課時作業(yè)-第1節(jié)-導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算

第1節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念及其意義、導(dǎo)數(shù)的運算知識點、方法基礎(chǔ)鞏固練綜合運用練應(yīng)用創(chuàng)新練導(dǎo)數(shù)的概念與運算1,2,911導(dǎo)數(shù)的幾何意義4,5,613,1416函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合3,7,8,1012151.(多選題)以下運算正確的是(BC)A.(1x)′=1x2 C.(2x)′=2xln2 D.(lgx)′=-1解析:對于A,由于(1x)′=-1x2,所以A不正確;對于B,由于(cosx)′=-sinx,所以B正確;對于C,由于(2x)′=2x2.(2021·廣東肇慶高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)=ex-1+xlnx,則f′(1)=(D)A.0 B.1 C.e D.2解析:因為f(x)=ex-1+xlnx,所以f′(x)=ex-1+1+lnx,所以f′(1)=e1-1+1+ln1=2.故選D.3.若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱,則f(x)的解析式可能為(C)A.f(x)=3cosx B.f(x)=x3+x2C.f(x)=1+sin2x D.f(x)=ex+x解析:A項中,f′(x)=-3sinx,是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱,不關(guān)于y軸對稱;B項中,f′(x)=3x2+2x=3(x+13)2-13,其圖象關(guān)于直線x=-f′(x)=ex+1,由指數(shù)函數(shù)的圖象可知該函數(shù)的圖象不關(guān)于y軸對稱.故選C.4.(2021·內(nèi)蒙古包頭高三聯(lián)考)若直線y=-2x+b為曲線y=x-ex的一條切線,則實數(shù)b的值是(D)A.ln3-3 B.3ln3+3C.ln3+3 D.3ln3-3解析:設(shè)切點為(x0,x0-ex0),由y=x-ex得y′=1-ex,所以1-ex0=-2,得5.(2021·湖南永州二模)曲線f(x)=2lnx在x=t處的切線l過原點,則l的方程是(A)A.2x-ey=0 B.2x+ey=0C.ex-2y=0 D.ex+2y=0解析:曲線f(x)=2lnx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=2x,設(shè)切點坐標(biāo)為(t,2lnt),因此切線l的斜率k=f′(t)=2t.又直線l過原點,所以k=2lnt-0t-6.(多選題)(2021·江蘇淮安高三聯(lián)考)若直線y=12A.f(x)=1x B.f(x)=xC.f(x)=sinx D.f(x)=ex解析:直線y=12x+b的斜率為k=1由f(x)=1x的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=-1由f(x)=x4的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=4x3,而4x3=12,解得x=1由f(x)=sinx的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=cosx,而cosx=12由f(x)=ex的導(dǎo)數(shù)為f′(x)=ex,而由ex=127.(2021·江蘇連云港高三聯(lián)考)定義方程f(x)=f′(x)的實數(shù)根x0叫做函數(shù)f(x)的“保值點”.如果函數(shù)g(x)=x與函數(shù)h(x)=ln(x+1)的“保值點”分別為α,β,那么α和β的大小關(guān)系是(B)A.α<β B.α>βC.α=β D.無法確定解析:由題可得g′(x)=1,h′(x)=1x+1,由“保值點”的定義可知α=1,ln(β+1)=記(x)=ln(x+1)-1x+1,則′(x)=1x+1+1x由(0)=-1<0,(1)=ln2-12=ln2-lne>0,因此0<β<1,所以α>β.故選B.8.(2021·江西吉安高三聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),且當(dāng)x<0時,f(x)=xeA.y=2ex-e B.y=-2ex-eC.y=2ex+3 D.y=-2ex+e解析:函數(shù)f(x)是定義域為R的奇函數(shù),當(dāng)x<0時,f(x)=xe設(shè)x>0,則-x<0,因此f(-x)=-xe-由函數(shù)f(x)是奇函數(shù)可知f(x)=-f(-x)=xex,即當(dāng)x>0時f(x)=x·ex,f′(x)=(x+1)·ex,又f(1)=e,k=f′(1)=2e.y=f(x)在點(1,f(1))處的切線方程為y=2ex-e.故選A.9.某堆雪在融化過程中,其體積V(單位:m3)與融化時間t(單位:h)近似滿足函數(shù)關(guān)系:V(t)=H(10-110t)3(H為常數(shù)),其圖象如圖所示.記此堆雪從融化開始到結(jié)束的平均融化速度為v(m3/h),那么t1,t2,t3,t4中,瞬時融化速度等于v(m3/h)的時刻是圖中的解析:v=V(100)-答案:t310.設(shè)函數(shù)f(x)=g(2x-1)+x2,曲線y=g(x)在點(1,g(1))處的切線方程為y=2x+1,則f′(1)=.

解析:把x=1代入y=2x+1,解得y=3,即g(1)=3,由y=2x+1的斜率為2,得到g′(1)=2.因為f′(x)=2g′(2x-1)+2x,所以f′(1)=2g′(1)+2=6.答案:611.(2021·江蘇徐州高三期末)假設(shè)某放射性同位素的衰變過程中,其含量P(單位:貝克)與時間t(單位:天)滿足函數(shù)關(guān)系P(t)=P02-t30,其中P0A.20天 B.30天 C.45天 D.60天解析:由P(t)=P02-t30得P′(t)=-130·P0·2-t30·-32ln210,解得P0=18,則P(t)=18當(dāng)該放射性同位素含量為4.5貝克時,即P(t)=4.5,所以18·2-t30=4.5,即2-t12.(多選題)若以函數(shù)y=f(x)的圖象上任意一點P(x1,y1)為切點作切線l1,y=f(x)圖象上總存在異于點P的點Q(x2,y2),使得以Q為切點的直線l2與l1平行,則稱函數(shù)f(x)為“美函數(shù)”,下面四個函數(shù)中是“美函數(shù)”的是(BC)A.y=x3-2xB.y=3x+1C.y=cosxD.y=(x-2)2+lnx解析:由題意可知函數(shù)是“美函數(shù)”的條件是方程y′=a(a是導(dǎo)數(shù)值)至少有兩個根.對于A,由y′=3x2-2,當(dāng)y′=-2時,x的取值只有0是唯一的,因此不符合題意;對于B,由y′=3-1x2=a(x≠0且a<3),即對于C,由y′=-sinx及其周期性可知-sinx=a(-1≤a≤1)的解有無窮多個,符合題意;對于D,由y′=2x-4+1x(x>0),令2x-4+1x=a,則有2x13.(2021·河北石家莊高三開學(xué)考試)函數(shù)f(x)=sin2x在原點(0,0)處的切線方程為,請你舉出與函數(shù)f(x)=sin2x在原點處具有相同切線的一個函數(shù):.

解析:由f(x)=sin2x得f′(x)=2cos2x,所以函數(shù)f(x)在原點(0,0)處的切線斜率為k=f′(0)=2,因此函數(shù)f(x)在原點(0,0)處的切線方程為y=2x,因為函數(shù)f(x)=sin2x在原點(0,0)處的導(dǎo)數(shù)值為2,所以所求函數(shù)可以是y=x2+2x,y′=2x+2,其在原點(0,0)處的切線方程為y=2x.答案:y=2xy=x2+2x(答案不唯一)14.(2021·安徽黃山一模)已知函數(shù)f(x)=x2+2,g(x)=lnx,若曲線y=f(x)與y=g(x)的公切線與曲線y=f(x)相切于點(x1,y1),則x1ln(2x1)=.

解析:設(shè)公切線與g(x)=lnx相切于點(x2,lnx2),由f′(x)=2x,g′(x)=1x則曲線y=f(x)在(x1,y1)處的切線方程為y-(x12+2)=2x1(x-x即y=2x1x-x1曲線y=g(x)在(x2,lnx2)處的切線方程為y=xx2+lnx所以2解得x12-ln(2x答案:315.在函數(shù)f(x)=alnx-(x-1)2的圖象上,橫坐標(biāo)在(1,2)內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1,則實數(shù)a的取值范圍是(C)A.[1,+∞) B.(1,+∞)C.[6,+∞) D.(6,+∞)解析:函數(shù)f(x)=alnx-(x-1)2,求導(dǎo)得f′(x)=ax由橫坐標(biāo)在區(qū)間(1,2)內(nèi)變化的點處的切線斜率均大于1,可得ax即有a>x(2x-1)=2x2-x對x∈(1,2)恒成立.令g(x)=2x2-x,對稱軸方程為x=1416.設(shè)點P,Q分別是曲線y=xe-x(e是自然對數(shù)的底數(shù))和直線y=x+3上的動點,則P,Q兩點間距離的最小值為(B)A