2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第五章統(tǒng)計(jì)與概率5.1.4用樣本估計(jì)總體學(xué)案新人教B版必修第二冊(cè)

PAGE1-5．1.4用樣本估計(jì)總體考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征理解用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征的方法，會(huì)分析實(shí)際問題數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算用樣本分布估計(jì)總體分布能夠利用頻率分布直方圖、莖葉圖等解決統(tǒng)計(jì)問題邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P77－P83的內(nèi)容，思索以下問題：1．如何用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)？2．樣本方差、標(biāo)準(zhǔn)差公式是什么？它們的區(qū)分與聯(lián)系是什么？3．在電視大獎(jiǎng)賽中，計(jì)算評(píng)委打分的平均值時(shí)，為什么要去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分？4．如何用頻率分布直方圖估計(jì)平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)？5．同樣一組數(shù)據(jù)，假如組距不同，得到的頻率分布直方圖也會(huì)不同嗎？1．簡潔隨機(jī)抽樣的數(shù)字特征一般狀況下，假如樣本的容量恰當(dāng)，抽樣方法又合理的話，樣本的特征能夠反映總體的特征．特殊地，樣本平均數(shù)(也稱為樣本均值)、方差(也稱為樣本方差)與總體對(duì)應(yīng)的值相差不會(huì)太大．一般來說，在估計(jì)總體的數(shù)字特征時(shí)，只需干脆算出樣本對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征即可．2．分層抽樣的數(shù)字特征我們以分兩層抽樣的狀況為例．假設(shè)第一層有m個(gè)數(shù)，分別為x1，x2，…，xm，平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，方差為s2；其次層有n個(gè)數(shù)，分別為y1，y2，…，yn，平均數(shù)為eq\o(y,\s\up6(－))，方差為t2.則eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,x)i，s2＝eq\f(1,m)eq\i\su(i＝1,m,)(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i，t2＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,)(yi－eq\o(y,\s\up6(－)))2.假如記樣本均值為eq\o(a,\s\up6(－))，樣本方差為b2，則可以算出eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(1,m＋n)(eq\i\su(i＝1,m,)xi+eq\i\su(i＝1,n,y)i)＝eq\f(meq\o(x,\s\up6(－))＋neq\o(y,\s\up6(－)),m＋n)，b2＝eq\f(m[s2＋（eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2]＋n[t2＋（eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2],m＋n)＝eq\f(1,m＋n)[(ms2＋nt2)＋eq\f(mn,m＋n)(eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(y,\s\up6(－)))2]．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)樣本的平均數(shù)描述了樣本數(shù)據(jù)的平均水平．()(2)方差越大、數(shù)據(jù)越集中在平均數(shù)左右．()(3)中位數(shù)是樣本數(shù)據(jù)中最中間位置的數(shù)據(jù)．()答案：(1)√(2)×(3)×下列說法不正確的是()A．頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高就是該組的頻率B．頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的面積之和等于1C．頻率分布直方圖中各個(gè)小矩形的寬一樣大D．頻率分布折線圖是依次連接頻率分布直方圖的每個(gè)小矩形上邊的中點(diǎn)得到的解析：選A.頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的高＝eq\f(頻率,組距).如圖是甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據(jù)圖可知()A．甲運(yùn)動(dòng)員的成果好于乙運(yùn)動(dòng)員B．乙運(yùn)動(dòng)員的成果好于甲運(yùn)動(dòng)員C．甲、乙兩名運(yùn)動(dòng)員的成果沒有明顯的差異D．甲運(yùn)動(dòng)員的最低得分為0分解析：選A.由莖葉圖可以看出甲的成果都集中在30～50分，且高分較多．而乙的成果只有一個(gè)高分52分，其他成果比較低，故甲運(yùn)動(dòng)員的成果好于乙運(yùn)動(dòng)員的成果．為了了解一片經(jīng)濟(jì)林的生長狀況，隨機(jī)抽測(cè)了其中60株樹木的底部周長(單位：cm)，所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間[80，130]上，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測(cè)的60株樹木中，有________株樹木的底部周長小于100cm.解析：60×(0.015＋0.025)×10＝24.答案：24用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，從中抽取6件測(cè)量數(shù)據(jù)為：甲：9910098100100103乙：9910010299100100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)依據(jù)計(jì)算說明哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．【解】(1)eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\f(1,6)(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,6)(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝eq\f(7,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.(2)由(1)知eq\o(x,\s\up6(－))甲＝eq\o(x,\s\up6(－))乙，比較它們的方差，因?yàn)閟eq\o\al(2,甲)＞seq\o\al(2,乙)，故乙機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．eq\a\vs4\al()(1)在實(shí)際問題中，僅靠平均數(shù)不能完全反映問題，還要探討其偏離平均值的離散程度(即方差或標(biāo)準(zhǔn)差)，方差大說明取值分散性大，方差小說明取值分散性小或者取值集中、穩(wěn)定．(2)關(guān)于統(tǒng)計(jì)的有關(guān)性質(zhì)及規(guī)律：①若x1，x2，…，xn的平均數(shù)為eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均數(shù)是meq\o(x,\s\up6(－))＋a；②數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與數(shù)據(jù)x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差相等；③若x1，x2，…，xn的方差為s2，那么ax1，ax2，…，axn的方差為a2s2.1．某校高二年級(jí)在一次數(shù)學(xué)選拔賽中，由于甲、乙兩人的競賽成果相同，從而確定依據(jù)平常在相同條件下進(jìn)行的六次測(cè)試確定出最佳人選，這六次測(cè)試的成果數(shù)據(jù)如下：甲127138130137135131乙133129138134128136求兩人競賽成果的平均數(shù)以及方差，并且分析成果的穩(wěn)定性，從中選出一位參與數(shù)學(xué)競賽．解：設(shè)甲、乙兩人成果的平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))甲，eq\o(x,\s\up6(－))乙，則eq\o(x,\s\up6(－))甲＝130＋eq\f(1,6)(－3＋8＋0＋7＋5＋1)＝133，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝130＋eq\f(1,6)(3－1＋8＋4－2＋6)＝133，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,6)[(－6)2＋52＋(－3)2＋42＋22＋(－2)2]＝eq\f(47,3)，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,6)[02＋(－4)2＋52＋12＋(－5)2＋32]＝eq\f(38,3).因此，甲與乙的平均數(shù)相同，由于乙的方差較小，所以乙的成果比甲的成果穩(wěn)定，應(yīng)當(dāng)選乙參與競賽比較合適．2．在對(duì)樹人中學(xué)高一年級(jí)學(xué)生身高(單位：cm)的調(diào)查中，采納分層抽樣的方法，抽取了男生23人，其平均數(shù)和方差分別為170.6和12.59，抽取了女生27人，其平均數(shù)和方差分別為160.6和38.62，你能由這些數(shù)據(jù)計(jì)算出樣本的方差，并對(duì)高一年級(jí)全體學(xué)生身高的方差作出估計(jì)嗎？解：把樣本中男生的身高記為x1，x2，…，x23，其平均數(shù)記為eq\o(x,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,x)；把樣本中女生的身高記為y1，y2，…，y27，其平均數(shù)記為eq\o(y,\s\up6(－))，方差記為seq\o\al(2,y)，把樣本的平均數(shù)記為eq\o(a,\s\up6(－))，方差記為s2.則eq\o(a,\s\up6(－))＝eq\f(23×170.6＋27×160.6,23＋27)＝165.2，s2＝eq\f(23×[seq\o\al(2,x)＋（eq\o(x,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2]＋27×[seq\o\al(2,y)＋（eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(a,\s\up6(－))）2],23＋27)＝eq\f(23×[12.59＋（170.6－165.2）2]＋27×[38.62＋（160.6－165.2）2],50)＝51.4862.即樣本的方差為51.4862.因此估計(jì)高一年級(jí)全體學(xué)生身高的方差為51.4862.頻率分布直方圖與數(shù)字特征的綜合應(yīng)用已知一組數(shù)據(jù)：125121123125127129125128130129126124125127126122124125126128(1)填寫下面的頻率分布表：分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[120.5，122.5)[122.5，124.5)[124.5，126.5)[126.5，128.5)[128.5，130.5]合計(jì)(2)作出頻率分布直方圖；(3)依據(jù)頻率分布直方圖或頻率分布表求這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù).【解】(1)頻率分布表如下：分組頻數(shù)累計(jì)頻數(shù)頻率[120.5，122.5)20.1[122.5，124.5)30.15[124.5，126.5)80.4[126.5，128.5)40.2[128.5，130.5]30.15合計(jì)201(2)(3)在[124.5，126.5)中的數(shù)據(jù)最多，取這個(gè)區(qū)間的中點(diǎn)值作為眾數(shù)的近似值，得眾數(shù)為125.5，事實(shí)上，眾數(shù)的精確值為125.圖中虛線對(duì)應(yīng)的數(shù)據(jù)是124.5＋2×eq\f(5,8)＝125.75，事實(shí)上，中位數(shù)為125.5.運(yùn)用“組中值”求平均數(shù)：eq\o(x,\s\up6(－))＝121.5×0.1＋123.5×0.15＋125.5×0.4＋127.5×0.2＋129.5×0.15＝125.8，事實(shí)上，平均數(shù)的精確值為eq\o(x,\s\up6(－))＝125.75.eq\a\vs4\al()(1)利用頻率分布直方圖求數(shù)字特征：①眾數(shù)是最高的矩形的底邊的中點(diǎn)；②中位數(shù)左右兩側(cè)直方圖的面積相等；③平均數(shù)等于每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和．(2)利用直方圖求眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)均為近似值，往往與實(shí)際數(shù)據(jù)得出的不一樣，但它們能粗略估計(jì)其眾數(shù)、中位數(shù)和平均數(shù)．某中學(xué)實(shí)行電腦學(xué)問競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成果進(jìn)行整理后分成五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分別是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.求：(1)高一參賽學(xué)生的成果的眾數(shù)、中位數(shù)；(2)高一參賽學(xué)生的平均成果．解：(1)由題圖可知眾數(shù)為65，又因?yàn)榈谝粋€(gè)小矩形的面積為0.3，所以設(shè)中位數(shù)為60＋x，則0.3＋x×0.04＝0.5，得x＝5，所以中位數(shù)為60＋5＝65.(2)依題意，平均成果為：55×0.3＋65×0.4＋75×0.15＋85×0.1＋95×0.05＝67，所以高一參賽學(xué)生的平均成果約為67.1．甲乙兩名學(xué)生六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成果(百分制)如圖所示．①甲同學(xué)成果的中位數(shù)大于乙同學(xué)成果的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)低；④甲同學(xué)成果的方差小于乙同學(xué)成果的方差．上面說法正確的是()A．③④ B．①②④C．②④ D．①③解析：選A.甲的中位數(shù)為81，乙的中位數(shù)為87.5，故①錯(cuò)，解除B、D；甲的平均分eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(76＋72＋80＋82＋86＋90)＝81，乙的平均分eq\o(x,\s\up6(－))′＝eq\f(1,6)(69＋78＋87＋88＋92＋96)＝85，故②錯(cuò)，③對(duì)，解除C，故選A.2．如圖所示是一容量為100的樣本的頻率分布直方圖，則由圖中的數(shù)據(jù)可知，樣本落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為()A．20 B．30C．40 D．50解析：選B.樣本數(shù)據(jù)落在[15，20]內(nèi)的頻數(shù)為：100×[1－5×(0.04＋0.10)]＝30.3.如圖莖葉圖表示的是甲、乙兩人在5次綜合測(cè)評(píng)中的成果，其中一個(gè)數(shù)字被污損，若乙的平均分是89，則污損的數(shù)字是________．解析：設(shè)污損的葉對(duì)應(yīng)的成果為x，由莖葉圖可得，89×5＝83＋83＋87＋x＋90＋99，所以x＝3.故污損的數(shù)字是3.答案：34．甲、乙兩人在相同條件下各打靶10次，每次打靶的成果狀況如圖所示：(1)填寫下表：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.21乙5.43(2)請(qǐng)從四個(gè)不同的角度對(duì)這次測(cè)試進(jìn)行分析：①從平均數(shù)和方差結(jié)合分析偏離程度；②從平均數(shù)和中位數(shù)結(jié)合分析誰的成果好些；③從平均數(shù)和命中9環(huán)以上的次數(shù)相結(jié)合看誰的成果好些；④從折線圖上兩人射擊命中環(huán)數(shù)及走勢(shì)分析誰更有潛力．解：(1)乙的打靶環(huán)數(shù)依次為2，4，6，8，7，7，8，9，9，10.所以eq\o(x,\s\up6(－))乙＝eq\f(1,10)(2＋4＋6＋8＋7＋7＋8＋9＋9＋10)＝7；乙的打靶環(huán)數(shù)從小到大排列為2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位數(shù)是eq\f(7＋8,2)＝7.5；甲的打靶環(huán)數(shù)從小到大排列為5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位數(shù)為7.于是填充后的表格如下表所示：平均數(shù)方差中位數(shù)命中9環(huán)及以上甲71.271乙75.47.53(2)①甲、乙的平均數(shù)相同，均為7，但seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，說明甲偏離平均數(shù)的程度小，而乙偏離平均數(shù)的程度大．②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位數(shù)比甲大，說明乙打靶成果比甲好．③甲、乙的平均水平相同，而乙命中9環(huán)以上(包含9環(huán))的次數(shù)比甲多2次，可知乙的打靶成果比甲好．④從折線圖上看，乙的成果呈上升趨勢(shì)，而甲的成果在平均線上波動(dòng)不大，說明乙的狀態(tài)在提升，更有潛力．[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知數(shù)據(jù)x1，x2，x3，…，xn是上海一般職工n(n≥3，n∈N*)個(gè)人的年收入，設(shè)這n個(gè)數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，平均數(shù)為y，方差為z，假如再加上世界首富的年收入xn＋1，則這n＋1個(gè)數(shù)據(jù)中，下列說法正確的是()A．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)肯定變大，方差可能不變B．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差變大C．年收入平均數(shù)大大增大，中位數(shù)可能不變，方差也不變D．年收入平均數(shù)可能不變，中位數(shù)可能不變，方差可能不變解析：選B.插入大的極端值，平均數(shù)增加，中位數(shù)可能不變，方差也因?yàn)閿?shù)據(jù)更加分散而變大．2．在某次中學(xué)學(xué)科競賽中，4000名考生的參賽成果統(tǒng)計(jì)如圖所示，60分以下視為不及格，若同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)作代表，則下列說法中有誤的是()A．成果在[70，80)分的考生人數(shù)最多B．不及格的考生人數(shù)為1000C．考生競賽成果的平均分為70.5分D．考生競賽成果的中位數(shù)為75分解析：選D.A選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得成果在[70，80)的頻率最高，因此考生人數(shù)最多，故A正確；B選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得成果在[40，60)的頻率為0.25，因此，不及格的人數(shù)為4000×0.25＝1000，故B正確；C選項(xiàng)，由頻率分布直方圖可得平均分等于45×0.1＋55×0.15＋65×0.2＋75×0.3＋85×0.15＋95×0.1＝70.5，故C正確；D選項(xiàng)，因?yàn)槌晒赱40，70)的頻率為0.45，成果在[70，80)的頻率為0.3，所以中位數(shù)為70＋10×eq\f(0.05,0.3)≈71.67，故D錯(cuò)誤．故選D.3.(2024·廣東省惠州市期末考試)某班有50名學(xué)生，男女人數(shù)不相等．隨機(jī)詢問了該班5名男生和5名女生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成果，用莖葉圖記錄如圖所示，則下列說法肯定正確的是()A．這5名男生成果的標(biāo)準(zhǔn)差大于這5名女生成果的標(biāo)準(zhǔn)差B．這5名男生成果的中位數(shù)大于這5名女生成果的中位數(shù)C．該班男生成果的平均數(shù)大于該班女生成果的平均數(shù)D．這種抽樣方法是一種分層抽樣解析：選A.5名男生成果的平均數(shù)為eq\f(90＋92＋94＋86＋88,5)＝90，5名女生成果的平均數(shù)為eq\f(93＋93＋93＋88＋88,5)＝91，這5名男生成果的方差為eq\f(1,5)×(22＋42＋22＋42)＝8，女生成果的方差為eq\f(1,5)×(22×3＋32×2)＝6，男生方差大于女生方差，所以男生標(biāo)準(zhǔn)差大于女生標(biāo)準(zhǔn)差，所以A對(duì)；這5名男生成果的中位數(shù)是90,5名女生成果的中位數(shù)為93，所以B錯(cuò)；該班男生和女生成果的平均數(shù)可通過樣本估計(jì)，但不能通過樣本計(jì)算得到平均數(shù)精確值，所以C錯(cuò)；若抽樣方法是分層抽樣，因?yàn)槟猩坏龋苑謩e抽取的人數(shù)不等，所以D錯(cuò)．故選A..4．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個(gè)男孩，平均身高為1.60m；從南方抽取了200個(gè)男孩，平均身高為1.50m．由此可估計(jì)我國13歲男孩的平均身高為()A．1.57m B．1.56mC．1.55m D．1.54m解析：選B.從北方抽取了300個(gè)男孩，平均身高為1.60m，從南方抽取了200個(gè)男孩，平均身高為1.50m，則這500個(gè)13歲男孩的平均身高是eq\f(1.6×300＋1.5×200,500)＝1.56，據(jù)此可估計(jì)我國13歲男孩的平均身高為1.56m，故選B.5．甲、乙兩位同學(xué)某學(xué)科的連續(xù)五次考試成果用莖葉圖表示如圖所示，則平均分?jǐn)?shù)較高的是________，成果較為穩(wěn)定的是________．解析：eq\o(x,\s\up6(－))甲＝70，eq\o(x,\s\up6(－))乙＝68，seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,5)×(22＋12＋12＋22)＝2，seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,5)×(52＋12＋12＋32)＝7.2.答案：甲甲6.某校從高二年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取部分學(xué)生，將他們的模塊測(cè)試成果分成6組：[40，50)，[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]加以統(tǒng)計(jì)，得到如圖所示的頻率分布直方圖．已知高二年級(jí)共有學(xué)生600名，據(jù)此估計(jì)，該模塊測(cè)試成果不少于60分的學(xué)生人數(shù)為________．答案：4807.某中學(xué)隨機(jī)抽取部分高一學(xué)生調(diào)查其上學(xué)路上所需時(shí)間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中上學(xué)路上所需時(shí)間的范圍是[0，100]，樣本數(shù)據(jù)分組為[0，20)，[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．(1)頻率分布直方圖中x的值為________；(2)假如上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的學(xué)生可申請(qǐng)?jiān)趯W(xué)校住宿，若招生1200名，估計(jì)新生中可以申請(qǐng)住校的學(xué)生有________名．解析：(1)由頻率分布直方圖，可得20x＋0.025×20＋0.0065×20＋0.003×2×20＝1，所以x＝0.0125.(2)新生上學(xué)路上所需時(shí)間不少于1小時(shí)的頻率為0.003×2×20＝0.12，因?yàn)?200×0.12＝144，所以1200名新生中約有144名學(xué)生可以申請(qǐng)住校．答案：(1)0.0125(2)1448．為調(diào)查甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生某次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果狀況，用簡潔隨機(jī)抽樣，從這兩校中各抽取30名高三年級(jí)學(xué)生，以他們的數(shù)學(xué)成果(百分制)作為樣本，樣本數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖：(1)若甲校高三年級(jí)每位學(xué)生被抽取的概率為0.05，求甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)，并估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率(60分及60分以上為及格)；(2)設(shè)甲、乙兩校高三年級(jí)學(xué)生這次聯(lián)考數(shù)學(xué)平均成果分別為eq\o(x,\s\up6(－))1，eq\o(x,\s\up6(－))2，估計(jì)eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的值．解：(1)設(shè)甲校高三年級(jí)學(xué)生總?cè)藬?shù)為n.由題意知eq\f(30,n)＝0.05，解得n＝600.樣本中甲校高三年級(jí)學(xué)生數(shù)學(xué)成果不及格人數(shù)為5，據(jù)此估計(jì)甲校高三年級(jí)這次聯(lián)考數(shù)學(xué)成果的及格率為1－eq\f(5,30)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)甲、乙兩校樣本平均數(shù)分別為eq\o(x,\s\up6(－))1′，eq\o(x,\s\up6(－))2′.依據(jù)樣本莖葉圖可知30(eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′)＝30eq\o(x,\s\up6(－))1′－30eq\o(x,\s\up6(－))2′＝(7－5)＋(55＋8－14)＋(24－12－65)＋(26－24－79)＋(22－20)＋92＝2＋49－53－77＋2＋92＝15.因此eq\o(x,\s\up6(－))1′－eq\o(x,\s\up6(－))2′＝0.5.故eq\o(x,\s\up6(－))1－eq\o(x,\s\up6(－))2的估計(jì)值為0.5分．9．某校高二期末統(tǒng)一測(cè)試，隨機(jī)抽取一部分學(xué)生的數(shù)學(xué)成果，分組統(tǒng)計(jì)如下表．(1)求出表中m，n，M，N的值，并依據(jù)表中所給數(shù)據(jù)在給出的坐標(biāo)系中畫出頻率分布直方圖；分組頻數(shù)頻率[0，30]30.03(30，60]30.03(60，90]370.37(90，120]mn(120，150]150.15合計(jì)MN(2)若全校參與本次考試的學(xué)生有600人，試估計(jì)這次測(cè)試中全校成果在90分以上的人數(shù)．解：(1)由頻率分布表得M＝eq\f(3,0.03)＝100，所以m＝100－(3＋3＋37＋15)＝42，n＝eq\f(42,100)＝0.42，N＝0.03＋0.03＋0.37＋0.42＋0.15＝1.頻率分布直方圖如圖所示．(2)由題意，知全校成果在90分以上的學(xué)生的人數(shù)約為eq\f(42＋15,100)×600＝342.[B實(shí)力提升]10．設(shè)矩形的長為a，寬為b，其比滿意b∶a＝eq\f(\r(5)－1,2)≈0.618，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本：甲批次：0.5980.6250.6280.5950.639乙批次：0.6180.6130.5920.6220.620依據(jù)上述兩個(gè)樣原來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值0.618比較，正確的結(jié)論是()A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近C．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同D．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定解析：選A.計(jì)算可得甲批次樣本的平均數(shù)為0.617，乙批次樣本的平均數(shù)為0.613，由此估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)分別為0.617，0.613，則甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近．故選A.11．將某選手的9個(gè)得分去掉1個(gè)最高分，去掉1個(gè)最低分，7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的平均分為91，現(xiàn)場作的9個(gè)分?jǐn)?shù)的莖葉圖后來有1個(gè)數(shù)據(jù)模糊，無法分辨，在圖中以x表示：則7個(gè)剩余分?jǐn)?shù)的方差為()A.eq\f(116,9) B.eq\f(36,7)C．36 D.eq\f(6\r(7),7)解析：選B.依據(jù)莖葉圖，去掉1個(gè)最低分87，1個(gè)最高分99，則eq\f(1,7)[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，所以x＝4.所以s2＝eq\f(1,7)[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝eq\f(36,7).12．某校從參與高一年級(jí)期中考試的學(xué)生中隨機(jī)抽取60名學(xué)生，將其數(shù)學(xué)成果(均為整數(shù))分成六段[40，50)，[50，60)，…，[90，100]后得到如圖所示的部分頻率分布直方圖．在統(tǒng)計(jì)方法中，同一組數(shù)據(jù)常用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作為代表，視察圖形的信息，據(jù)此估計(jì)本次考試的平均分為________．解析：在頻率分布直方圖中，全部小長方形的面積和為1，設(shè)[70，80)的小長方形面積為x，則(0.01＋0.015×2＋0.025＋0.005)×10＋x＝1，解得x＝0.3，即該組頻率為0.3，所以本次考試的平均分為45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71.答案：7113．某地區(qū)100位居民的人均月用水量(單位：t)的分組及各組的頻數(shù)如下：[0，0.5)，4；[0.5，1)，8；[1，1.5)，15；[1.5，2)，22；[2，2.5)，25；[2.5，3)，14；[3，3.5)，6；[3.5，4)，4；[4，4.5)，2.(1)列出樣本的頻率分布表；(2)畫出頻率分布直方圖，并依據(jù)直方圖估計(jì)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)；(3)當(dāng)?shù)卣贫巳司掠盟繛?t的標(biāo)準(zhǔn)，若超出標(biāo)準(zhǔn)加倍收費(fèi)，當(dāng)?shù)卣f，85%以上的居民不超過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，這個(gè)說明對(duì)嗎？為什么？解：(1)頻率分布表分組頻數(shù)頻率[0，0.5)40.04[0.5，1)80.08[1，1.5)150.15[1.5，2)220.22[2，2.5)250.25[2.5，3)140.14[3，3.5)60.06[3.5，4)40.04[4，4.5)20.02合計(jì)1001(2)頻率分布直方圖如圖：眾數(shù)：2.25，中位數(shù)：2.02，平均數(shù)：2.02.(3)人均月用水量在3t以上的居民所占的比例為6%＋4%＋2%＝12%，即大約有12%的居民月用水量在3t以上，88%的居民月用水量在3t以下，因此政府的說明是正確的．[C拓展探究]14．為提倡節(jié)能減排，同時(shí)減輕居民負(fù)擔(dān)，廣州市主動(dòng)推動(dòng)“一戶一表”工程．非一戶一表用戶電費(fèi)采納“合表電價(jià)”收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：0.65元/度．“一戶一表”用戶電費(fèi)采納階梯電價(jià)收取，其11月到次年4月起執(zhí)行非夏季標(biāo)準(zhǔn)如下：第一檔其次檔第三檔每戶每月用電量(單位：度)[0，200