高考數(shù)學(xué)沖刺專題六綜合測試題

2012高考數(shù)學(xué)沖刺專題六綜合測試題7．已知如圖所示的矩形，長為12，寬為5，在矩形內(nèi)隨機(jī)地投擲1000顆黃豆，數(shù)得落在陰影部分的黃豆為600顆，則可以估計陰影部分的面積約為()A．12B．20C．24D．36解析：設(shè)圖中陰影部分的面積為S.由幾何概型的概率計算公式知，eq\f(S,12×5)＝eq\f(600,1000)，解之得S＝36.故選D.答案：D8．如圖所示的流程圖，最后輸出的n的值是()A．3B．4C．5D．6解析：當(dāng)n＝2時，22>22不成立；當(dāng)n＝3時，23>32不成立；當(dāng)n＝4時，24>42不成立；當(dāng)n＝5時，25>52成立．所以n＝5.故選C.答案：C9．正四面體的四個表面上分別寫有數(shù)字1,2,3,4，將3個這樣的四面體同時投擲于桌面上，與桌面接觸的三個面上的數(shù)字的乘積能被3整除的概率為()A.eq\f(1,64)B.eq\f(13,64)C.eq\f(37,64)D.eq\f(61,64)解析：將正四面體投擲于桌面上時，與桌面接觸的面上的數(shù)字是1,2,3,4的概率是相等的，都等于eq\f(1,4).若與桌面接觸的三個面上的數(shù)字的乘積能被3整除，則三個數(shù)字中至少應(yīng)有一個為3，其對立事件為“與桌面接觸的三個面上的數(shù)字都不是3”，其概率是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))3＝eq\f(27,64)，故所求概率為1－eq\f(27,64)＝eq\f(37,64).答案：C10．用系統(tǒng)抽樣法從160名學(xué)生中抽取容量為20的樣本，將160名學(xué)生隨機(jī)地從1～160編號，按編號順序平均分成20組(1～8號，9～16號，…，153～160號)，若第16組抽出的號碼為126，則第1組中用抽簽的方法確定的號碼是()A．5B．6C．7D．8解析：設(shè)第1組抽出的號碼為x，則第16組應(yīng)抽出的號碼是8×15＋x＝126，∴x＝6.故選B.答案：B11．(2011·杭州市第一次教學(xué)質(zhì)量檢測)體育課的排球發(fā)球項目考試的規(guī)則是：每位學(xué)生最多可發(fā)球3次，一旦發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到3次為止．設(shè)學(xué)生一次發(fā)球成功的概率為p(p≠0)，發(fā)球次數(shù)為X，若X的數(shù)學(xué)期望E(X)>1.75，則p的取值范圍是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(7,12)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,12)，1))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))解析：發(fā)球次數(shù)X的分布列如下表，X123Pp(1－p)p(1－p)2所以期望E(X)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2>1.75，解得p>eq\f(5,2)(舍去)或p<eq\f(1,2)，又p>0，故選C.答案：C12．(2011·濟(jì)寧一中高三模擬)某計算機(jī)程序每運行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個五位的二進(jìn)制數(shù)A＝eq\x(a1)eq\x(a2)eq\x(a3)eq\x(a4)eq\x(a5)，其中A的各位數(shù)中，a1＝1，ak(2,3,4,5)出現(xiàn)0的概率為eq\f(1,3)，出現(xiàn)1的概率為eq\f(2,3).記ξ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5，當(dāng)程序運行一次時，ξ的數(shù)學(xué)期望E(ξ)＝()A.eq\f(8,27)B.eq\f(16,81)C.eq\f(11,3)D.eq\f(65,81)解析：ξ＝1，P1＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0＝eq\f(1,34)，ξ＝2時，P2＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3·eq\f(2,3)＝eq\f(8,34)，ξ＝3時，P3＝Ceq\o\al(2,4)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2＝eq\f(24,34)，ξ＝4時，P4＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\f(32,34)，ξ＝5時，P5＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＝eq\f(16,34)，E(ξ)＝1×eq\f(1,34)＋2×eq\f(8,34)＋3×eq\f(24,34)＋4×eq\f(32,34)＋5×eq\f(16,34)＝eq\f(11,3).答案：C二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上．13．(2011·廣東湛江十中模擬)在可行域內(nèi)任取一點，規(guī)則如流程圖所示，則能輸出數(shù)對(x，y)的概率為________．解析：如圖所示，給出的可行域即為正方形及其內(nèi)部．而所求事件所在區(qū)域為一個圓，兩面積相比即得概率為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．(2011·山東濰坊模擬)給出下列命題：(1)若z∈C，則z2≥0；(2)若a，b∈R，且a>b，則a＋i>b＋i；(3)若a∈R，則(a＋1)i是純虛數(shù)；(4)若z＝eq\f(1,i)，則z3＋1對應(yīng)的點在復(fù)平面內(nèi)的第一象限．其中正確的命題是________．解析：由復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)知，(1)錯誤；(2)錯誤；(3)錯誤，若a＝－1，(a＋1)i＝0；(4)正確，z3＋1＝(－i)3＋1＝i＋1.答案：(4)15．(2011·上海)隨機(jī)抽取的9位同學(xué)中，至少有2位同學(xué)在同一月份出生的概率為________．(默認(rèn)每個月的天數(shù)相同，結(jié)果精確到0.001)解析：P＝1－eq\f(A\o\al(9,12),129)≈0.985.答案：0.98516．若某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的y等于________．解析：由圖中程序框圖可知，所求的y是一個“累加的運算”，即第一步是3；第二步是7；第三步是15；第四步是31；第五步是63.答案：63三、解答題：本大題共6小題，共74分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．(本小題滿分12分)某班主任對全班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進(jìn)行了調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：積極參加班級工作不太主動參加班級工作合計學(xué)習(xí)積極性高18725學(xué)習(xí)積極性一般61925合計242650(1)如果隨機(jī)抽查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？(2)試運用獨立性檢驗的思想方法分析：學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度是否有關(guān)系？并說明理由．(參考下表)P(K2≥k)0.500.400.250.150.100.050.0250.0100.0050.001k0.4550.7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解：(1)積極參加班級工作的學(xué)生有24人，總?cè)藬?shù)為50人，概率為eq\f(24,50)＝eq\f(12,25)；不太主動參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生有19人，概率為eq\f(19,50).(2)K2＝eq\f(50×18×19－6×72,25×25×24×26)＝eq\f(150,13)≈11.5，∵K2>10.828，∴有99.9%的把握說學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系．18．(本小題滿分12分)在1996年美國亞特蘭大奧運會上，中國香港風(fēng)帆選手李麗珊以驚人的耐力和斗志，勇奪金牌，為香港體育史揭開了“突破零”的新一頁．在風(fēng)帆比賽中，成績以低分為優(yōu)勝．比賽共11場，并以最佳的9場成績計算最終的名次．前7場比賽結(jié)束后，排名前5位的選手積分如表一所示：根據(jù)上面的比賽結(jié)果，我們?nèi)绾伪容^各選手之間的成績及穩(wěn)定情況呢？如果此時讓你預(yù)測誰將獲得最后的勝利，你會怎么看？解：由表一，我們可以分別計算5位選手前7場比賽積分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，分別作為衡量各選手比賽的成績及穩(wěn)定情況，如表二所示．表二排名運動員平均積分(eq\x\to(x))積分標(biāo)準(zhǔn)差(s)1李麗珊(中國香港)3.141.732簡度(新西蘭)4.572.773賀根(挪威)5.002.514威爾遜(英國)6.293.195李科(中國)6.573.33從表二中可以看出：李麗珊的平均積分及積分標(biāo)準(zhǔn)差都比其他選手的小，也就是說，在前7場比賽過程中，她的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定．盡管此時還有4場比賽沒有進(jìn)行，但這里我們可以假定每位運動員在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同(實際情況也確實如此)，因此可以把前7場比賽的成績看做是總體的一個樣本，并由此估計每位運動員最后的比賽的成績．從已經(jīng)結(jié)束的7場比賽的積分來看，李麗珊的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定，因此在后面的4場比賽中，我們有足夠的理由相信她會繼續(xù)保持優(yōu)異而穩(wěn)定的成績，獲得最后的冠軍．19．(本小題滿分12分)(2011·蘇州五中模擬)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,0≤y≤6))表示的區(qū)域為A，不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤6,x－y≥0))表示的區(qū)域為B，在區(qū)域A中任意取一點P(x，y)．(1)求點P落在區(qū)域B中的概率；(2)若x、y分別表示甲、乙兩人各擲一次正方體骰子所得的點數(shù)，求點P落在區(qū)域B中的概率．解：(1)設(shè)區(qū)域A中任意一點P(x，y)∈B為事件M.因為區(qū)域A的面積為S1＝36，區(qū)域B在區(qū)域A中的面積為S2＝18.故P(M)＝eq\f(18,36)＝eq\f(1,2).(2)設(shè)點P(x，y)落在區(qū)域B中為事件N，甲、乙兩人各擲一次骰子所得的點P(x，y)的個數(shù)為36，其中在區(qū)域B中的點P(x，y)有21個．故P(N)＝eq\f(21,36)＝eq\f(7,12).20．(本小題滿分12分)某中學(xué)部分學(xué)生參加全國高中數(shù)學(xué)競賽，取得了優(yōu)異成績，指導(dǎo)老師統(tǒng)計了所有參賽同學(xué)的成績(成績都為整數(shù)，試題滿分120分)，并且繪制了“頻率分布直方圖”(如圖)，請回答：(1)該中學(xué)參加本次數(shù)學(xué)競賽的有多少人？(2)如果90分以上(含90分)獲獎，那么獲獎率是多少？(3)這次競賽成績的中位數(shù)落在哪段內(nèi)？(4)上圖還提供了其他信息，請再寫出兩條．解：(1)由直方圖(如圖)可知：4＋6＋8＋7＋5＋2＝32(人)；(2)90分以上的人數(shù)為7＋5＋2＝14(人)，∴eq\f(14,32)×100%＝43.75%.(3)參賽同學(xué)共有32人，按成績排序后，第16個、第17個是最中間兩個，而第16個和第17個都落在80～90之間．∴這次競賽成績的中位數(shù)落在80～90之間．(4)①落在80～90段內(nèi)的人數(shù)最多，有8人；②參賽同學(xué)的成績均不低于60分．21．(本小題滿分12分)(2011·陜西)如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，據(jù)統(tǒng)計，通過兩條路徑所用的時間互不影響，所用時間落在各時間段內(nèi)的頻率如下表：時間(分鐘)10～2020～3030～4040～5050～60L1的頻率0.10.20.30.20.2L2的頻率00.10.40.40.1現(xiàn)甲、乙兩人分別用40分鐘和50分鐘時間用于趕往火車站．(1)為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，甲和乙應(yīng)如何選擇各自的路徑？(2)用X表示甲、乙兩人中在允許的時間內(nèi)能趕到火車站的人數(shù)，針對(1)的選擇方案，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：(1)Ai表示事件“甲選擇路徑Li時，40分鐘內(nèi)趕到火車站”．Bi表示事件“乙選擇路徑Li時，50分鐘內(nèi)趕到火車站”，i＝1,2.用頻率估計相應(yīng)的概率可得P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，∵P(A1)>P(A2)，∴甲應(yīng)選擇L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，∵P(B2)>P(B1)，∴乙應(yīng)選擇L2，(2)A，B分別表示針對(1)的選擇方案，甲、乙在各自允許的時間內(nèi)趕到火車站，由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由題意知，A，B獨立，∴P(X＝0)＝P(eq\x\to(AB))＝P(eq\x\to(A))P(eq\x\to(B))＝0.4×0.1＝0.04，P(X＝1)＝P(eq\x\to(A)B＋Aeq\x\to(B))＝P(eq\x\to(A))P(B)＋P(A)P(eq\x\to(B))＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54，∴X的分布列為X012P0.040.420.54∴E(X)＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.22．(本小題滿分14分)(2011·濰坊市高考適應(yīng)訓(xùn)練)2011年3月，日本發(fā)生了9.0級地震，地震引發(fā)了海嘯及核泄漏．某國際組織計劃派出12名心理專家和18名核專家赴日本工作，臨行前對這30名專家進(jìn)行了總分為1000分的綜合素質(zhì)測評，測評成績用莖葉圖進(jìn)行了記錄，如圖(單位：分)．規(guī)定測評成績在976分以上(包括976分)為“尖端專家”，測評成績在976分以下為“高級專家”，且只有核專家中的“尖端專家”才可以獨立開展工作．這些專家先飛抵日本的城市E，再分乘三輛汽車到達(dá)工作地點福島縣．已知從城市E到福島縣有三條公路，因地震破壞了道路，汽車可能受阻．據(jù)了解：汽車走公路Ⅰ或Ⅱ順利到達(dá)的概率都為eq\f(9,10)；走公路Ⅲ順利到達(dá)的概率為eq\f(2,5)，甲、乙、丙三輛車分別走公路Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，且三輛汽車是否順利到達(dá)相互之間沒有影響．(1)如果用分層抽樣的方法從“尖端專家”和“高級專家”中選取6人，再從這6人中選2人，那么至少有一人是“尖端專家”的概率是多少？(2)求至少有兩輛汽車順序到達(dá)福島縣的概率；(3)若從所有“尖端專家”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能獨立開展工作的人數(shù)，試寫出ξ的分布列，并求ξ的數(shù)學(xué)期望．解：(1)根據(jù)莖葉圖，有“尖端專家”10人，“高級專家”20人，每個人被抽中的概率是eq\f(6,30)＝eq\f(1,5)，所以用分層抽樣的方法，選出的“尖端專家”有10×eq\f(1,5)＝2人，“高級專家”有20×eq\f(1,5)＝4人．用事件A表示“至少有一名‘尖端專家’被選中”，則它的對立事件eq\x\to(A)，表示“沒有一名‘尖端專家’被選中”，則P(A)＝1－eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,6))＝1－eq\f(6,15)＝eq\f(3,5).因此，至少有一人是“尖端專家”的概率是eq\f(3,5).(2)記“汽車甲走公路Ⅰ順