項B、C；舉反例如2=1時經(jīng)分析可得y="-2(%>0)與y=/(x)

有3個交點，可判斷選項D不正確，進(jìn)而可得正確選項.

【詳解】

對于選項A：單調(diào)區(qū)間不能用并集，故選項A不正確；

對于選項B：由圖知若>與在［-5,7］上有10個零點，則。的范圍是（0,1）,

故選項B正確；

對于選項C：/（1）=0,/（4）=3,由圖知當(dāng)人目0,可時，/（力的值域為［0,3］,則〃的

取值范圍［1,4］,故選項c正確：

對于選項D：當(dāng)左=1時，直線為了=不一2過點（5,3）,/（力也過點（5,3）,當(dāng)％=10

時，y=10-2=8,直線過點（10,8）,而點（10,8）不在/（力圖象上，由圖知：當(dāng)

2=1時，直線為>=%-2與y=/（x）有3個交點，由排除法可知選項D不正確，

故選：BC

【點睛】

方法點睛：已知函數(shù)有零點（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍：

（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；

（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫

出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.

“、x+ax,x<0

3.已知函數(shù)/（力=<,則（）

2—1,x>0

A./（力的值域為（-1,位）

B.當(dāng)時，/(X)>/(^+1)

C.當(dāng)a>0時，存在非零實數(shù)為,滿足/(一/)+/(，％)=。

D.函數(shù)g(X)=/(%)+4可能有三個零點

【答案】BC

【分析】

A.考慮。=2時的情況，求解出各段函數(shù)值域再進(jìn)行判斷；B.先根據(jù)條件分析/(X)的單

調(diào)性，再根據(jù)爐+i與X的大小關(guān)系進(jìn)行判斷；C.作出

y=d+ar,y=-犬+ar,y=-犬+ar的函數(shù)圖象，根據(jù)圖象的對稱性進(jìn)行分析判斷；

D.根據(jù)條件先分析出。w(0』)，再根據(jù)有三個零點確定出。滿足的不等式，由此判斷出

。是否有解，并判斷結(jié)論是否正確.

【詳解】

A.當(dāng)x>0時，y=2-x-l>0-l=-l,當(dāng)xWO時，y=x2+ax=^x+^一^，取

4=2,此時y=(x+l)2-1之一1,

所以此時的值域為［-1,+8),故A錯誤；

B.當(dāng)心0時，y=x2+ar=fx+j^一手的對稱軸為工=一臺0,所以〃力在

(YO,0］上單調(diào)遞減，

又因為“力在(0,+8)上單調(diào)遞減，且02+0xa=2"-l，所以〃力在R上單調(diào)遞

減，

又因為V+l—x=—+(>°，所以Y+l>x，所以/(x)>f(d+l)，故B正

確；

C.作出函數(shù))，=12+0￥,丫=一/+公；,曠=2-，-1的圖象如下圖所示：

由圖象可知：y=x2+G；,y=-x2+公關(guān)于原點對稱，且》=-x2+or與y=2r-1相

交于（b％），

因為點（而,%）在函數(shù)y=/?如的圖象上，所以點（一七）,一%）在函數(shù)y="2?公的圖

象上，

所以/（玉）+/（-/）=%+（-%）=0，

所以當(dāng)白>0時，存在/使得/（-毛）+/（%）=0,故c正確；

D.由題意知：/（6=一。有三個根，所以/（X）不是單調(diào)函數(shù)，所以4>0,

又因為丁=2一*一1?—1,0）,所以一4￡（-1,0）,所以a?0」），

■2\2

且y=f+ore——?+€°,若方程有三個根，則有―〃>一幺，所以a>4或〃<0,這

L4）4

與〃￡（0,1）矛盾，

所以函數(shù)g（x）=/（x）+a不可能有三個零點，故D錯誤，

故選：BC.

【點睛】

思路點睛：函數(shù)與方程的綜合問題，采用數(shù)形結(jié)合思想能高效解答問題，通過數(shù)與形的相

互轉(zhuǎn)化能使問題轉(zhuǎn)化為更簡單的問題，常見的圖象應(yīng)用的命題角度有：

（1）確定方程根的個數(shù)；

（2）求參數(shù)范圍；

（3）求不等式解集；

（4）研究函數(shù)性質(zhì).

4.對于函數(shù)/（力定義域中任意的不,工（%?！?，有如下結(jié)論，當(dāng)/（%）=lgx時，上

述結(jié)論中正確結(jié)論的序號是（）

A./（百+9）=/6）?/（%）B.7（X,-^）=/（X,）+/（X2）

/（%）—..（Xi+X2\/（A|）+/（X2）

I2J2

【答案】BC

【分析】

由對數(shù)的運算性質(zhì)判斷A,B,由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷C,由對數(shù)的運算結(jié)合基本不等式

判斷D.

【詳解】

對于A,Q/（X+9）=lg（x+與）Wlg%?lgW，即/（入+±）。/（%）?/（與），故A

錯誤；

對于B,（3/（%?毛）=吆（4￥2）=電內(nèi)+電工2=/（占）+/（無2），故B正確；

對于c,Q/（x）=lgx在定義域中單調(diào)遞增，.?./））―/伍）>0,故c正確；

王一工2

對于D,Qx，w>0（凡工看），利用基本不等式知

/（牛）M號上愴卮，又

/G）+"%）jga+lgX2=]fel=國,則

2227?2

/（空尸叫）㈤,故D錯誤；

故選：BC

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：本題考查命題的真假判斷，考查對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查基本不等式的應(yīng)用，

解決本題的關(guān)鍵點是將對數(shù)形式億為根式，即lg》；lgX2二坨后,利用對數(shù)的運算結(jié)

合基本不等式放縮得出答案，并驗證取等條件，考查了學(xué)生邏輯思維能力和計算能力，屬

于中檔題.

5.已知5“=3，8〃=5，則（）

11

<B-+->2cD

A.4b--…乜”

【答案】ABD

【分析】

根據(jù)條件求得。力表達(dá)式，根據(jù)對數(shù)性質(zhì)結(jié)合放縮法得A正確，根據(jù)不等式性質(zhì)得B正

確，通過作差法判斷C錯，結(jié)合指數(shù)函數(shù)單調(diào)性與放縮法可得D正碓.

【詳解】

解：?/5"=3，8”=5，

/.a=log；,b=logg,

3

因為3’<5=>3<5i=>log53<log55^=-,

又由54>8?n5>8?nloggSAlogg/=q,所以a<b,選項A正確；

0<〃=log；<l,0<b=log^<1,則，>1,所以2+!>2,選項B正確;

abah

因為0<a<b<\,則8—>1,此時

ab

1，k\b-a(11

a+——b+—=(a-b)+----=(b-a)------1>0,

ayb)ah\ab)

所以a+：>b+*,故選項C不正確；

i33

由5<a<］和W<〃<1知/(力=優(yōu)與g(x)=匕'均遞減，

再由*b的大小關(guān)系知—</=4+片<6+/,故選項D正確.

故選:ABD

【點睛】

本題考查了數(shù)值大小比較，關(guān)鍵運用了指對數(shù)運算性質(zhì)，作差法和放縮法.

2—4x—0<%<1

6.已知函數(shù)”"二'2'"一’其中下列關(guān)于函數(shù)/(x)的判斷正確

af(x-l)9x>1,

的為()

A.當(dāng)。=2時，/(3=4

B.當(dāng)時<1時，函數(shù)〃%)的值域[-22]

/ry_.\

C.當(dāng)〃=2且工￡[九一1,〃](〃€葉)時，/(x)=2w-12-4x一一--

\2,

D.當(dāng)〃>0時，不等式在[°，x°)上恒成立

【答案】AC

【分析】

對于A選項，直接代入計算即可；對于B選項，由題得當(dāng)工€。幾機(jī)+l],mcN*時，

m

f(x)=af(x-ni)t進(jìn)而得當(dāng)rw(m?/n+l],mwN*時,/(x)e(-2,2),故/(x)的

值域(-2,2]：對于C選項，結(jié)合B選項得當(dāng)4=2且磯時,

/(0=2"一"("一〃+1)進(jìn)而得解析式；對于D選項，取特殊值即可得答案.

【詳解】

11、

解：對于A選項，當(dāng)。=2時，==2-4---=4,故A選項正確:

22

對于B選項，由于當(dāng)函數(shù)的值域為[0,2],所以當(dāng)xw(機(jī)加+l],mwN”時，

m

f{x}=af(x-ni)t由于所以-㈤?0,2],因為同<1,所以

am€(-1,1),所以當(dāng)《￥￡(〃?,m+1],機(jī)￡“時，/(X)G(-2?2),綜上，當(dāng)時<1時，函

數(shù)/(%)的值域(一2,2],故B選項錯誤；

對于C選項，由B選項得當(dāng)冗?加,加+l],weN*時，=故當(dāng)0=2

且xs[〃-時，

/(x)=2"-"(x—〃+l)=2”-(2—4x—〃+1—北

fI\

=2〃T2-4x-n+-=2"T2-4x一一—，故C選項正確;

22

”3噌卜2一42」二i,

對于D選項，取。=,，x=

442

2人=2管j2=28=2x(2-“=2x2-2=(不滿足式“上2一，故口

選項錯誤.

故選：AC.

【點睛】

木題考查函數(shù)的綜合應(yīng)用，考查分析能力與運算求解能力，是難題.木題解題的關(guān)鍵在于根

據(jù)題意得當(dāng)m+1],加￡.時，f(x)=amf(x-m),且當(dāng)OWxWl,函數(shù)的值域

為[0,2],進(jìn)而利用函數(shù)平移與伸縮變換即可求解.

7.下列結(jié)論正確的是()

A.函數(shù)y=的定義域為[1,3],則函數(shù)y=〃2x+l)的定義域為[0,1]

B.函數(shù)/(力的值域為[L2],則函數(shù)〃x+l)的值域為[2,3]

C.若函數(shù)丁=一/+奴+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于」，則〃的取值范圍是

(。，3)

D.已知函數(shù)〃%)=卜2+3乂/€/?,若方程/(%)—4]-1|=0恰有4個互異的實數(shù)

根，則實數(shù)。的取值范圍為(0,1)。(9,母)

【答案】ACD

【分析】

根據(jù)抽象函數(shù)定義域及代換的方法可求函數(shù)的定義域，判斷A,利用函數(shù)圖象的平移可判

斷函數(shù)值域的變換情況，判斷B,利用數(shù)形結(jié)合及零點的分布求解判斷C,作出函數(shù)

“力=卜2+3%|與丁=如一1|的圖象，數(shù)形結(jié)合即可判斷》

【詳解】

對于A,y=f(x)的定義域為[1,3],則由1W2X+1K3可得y=/(2x+l)定義域為

[0,1],故正確；

對于B,將函數(shù)/(力的圖象向左平移一個單位可得函數(shù)/(1+1)的圖象，故其值域相

同，故錯誤；

對于C,函數(shù)丁=8。)=一X2+公+4有兩個零點，一個大于2,另一個小于-1只需

g(2)＞。

1.八z解得0＜”3,故正確；

1^(-1)＞0

對于D,作出函數(shù)/(工)=32+3耳與—的圖象，如圖，

由圖可以看出，時，不可能有4個交點，找到直線與拋物線相切的特殊位置〃=1或

4=9,觀察圖象可知，當(dāng)0＜。＜1有4個交點，當(dāng)時，兩條射線分別有2個交點，

綜上知方程/(力―〃上一1|=0恰有4個互異的實數(shù)根時，〃w(0,l)U(9,+8)正確.

故選：ACD

【點睛】

關(guān)鍵點點睛：對于方程實根問題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象交點問題，本題中，/(X)=|X2+3X|

圖象確定，而、=々,一1|是過(1,0)關(guān)于1=1對稱的兩條射線，參數(shù)。確定兩射線張角的

大小，首先結(jié)合圖形找到關(guān)鍵位置，即。=1時左邊射線與拋物線部分相切，〃=9時右邊

射線與拋物線相切，然后觀察圖象即可得出結(jié)論.

|log(l-.v)|,x<l(]

5-2)=〃的實根個數(shù)可能為

8.已知函數(shù)=FJ，則方程/x+一

-(x-2)<2,x>l1%

()

A.8B.7C.6D.5

【答案】ABC

【分析】

以/(工)=1的特殊情形為突破口，解出x=l或3或1?或-4,將4+■!■—2看作整體，利

X

用換元的思想進(jìn)一步討論即可.

【詳解】

由基本不等式可得

x+--2>0^x+--2<-4t

XX

，/、10g5(l-X)|,A<1

作出函數(shù)/(》)=12的圖像，如下：

-(x-2)+2,xNl

一一…y1

：

y=|log5(l-x)|;y=-(x-2)+2

1

①當(dāng)a>2時，工+!-2工一24或0<工+!-2<1,

XX

故方程f(X+：-2)=a的實數(shù)根個數(shù)為4：

②當(dāng)時，彳+一二或或」-

a=222—240<x+2—2<1X+-2=2,

XXX

故方程/(x+g-2)=a的實數(shù)根個數(shù)為6；

③當(dāng)lva<2時，-24<工+1—2<-4或0<1+,一2<1或j1<xH-----2<2

XXX

或2<工十二2<3,

X

故方程f(x+：-2)=a的實數(shù)根個數(shù)為8；

④當(dāng)a=l時，x+2-2=-4或0<x+2-2<1或x+2-2=1或3+2-2=3,

XXXX

故方程/（X+g-2）=〃的實數(shù)根個數(shù)為7；

⑤當(dāng)0<〃vl時，-4<x+——2<0或3<工+,—2<4,

xx

故方程/〃的實數(shù)根個數(shù)為2；

⑥當(dāng)〃=0時，工+,一2=0或3<工+」一2<4,

XX

故方程/^x+i-2j=a的實數(shù)根個數(shù)為3；

當(dāng)a<0時，xH---2>3,

X

故方程/（工+:一2）=4的實數(shù)根個數(shù)為2；

故選：ABC

【點睛】

本題考查了求零點的個數(shù)，考查了數(shù)形結(jié)合的思想以及分類討論的思想，屬于難題.

2X+\X<0

9.已知函數(shù)“力=?9,則方程尸（力一2/（切+片_1=0的根的個數(shù)可

|log2x|-l,x>0

能為（）

A.2B.6C.5D.4

【答案】ACD

【分析】

先畫出了⑶的圖象，再討論方程/（司一2〃司+/-1=0的根，求得了（%）的范圍，再

數(shù)形結(jié)合，得到答案.

【詳解】

畫出了（幻的圖象如圖所示：

令f=f（x）,則尸一2，+/一1=0，則A=4（2-

當(dāng)△=（）,即/=2時，t=\,此時/（尤）=1,由圖y=l與y=/。）的圖象有兩個交

點，

即方程/2(尤)一2/(工)+。2—1=0的根的個數(shù)為2個，A正確；

當(dāng)/>0時，即/<2時，，=1二，2一/，則0vJ2-/4行

故1<1+，2-a~《1+\/2,1—\/241-，2-<I'

當(dāng)，=1一亞f時，即/(x)=l-j2-/則工有2解，

當(dāng)，=1+，2-片時,若，6(1,2],則“有3解；若/w(2,l+&],則X有2解，

故方程/(力-2〃同+。2_1=0的根的個數(shù)為5個或4個，CD正確；

故選：ACD

【點睛】

本題考查了函數(shù)的根的個數(shù)問題，函數(shù)圖象的畫法，考查了分類討論思想和數(shù)形結(jié)合思

想，難度較大.

10.設(shè)函數(shù)g(x)=sM3x(w>0)向左平移2個單位長度得到函數(shù)/(X),已知/(x)在[0,2m上有

且只有5個零點，則下列結(jié)論正確的是()

A./W的圖象關(guān)于直線x對稱

B./(x)在(0,2m上有且只有3個極大值點，f(x)在(0,2m上有且只有2個極小值點

C.7W在(0,專)上單調(diào)遞增

1229

D.g的取值范圍是[三,而)

【答案】CD

【分析】

利用正弦函數(shù)的對稱軸可知，A不正確；由圖可知〃x)在(0,2乃)上還可能有3個極小值

37c

點、,8不正確；由“AW2乃</解得的結(jié)果可知，。正確；根據(jù)/*?)在(0，k)上遞

1()69

增，且工<王，可知C正確.

1010G

【詳解】

依題意得/(x)=g(xH----)=sin[<y(xH---)]=sin(d>xH—),T——,如圖：

5CD5co5co

rrjrK.7T17T

對于A,令。工+—=攵乃+—，keZ,得工=—+—,keZ,所以/（幻的圖象關(guān)于

52co10ry

直線x=^+￡（&wZ）對稱，故A不正確;

co10。

對于8,根據(jù)圖象可知，xA<2n<x^/V）在（0,2團(tuán)有3個極大值點，/（x）在（0,2力

有2個或3個極小值點，故8不正確，

rL十LAl兀5—7T52萬24萬

對于O,因1為x.=------1—T--------H—x—=-------

5co25co2co5<o

7i4r2乃294,.24^,.29乃5用12/29

Xg=-------1-3T=-------F3X—=-----,所dr以-----W2〃<-------,解得——,

5co5coco5（o5co5co510

所以。正確；

jrIir12TI3713冗

對于C,因為——+-T=一一+-X—,由圖可知/*）在（0,二一）上遞增,

5co45a）4co10<y10G

因為公<々<3,所以々一?=々（1一3）<0,所以/（X）在（0,二）上單調(diào)遞增，故

101010。10（O10

C正確；

故選：CD.

【點睛】

本題考查了三角函數(shù)的相位變換，考查了正弦函數(shù)的對稱軸和單調(diào)性和周期性，考查了極

值點的概念，考查了函數(shù)的零點，考查了數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.

二、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用多選題

11.關(guān)于函數(shù)/（x）=ae'-cosx,㈤下列說法正確的是（）

A.當(dāng)。=1時，/（力在x=0處的切線方程為了=%

B.若函數(shù)/（力在（一兀㈤上恰有一個極值，則4=0

C.對任意4>0,，（力N0恒成立

D.當(dāng)a=1時,/（力在（一兀,兀）二恰有2個零點

【答案】ABD

【分析】

直接逐一驗證選項，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，即可判斷A選項；利用分離參數(shù)

法，構(gòu)造新函數(shù)和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，即可判斷BC選項；通過構(gòu)

造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的交點個數(shù)來解決零點個數(shù)問題，即可判斷D選項.

【詳解】

解：對于A,當(dāng)0=1時，Z（X）=eX-COSX,XG（-7l,7C）,

所以/（0）=e°-cos0=0,故打點為（0,0）,

則/'（x）=e'+sinx,所以/'（0）=e°+sin0=l,故切線斜率為1,

所以“力在4=0處的切線方程為：y-0=lx（x-0）,即）=匕故A正確：

對于B,f（x）=aex-cosx,xG（-n,7t）,則r（x）=oe'+sinx,

若函數(shù)/（Y）在（一兀九）上恰有一個極值，即/（丫）=0在（一冗,九）上恰有一個解,

令/'（x）=0,即ae"+sinx=0在（一兀,兀）上恰有一個解，

則a=，尸在（-元,兀）上恰有一個解，

苦歲的圖象在（-兀,兀）上恰有一個交點

,/\^111A人/\

g（x）="，兀兀），

令g'（x）=。,解得：入i=——?x2=—>

當(dāng)xw一肛一,）u仔4時，g<x）>0,當(dāng)y個’?）時'g，（x）<。’

二.g（x）在卜乃，一竿）上單調(diào)遞胤在（一節(jié)，（

上單調(diào)遞減，在了,乃上單調(diào)遞增,

）（4）

也

所以極大值為gj_包］=3>o,極小值為gH。，

而g（_%）=0,g（T）=Og（0）=0,

作出8（工）=二券，XW（一兀，兀）的大致圖象，如下：

由圖可知，當(dāng)a=0時，丁=。與g（x）=二弊的圖象在（一兀兀）上恰有一個交點，

即函數(shù)“X）在（一兀㈤上恰有一個極值，則。=0,故B正確；

對于C,要使得f（x）20恒成立，

即在xe（一兀，兀）上，〃力=oe'一cosxNO恒成立，

即在工?-兀㈤上，。之上學(xué)恒成立，即2芋］,

e、?）max

…、cosx/、…〃\-sinx-cosx/、

設(shè)/z（x）=-^—,XG（-7l,7l）,UlJh（jf）=-----------,XW（一冗,兀），

令"（x）=0,解得：％=-5，/=與，

當(dāng)xe一肛時，//（x）＞0,當(dāng)時，"（x）＜0,

.,.人（力在卜凡一上單調(diào)遞增：在卜：,子）上單調(diào)遞減，在（,,乃）上單調(diào)遞增,

及

Z\---1I

所以極大值為力—I=_2_＞o?〃（一4）=二^,〃（萬）二下，

4.￡ee

也

所以力(力=等在X?F，兀)上的最大值為〃(一?)=3>0,

也

所以時，在xw(一兀，兀)上，f(x)=ae'-cosxN。恒成立,

叵

即當(dāng)〃之2時，/(x)N0才恒成立,

7

所以對任意。>0，""N0不恒成立，故C不正確;

對于D,當(dāng)0=1時，/（X）=ex-CQSX,XG（-7t,7t）,

令f(x)=0,則/(x)=e*-cosx=0,即e'=cosx，

作出函數(shù))，="和，=CQSX的圖象，可知在%?一碼元)內(nèi)，兩個圖象恰有兩個交點,

則/(%)在(一兀㈤上恰有2個零點,故D正確.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查函數(shù)和導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，考查利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程，考查分離參數(shù)法

的應(yīng)用和構(gòu)造新函數(shù)，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值最值、零點等，考查化簡運

算能力和數(shù)形結(jié)合思想.

X1

12.已知函數(shù)/。)=~以幻=1〃二+；；的圖象與直線片m分別交于A、8兩點，則()

乙2

A._flx)圖像上任一點與曲線g(x)上任一點連線線段的最小值為2+/n2

B.3m使得曲線g(x)在B處的切線平行于曲線"x)在A處的切線

C.函數(shù)/(x)-g(x)+m不存在零點

D.Bm使得曲線g(x)在點B處的切線也是曲線/(x)的切線

【答案】BCD

【分析】

利用特值法，在與g(x)取兩點求距離，即可判斷出A選項的正誤；解方程

/，S加)=g，(2j4),可判斷出3選項的正誤；利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=/(x)-g(x)+m的單

調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出c選項的正誤；設(shè)切線與曲線)，=卻工)相切于點c(〃，

g(〃))，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方程組是否有公共解，即可判斷出。選項

的正誤.進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

在函數(shù)/(x)=e，g(x)=l嗎+g上分別取點P(0,l),Q(2,g),則|尸Q|=孚，而

而

—<2+ln2(注In2ao.7),故4選項不正確；

2

r|1

Q/(x)=er,g(x)=ln-+-,則/'(不)=爐，g")=一,

22x

曲線)=fM在點A處的切線斜率為fVnm)=m,

m-\

曲線》=g(x)在點"處的切線斜率為g(2e2)=-r,

m—

2e2

令八加)=gQ'W)，即加二士,即2癡*=「則"總滿足方程2機(jī)j4=i，

一.協(xié)使得曲線y=在A處的切線平行于曲線y=g(x)在B處的切線，B選項正確;

Y11

構(gòu)造函數(shù)尸(X)=/(x)-g(x)+m=eK-ln-+m--,可得尸'(x)=/一一，

22x

函數(shù)k(%)="-■!■在(0,+8)上為增函數(shù)，由于尸(3一人一240,k(1)=^-1>0,

xe

則存在reg,1),使得尸。)="一；=0,可得f=

當(dāng)0cxe/時，r(x)<0；當(dāng)時，F(xiàn)\x)>0.

尸"),而=尸(。=d一加;+加一g=d-Int++ln2——

2

=-+t+m+ln2--+m+ln2--=—+ln2+m>0

t2Vt22

二?函數(shù)F(x)=f(x)-g@)+m沒有零點，。選項正確；

設(shè)曲線y=/(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點。(〃，g(”))，

則曲線)=/*)在點A處的切線方程為y-6=elnn,(x-lnm),即)，=皿+m[\-Inm),

同理可得曲線y=g(x)在點C處的切線方程為y=:彳+/〃5-：，

n22

巾=3j

,消去〃得加一(加一1)/，加+妨2+—=0,

m(\-lnm)=ln---2

22

I-\1

令G(x)=x-(x-\)lnx+ln2+—,則Gf(x)=1---x-------lnx=——Inx,

2xx

函數(shù)y=G'(x)在(0,+oo)上為減函數(shù)，QG'(1)=1>0,G'(2)=g-加2<0,

則存在“(1,2),使得GG)=1-加=0,且c—

當(dāng)0<XVS時，G(x)>0,當(dāng)X>S時，G(x)<0.

二.函數(shù)y=G(x)在(2,+8)上為減函數(shù)，

517

QG(2)=->0,G(8)=-—20。2<0,

由零點存定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,+8)上有零點，

即方程相一-1)/〃〃?+/〃2+—=0有解.

2

???加使得曲線)=/(X)在點A處的切線也是曲線>=g(x)的切線.

故選：BCD.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，考查了轉(zhuǎn)

化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬難題.

YI

13.已知函數(shù)=的圖象與直線y=m分別交于A、B兩點,則

()

A.|A目的最小值為2+ln2

B.4n使得曲線/(%)在A處的切線平行于曲線g(x)在8處的切線

C.函數(shù)/(X)-g(x)+m至少存在一個零點

D.6九使得曲線/(力在點A處的切線也是曲線g(x)的切線

【答案】ABD

【分析】

求出A、8兩點的坐標(biāo)，得出|A卻關(guān)于用的函數(shù)表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)求出|4邳的最小值，

(JU-\-\

即可判斷出A選項的正誤；解方程/'(In機(jī))=g'2e2,可判斷出B選項的正誤；利用

導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)y=/G)-g(x)+機(jī)的單調(diào)性，結(jié)合極值的符號可判斷出C選項的正誤;

設(shè)切線與曲線y=g(x)相切于點C(〃,g(〃))，求出兩切線的方程，得出方程組，判斷方

程組是否有公共解，即可判斷出D選項的正誤.進(jìn)而得出結(jié)論.

【詳解】

JC1?

令〃x)=e'=m,得x=lnm,令g(x)=ln]+2=/w,得工=2J5

令力(/w)=2e2-Intn1則=則函數(shù)y=〃'(加)單調(diào)遞增，且

m

(1\I1

”—J=0,當(dāng)OvmV/時，然/n)vO,當(dāng)機(jī)時，h^nij>0.

所以，函數(shù)〃(m)=2/T_lnM在(°，；)上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

<1\I

所以，|A6Ln=，|5=2—In—=2+In2,A選項正確;

、乙)乙

v/(x)=e\^(x)=ln^+1,則r(x)=，,g'(x)=L

乙乙X

曲線y=/(力在點A處的切線斜率為/,(ln/n)=tn,

(1

2

曲線y=g(x)在點8處的切線斜率為g2e=-r,

I)2en，2

(吁口1,

令/'(lnm)=g'2c2,即加二:],即

kJ2e2

則m=g滿足方程，所以，5k使得曲線y=/(x)在A處的切線平行于曲線

y=g(x)在5處的切線，B選項正確;

Y1I

構(gòu)造函數(shù)尸(x)=f^x)-g[x)+m=ex-\n—+m--,可得/(力=6、——,

函數(shù)F(x)="-g在(0,+。)上為增函數(shù)，由于F(g)=五一2<0,

/[1)=6-1>0,

則存在使得/'(9二一一1二。，可得f=—hW,

I，，t

當(dāng)0cxvr時，F(xiàn)(x)v0；當(dāng)時，F(xiàn)(x)>0.

.*.F(x),=F(t)=el-—+=-\nt+m+\n2--=-+i+tn+\n2--

\7m.n「222t2

r1~7八

>2J/,一+"z+In2—=—FIn/+"2>0,

Vt22

所以，函數(shù)/(力=/(力一g(x)+m沒有零點，C選項錯誤；

設(shè)曲線y=/(x)在點A處的切線與曲線y=g(x)相切于點C(%g(〃))，

則曲線y=/(x)在點A處的切線方程為y—m=*用(工一Inm)，即

y=nvc+m(\-\nm)，

同理可得曲線y=g("在點C處的切線方程為y=%+1嗎-g,

rn=-

n

所以,消去〃得“一(m-l)lnAzz+In24—=0

2

令G(x)=x-(x-l)lnx4-ln2+—,貝iJG[x)=1-――--Inx=--In.r,

2xx

函數(shù)y=G'(x)在(0,+8)上為減函數(shù)，???G'⑴=l>0,Gr(2)=^-ln2<o,

則存在sw(l,2),使得G'(s)=」—lns=0,且$

s

當(dāng)0vx<s時，d(x)>0,當(dāng)x>s時，G(x)<0.

所以，函數(shù)y=G(x)在(2,長o)上為減函數(shù)，:6(2)=^|>0,

17

G(8)=y-201n2<0,

由零點存在定理知，函數(shù)y=G(x)在(2,十8)上有零點,

即方程m—(m-l)lnm+ln2+g=0有解.

所以，為"使得曲線y="力在點A處的切線也是曲線y=g(x)的切線.

故選：ABD.

【點睛】

本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及函數(shù)的最值、零點以及切線問題，計算量較大，屬于難題.

InX

14.函數(shù)f(x)==,則下列說法正確的是()

X

A./(2)>/(3)B.ln/r>

C.若=有兩個不相等的實根X]、X2,則即與＜/D.若2]=5，,不、y均為正

數(shù)，則2x＜5y

【答案】BD

【分析】

求出導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)日單調(diào)性，極值，函數(shù)的變化趨勢，然后根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)判

斷各選項.

由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及指數(shù)函數(shù)單調(diào)性判斷A,由函數(shù)性質(zhì)判斷BC,設(shè)

25

r=y=k＞且乂＞均為正數(shù)，求得21=丁丁1。幺5)，=—in/,再由函數(shù)/(冷性質(zhì)判

In2In5

斷D.

【詳解】

,Inx八㈤、1-lnx

由/(x)x=——/＞0得：/(x)=-z—

XX

令廣(幻=0得，x=e

當(dāng)x變化時，r(x)j(x)變化如下表:

X(0,e)e?+8)

f1(x)十0—

極大值」

/(X)單調(diào)遞增單調(diào)遞減

e

故，/(幻=色'在(O,e)上遞增，在(e,+8)上遞減，/(e)='是極大值也是最大值,

xe

時，時，/(x)f0,且x>e時/(x)>0,Ovxvl時，f(x)<0,

/(D=0,

]2--

A./(2)=—n=ln22,/(3)=ln33

(/J,j￡

?.?35>22y>21/./(3)>/(2)，故A錯

B.???G<6<e，且f。)在(0,e)單調(diào)遞增

.?"(五)</(向,必<如但，華<字故…正確

e7tIeN兀Ve

c.vf(x)=m有兩個不相等的零點大，w???/(%)=./*(&)=m

不妨設(shè)O<X<e<x2

2

/e

2

要證