《直線的傾斜角與斜率（第1課時）》教學(xué)設(shè)計

高中數(shù)學(xué)精選資源2/22.1直線的傾斜角與斜率（第1課時）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1.內(nèi)容直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線的斜率公式.2.內(nèi)容解析直線的傾斜角和斜率分別從形和數(shù)刻畫了直線的方向：相對于x軸的傾斜程度，一點和傾斜角，或一點和斜率確定了平面直角坐標(biāo)系中直線的位置.過兩點的直線斜率公式把直線的傾斜角（方向或傾斜程度）與其上兩點的坐標(biāo)聯(lián)系起來，實現(xiàn)了對直線幾何特征的代數(shù)刻畫.它是解析幾何中的基本公式，是建立直線方程的基礎(chǔ).為了用代數(shù)方法研究直線的有關(guān)問題，首先需要探索在平面直角坐標(biāo)系中確定直線位置的幾何要素，然后用代數(shù)方法把這些幾何要素表示出來.通過一點和一個方向確定一條直線，引入直線傾斜角的概念刻畫直線的方向；進(jìn)而通過向量法，用直線上兩點的坐標(biāo)刻畫直線傾斜角的正切值，把它表示為這兩點縱橫坐標(biāo)的差商，引出直線斜率的概念；最后建立過兩點的直線的斜率公式，以及直線的斜率與其方向向量的關(guān)系.這一過程體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思想.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學(xué)重點：直線的傾斜角、斜率的概念，過兩點的直線斜率公式.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1.目標(biāo)（1）初步了解解析幾何的產(chǎn)生及其意義，初步認(rèn)識坐標(biāo)法思想.（2）理解直線的傾斜角與斜率的概念.（3）掌握過兩點的直線的斜率公式.2.目標(biāo)解析達(dá)成上述目標(biāo)的標(biāo)志是：（1）通過介紹章引言，學(xué)生能夠說出坐標(biāo)法的基本思想，知道笛卡兒、費馬是解析幾何的創(chuàng)立者，了解解析幾何在數(shù)學(xué)歷史發(fā)展中的作用.（2）通過對平面直角坐標(biāo)系中直線的分析，認(rèn)識一點和一個方向唯一確定一條直線.過同一點的直線的方向不同，其傾斜程度就不同，直線就不同；對于傾斜程度，可以用傾斜角刻畫，也可以用斜率（傾斜角的正切值）刻畫；進(jìn)一步，斜率可以用直線上兩點的坐標(biāo)定量刻畫.（3）能夠運用向量法，通過對過原點及其上一具體點、不過原點過兩個其他具體點，以及過任意兩點的直線傾斜角正切值的獲得過程，體會從特殊到一般，從具體到抽象的研究方法；建立直線傾斜角的正切值與直線上任意兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系，進(jìn)而獲得斜率的概念；經(jīng)歷上述用坐標(biāo)法刻畫直線斜率的過程，掌握過兩點的直線的斜率公式.三、教學(xué)問題診斷分析解析幾何的創(chuàng)立與對數(shù)的發(fā)明、微積分的建立被恩格斯并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就，其意義不言而喻.學(xué)生初次接觸解析幾何內(nèi)容，需要教師通過章引言的教學(xué)，讓他們了解解析幾何創(chuàng)立的背景、內(nèi)涵、思想方法，以及歷史意義，初步認(rèn)識坐標(biāo)法.在本節(jié)課的學(xué)習(xí)中，學(xué)生知道兩點確定一條直線，以及一點和一個方向確定一條直線，但對于如何把這種確定直線位置的幾何要素轉(zhuǎn)化為平面直角坐標(biāo)系中的代數(shù)刻畫存在困難.其中，將兩點確定一條直線歸結(jié)為一點和一個方向確定一條直線，以及把直線的方向轉(zhuǎn)化為直線的傾斜角，都是本節(jié)課的難點.教學(xué)中，要結(jié)合前面方向向量的學(xué)習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生將兩點確定一條直結(jié)為一點和一個方向確定一條直線；引導(dǎo)學(xué)生觀察過一點的不同直線的區(qū)別，幫助學(xué)生建立直線的方向和傾斜角之間的聯(lián)系.傾斜角是對直線傾斜程度的幾何度量，是個幾何量；而斜率公式中的縱橫坐標(biāo)的差商，是個代數(shù)量，是對直線傾斜程度的代數(shù)度量.建立兩者之間的關(guān)系，對于學(xué)生來說，也有一定的困難.教學(xué)中，要借助向量工具，通過從特殊到一般的過程，引導(dǎo)學(xué)生層層遞進(jìn)地理解用點的縱橫坐標(biāo)的差商刻畫直線傾斜角的方法，建立直線的斜率公式.四、教學(xué)過程設(shè)計1.章引言的教學(xué)引導(dǎo)語：十六、十七世紀(jì)，為了描述現(xiàn)實世界中的運動變化現(xiàn)象，如行星的運動、平面拋體的運動等，需要對它們的運動軌跡進(jìn)行精確的代數(shù)刻畫，運動變化進(jìn)入了數(shù)學(xué)，變量觀念成為數(shù)學(xué)中的重要理念.在眾多數(shù)學(xué)家工作的基礎(chǔ)上，法國數(shù)學(xué)家笛卡兒、費馬集其大成，創(chuàng)立了坐標(biāo)系，用坐標(biāo)刻畫運動變化.這是解析幾何的創(chuàng)始.我們知道，平面直角坐標(biāo)系中的點與有序?qū)崝?shù)對一一對應(yīng)，那么平面中的圖形和怎樣的代數(shù)對象對應(yīng)呢？從本章開始的解析幾何就要解決這個問題，把幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，實現(xiàn)通過代數(shù)運算來研究幾何圖形性質(zhì)的目的.問題1：回顧平面幾何的學(xué)習(xí)，我們主要研究了哪些類型的圖形？所用的研究方法是什么？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧平面幾何中的研究對象、研究方法的基礎(chǔ)上，指出本章要用坐標(biāo)法對這些對象進(jìn)行再研究，并說明坐標(biāo)法與綜合法的異同，特別要強調(diào)坐標(biāo)法實現(xiàn)了對圖形性質(zhì)的定量化研究.設(shè)計意圖：通過回顧，明確解析幾何學(xué)的研究對象，使學(xué)生對坐標(biāo)法形成初步印象，并引出本節(jié)的研究內(nèi)容.2.用傾斜角刻畫直線的位置問題2：直線是最簡單的幾何圖形之一，確定一條直線的幾何要素是什么？師生活動：學(xué)生獨立思考并回答.學(xué)生的最常見的回答是“兩點確定一條直線”.追問：還有沒有其他確定一條直線的方法？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生思考，得出一點和一個方向也能確定一條直線，并把兩點確定一條直線歸結(jié)為一點和一個方向確定一條直線.設(shè)計意圖：引導(dǎo)學(xué)生在兩點確定一條直線的基礎(chǔ)上，認(rèn)識到“一點和一個方向”也可以唯一確定一條直線，方向是直線的一個重要幾何要素.問題3：下面我們利用直角坐標(biāo)系進(jìn)一步研究確定直線位置的幾何要素.觀察圖1中經(jīng)過定點P的直線束，它們的區(qū)別是什么？你能利用直角坐標(biāo)系中的一些元素將這些直線區(qū)分開來嗎？師生活動：學(xué)生可能會指出這些直線的區(qū)別在于它們的方向不同，也可能會說這些直線與x軸所成的角不同.在學(xué)生充分討論的基礎(chǔ)上，教師可以引導(dǎo)學(xué)生思考，以平面直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸為基準(zhǔn)規(guī)定直線的方向，并用直線與x軸形成的角刻畫直線的方向，在此基礎(chǔ)上引入傾斜角的概念.在上述探究過程中，學(xué)生的第一反應(yīng)是與x軸的夾角.教師要做好引導(dǎo)，說明方向與夾角之間的關(guān)系，兩者都描述了直線的傾斜程度.設(shè)計意圖：讓學(xué)生通過觀察過同一點的不同位置的直線，并強調(diào)以直角坐標(biāo)系為參照系，探究區(qū)分不同位置直線的方法，引導(dǎo)學(xué)生感受在直角坐標(biāo)系中利用傾斜角刻畫直線方向的合理性.問題4：你認(rèn)為直線的傾斜角在什么范圍內(nèi)變化？師生活動：教師可以通過信息技術(shù)演示直線l從與x軸平行或重合時開始繞一個點旋轉(zhuǎn)的過程，讓學(xué)生感受直線的傾斜角的變化范圍是0≤α<180°，使學(xué)生確認(rèn)0°≤α<180°設(shè)計意圖：借助信息技術(shù)的直觀，引導(dǎo)學(xué)生討論在直角坐標(biāo)系中直線的傾斜角取值的各種情況，進(jìn)一步確認(rèn)用傾斜角刻畫一條直線傾斜程度的合理性.3.推導(dǎo)直線的斜率公式題5：直線l的傾斜角刻畫了它的傾斜程度，是否還能用其他方法刻畫直線的傾斜程度呢？我們知道，直線l可由其上任意兩點（其中）唯一確定，可以推斷，直線l的傾斜角一定與，兩點的坐標(biāo)有內(nèi)在聯(lián)系.到底具有怎樣的聯(lián)系？下面我們利用向量來研究這個問題.（1）已知直線l經(jīng)過兩點，直線l的傾斜角α與O，P兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？（2）如果直線l經(jīng)過兩點，直線l的傾斜角α與兩點的坐標(biāo)有什么關(guān)系？師生活動：教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生體會向量法的優(yōu)勢，以及為什么要用正切函數(shù)來建立角α與給定兩點坐標(biāo)之間的聯(lián)系（作為比較，必要時可以引導(dǎo)學(xué)生分析用正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的弊端）.追問：你能將上述方法進(jìn)行一般性的推廣嗎？師生活動：學(xué)生通過獨立思考，將問題推廣到一般情形，并自主探究解答.當(dāng)?shù)姆较虿煌瑫r，教師要引導(dǎo)學(xué)生討論傾斜角與兩點坐標(biāo)的關(guān)系，得到計算公式后追問下面的問題.問題6：這個公式對任何給定的兩點都適用嗎？這個公式的意義是什么？與我們?nèi)粘Ｉ钪锌坍嬓泵鎯A斜程度的坡度有聯(lián)系嗎？師生活動：學(xué)生在觀察與分析中能發(fā)現(xiàn)公式對垂直于x軸的直線不適用，其他都適用；并能在討論交流中認(rèn)識到該公式是通過點的坐標(biāo)刻畫傾斜角，也就是直線的方向，這正是我們最希望得到的一個量用點的坐標(biāo)表示直線的方向.從而引導(dǎo)學(xué)生將其命名為斜率（顧名思義，就是傾斜程度的一個比值），并用字母k表示它，即.最后引導(dǎo)學(xué)生回憶日常生活中坡度的計算方法：坡度=鉛直高度水平寬度，感知直線的斜率與坡度有相似的地方.設(shè)計意圖：通過對特殊問題一般化的抽象得到傾斜角的正切值，即斜率的計算公式，并通過師生對該公式意義的分析，發(fā)現(xiàn)它正是我們尋求的刻畫直線方向的代數(shù)表達(dá)，這種形式能直接參與代數(shù)運算，實現(xiàn)用代數(shù)方法處理幾何問題的目的.問題7：當(dāng)直線的傾斜角變化時，直線的斜率如何變化？當(dāng)直線的傾斜角是0°或90°時，直線的斜率是多少？師生活動：引導(dǎo)學(xué)生通過正切函數(shù)的概念以及單調(diào)性回答，可以畫出正切函數(shù)的圖象，幫助學(xué)生理解其中的變化情況和特殊點的取值.設(shè)計意圖：結(jié)合正切函數(shù)的概念及其單調(diào)性，幫助學(xué)生認(rèn)識隨著傾斜角的變化，斜率的變化情況，理解其中斜率不存在的情況，使得學(xué)生對傾斜角和斜率的概念有更清晰的認(rèn)識.4.直線的方向向量與斜率問題8：你能發(fā)現(xiàn)直線的方向向量與斜率之間的關(guān)系嗎？師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生建立直線的方向向量與其斜率之間的關(guān)系，利用直線的方向向量得到：如果直線的一個方向向量為，則它的斜率.設(shè)計意圖：利用斜率公式和直線的方向向量的坐標(biāo)表示，建立二者之間的聯(lián)系，為今后相關(guān)問題的解決奠定基礎(chǔ).5.鞏固應(yīng)用所學(xué)知識例1如圖2，已知，求直線AB，BC，思考題（視學(xué)情備選）：直線l過點，且與以為端點的線段PQ有公共點.（1）直線l傾斜角的取值范圍是__________,（2）直線l斜率的取值范圍是__________.師生活動：例1由學(xué)生自己完成，可以請一位同學(xué)上講臺板書解題過程；思考題為備選題，視學(xué)生學(xué)情而定，可以師生共同分析完成.設(shè)計意圖：通過例1幫助學(xué)生鞏固掌握斜率公式，熟悉斜率大小與傾斜角的關(guān)系；思考題是為基礎(chǔ)比較好的班級學(xué)生設(shè)計的，也可以留作學(xué)生課后思考討論.6.課堂小結(jié)，布置作業(yè)課堂小結(jié)：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所學(xué)知識，并讓學(xué)生對本節(jié)課的研究對象與結(jié)論、研究的基本思路與思想進(jìn)行梳理.師生活動：教師提出問題，先由學(xué)生梳理，其他同學(xué)補充，師生再一起整理出本節(jié)課研究問題的基本流程框圖.教師再結(jié)合框圖，總結(jié)本節(jié)課蘊含的主要數(shù)學(xué)思想方法：類比聯(lián)想、分類討論、坐標(biāo)法、數(shù)形結(jié)合思想.設(shè)計意圖：通過對本節(jié)課所學(xué)知識，特別是研究過程的梳理，培養(yǎng)學(xué)生反思與整理的意識與習(xí)慣，讓學(xué)生了解解析幾何的起源與坐標(biāo)法思想，對傾斜角、斜率兩個概念的發(fā)現(xiàn)探究的過程與方法有清晰的認(rèn)識.布置作業(yè)教科書習(xí)題2.1第1，2，3，4，7，8題.五、目標(biāo)檢測設(shè)計1.如圖，若直線的斜率分別是，則().設(shè)計意圖：考查學(xué)生對直線方向與斜率大小關(guān)系的