高考數(shù)學(xué)（理）高分計(jì)劃一輪高分講義第7章立體幾何75直線平面垂直的判定與性質(zhì)

7．5直線、平面垂直的判定與性質(zhì)[知識(shí)梳理]1．直線與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理2．平面與平面垂直判定定理與性質(zhì)定理3．直線和平面所成的角范圍：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).4．二面角范圍[0，π]．5．必記結(jié)論(1)若兩條平行線中一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面．(2)若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于這個(gè)平面內(nèi)任何一條直線．(3)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直．(4)過(guò)空間任一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面與已知直線垂直．(5)兩平面垂直的性質(zhì)定理是把面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直．(6)兩個(gè)相交平面同時(shí)垂直于第三個(gè)平面，它們的交線也垂直于第三個(gè)平面．[診斷自測(cè)]1．概念思辨(1)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線都垂直，則l⊥α.()(2)垂直于同一個(gè)平面的兩平面平行．()(3)若兩平面垂直，則其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個(gè)平面．()(4)若平面α內(nèi)的一條直線垂直于平面β內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則α⊥β.()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．教材衍化(1)(必修A2P73A組T1)若m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，則下列命題中，正確命題的個(gè)數(shù)為(①eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n⊥α))?m∥n；②eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m⊥α,n∥α))?m⊥n；③eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(m∥α,m⊥n))?n⊥α.A．1 B．2C．3 D．0答案B解析③不正確，直線n與α不一定垂直，可能是平行或相交或在平面內(nèi)．①②均正確．故選B.(2)(必修A2P67T2)在三棱錐P－ABC中，點(diǎn)P在平面ABC中的射影為點(diǎn)O，①若PA＝PB＝PC，則點(diǎn)O是△ABC的________心；②若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，則點(diǎn)O是△ABC的________心．答案①外②垂解析①如圖1，連接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以O(shè)A＝OB＝OC，即O為△ABC的外心．②如圖2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB，AB?平面PAB，∴PC⊥AB，又AB⊥PO，PO∩PC＝P，∴AB⊥平面PGC，又CG?平面PGC，∴AB⊥CG，即CG為△ABC邊AB的高，同理可證BD，AH分別為△ABC邊AC，BC上的高，即O為△ABC的垂心．3．小題熱身(1)(2017·湖南六校聯(lián)考)已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，下面給出的條件中一定能推出m⊥β的是()A．α⊥β且m?α B．α⊥β且m∥αC．m∥n且n⊥β D．m⊥n且n∥β答案C解析由線線平行性質(zhì)的傳遞性和線面垂直的判定定理，可知C正確．故選C.(2)(2018·遼寧五校聯(lián)考)假設(shè)平面α∩平面β＝EF，AB⊥α，CD⊥β，垂足分別為B，D，如果增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有下面四個(gè)條件：①AC⊥α；②AC∥α；③AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF.其中能成為增加條件的是________．(把你認(rèn)為正確的條件序號(hào)都填上)答案①③解析如果AB與CD在一個(gè)平面內(nèi)，可以推出EF垂直于該平面，又BD在該平面內(nèi)，所以BD⊥EF.故要得到BD⊥EF，只需AB，CD在一個(gè)平面內(nèi)即可，只有①③能保證這一條件．題型1直線與平面垂直的判定與性質(zhì)角度1直線與平面垂直的判定定理eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2016·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，已知正三棱錐P－ABC的側(cè)面是直角三角形，PA＝6.頂點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)的正投影為點(diǎn)D，D在平面PAB內(nèi)的正投影為點(diǎn)E，連接PE并延長(zhǎng)交AB于點(diǎn)G.(1)證明：G是AB的中點(diǎn)；(2)在圖中作出點(diǎn)E在平面PAC內(nèi)的正投影F(說(shuō)明作法及理由)，并求四面體PDEF的體積．利用線面垂直判定定理進(jìn)行證明．解(1)證明：因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以AB⊥PD.因?yàn)镈在平面PAB內(nèi)的正投影為E，所以AB⊥DE.又PD∩DE＝D，所以AB⊥平面PED，故AB⊥PG.又由已知可得，PA＝PB，從而G是AB的中點(diǎn)．(2)在平面PAB內(nèi)，過(guò)點(diǎn)E作PB的平行線交PA于點(diǎn)F，F(xiàn)即為E在平面PAC內(nèi)的正投影．理由如下：由已知可得PB⊥PA，PB⊥PC，又EF∥PB，所以EF⊥PA，EF⊥PC，又PA∩PC＝P，因此EF⊥平面PAC，即點(diǎn)F為E在平面PAC內(nèi)的正投影．連接CG，因?yàn)镻在平面ABC內(nèi)的正投影為D，所以D是正三角形ABC的中心，由(1)知，G是AB的中點(diǎn)，所以D在CG上，故CD＝eq\f(2,3)CG.由題設(shè)可得PC⊥平面PAB，DE⊥平面PAB，所以DE∥PC，因此PE＝eq\f(2,3)PG，DE＝eq\f(1,3)PC.由已知，正三棱錐的側(cè)面是直角三角形且PA＝6，可得DE＝2，PE＝2eq\r(2).在等腰直角三角形EFP中，可得EF＝PF＝2，所以四面體PDEF的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×2＝eq\f(4,3).角度2垂直關(guān)系中的探索性問(wèn)題eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))如圖所示，平面ABCD⊥平面BCE，四邊形ABCD為矩形，BC＝CE，點(diǎn)F為CE的中點(diǎn)．(1)證明：AE∥平面BDF；(2)點(diǎn)M為CD上任意一點(diǎn)，在線段AE上是否存在點(diǎn)P，使得PM⊥BE？若存在，確定點(diǎn)P的位置，并加以證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．從BC＝CE取BE的中點(diǎn)H，CH⊥BE入手分析．解(1)證明：連接AC交BD于O，連接OF，如右圖．∵四邊形ABCD是矩形，∴O為AC的中點(diǎn)，又F為EC的中點(diǎn)，∴OF為△ACE的中位線，∴OF∥AE，又OF?平面BDF，AE?平面BDF.∴AE∥平面BDF.(2)當(dāng)P為AE中點(diǎn)時(shí)，有PM⊥BE.證明如下：取BE中點(diǎn)H，連接DP，PH，CH.∵P為AE的中點(diǎn)，H為BE的中點(diǎn)，∴PH∥AB，又AB∥CD，∴PH∥CD，∴P，H，C，D四點(diǎn)共面．∵平面ABCD⊥平面BCE，平面ABCD∩平面BCE＝BC，CD?平面ABCD，CD⊥BC.∴CD⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H為BE的中點(diǎn)，∴CH⊥BE，又CD∩CH＝C，∴BE⊥平面DPHC，又PM?平面DPHC，∴BE⊥PM，即PM⊥BE.方法技巧1．證明直線與平面垂直的常用方法(1)利用線面垂直的判定定理，這是主要證明方法．(2)利用“兩平行線中的一條與平面垂直，則另一條也與這個(gè)平面垂直”．(3)利用“一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，則與另一個(gè)也垂直”．(4)利用面面垂直的性質(zhì)定理．2．線面垂直中的探索性問(wèn)題探索結(jié)論是否存在，常先假設(shè)結(jié)論存在，再在這個(gè)假設(shè)下進(jìn)行推理論證，尋找與條件相符或矛盾的結(jié)論，相符則存在，矛盾則不存在．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2018·濟(jì)南模擬)如圖，正方形ABCD和直角梯形ACEF所在的平面互相垂直，F(xiàn)A⊥AC，EF∥AC，AB＝eq\r(2)，EF＝FA＝1.(1)求證：CE∥平面BDF；(2)求證：BE⊥平面DEF.證明(1)設(shè)正方形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，連接FO.由題知EF＝OC＝1，因?yàn)镋F∥AC，所以四邊形CEFO為平行四邊形，所以CE∥OF.又CE?平面BDF，OF?平面BDF，所以CE∥平面BDF.(2)因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面ACEF，平面ABCD∩平面ACEF＝AC，F(xiàn)A⊥AC，F(xiàn)A?平面ACEF，故FA⊥平面ABCD.連接EO，易知四邊形AOEF為邊長(zhǎng)為1的正方形，所以EO⊥平面ABCD，則EO⊥BD.所以△BDE為等腰三角形，BD＝2BO＝2OC＝2，BE＝DE＝eq\r(BO2＋EO2)＝eq\r(2).因?yàn)锽D2＝BE2＋DE2，所以BE⊥DE.同理在△BEF中，BE⊥EF，因?yàn)镈E∩EF＝E，所以BE⊥平面DEF.題型2面面垂直的判定與性質(zhì)eq\o(\s\up7(),\s\do5(典例))(2017·北京高考)如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D為線段AC的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn)．(1)求證：PA⊥BD；(2)求證：平面BDE⊥平面PAC；(3)當(dāng)PA∥平面BDE時(shí)，求三棱錐E－BCD的體積．首先分析已知中的垂直線段所在的平面，由于AB＝BC，取AC的中點(diǎn)是關(guān)鍵．解(1)證明：因?yàn)镻A⊥AB，PA⊥BC，所以PA⊥平面ABC.又因?yàn)锽D?平面ABC，所以PA⊥BD.(2)證明：因?yàn)锳B＝BC，D為AC中點(diǎn)，所以BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又PA∩AC＝A，所以BD⊥平面PAC.又BD?平面BDE，所以平面BDE⊥平面PAC.(3)因?yàn)镻A∥平面BDE，平面PAC∩平面BDE＝DE，所以PA∥DE.因?yàn)镈為AC的中點(diǎn)，所以DE＝eq\f(1,2)PA＝1，BD＝DC＝eq\r(2).由(1)知，PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱錐E－BCD的體積V＝eq\f(1,6)BD·DC·DE＝eq\f(1,3).[結(jié)論探究]在典例條件下，證明：平面PBC⊥平面PAB.證明由(1)知PA⊥BC，又BC⊥AB且PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB，又∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAB.方法技巧面面垂直的應(yīng)用策略1．證明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定義；②面面垂直的判定定理．2．已知兩平面垂直時(shí)，一般要用性質(zhì)定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化，在一個(gè)平面內(nèi)作交線的垂線，轉(zhuǎn)化為線面垂直，然后進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為線線垂直．沖關(guān)針對(duì)訓(xùn)練(2015·全國(guó)卷Ⅰ)如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.(1)證明：平面AEC⊥平面BED；(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E－ACD的體積為eq\f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．解(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE，又BE∩BD＝D，故AC⊥平面BED.又AC?平面AEC，所以平面AEC⊥平面BED.(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq\f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq\f(x,2).因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq\f(\r(3),2)x.由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq\f(\r(2),2)x.由已知得，三棱錐E－ACD的體積VE－ACD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·GD·BE＝eq\f(\r(6),24)x3＝eq\f(\r(6),3)，故x＝2，從而可得AE＝EC＝ED＝eq\r(6).所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq\r(5)，故三棱錐E－ACD的側(cè)面積為3＋2eq\r(5).1.(2017·全國(guó)卷Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點(diǎn)，則(A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BDC．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC答案C解析解法一：如圖，∵A1E在平面ABCD上的投影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯(cuò)誤；∵A1E在平面BCC1B1上的投影為B1C，且B1C⊥BC∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B∴A1E⊥BC1)∵A1E在平面DCC1D1上的投影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯(cuò)誤．故選C.解法二：(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0,1,1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1,0,1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1,1,0)，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(DC1,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))≠0，∴A1E⊥BC1.故選C.2．(2017·河北唐山一模)如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，G是EF的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿AE，AF及EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)空間圖形，使B，C，D三點(diǎn)重合，重合后的點(diǎn)記為H，那么，在這個(gè)空間圖形中必有()A．AG⊥平面EFH B．AH⊥平面EFHC．HF⊥平面AEF D．HG⊥平面AEF答案B解析根據(jù)折疊前、后AH⊥HE，AH⊥HF不變，∴AH⊥平面EFH，B正確；∵過(guò)A只有一條直線與平面EFH垂直，∴A不正確；∵AG⊥EF，EF⊥GH，AG∩GH＝G，∴EF⊥平面HAG，又EF?平面AEF，∴平面HAG⊥AEF，過(guò)H作直線垂直于平面AEF，一定在平面HAG內(nèi)，∴C不正確；已證平面HAG⊥平面AEF，若證HG⊥平面AEF，只需證HG⊥AG，已證AH⊥HG，故HG⊥AG不成立，所以HG與平面AEF不垂直，∴D不正確．故選B.3．(2018·西安模擬)如圖，四棱錐P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)，G，M，N分別為PB，AB，BC，PD，PC的中點(diǎn)．求證：(1)CE∥平面PAD；(2)平面EFG⊥平面EMN.證明(1)如圖，連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AF＝eq\f(1,2)AB.又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD.又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形．因此CF∥AD.又CF?平面PAD，AD?平面PAD.所以CF∥平面PAD.因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又EF?平面PAD，PA?平面PAD，所以EF∥平面PAD.因?yàn)镃F∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.又CE?平面CEF，所以CE∥平面PAD.(2)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為PB，AB的中點(diǎn)，所以EF∥PA.又AB⊥PA，所以AB⊥EF.同理可證AB⊥FG.又EF∩FG＝F，EF?平面EFG，F(xiàn)G?平面EFG，因此AB⊥平面EFG.又M，N分別為PD，PC的中點(diǎn)，所以MN∥CD.又AB∥CD，所以MN∥AB，所以MN⊥平面EFG.又MN?平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.4．(2017·山東模擬)如圖，AB是圓O的直徑，點(diǎn)C，D是圓O上異于A，B的點(diǎn)，CD∥AB，F(xiàn)為PD中點(diǎn)，PO垂直于圓O所在的平面，∠ABC＝60°.(1)證明：PB∥平面COF；(2)證明：AC⊥PD.證明如圖所示，∵AB是圓O的直徑，∴△ABC是直角三角形，又∠ABC＝60°，∴BC＝eq\f(1,2)AB.又∵四邊形ABCD是圓的內(nèi)接四邊形，∴四邊形ABCD是等腰梯形，∴四邊形ADCO，DOBC都是以半徑為邊長(zhǎng)的菱形．(1)連接BD交OC于H，則H是BD中點(diǎn)，連接FH，因?yàn)镕為PD中點(diǎn)，∴FH∥PB，且PB?平面COF，F(xiàn)H?平面COF，∴PB∥平面COF.(2)∵四邊形ADCO是以半徑為邊長(zhǎng)的菱形∴AC⊥DO，∵PO垂直于圓O所在的平面，∴PO⊥AC，且DO∩PO＝O，∴AC⊥平面POD，∵PD?平面POD，∴AC⊥PD.[重點(diǎn)保分兩級(jí)優(yōu)選練]A級(jí)一、選擇題1．設(shè)l為直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是()A．若l∥α，l∥β，則α∥β B．若l⊥α，l⊥β，則α∥βC．若l⊥α，l∥β，則α∥β D．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案B解析如圖所示，在正方體A1B1C1D1－ABCD中，對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)l為AA1，平面B1BCC1，平面DCC1D1為α，β.A1A∥平面B1BCC1，A1A∥平面DCC1D1，而平面B1BCC1∩平面DCC1D1＝C1C；對(duì)于C項(xiàng)，設(shè)l為A1A，平面ABCD為α，平面DCC1D1為β.A1A⊥平面ABCD；A1A∥平面DCC1D1，而平面ABCD∩平面DCC1D1＝DC；對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)平面A1ABB1為α，平面ABCD為β，直線D1C1為l，平面A1ABB1⊥平面ABCD，D1C1∥平面A1ABB1，而D1C1∥平面ABCD.故A2．(2017·山西臨汾二模)已知點(diǎn)A，B在半徑為eq\r(3)的球O表面上運(yùn)動(dòng)，且AB＝2，過(guò)AB作相互垂直的平面α，β，若平面α，β截球O所得的截面分別為圓M，N，則()A．MN長(zhǎng)度的最小值是2B．MN的長(zhǎng)度是定值eq\r(2)C．圓M面積的最小值是2πD．圓M、N的面積和是定值8π答案B解析如圖所示，平面ABC為平面α，平面ABD為平面β，則BD⊥BC.BC2＋BD2＋4＝12，∴CD＝2eq\r(2)，∵M(jìn)，N分別是AC，AD的中點(diǎn)，∴MN的長(zhǎng)度是定值eq\r(2).故選B.3．(2017·江西南昌摸底)如圖，在四面體ABCD中，已知AB⊥AC，BD⊥AC，那么點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內(nèi)部答案A解析因?yàn)锳B⊥AC，BD⊥AC，AB∩BD＝B，所以AC⊥平面ABD，又AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABD，所以點(diǎn)D在平面ABC內(nèi)的射影H必在直線AB上．故選A.4．(2018·江西九江模擬)如圖，在三棱錐D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE答案C解析因?yàn)锳B＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因?yàn)锳C?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.5．(2018·甘肅二診)已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝eq\r(3)，AB＝4，若在棱AB上存在點(diǎn)P，使得D1P⊥PC，則AD的取值范圍是()A．(0,1] B．(0,2]C．(1，eq\r(3)] D．[1,4)答案B解析連接DP，由D1P⊥PC，DD1⊥PC，且D1P，DD1是平面DD1P內(nèi)兩條相交直線，得PC⊥平面DD1P，PC⊥DP，即點(diǎn)P在以CD為直徑的圓上，又點(diǎn)P在AB上，則AB與圓有公共點(diǎn)，即0<AD≤eq\f(1,2)CD＝2.故選B.6．(2018·河北模擬)在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是直角梯形，BA⊥AD，AD∥BC，AB＝BC＝2，PA＝3，PA⊥底面ABCD，E是棱PD上異于P，D的動(dòng)點(diǎn)．設(shè)eq\f(PE,ED)＝m，則“0<m<2”是“三棱錐C－ABE的體積不小于1”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件答案B解析如圖，過(guò)E點(diǎn)作EH⊥AD，H為垂足，則EH⊥平面ABCD.∵VC－ABE＝VE－ABC，∴三棱錐C－ABE的體積為eq\f(2,3)EH.若三棱錐C－ABE的體積不小于1，則EH≥eq\f(3,2)，又PA＝3，∴eq\f(PE,ED)＝m≤1，∴0<m≤1.故選B.7．如圖，三棱錐P－ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是()A．BC∥平面PDFB．DF⊥平面PAEC．平面PDF⊥平面ABCD．平面PAE⊥平面ABC答案C解析∵BC∥DF，∴BC∥平面PDF，A正確．∵BC⊥PE，BC⊥AE，∴BC⊥平面PAE.又∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，B正確．∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，D正確．故選C.8．(2018·湖北武漢月考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝eq\r(3)，BC＝1，將△ACD沿AC折起，使得D折起后的位置為D1，且D1在平面ABC上的射影恰好落在AB上，在四面體D1－ABC的四個(gè)面中，有n對(duì)平面相互垂直，則n等于()A．2 B．3C．4 D．5答案B解析設(shè)D1在平面ABC上的射影為E，連接D1E，則D1E⊥平面ABC，∵D1E?平面ABD1，∴平面ABD1⊥平面ABC.∵D1E⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴D1E⊥BC，又AB⊥BC，D1E∩AB＝E，∴BC⊥平面ABD1.又BC?平面BCD1，∴平面BCD1⊥平面ABD1.∵BC⊥平面ABD1，AD1?平面ABD1，∴BC⊥AD1，又CD1⊥AD1，BC∩CD1＝C，∴AD1⊥平面BCD1，又AD1?平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BCD1.∴共有3對(duì)平面互相垂直．故選B.9．(2018·靜海月考)如圖所示，三棱錐P－ABC的底面在平面α內(nèi)，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，點(diǎn)P，A，B是定點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)C的軌跡是()A．一條線段 B．一條直線C．一個(gè)圓 D．一個(gè)圓，但要去掉兩個(gè)點(diǎn)答案D解析∵平面PAC⊥平面PBC，而平面PAC∩平面PBC＝PC.又AC?平面PAC，且AC⊥PC，∴AC⊥平面PBC，而B(niǎo)C?平面PBC，∴AC⊥BC，∴點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上，∴點(diǎn)C的軌跡是一個(gè)圓，但是要去掉A和B兩點(diǎn)．故選D.10．(2018·吉林期末)已知一個(gè)四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．4 B．3C．2 D．1答案A解析滿足條件的四棱錐的底面為矩形，且一條側(cè)棱與底面垂直，畫(huà)出滿足條件的直觀圖如圖四棱錐P－ABCD所示，不妨令PA⊥矩形ABCD，∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥CB，PA⊥CD，故△PAB和△PAD都是直角三角形．又矩形中CB⊥AB，CD⊥AD.這樣CB垂直于平面PAB內(nèi)的兩條相交直線PA、AB，CD垂直于平面PAD內(nèi)的兩條相交直線PA、AD，由線面垂直的判定定理可得CB⊥平面PAB，CD⊥平面PAD，∴CB⊥PB，CD⊥PD，故△PBC和△PDC都是直角三角形，故直角三角形有△PAB、△PAD、△PBC、△PDC共4個(gè)．故選A.二、填空題11．(2017·開(kāi)封二模)三棱錐S－ABC中，∠SBA＝∠SCA＝90°，△ABC是斜邊AB＝a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：①異面直線SB與AC所成的角為90°；②直線SB⊥平面ABC；③平面SBC⊥平面SAC；④點(diǎn)C到平面SAB的距離是eq\f(1,2)a.其中正確的是________．答案①②③④解析由題意知AC⊥平面SBC，故AC⊥SB，故①正確；再根據(jù)SB⊥AC，SB⊥AB，可得SB⊥平面ABC，平面SBC⊥平面SAC，故②③正確；取AB的中點(diǎn)E，連接CE，可證得CE⊥平面SAB，故CE的長(zhǎng)度即為點(diǎn)C到平面SAB的距離，為eq\f(1,2)a，④正確．12．(2017·蘇州期末)如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，則下列結(jié)論：①AD∥平面PBC；②平面PAC⊥平面PBD；③平面PAB⊥平面PAC；④平面PAD⊥平面PDC.其中正確的結(jié)論序號(hào)是________．答案①②④解析①由底面為正方形，可得AD∥BC，AD?平面PBC，BC?平面PBC，可得AD∥平面PBC；②在正方形ABCD中，AC⊥BD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥BD，PA∩AC＝A，可得BD⊥平面PAC，BD?平面PBD，即有平面PAC⊥平面PBD；③PA⊥底面ABCD，可得PA⊥AB，PA⊥AC，可得∠BAC為二面角B－PA－C的平面角，顯然∠BAC＝45°，故平面PAB⊥平面PAC不成立；④在正方形ABCD中，可得CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD，PA∩AD＝A，可得CD⊥平面PAD，CD?平面PCD，即有平面PAD⊥平面PDC.綜上可得，①②④正確．13．(2017·三元月考)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，構(gòu)成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，平面BCD，平面ADC，平面ABC，平面ABD，互相垂直的有________．答案平面ABD⊥平面ACD、平面ABD⊥平面BCD、平面ABC⊥平面ACD解析∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.由CD⊥平面ABD，CD?平面BCD，所以平面ABD⊥平面BCD，由CD⊥平面ABD，則CD⊥AB，又AD⊥AB.故AB⊥平面ADC，所以平面ABC⊥平面ADC，平面ABD⊥平面ADC.14．(2018·泰安模擬)如圖，四邊形ABCD中，AB＝AD＝CD＝1，BD＝eq\r(2)，BD⊥CD.將四邊形ABCD沿對(duì)角線BD折成四面體A′－BCD，使平面A′BD⊥平面BCD，則∠BA′C＝________，VA′－BCD＝________.答案90°eq\f(1,6)解析由題設(shè)知：△BA′D為等腰直角三角形，CD⊥平面A′BD，得BA′⊥平面A′CD，∴∠BA′C＝90°，VA′－BCD＝VC－A′BD＝eq\f(1,6).B級(jí)三、解答題15．(2018·臨汾期末)在三棱柱ABC－A1B1C1，側(cè)面ABB1A1為矩形，AB＝2，AA1＝2eq\r(2)，D是AA1中點(diǎn)，BD與AB1交于點(diǎn)O，且OC⊥平面ABB1A1.證明：平面AB1C⊥平面BCD證明∵ABB1A1為矩形，AB＝2AA1＝2eq\r(2)，D是AA1的中點(diǎn)，∴∠BAD＝90°，∠ABB1＝90°，BB1＝2eq\r(2)，AD＝eq\f(1,2)AA1＝eq\r(2)，∴tan∠ABD＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(2),2)，tan∠AB1B＝eq\f(AB,BB1)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠ABD＝∠AB1B，∴∠AB1B＋∠BAB1＝∠ABD＋∠BAB1＝eq\f(π,2)，∴∠AOB＝eq\f(π,2)，即AB1⊥BD.∵CO⊥平面ABB1A1，AB1?平面ABB1A∴AB1⊥CO，又BD∩CO＝O，∴AB1⊥平面BCD.∵AB1?平面AB1C∴平面AB1C⊥平面BCD16．(2018·黃岡調(diào)研)在三棱錐P－ABC中，△PAB是等邊三角形，PA⊥AC，PB⊥BC.(1)證明：AB⊥PC；(2)若PC＝2，且平面PAC⊥平面PBC，求三棱錐P－ABC的體積．解(1)證明：在Rt△PAC和Rt△PBC中AC＝eq\r(PC2－PA2)，BC＝eq\r(PC2－PB2).∵PA＝PB，∴AC＝BC.取AB中點(diǎn)M，連接PM，CM，則AB⊥PM，AB⊥MC，∴AB⊥平面PMC，而PC?平面PMC，∴AB⊥PC.(2)在平面PAC內(nèi)作AD⊥PC，垂足為D，連接BD.∵平面PAC⊥平面PBC，∴AD⊥平面PBC，又BD?平面PBC，∴AD⊥BD，又Rt△PAC≌Rt△PBC，∴AD＝BD，∴△ABD為等腰直角三角形．設(shè)AB＝PA＝PB＝a，則AD＝eq\f(\r(2),2)a，在Rt△PAC中，由PA·AC＝PC·AD