高二數(shù)學(xué)類比推理綜合測(cè)試題

選修2-22.1.1第2課時(shí)類比推理一、選擇題1．下列說法正確的是()A．由合情推理得出的結(jié)論一定是正確的B．合情推理必須有前提有結(jié)論C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的結(jié)論無法判定正誤[答案]B[解析]由合情推理得出的結(jié)論不一定正確，A不正確；B正確；合情推理的結(jié)論本身就是一個(gè)猜想，C不正確；合情推理結(jié)論可以通過證明來判定正誤，D也不正確，故應(yīng)選B.2．下面幾種推理是合情推理的是()①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形的內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°③教室內(nèi)有一把椅子壞了，則該教室內(nèi)的所有椅子都?jí)牧刷苋切蝺?nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸多邊形的內(nèi)角和是(n－2)·180°A．①②B．①③④C．①②④D．②④[答案]C[解析]①是類比推理；②④都是歸納推理，都是合情推理．3．三角形的面積為S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r，a、b、c為三角形的邊長，r為三角形內(nèi)切圓的半徑，利用類比推理，可以得到四面體的體積為()A．V＝eq\f(1,3)abcB．V＝eq\f(1,3)ShC．V＝eq\f(1,3)(S1＋S2＋S3＋S4)r，(S1、S2、S3、S4分別為四面體四個(gè)面的面積，r為四面體內(nèi)切球的半徑)D．V＝eq\f(1,3)(ab＋bc＋ac)h(h為四面體的高)[答案]C[解析]邊長對(duì)應(yīng)表面積，內(nèi)切圓半徑應(yīng)對(duì)應(yīng)內(nèi)切球半徑．故應(yīng)選C.4．類比平面內(nèi)正三角形的“三邊相等，三內(nèi)角相等”的性質(zhì)，可推知正四面體的下列哪些性質(zhì)，你認(rèn)為比較恰當(dāng)?shù)氖?)①各棱長相等，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等②各個(gè)面都是全等的正三角形，相鄰兩個(gè)面所成的二面角都相等③各個(gè)面都是全等的正三角形，同一頂點(diǎn)上的任兩條棱的夾角都相等A．①B．①②C．①②③D．③[答案]C[解析]正四面體的面(或棱)可與正三角形的邊類比，正四面體的相鄰兩面成的二面角(或共頂點(diǎn)的兩棱的夾角)可與正三角形相鄰兩邊的夾角類比，故①②③都對(duì)．5．類比三角形中的性質(zhì)：(1)兩邊之和大于第三邊(2)中位線長等于底邊的一半(3)三內(nèi)角平分線交于一點(diǎn)可得四面體的對(duì)應(yīng)性質(zhì)：(1)任意三個(gè)面的面積之和大于第四個(gè)面的面積(2)過四面體的交于同一頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)的平面面積等于第四個(gè)面面積的eq\f(1,4)(3)四面體的六個(gè)二面角的平分面交于一點(diǎn)其中類比推理方法正確的有()A．(1)B．(1)(2)C．(1)(2)(3)D．都不對(duì)[答案]C[解析]以上類比推理方法都正確，需注意的是類比推理得到的結(jié)論是否正確與類比推理方法是否正確并不等價(jià)，方法正確結(jié)論也不一定正確．6．由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：①“mn＝nm”類比得到“a·b＝b·a”；②“(m＋n)t＝mt＋nt”類比得到“(a＋b)·c＝a·c＋b·c”；③“(m·n)t＝m(n·t)”類比得到“(a·b)·c＝a·(b·c)”；④“t≠0，mt＝xt?m＝x”類比得到“p≠0，a·p＝x·p?a＝x”；⑤“|m·n|＝|m|·|n|”類比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑥“eq\f(ac,bc)＝eq\f(a,b)”類比得到“eq\f(a·c,b·c)＝eq\f(a,b)”．以上式子中，類比得到的結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．4[答案]B[解析]由向量的有關(guān)運(yùn)算法則知①②正確，③④⑤⑥都不正確，故應(yīng)選B.7．(2010·浙江溫州)如圖所示，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))時(shí)，其離心率為eq\f(\r(5)－1,2)，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”．類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率e等于()A.eq\f(\r(5)＋1,2)B.eq\f(\r(5)－1,2)C.eq\r(5)－1D.eq\r(5)＋1[答案]A[解析]如圖所示，設(shè)雙曲線方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，則F(－c,0)，B(0，b)，A(a,0)∴eq\o(FB,\s\up6(→))＝(c，b)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－a，b)又∵eq\o(FB,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(FB,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝b2－ac＝0∴c2－a2－ac＝0∴e2－e－1＝0∴e＝eq\f(1＋\r(5),2)或e＝eq\f(1－\r(5),2)(舍去)，故應(yīng)選A.8．六個(gè)面都是平行四邊形的四棱柱稱為平行六面體．如圖甲，在平行四邊形ABD中，有AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2)，那么在圖乙中所示的平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)等于()A．2(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))B．3(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))C．4(AB2＋AD2＋AAeq\o\al(2,1))D．4(AB2＋AD2)[答案]C[解析]ACeq\o\al(2,1)＋BDeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1)＝(ACeq\o\al(2,1)＋CAeq\o\al(2,1))＋(BDeq\o\al(2,1)＋DBeq\o\al(2,1))＝2(AAeq\o\al(2,1)＋AC2)＋2(BBeq\o\al(2,1)＋BD2)＝4AAeq\o\al(2,1)＋2(AC2＋BD2)＝4AAeq\o\al(2,1)＋4AB2＋4AD2，故應(yīng)選C.9．下列說法正確的是()A．類比推理一定是從一般到一般的推理B．類比推理一定是從個(gè)別到個(gè)別的推理C．類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理D．類比推理是從個(gè)別到一般的推理[答案]C[解析]由類比推理的定義可知：類比推理是從個(gè)別到個(gè)別或一般到一般的推理，故應(yīng)選C.10．下面類比推理中恰當(dāng)?shù)氖?)A．若“a·3＝b·3，則a＝b”類比推出“若a·0＝b·0，則a＝b”B．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“(a＋b)c＝ac＋bc”類比推出“eq\f(a＋b,c)＝eq\f(a,c)＋eq\f(b,c)(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”類比推出“(a＋b)n＝an＋bn”[答案]C[解析]結(jié)合實(shí)數(shù)的運(yùn)算知C是正確的．二、填空題11．設(shè)f(x)＝eq\f(1,2x＋\r(2))，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，可求得f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)的值為________．[答案]3eq\r(2)[解析]本題是“方法類比”．因等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法是倒序相加，亦即首尾相加，那么經(jīng)類比不難想到f(－5)＋f(－4)＋…＋f(0)＋…＋f(5)＋f(6)＝[f(－5)＋f(6)]＋[f(－4)＋f(5)]＋…＋[f(0)＋f(1)]，而當(dāng)x1＋x2＝1時(shí)，有f(x1)＋f(x2)＝＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，故所求答案為6×eq\f(\r(2),2)＝3eq\r(2).12．(2010·廣州高二檢測(cè))若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，對(duì)于bn＝eq\f(1,n)(a1＋a2＋…＋an)，則數(shù)列{bn}也是等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，若數(shù)列{cn}是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，對(duì)于dn>0，則dn＝________時(shí)，數(shù)列{dn}也是等比數(shù)列．[答案]eq\r(n,c1·c2·…·cn)13．在以原點(diǎn)為圓心，半徑為r的圓上有一點(diǎn)P(x0，y0)，則過此點(diǎn)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2，而在橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)中，當(dāng)離心率e趨近于0時(shí)，短半軸b就趨近于長半軸a，此時(shí)橢圓就趨近于圓．類比圓的面積公式，在橢圓中，S橢＝________.類比過圓上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程，則過橢圓eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為________．[答案]π·a·b；eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1[解析]當(dāng)橢圓的離心率e趨近于0時(shí)，橢圓趨近于圓，此時(shí)a，b都趨近于圓的半徑r，故由圓的面積S＝πr2＝π·r·r，猜想橢圓面積S橢＝π·a·b，其嚴(yán)格證明可用定積分處理．而由切線方程x0·x＋y0·y＝r2變形得eq\f(x0,r2)·x＋eq\f(y0,r2)·y＝1，則過橢圓上一點(diǎn)P(x1，y1)的橢圓的切線方程為eq\f(x1,a2)·x＋eq\f(y1,b2)·y＝1，其嚴(yán)格證明可用導(dǎo)數(shù)求切線處理．14．在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列{bn}中，若b9＝1，則有等式__________成立．[答案]b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)[解析]解法1：從分析所提供的性質(zhì)入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當(dāng)n<19－n時(shí)，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝eq\f((19－2n)(an＋1＋a19－n),2)＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n時(shí)的情形．由此可知：等差數(shù)列{an}之所以有等式成立的性質(zhì)，關(guān)鍵在于在等差數(shù)列中有性質(zhì)：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，類似地，在等比數(shù)列{bn}中，也有性質(zhì)：bn＋1·b17－n＝beq\o\al(2,9)＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈N*)．解法2：因?yàn)樵诘炔顢?shù)列中有“和”的性質(zhì)a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈N*)成立，故在等比數(shù)列{bn}中，由b9＝1，可知應(yīng)有“積”的性質(zhì)b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立.(1)證明如下：當(dāng)n＜8時(shí)，等式(1)為b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝beq\o\al(2,9)＝1.∴bn＋1bn＋2…b17－n＝beq\o\al(17－2n,9)＝1.∴(2)式成立，即(1)式成立；當(dāng)n＝8時(shí)，(1)式即：b9＝1顯然成立；當(dāng)8＜n＜17時(shí)，(1)式即：b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)∵b9＝1，∴b18－k·bk＝beq\o\al(2,9)＝1∴b18－nb19－n·…·bn＝beq\o\al(2n－17,9)＝1∴(3)式成立，即(1)式成立．綜上可知，當(dāng)?shù)缺葦?shù)列{bn}滿足b9＝1時(shí)，有：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈N*)成立．三、解答題15．已知：等差數(shù)列{an}的公差為d，前n項(xiàng)和為Sn，有如下的性質(zhì)：(1)an＝am＋(n－m)·d.(2)若m＋n＝p＋q，其中，m、n、p、q∈N*，則am＋an＝ap＋aq.(3)若m＋n＝2p，m，n，p∈N*，則am＋an＝2ap.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等差數(shù)列．類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，寫出相類似的性質(zhì)．[解析]等比數(shù)列{bn}中，公比q，前n項(xiàng)和Sn.(1)通項(xiàng)an＝am·qn－m.(2)若m＋n＝p＋q，其中m，n，p，q∈N*，則am·an＝ap·aq.(3)若m＋n＝2p，其中，m，n，p∈N*，則aeq\o\al(2,p)＝am·an.(4)Sn，S2n－Sn，S3n－S2n構(gòu)成等比數(shù)列．16．先解答(1)，再根據(jù)結(jié)構(gòu)類比解答(2)．(1)已知a，b為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，求證：ab＋1>a＋b.(2)已知a，b，c均為實(shí)數(shù)，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求證：abc＋2>a＋b＋c.[解析](1)ab＋1－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.(2)∵|a|<1，|b|<1，|c|<1，據(jù)(1)得(ab)·c＋1>ab＋c，∴abc＋2＝[(ab)·c＋1]＋1>(ab＋c)＋1＝(ab＋1)＋c>a＋b＋c.你能再用歸納推理方法猜想出更一般地結(jié)論嗎？[點(diǎn)評(píng)](1)與(2)的條件與結(jié)論有著相同的結(jié)構(gòu)，通過分析(1)的推證過程及結(jié)論的構(gòu)成進(jìn)行類比推廣得出：(ab)·c＋1＞ab＋c是關(guān)鍵．用歸納推理可推出更一般的結(jié)論：ai為實(shí)數(shù)，|ai|＜1，i＝1、2、…、n，則有：a1a2…an＋(n－1)＞a1＋a2＋…＋an17．點(diǎn)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))在圓C：x2＋y2＝1上，經(jīng)過點(diǎn)P的圓的切線方程為eq\f(\r(2),2)x＋eq\f(\r(2),2)y＝1，又點(diǎn)Q(2,1)在圓C外部，容易證明直線2x＋y＝1與圓相交，點(diǎn)Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)))在圓C的內(nèi)部．直線eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)y＝1與圓相離．類比上述結(jié)論，你能給出關(guān)于一點(diǎn)P(a，b)與圓x2＋y2＝r