中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)二次函數(shù)重難點練習(xí)專題24 二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題（解析版）

專題24二次函數(shù)與三角函數(shù)綜合問題1．（山東濱州中考）如圖①，拋物線與軸交于點，與軸交于點，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)90°，所得直線與軸交于點．（1）求直線的函數(shù)解析式；（2）如圖②，若點是直線上方拋物線上的一個動點①當(dāng)點到直線的距離最大時，求點的坐標(biāo)和最大距離；②當(dāng)點到直線的距離為時，求的值．【答案】（1）；（2）①當(dāng)點到直線的距離最大時，點的坐標(biāo)是，最大距離是；②的值是或．【分析】（1）根據(jù)已知條件可計算出點A、B、C的坐標(biāo)，再證明OA=OD，即可得D點的坐標(biāo)，因此可得AD所在直線的解析式.（2）①作軸交直線于點，設(shè)P點的橫坐標(biāo)為t,因為P在拋物線上因此可得縱坐標(biāo)為，因為N點在直線AD上因此可得N，根據(jù)三角函數(shù)可得PH的長度，再利用二次函數(shù)可得PH取最大值時t的值,進而計算出P點的坐標(biāo);②解二元一次方程即可得到t的值，再根據(jù)t的值計算即可.【詳解】解：（1）當(dāng)時，則點的坐標(biāo)為，當(dāng)時，，解得，，則點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，∴，∴，∵將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到直線，∴，∴，∴，∴，∴點的坐標(biāo)為，設(shè)直線的函數(shù)解析式為，得，即直線的函數(shù)解析式為；（2）作軸交直線于點，如圖①所示，設(shè)點的坐標(biāo)為，則點的坐標(biāo)為，∴，∴軸，∴軸，∴，作于點，則，∴，∴當(dāng)時，取得最大值，此時點P的坐標(biāo)為，即當(dāng)點到直線的距離最大時，點的坐標(biāo)是，最大距離是；②當(dāng)點到直線的距離為時，如圖②所示，則，解得：，則的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，則，∴；當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)為，則，∴；由上可得，的值是或．【點睛】本題是一道二次函數(shù)的綜合性題目，關(guān)鍵在于設(shè)P點的橫坐標(biāo)，最后將其轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)的最值問題，通過求解二次函數(shù)的最值問題來求解最短距離,難度系數(shù)較大，是一道特別好的題目，應(yīng)當(dāng)熟練的掌握.2．（湖北咸寧中考）如圖，直線y=﹣x+3與x軸交于點A，與y軸交于點B．拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A、B兩點，與x軸的另一個交點為C．（1）求拋物線的解析式；（2）點P是第一象限拋物線上的點，連接OP交直線AB于點Q．設(shè)點P的橫坐標(biāo)為m，PQ與OQ的比值為y，求y與m的關(guān)系式，并求出PQ與OQ的比值的最大值；（3）點D是拋物線對稱軸上的一動點，連接OD、CD，設(shè)△ODC外接圓的圓心為M，當(dāng)sin∠ODC的值最大時，求點M的坐標(biāo)．【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；（2）y=﹣m2+m，PQ與OQ的比值的最大值為；（3）點M的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．【詳解】【分析】（1）根據(jù)直線解析式求得點A、B的坐標(biāo)，將兩點的坐標(biāo)代入拋物線解析式求解可得；（2）過點P作y軸的平行線交AB于點E，據(jù)此知△PEQ∽△OBQ，根據(jù)對應(yīng)邊成比例得y=PE，由P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3）得PE=﹣m2+m，結(jié)合y=PE可得函數(shù)解析式，利用二次函數(shù)性質(zhì)得其最大值；（3）設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點N，知點M在CO的垂直平分線上，連接OM、CM、DM，根據(jù)∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD知sin∠ODC=sin∠OMN=，當(dāng)MD取最小值時，sin∠ODC最大，據(jù)此進一步求解可得．【詳解】（1）在y=﹣x+3中，令y=0得x=4，令x=0得y=3，∴點A（4，0）、B（0，3），把A（4，0）、B（0，3）代入y=﹣x2+bx+c，得：，解得：，∴拋物線解析式為y=﹣x2+x+3；（2）如圖1，過點P作y軸的平行線交AB于點E，則△PEQ∽△OBQ，∴，∵=y、OB=3，∴y=PE，∵P（m，﹣m2+m+3）、E（m，﹣m+3），則PE=（﹣m2+m+3）﹣（﹣m+3）=﹣m2+m，∴y=（﹣m2+m）=﹣m2+m=﹣（m﹣2）2+，∵0＜m＜3，∴當(dāng)m=2時，y最大值=，∴PQ與OQ的比值的最大值為；（3）如圖，由拋物線y=﹣x2+x+3易求C（﹣2，0），對稱軸為直線x=1，∵△ODC的外心為點M，∴點M在CO的垂直平分線上，設(shè)CO的垂直平分線與CO交于點N，連接OM、CM、DM，則∠ODC=∠CMO=∠OMN、MC=MO=MD，∴sin∠ODC=sin∠OMN=，又MO=MD，∴當(dāng)MD取最小值時，sin∠ODC最大，此時⊙M與直線x=1相切，MD=2，MN==，∴點M（﹣1，﹣），根據(jù)對稱性，另一點（﹣1，）也符合題意；綜上所述，點M的坐標(biāo)為（﹣1，）或（﹣1，﹣）．【點睛】本題考查了函數(shù)與幾何綜合題，涉及到待定系數(shù)法、相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的應(yīng)用、最值問題等，綜合性質(zhì)較強，有一定的難度，正確添加輔助線，利用數(shù)形結(jié)合思想、靈活應(yīng)用相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵.3．（2022·遼寧錦州·統(tǒng)考中考真題）如圖，拋物線交x軸于點和，交y軸于點C．(1)求拋物線的表達式；(2)D是直線上方拋物線上一動點，連接交于點N，當(dāng)?shù)闹底畲髸r，求點D的坐標(biāo)；(3)P為拋物線上一點，連接，過點P作交拋物線對稱軸于點Q，當(dāng)時，請直接寫出點P的橫坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)點P的橫坐標(biāo)為或或或【分析】（1）把點和代入解析式求解即可；（2）過點D作DH∥y軸，交AC于點H，由（1）設(shè)，直線AC的解析式為，然后可求出直線AC的解析式，則有，進而可得，最后根據(jù)可進行求解；（3）由題意可作出圖象，設(shè)，然后根據(jù)題意及k型相似可進行求解．【詳解】（1）解：把點和代入得：，解得：，∴拋物線的解析式為；（2）解：過點D作DH∥y軸，交AC于點H，如圖所示：設(shè)，直線AC的解析式為，由（1）可得：，∴，解得：，∴直線AC的解析式為，∴，∴，∵DH∥y軸，∴，∴，∵，∴當(dāng)時，的值最大，∴；（3）解：由題意可得如圖所示：分別過點C、Q作垂線，交過點P作y軸的平行線于點G、H，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，設(shè)點，由題意可知：拋物線的對稱軸為直線，，∴，∴，當(dāng)時，解得：，當(dāng)時，解得：綜上：點P的橫坐標(biāo)為或或或．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握二次函數(shù)的綜合、三角函數(shù)及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇無錫·統(tǒng)考中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數(shù)與y軸交于點，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點D在第一象限，根據(jù)點的坐標(biāo)寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應(yīng)點C的坐標(biāo)即可?！驹斀狻浚?）解：∵二次函數(shù)與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數(shù)對稱軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達式為．（2）解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時，，∴，，∴，∵在中，∴（3）解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標(biāo)為，∴此時，點C的坐標(biāo)為，如圖，當(dāng)點C、D關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標(biāo)為，當(dāng)點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標(biāo)為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標(biāo)為，綜上：點C的坐標(biāo)為，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．5．（2022·湖北黃岡·統(tǒng)考中考真題）拋物線y＝x2－4x與直線y＝x交于原點O和點B，與x軸交于另一點A，頂點為D．(1)直接寫出點B和點D的坐標(biāo)；(2)如圖1，連接OD，P為x軸上的動點，當(dāng)tan∠PDO＝時，求點P的坐標(biāo)；(3)如圖2，M是點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點，Q是拋物線上的動點，它的橫坐標(biāo)為m（0＜m＜5），連接MQ，BQ，MQ與直線OB交于點E．設(shè)△BEQ和△BEM的面積分別為S1和S2，求的最大值．【答案】(1)B（5,5），D（2,-4）；(2)，；(3)；【分析】（1）將兩函數(shù)解析式聯(lián)立可求得B點坐標(biāo)，將一般式轉(zhuǎn)換為頂點式可求出D點坐標(biāo)；（2）如圖所示，過D作DE⊥x軸與點E，則E（2,0），則tan∠EDO=，當(dāng)P在E上時，則滿足tan∠PDO＝，則，如圖所示，當(dāng)時，過D作于點G，由，可得OG=OE=2，DG=DE=4，設(shè)，則，，解出可得n的值進而可求出P的坐標(biāo)；（3）由題易得：M（-1,5），，直線MQ的解析式為：，令，解得，則，由BM=6，可知，，，則，求出此二次函數(shù)的最值即可．【詳解】（1）解：將y＝x2－4x與y＝x聯(lián)立得：x＝x2－4x，解得：x=5或x=0（舍去），將x=5代入y＝x得y=5，故B點坐標(biāo)為（5,5），將函數(shù)y＝x2－4x轉(zhuǎn)換為頂點式得，故頂點D為（2,-4），故B（5,5），D為（2,-4）；（2）如圖所示，過D作DE⊥x軸與點E，則E（2,0），則tan∠EDO=，當(dāng)P在E上時，則滿足tan∠PDO＝，則，如圖所示，當(dāng)時，過O作于點G，∵，∴OG=OE=2，DG=DE=4，設(shè)，則，則，則或n=0（舍去），則，則綜上所述，；（3）解：由題易得：M（-1,5），，則直線MQ的解析式為：，令，解得，∴，∵BM=6，∴，且，，∴，∵，函數(shù)開口向下，當(dāng)時，取最大值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合，三角函數(shù)，數(shù)形結(jié)合思想，能夠根據(jù)需要構(gòu)造適合的輔助線是解決本題的關(guān)鍵．6．（2022·四川南充·中考真題）拋物線與x軸分別交于點，與y軸交于點．(1)求拋物線的解析式．(2)如圖1，頂點P在拋物線上，如果面積為某值時，符合條件的點P有且只有三個，求點P的坐標(biāo)．(3)如圖2，點M在第二象限的拋物線上，點N在延長線上，，連接并延長到點D，使．交x軸于點E，與均為銳角，，求點M的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)（2，），（，）或（，）(3)（－4，）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解析式即可；（2）先根據(jù)題意判斷出三角形BCP面積為平行四邊形BCPQ面積的一半，得出當(dāng)P在直線BC下方的拋物線上時，面積取最大值時滿足題意，求出最大面積后得到直線BC下方的P點坐標(biāo)，再根據(jù)△BCP的面積求出BC上方P點坐標(biāo)即可；（3）過點N作NH⊥x軸，過D作DP⊥x軸，過M作MQ⊥x軸，根據(jù)平行線性質(zhì)求出MQ=PD，證明△MEQ≌△DEP，得PQ=2PE，設(shè)OP=x，用x表示出PB，PE的長度，再根據(jù)得出PB=2PE，代入求出x值，進而求得Q點坐標(biāo)及M點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵拋物線與x軸分別交于點，與y軸交于點，∴，解得：，即拋物線解析式為．（2）解：由題意知，三角形BCP面積為平行四邊形BCPQ面積的一半，設(shè)直線BC下方拋物線上有一點P，過P作平行于BC的直線l，作直線l關(guān)于BC對稱的直線MN，由圖知，直線MN與拋物線必有兩個交點，根據(jù)平行線間距離處處相等知，當(dāng)三角形BCP面積取最大值時即直線l與拋物線只有一個交點時，符合題意的P點只有三個，由B（4,0），C（0，-4）知直線BC解析式為：y=x-4，過P作PH⊥x軸于H，交BC于E，則S△BCP=S△PCE+S△PBE==2PE，設(shè)P（m，），則E（m，m-4），∴S△BCP==，∴當(dāng)m=2時，△BCP面積取最大值，最大值為，此時，直線BC下方拋物線上的P點坐標(biāo)為（2，），同理，設(shè)直線BC上方拋物線上P點橫坐標(biāo)為n，則：，解得：n=或n=，即P（，）或（，），綜上所述，滿足題意的P點坐標(biāo)為（2，），（，）或（，）．（3）解：過點N作NH⊥x軸，過D作DP⊥x軸，過M作MQ⊥x軸，垂足分別為H、P、Q，如圖所示，則NH∥PD∥MQ，∴，，∴PD=2HN，QM=2HN，即PD=QM，∵∠MEQ=∠PED，∴△MEQ≌△DEP，∴QE=PE，

設(shè)OP=x，則BP=4-x，PH=BH=，∴OH=OP+PH=x+=，OQ=2OH=4+x，PQ=4+2x，PE=2+x，∵，∴，即PB=2PE，∴4-x=2（2+x），解得：x=0，即P點為坐標(biāo)原點，D在y軸上，∴OQ=4，即Q（－4,0），∴M（－4,）．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)與三角形面積最值問題、平行線分線段成比例性質(zhì)、全等三角形證明等知識點，解題關(guān)鍵是利用平行線分線段成比例定理找出各線段間的關(guān)系．7．（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）已知：拋物線經(jīng)過，，三點．（1）求拋物線的解析式；（2）如圖1，點為直線上方拋物線上任意一點，連、、，交直線于點，設(shè)，求當(dāng)取最大值時點的坐標(biāo)，并求此時的值；（3）如圖2，點為拋物線對稱軸與軸的交點，點關(guān)于軸的對稱點為點．①求的周長及的值；②點是軸負半軸上的點，且滿足（為大于0的常數(shù)），求點的坐標(biāo)．【答案】（1）y=-x2+2x+3；（2）k=，P（，）；（3）①，；②（0，）或（0，）【分析】（1）運用待定系數(shù)法即可求得答案；（2）如圖1，過點作軸交直線于點，則，進而可得，再運用待定系數(shù)法求得直線的解析式為，設(shè)點，則，從而得出，再利用二次函數(shù)性質(zhì)即可得出答案；（3）①如圖2，過點作于點，則，利用配方法求得拋物線對稱軸為直線，得出，運用勾股定理即可求得的周長；再證明是等腰直角三角形，利用三角函數(shù)求得，，即可求得答案；②設(shè)，則，根據(jù)，求得、，再利用，求得，根據(jù)，可得，化簡得，解方程即可求得答案．【詳解】解：（1）拋物線經(jīng)過，，，設(shè)，將代入，得，解得：，，拋物線的解析式為；（2）如圖1，過點作軸交直線于點，，，，，，設(shè)直線的解析式為，，，，解得：，直線的解析式為，設(shè)點，則，，，當(dāng)時，取得最大值，此時，，；（3）①如圖2，過點作于點，則，，拋物線對稱軸為直線，，，，點關(guān)于軸的對稱點為點，，，，，，，的周長；在中，，，，，是等腰直角三角形，，，；②設(shè)，則，，，，，，，，，，，，即，，，，整理得，，，，，即，當(dāng)△，即時，，或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，勾股定理，兩點間距離公式，三角函數(shù)，等腰直角三角形性質(zhì)及判定，軸對稱性質(zhì)，二次函數(shù)圖象和性質(zhì)，解一元二次方程等知識，綜合性強，難度大，屬于中考數(shù)學(xué)壓軸題，解題關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造直角三角形，熟練運用勾股定理和三角函數(shù)定義解題．8．（遼寧