三角函數(shù)專題復(fù)習(xí)07解三角形中的內(nèi)切圓、外接圓問(wèn)題 訓(xùn)練題集【老師版】

高中數(shù)學(xué)精編資源2/207解三角形中的內(nèi)切圓、外接圓問(wèn)題【題型解讀】【題型一三角形中的外接圓問(wèn)題】1.(2022·全國(guó)·高三課時(shí)練習(xí))在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,已知A＝eq\f(π,3),b＝1,△ABC的外接圓半徑為1,則△ABC的面積S＝________.【答案】eq\f(\r(3),2)【解析】由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝2R,得a＝eq\r(3),sinB＝eq\f(1,2),∵a>b,∴A>B,∴B＝eq\f(π,6),C＝eq\f(π,2),∴S△ABC＝eq\f(1,2)×eq\r(3)×1＝eq\f(\r(3),2).2.(2022·全國(guó)·高三專題練習(xí))已知外接圓直徑是,角,,所對(duì)的邊分別為,,,滿足.(1)求角;(2)求的周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1);(2)【解析】解:(1)由已知,由正弦定理,得,由正弦定理角化邊得,則,又所以;(2)的周長(zhǎng),,,,,即的周長(zhǎng)的最大值為.3.(2022·全國(guó)高三單元測(cè)試)已知三角形兩邊長(zhǎng)分別為1和eq\r(3),第三邊上的中線長(zhǎng)為1,則三角形的外接圓半徑為_(kāi)_______.【答案】1【解析】如圖,AB＝1,BD＝1,BC＝eq\r(3),設(shè)AD＝DC＝x,在△ABD中,cos∠ADB＝eq\f(x2＋1－1,2x)＝eq\f(x,2),在△BDC中,cos∠BDC＝eq\f(x2＋1－3,2x)＝eq\f(x2－2,2x),∵∠ADB與∠BDC互補(bǔ),∴cos∠ADB＝－cos∠BDC,∴eq\f(x,2)＝－eq\f(x2－2,2x),∴x＝1,∴∠A＝60°,由eq\f(\r(3),sin60°)＝2R,得R＝1.4.(2022·合肥百花中學(xué)高三期末)已知△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,若(2b﹣c)cosA＝acosC.(1)求角A;(2)若△ABC的外接圓面積為π,求△ABC的面積的最大值.【答案】(1)A(2).【解析】(1)∵(2b﹣c)cosA＝acosC,∴由正弦定理可得:(2sinB﹣sinC)cosA＝sinAcosC,可得:2sinBcosA＝sinAcosC+sinCcosA＝sinB,∵sinB≠0,∴cosA,∵0＜A＜π,∴A,(2)∵△ABC的外接圓面積為π,∴△ABC的外接圓半徑為1,∵,∴a,∵由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bccosA,可得3＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc,∴bc≤3,當(dāng)且僅當(dāng)b＝c等號(hào)成立,∴S△ABCbcsinA,當(dāng)且僅當(dāng)b＝c等號(hào)成立,∴S△ABC的最大值為.5.(2022·全國(guó)高三課時(shí)練習(xí))在外接圓半徑為eq\f(1,2)的△ABC中,a,b,c分別為內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC,則b＋c的最大值是()A.1B.eq\f(1,2)C.3D.eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c,即a2＝b2＋c2＋bc,又a2＝b2＋c2－2bccosA,所以cosA＝－eq\f(1,2),A＝120°.因?yàn)椤鰽BC外接圓半徑為eq\f(1,2),所以由正弦定理得b＋c＝sinB·2R＋sinC·2R＝sinB＋sin(60°－B)＝eq\f(1,2)sinB＋eq\f(\r(3),2)cosB＝sin(B＋60°),故當(dāng)B＝30°時(shí),b＋c取得最大值1.6.(2022·山東濰坊高三期末)在①的外接圓面積為②的面積為,③的周長(zhǎng)為這三個(gè)條件中任選一個(gè),補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中,并給出解答.問(wèn)題:在中,內(nèi)角,,的對(duì)邊分別為,,,是邊上一點(diǎn)已知,,,若___________,求的長(zhǎng).注:如果選擇多個(gè)條件分別解答,按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】條件選擇見(jiàn)解析;.【解析】解:因?yàn)?所以解得或舍去,所以在中.因?yàn)樗运杂捎嘞叶ɡ淼糜炙约?所以為等邊三角形.因?yàn)樗栽谥?由余弦定理得選擇條件①:由的外接圓面積為得所以所以故.選擇條件②:由的面積為,得的面積為,所以解得故.選擇條件③:由的周長(zhǎng)為,得所以故.【題型二解三角形中的內(nèi)切圓問(wèn)題】1.(2022·廣西河池·高三期末)已知等腰三角形的底邊長(zhǎng)為6,一腰長(zhǎng)為12,則它的內(nèi)切圓面積為_(kāi)_______.【答案】eq\f(27π,5)【解析】不妨設(shè)a＝6,b＝c＝12,由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(122＋122－62,2×12×12)＝eq\f(7,8),∴sinA＝eq\r(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,8)))2)＝eq\f(\r(15),8).由eq\f(1,2)(a＋b＋c)r＝eq\f(1,2)bcsinA,得r＝eq\f(3\r(15),5).∴S內(nèi)切圓＝πr2＝eq\f(27π,5).2.(2022·山東濟(jì)南·高三期末)已知,,分別為三個(gè)內(nèi)角,,的對(duì)邊,且.(Ⅰ)求;(Ⅱ)若,且,求的內(nèi)切圓半徑.【答案】(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】(Ⅰ)因?yàn)?所以,因?yàn)?所以,所以,即,因?yàn)?所以,所以,因?yàn)?所以,得;(Ⅱ)因?yàn)?,,由余弦定理可得,所以,則,所以,設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則,所以.3.(2022·河南·高三期中)在中,角所對(duì)的邊分別為,且.(1)求角;(2)若,則當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí),求的內(nèi)切圓半徑.【答案】(1);(2)【解析】(1)由得,,由正弦定理得,,所以,又,,所以,又,所以.(2)由余弦定理得,整理得,所以,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).所以,,所以當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),時(shí)的面積的最大值為.設(shè)的內(nèi)切圓半徑為,則,所以.4.(2022·甘肅蘭州·高三期中).已知中,角所對(duì)的邊分別是,滿足.(1)求證:;(2)若,且,求的內(nèi)切圓半徑.【答案】(1)證明見(jiàn)解析;(2).【解析】(1)證明:由得,即,即又,或(舍去)(2)由,得