隨機(jī)變量與簡(jiǎn)易邏輯綜合測(cè)試題含答案

隨機(jī)變量與簡(jiǎn)易邏輯綜合測(cè)試題滿分120分一．選擇題(共5小題，每題5分)1.命題“若x2＜l，則﹣l＜x＜l”的逆否命題是（B）A．A．若﹣l＜x＜l，則x2＜1B．若x≥1或x≤﹣1，則x2≥1C.若x＞l或x＜﹣l，則x2＞1D．若x2≥l，則x≥1或x≤﹣l2.“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)”的(A)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件3.設(shè)兩個(gè)正態(tài)分布N（μ1，σ12）（σ1＞0）和N（μ2，σ22）（σ2＞0）曲線如圖所示，則有（D）A．μ1>μ2，σ1<σ2B．μ1＜μ2，σ1＜σ2C．μ1＞μ2，σ1＞σ2D．μ1<μ2，σ1>σ24.下列說(shuō)法正確的是(C)A．命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為：“若x2＝1，則x≠B．“x＝－1”是“x2－5x－6＝0C．命題“若a=0且b=0，則a2+b2=0”的否命題D．命題“若x＝y(tǒng)，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題5.給定兩個(gè)命題p，q，若p是q的必要而不充分條件，則p是q的(A)A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件二．填空題（共4小題，每小題5分）6.“|x﹣1|＜2”是“2x＜8”的_________________.（填;充分而不必要條件或必要而不充分條件或充要條件或既不充分也不必要條件）7.設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N（3，?2），若P（ξ＞m）=a，其中3<m<6，則P（ξ＞6﹣m）等于__________.1﹣a8.已知P：x2﹣4x﹣12≤0，q：m-1≤x≤m，若P是q的必要而不充分條件，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________.-1≤m≤69.某個(gè)部件由三個(gè)元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作，設(shè)三個(gè)電子元件的使用壽命（單位：小時(shí)）均服從正態(tài)分布N（1000，502），且各個(gè)元件能否正常相互獨(dú)立，那么該部件的使用壽命超過(guò)1000小時(shí)的概率為．三．解答題（共6小題，75分）10.（本小題滿分12分）甲、乙兩支排球隊(duì)進(jìn)行比賽，約定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束．除第五局甲隊(duì)獲勝的概率是eq\f(1,2)外，其余每局比賽甲隊(duì)獲勝的概率都是eq\f(2,3).假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立．(1)分別求甲隊(duì)以3∶0，3∶1，3∶2勝利的概率；(2)若比賽結(jié)果為3∶0或3∶1，則勝利方得3分、對(duì)方得0分；若比賽結(jié)果為3∶2，則勝利方得2分、對(duì)方得1分．求乙隊(duì)得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)記“甲隊(duì)以3∶0勝利”為事件A1，“甲隊(duì)以3∶1勝利”為事件A2，“甲隊(duì)以3∶2勝利”為事件A3，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，故P(A1)＝eq\f(2,3)3＝eq\f(8,27)，P(A2)＝Ceq\o\al(2,3)eq\f(2,3)21－eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(8,27)，P(A3)＝Ceq\o\al(2,4)eq\f(2,3)21－eq\f(2,3)2×eq\f(1,2)＝eq\f(4,27).所以，甲隊(duì)以3∶0勝利、以3∶1勝利的概率都為eq\f(8,27)，以3∶2勝利的概率為eq\f(4,27).(2)設(shè)“乙隊(duì)以3∶2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立，所以P(A4)＝Ceq\o\al(2,4)1－eq\f(2,3)2eq\f(2,3)2×1－eq\f(1,2)＝eq\f(4,27)，由題意，隨機(jī)變量X的所有可能的取值為0，1，2，3.根據(jù)事件的互斥性得P(X＝0)＝P(A1＋A2)＝P(A1)＋P(A2)＝eq\f(16,27).又P(X＝1)＝P(A3)＝eq\f(4,27).P(X＝2)＝P(A4)＝eq\f(4,27)，P(X＝3)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝2)＝eq\f(3,27)，故X的分布列為X0123Peq\f(16,27)eq\f(4,27)eq\f(4,27)eq\f(3,27)所以E(X)＝0×eq\f(16,27)＋1×eq\f(4,27)＋2×eq\f(4,27)＋3×eq\f(3,27)＝eq\f(7,9).11.（本小題滿分12分）一批產(chǎn)品需要進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)，檢驗(yàn)方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n.如果n＝3，再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取4件作檢驗(yàn)，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；如果n＝4.再?gòu)倪@批產(chǎn)品中任取1件作檢驗(yàn)；若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過(guò)檢驗(yàn)．假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的每件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為eq\f(1,2)，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨(dú)立．(1)求這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)的概率；(2)已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為100元，且抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗(yàn)，對(duì)這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗(yàn)所需的費(fèi)用記為X(單位：元)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．解：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A1，第一次取出的4件產(chǎn)品全是優(yōu)質(zhì)品為事件A2，第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件B1，第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件B2，這批產(chǎn)品通過(guò)檢驗(yàn)為事件A，依題意有A＝(A1B1)∪(A2B2)，且A1B1與A2B2互斥，所以P(A)＝P(A1B1)＋P(A2B2)＝P(A1)P(B1|A1)＋P(A2)P(B2|A2)＝eq\f(4,16)×eq\f(1,16)＋eq\f(1,16)×eq\f(1,2)＝eq\f(3,64).(2)X可能的取值為400，500，800，并且P(X＝400)＝1－eq\f(4,16)－eq\f(1,16)＝eq\f(11,16)，P(X＝500)＝eq\f(1,16)，P(X＝800)＝eq\f(1,4).所以X的分布列為X400500800Peq\f(11,16)eq\f(1,16)eq\f(1,4)E(X)＝400×eq\f(11,16)＋500×eq\f(1,16)＋800×eq\f(1,4)＝506.25.12.（本小題滿分12分）某聯(lián)歡晚會(huì)舉行抽獎(jiǎng)活動(dòng)，舉辦方設(shè)置了甲、乙兩種抽獎(jiǎng)方案，方案甲的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,3)，中獎(jiǎng)可以獲得2分；方案乙的中獎(jiǎng)率為eq\f(2,5)，中獎(jiǎng)可以獲得3分；未中獎(jiǎng)則不得分．每人有且只有一次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，每次抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)與否互不影響，晚會(huì)結(jié)束后憑分?jǐn)?shù)兌換獎(jiǎng)品．(1)若小明選擇方案甲抽獎(jiǎng)，小紅選擇方案乙抽獎(jiǎng)，記他們的累計(jì)得分為X，求X≤3的概率（提示用對(duì)立事件）；(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進(jìn)行抽獎(jiǎng)，問(wèn)：他們選擇何種方案抽獎(jiǎng)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大？解：方法一：(1)由已知得，小明中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,3)，小紅中獎(jiǎng)的概率為eq\f(2,5)，且兩人中獎(jiǎng)與否互不影響．記“這2人的累計(jì)得分X≤3”的事件為A，則事件A的對(duì)立事件為“X＝5”，因?yàn)镻(X＝5)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝eq\f(11,15)，即這兩人的累計(jì)得分X≤3的概率為eq\f(11,15).(2)設(shè)小明、小紅都選擇方案甲抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X1，都選擇方案乙抽獎(jiǎng)中獎(jiǎng)次數(shù)為X2，則這兩人選擇方案甲抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(2X1)，選擇方案乙抽獎(jiǎng)累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望為E(3X2)．由已知可得，X1～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,3)))，X2～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(2,5)))，所以E(X1)＝2×eq\f(2,3)＝eq\f(4,3)，E(X2)＝2×eq\f(2,5)＝eq\f(4,5)，從而E(2X1)＝2E(X1)＝eq\f(8,3)，E(3X2)＝3E(X2)＝eq\f(12,5).因?yàn)镋(2X1)>E(3X2)，所以他們都選擇方案甲進(jìn)行抽獎(jiǎng)時(shí)，累計(jì)得分的數(shù)學(xué)期望較大．13.（本小題滿分12分）在一場(chǎng)娛樂(lè)晚會(huì)上，有5位民間歌手(1至5號(hào))登臺(tái)演唱，由現(xiàn)場(chǎng)數(shù)百名觀眾投票選出最受歡迎歌手．各位觀眾須彼此獨(dú)立地在選票上選3名歌手，其中觀眾甲是1號(hào)歌手的歌迷，他必選1號(hào)，不選2號(hào)，另在3至5號(hào)中隨機(jī)選2名．觀眾乙和丙對(duì)5位歌手的演唱沒(méi)有偏愛(ài)，因此在1至5號(hào)中隨機(jī)選3名歌手．(1)求觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率；(2)X表示3號(hào)歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數(shù)之和，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．19．解：(1)設(shè)A表示事件“觀眾甲選中3號(hào)歌手”，B表示事件“觀眾乙選中3號(hào)歌手，”則P(A)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2),Ceq\o\al(2,3))＝eq\f(2,3)，P(B)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵事件A與B相互獨(dú)立，∴觀眾甲選中3號(hào)歌手且觀眾乙未選中3號(hào)歌手的概率為P(AB)＝P(A)·P(B)＝P(A)·[1－P(B)]＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,15).或P(AB)＝eq\f(Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,4),Ceq\o\al(2,3)·Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(4,15).(2)設(shè)C表示事件“觀眾丙選中3號(hào)歌手”．則P(C)＝eq\f(Ceq\o\al(2,4),Ceq\o\al(3,5))＝eq\f(3,5).∵X可能的取值為0，1，2，3，且取這些值的概率分別為P(X＝0)＝P(ABC)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＝eq\f(4,75).P(X＝1)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(20,75)，P(X＝2)＝P(ABC)＋P(ABC)＋P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,5)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(33,75)，P(X＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,5)×eq\f(3,5)＝eq\f(18,75).∴X的分布列為X0123Peq\f(4,75)eq\f(20,75)eq\f(33,75)eq\f(18,75)∴X的數(shù)學(xué)期望EX＝0×eq\f(4,75)＋1×eq\f(20,75)＋2×eq\f(33,75)＋3×eq\f(18,75)＝eq\f(140,75)＝eq\f(28,15).14.（本小題滿分13分）為振興旅游業(yè)，四川省2009年面向國(guó)內(nèi)發(fā)行總量為2000萬(wàn)張的熊貓優(yōu)惠卡，向省外人士發(fā)行的是熊貓金卡（簡(jiǎn)稱金卡），向省內(nèi)人士發(fā)行的是熊貓銀卡（簡(jiǎn)稱銀卡）。某旅游公司組織了一個(gè)有36名游客的旅游團(tuán)到四川名勝旅游，其中是省外游客，其余是省內(nèi)游客。在省外游客中有持金卡，在省內(nèi)游客中有持銀卡。（I）在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3名游客，求恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率；（II）在該團(tuán)的省內(nèi)游客中隨機(jī)采訪3名游客，設(shè)其中持銀卡人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列及數(shù)學(xué)期望。本小題主要考察相互獨(dú)立事件、互斥事件、隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望等概率計(jì)算，考察運(yùn)用概率只是解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解：（Ⅰ）由題意得，省外游客有27人，其中9人持金卡；省內(nèi)游客有9人，其中6人持銀卡。設(shè)事件為“采訪該團(tuán)3人中，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人”，事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，0人持銀卡”，事件為“采訪該團(tuán)3人中，1人持金卡，1人持銀卡”。所以在該團(tuán)中隨機(jī)采訪3人，恰有1人持金卡且持銀卡者少于2人的概率是?！?分（Ⅱ）的可能取值為0，1，2，3,，，所以的分布列為0123所以，……12分15.（本小題滿分14分）.已知5只動(dòng)物中有1只患有某種疾病，需要通過(guò)化驗(yàn)血液來(lái)確定患