2010《數(shù)學(xué)周報》杯全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案

PAGEPAGE1中國教育學(xué)會中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)專業(yè)委員會“《數(shù)學(xué)周報》杯”2010年全國初中數(shù)學(xué)競賽試題參考答案一、選擇題（共5小題，每小題7分，共35分.其中有且只有一個選項是正確的.請將正確選項的代號填入題后的括號里，不填、多填或錯填都得0分）1．若，則的值為（）．（A）（B）（C）（D）解：由題設(shè)得．2．若實數(shù)a，b滿足，則a的取值范圍是（）．（A）a（B）a4（C）a≤或a≥4（D）≤a≤4解．C因為b是實數(shù)，所以關(guān)于b的一元二次方程的判別式≥0,解得a≤或a≥4．3．如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝135°，∠C＝120°，AB=，BC=，CD＝，則AD邊的長為（）．（A） （B）（第3題）（C） （D）（第3題）解：D如圖，過點A，D分別作AE，DF垂直于直線BC，垂足分別為E，F(xiàn)．由已知可得（第3題）BE=AE=，CF＝，DF＝2，（第3題）于是EF＝4＋．過點A作AG⊥DF，垂足為G．在Rt△ADG中，根據(jù)勾股定理得AD＝．4．在一列數(shù)……中，已知，且當(dāng)k≥2時，（取整符號表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如，），則等于（）．(A)1(B)2(C)3(D)4解：B由和可得，，，，，，，，……因為2010=4×502+2，所以=2．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，等腰梯形ABCD的頂點坐標(biāo)分別為A（1，1），B（2，－1），C（－2，－1），D（－1，1）．y軸上一點P（0，2）繞點A旋轉(zhuǎn)180°得點P1，點P1繞點B旋轉(zhuǎn)180°得點P2，點P2繞點C旋轉(zhuǎn)180°得點P3，點P3繞點D旋轉(zhuǎn)180°得點P4，……，重復(fù)操作依次得到點P1，P2，…，則點P2010的坐標(biāo)是（）．（第5題）（A）（2010，2）（B）（2010，）（第5題）（C）（2012，）（D）（0，2）解：B由已知可以得到，點，的坐標(biāo)分別為（2，0），（2，）．記，其中．根據(jù)對稱關(guān)系，依次可以求得：，，，．令，同樣可以求得，點的坐標(biāo)為（），即（），由于2010=4502+2，所以點的坐標(biāo)為（2010，）．二、填空題6．已知a＝－1，則2a3＋7a2－2a－12的值等于解：0由已知得(a＋1)2＝5，所以a2＋2a＝4，2a3＋7a2－2a－12＝2a3＋4a2＋3a2－2a－12＝3a7．一輛客車、一輛貨車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛．在某一時刻，客車在前，小轎車在后，貨車在客車與小轎車的正中間．過了10分鐘，小轎車追上了貨車；又過了5分鐘，小轎車追上了客車；再過t分鐘，貨車追上了客車，則t＝．解：15設(shè)在某一時刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意得，①，②．③由①②，得，所以，x=30．故（分）．（第8題8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，多邊形OABCDE的頂點坐標(biāo)分別是O（0，0），A（0，6），B（4，6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直線l經(jīng)過點M（2，3），且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達式是．（第8題（第（第8題）解：如圖，延長BC交x軸于點F；連接OB，AFCE，DF，且相交于點N．由已知得點M（2，3）是OB，AF的中點，即點M為矩形ABFO的中心，所以直線把矩形ABFO分成面積相等的兩部分．又因為點N（5，2）是矩形CDEF的中心，所以，過點N（5，2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分．于是，直線即為所求的直線．設(shè)直線的函數(shù)表達式為，則解得,故所求直線的函數(shù)表達式為．（第9題）9．如圖，射線AM，BN都垂直于線段AB，點E為AM上一點，過點A作BE的垂線AC分別交BE，BN于點F，C，過點C作AM的垂線CD，垂足為D．若CD＝CF，則．（第9題）解：見題圖，設(shè)．因為Rt△AFB∽Rt△ABC，所以．又因為FC＝DC＝AB，所以即，解得，或（舍去）．又Rt△∽Rt△，所以，即=．10．對于i=2，3，…，k，正整數(shù)n除以i所得的余數(shù)為i－1．若的最小值滿足，則正整數(shù)的最小值為．解：因為為的倍數(shù)，所以的最小值滿足，其中表示的最小公倍數(shù)．由于，因此滿足的正整數(shù)的最小值為．三、解答題（共4題，每題20分，共80分）11．如圖，△ABC為等腰三角形，AP是底邊BC上的高，點D是線段PC上的一點，BE和CF分別是△ABD和△ACD的外接圓直徑，連接EF.求證：（第12A題）（第12A題）（第（第12B題）（第（第11題）（第12B題）證明：如圖，連接ED，F(xiàn)D.因為BE和CF（第12B題）ED⊥BC，F(xiàn)D⊥BC，因此D，E，F(xiàn)三點共線.…………（5分）連接AE，AF，則（第11題）（第11題）所以，△ABC∽△AEF.…………（10分）作AH⊥EF，垂足為H，則AH=PD.由△ABC∽△AEF可得，從而，所以.…………（20分）12．如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點A，B.已知點A的坐標(biāo)為（1，4），點B在第三象限內(nèi)，且△AOB的面積為3（O為坐標(biāo)原點）.（1）求實數(shù)a，b，k的值；（2）過拋物線上點A作直線AC∥x軸，交拋物線于另一點C，求所有滿足△EOC∽△AOB的點E的坐標(biāo).（第12題）解：（1）因為點A（1，4）在雙曲線（第12題）所以k=4.故雙曲線的函數(shù)表達式為.設(shè)點B（t，），，AB所在直線的函數(shù)表達式為，則有解得，.于是，直線AB與y軸的交點坐標(biāo)為，故，整理得，解得，或t＝（舍去）．所以點B的坐標(biāo)為（，）．因為點A，B都在拋物線（a0）上，所以解得…………（10分）（2）如圖，因為AC∥x軸，所以C（，4），于是CO＝4.又BO=2，所以.（第12題）設(shè)拋物線（a0）與x軸負半軸相交于點D，則點D的坐標(biāo)為（，0）.（第12題）因為∠COD＝∠BOD＝，所以∠COB=.（i）將△繞點O順時針旋轉(zhuǎn)，得到△.這時，點(，2)是CO的中點，點的坐標(biāo)為（4，）.延長到點，使得=，這時點（8，）是符合條件的點.（ii）作△關(guān)于x軸的對稱圖形△，得到點（1，）；延長到點，使得＝，這時點E２（2，）是符合條件的點．所以，點的坐標(biāo)是（8，），或（2，）.…………（20分）13．求滿足的所有素數(shù)p和正整數(shù)m.．解：由題設(shè)得，所以，由于p是素數(shù)，故，或.……（5分）（1）若，令，k是正整數(shù)，于是，，故，從而.所以解得…………（10分）（2）若，令，k是正整數(shù).當(dāng)時，有，，故，從而，或2.由于是奇數(shù)，所以，從而.于是這不可能.當(dāng)時，，；當(dāng)，，無正整數(shù)解；當(dāng)時，，無正整數(shù)解.綜上所述，所求素數(shù)p=5，正整數(shù)m=9.…………（20分）14．從1，2，…，2010這2010個正整數(shù)中，最多可以取出多少個數(shù)，使得所取出的數(shù)中任意三個數(shù)之和都能被33整除？解：首先，如下61個數(shù)：11，，，…，（即1991）滿足題設(shè)條件.…………（5分）另一方面，設(shè)是從1，2，…，2010中取出的滿足題設(shè)條件的數(shù)，對于這n個數(shù)中的任意4個數(shù)，因為，，所以