湖南省名校聯(lián)考聯(lián)合體2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（A卷）【含答案解析】

2024年高二第一學(xué)期期末質(zhì)量檢測考試數(shù)學(xué)（A卷）（考試范圍：必修一、二，選擇性必修一、二）時(shí)量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意解集合A，根據(jù)一元二次不等式的解法解集合B，結(jié)合交集的概念與運(yùn)算即可求解.【詳解】集合，或，則.故選：C.2.下列運(yùn)算正確的是（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)根式的運(yùn)算判斷A；根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算判斷B；根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算以及定義判斷CD.【詳解】對于A：根據(jù)根式的運(yùn)算可得，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B正確；對于C：，故C錯(cuò)誤；對于D：真數(shù)大于0，則D錯(cuò)誤；故選：B3.在中，角，，所對的邊分別為，，，為的面積，若，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】將三角形的面積，及，代入條件計(jì)算即可.【詳解】將代入已知條件，得到，則，則，則.故選：B4.在下列函數(shù)中，周期為的函數(shù)是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等變換、結(jié)合正余弦函數(shù)及正切函數(shù)的周期逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對于A，，周期為，A不是；對于B，，周期為，B不是；對于C，，周期為，C是；對于D，，周期為,D不是.故選：C5.有一道數(shù)學(xué)難題，學(xué)生甲解出的概率為，學(xué)生乙解出的概率為，學(xué)生丙解出的概率為，若甲、乙、丙三人獨(dú)立去解答此題，則（）A.三人都解出的概率為 B.沒有人能解出的概率為C.恰有一人解出的概率為 D.恰有兩人解出的概率為【答案】D【解析】【分析】利用獨(dú)立事件的乘法公式、互斥事件的加法公式，求各選項(xiàng)對應(yīng)事件的概率即可.【詳解】對A，三人都解出的概率為，故A錯(cuò)誤；對B，沒有人能解出概率為，故B錯(cuò)誤；對C，恰有一人解出的概率為，故C錯(cuò)誤；對D，恰有兩人解出的概率為，故D正確.故選：D.6.在正四棱臺中，，，，則（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量法求.【詳解】在正四棱臺中，過點(diǎn)向作垂線，垂足為點(diǎn)，則，所以，.故選：A7.已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列滿足：，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，若對于任意的實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式求出公比，進(jìn)而求得，則，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求和可得，進(jìn)而根據(jù)不等式恒成立的問題計(jì)算即可求解.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易知，由題意可得，解得，則，，所以，則，所以原不等式可轉(zhuǎn)化為對任意的實(shí)數(shù)恒成立，即恒成立，解得.故選：D.8.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：已知平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，及動(dòng)點(diǎn)，若（且），則點(diǎn)的軌跡是圓.后來人們將這個(gè)圓以他的名字命名，稱為阿波羅尼斯圓（簡稱“阿氏圓”）.在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，直線：，直線：，若為，的交點(diǎn)，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知可得，則點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)、點(diǎn)，得到的軌跡方程為，由阿氏圓性質(zhì)找到點(diǎn)，將轉(zhuǎn)化為，問題轉(zhuǎn)化為求解到兩定點(diǎn)距離之和最小即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，：，：，此時(shí)交點(diǎn)為；當(dāng)時(shí)，由直線：，斜率為，由直線：，斜率為，，又：，直線恒過，：，直線恒過，若為，的交點(diǎn)，則，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)、點(diǎn).綜合以上兩種情況，點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，除去點(diǎn)，則圓心為的中點(diǎn)，圓的半徑為，故的軌跡方程為，即，又，，易知，在該圓內(nèi)，又由題意可知圓上一點(diǎn)滿足，取，則，滿足.下面證明任意一點(diǎn)都滿足，即，，又，，，又，，如圖，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線，且位于，之間時(shí)，等號成立，即的最小值為.故選：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用阿氏圓的定義取點(diǎn)，構(gòu)造，轉(zhuǎn)化線段和結(jié)合三角形三邊關(guān)系計(jì)算即可.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為曲線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.到直線的距離的最小值為1C.的最小值為D.存在一個(gè)定點(diǎn)和一條定直線，使得到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離【答案】ACD【解析】【分析】由得，可知其圖象為拋物線的上半部分，故D正確，由拋物線的焦半徑公式可判斷A正確，選項(xiàng)C可轉(zhuǎn)化為到焦點(diǎn)與的距離和，進(jìn)而可知其最小值為到準(zhǔn)線的距離，選項(xiàng)B由點(diǎn)到直線的距離公式，結(jié)合的取值范圍可得.【詳解】選項(xiàng)A：由得，其圖象為拋物線的上半部分，焦點(diǎn)為，為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，故，故A正確；選項(xiàng)B：到直線的距離為，又，故，故，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：即為到焦點(diǎn)與的距離和，由拋物線的定義可知，其最小值為到準(zhǔn)線的距離，即為，故C正確；選項(xiàng)D：由拋物線的定義可判斷到與直線的距離相等，故D正確，故選：ACD.10.如圖，菱形的邊長為2，，為邊的中點(diǎn)，將沿折起，折疊后點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為，使得平面平面，連接，，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)到平面的距離為B.與所成角的余弦值為C.三棱錐的外接球的體積為D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，從而建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，根據(jù)點(diǎn)面距離公式求解A，根據(jù)向量的夾角公式求解BD，根據(jù)外接球的性質(zhì)求解半徑，即可根據(jù)體積公式求解C.【詳解】因?yàn)榱庑沃?，為的中點(diǎn)，所以，即將沿折起后，，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，則，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，.對于A，設(shè)平面的法向量為，則取，得，所以點(diǎn)到平面的距離為，A正確；對于B，與所成角的余弦值為，B正確；對于C，取的中點(diǎn)為，則，所以為三棱錐的外接球球心，，C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)直線與平面所成的角為，則，D正確.故選:ABD11.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的最小值為B.若的最小值為，且，則（參考）C.若，則D.若有兩根，則的取值范圍為【答案】BC【解析】【分析】對于A項(xiàng)：應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再研究最值即可求得；對于B項(xiàng)：最小值為，即，可構(gòu)造函數(shù)，應(yīng)用零點(diǎn)存在定理證求解即可；對于C項(xiàng)：分類討論當(dāng)，，時(shí)，gx=ex?eax?a(x>a)的最小值即可；對于D項(xiàng)：由有兩根可等價(jià)轉(zhuǎn)化為有兩根，構(gòu)造函數(shù)求其最值即可.【詳解】對于A項(xiàng)：因?yàn)楹瘮?shù)fx=e所以，由f′x=e所以上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以A錯(cuò)誤；對于B項(xiàng)：由上推理可知當(dāng)時(shí)，，所以.設(shè)函數(shù)，則，所以函數(shù)在單調(diào)遞增.又因?yàn)?，，所以，則，所以，故B正確；對于C項(xiàng)：因?yàn)間x所以，令，則φ′x=則函數(shù)在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以，若，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以；若，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以gx若，當(dāng)時(shí)，，設(shè)kx=ex所以kx所以ka又因?yàn)?，所以gx?e>0對于D項(xiàng)：因?yàn)橛袃筛?，即有兩?令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；且當(dāng)，時(shí)，.所以，所以有兩根只需，故D錯(cuò)誤；故選：BC.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：在C項(xiàng)推理中，若，只需證明，因此可構(gòu)造函數(shù)kx=ex?ex(x>1)，只需證明當(dāng)時(shí)，三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，則______.【答案】##0.5【解析】【分析】運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由.故答案為：.13.曲線在處的切線方程為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解.【詳解】，則，，故所求切線方程為，即.故答案為：14.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)，，，為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，為線段靠近原點(diǎn)處的三等分點(diǎn)，若點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)恰好在橢圓上，則該橢圓的離心率為______.【答案】或【解析】【分析】求出直線的方程以及直線的方程，聯(lián)立求出兩線交點(diǎn)坐標(biāo)，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程，化簡可得或，進(jìn)而可求該橢圓的離心率.【詳解】因?yàn)闉榫€段靠近原點(diǎn)處的三等分點(diǎn)，所以，由截距式方程可得直線的方程為，即①點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，所以直線的斜率為，由斜截式方程可得直線的方程為②，①②聯(lián)立解得兩線交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)镹是線段的中點(diǎn)，又，所以，即點(diǎn)，因?yàn)镸在橢圓上，代入橢圓方程：化簡可得，解得或，所以或.故答案為：或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓離心率的常見方法，1，直接求出的值求離心率；2，先得到的方程，再根據(jù)齊次式求解；3.先求的值，再求離心率.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為，，.（1）求的面積；（2）求的外接圓的方程，并求這個(gè)圓的圓心坐標(biāo)和半徑.【答案】（1）1（2），圓心坐標(biāo)是，半徑為【解析】【分析】（1）運(yùn)用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算，求出邊所在直線的方程，再用點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算高，最后算出面積即可；（2）設(shè)圓的方程為，運(yùn)用待定系數(shù)法，代入點(diǎn)計(jì)算即可.【小問1詳解】，邊所在直線的方程為，即，點(diǎn)到直線：距離為，所以.【小問2詳解】設(shè)圓的方程為，由題意得，，，所求圓的方程為，即，所求圓圓心坐標(biāo)是，半徑.16.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍．【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.（2）【解析】【分析】（1）求該函數(shù)的定義域，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；（2）分離參數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出的大致圖像，進(jìn)而由與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)結(jié)合圖像得出所求范圍.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，即，解?當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.【小問2詳解】由題意在上有兩個(gè)不同的根.可化為，令，則問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).,令，則，.當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則，函數(shù)在上單調(diào)遞減；所以在處取得極大值，也是最大值，，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，的增長速度遠(yuǎn)慢于的增長速度，所以.因?yàn)榕c的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以.綜上，的取值范圍為.17.如圖，在三棱柱中，底面是邊長為2的等邊三角形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點(diǎn)為，連接，，易知四邊形為正方形，得到，再根據(jù)全等三角形得到，進(jìn)而得到，最后用線面垂直判定得到平面，進(jìn)而得到面面垂直即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出關(guān)鍵點(diǎn)坐標(biāo)和法向量坐標(biāo)，結(jié)合向量夾角余弦公式計(jì)算即可.【小問1詳解】如圖，取的中點(diǎn)為，連接，，設(shè)，連接，易知四邊形為正方形，，，，，，為的中點(diǎn)，，因?yàn)椋?，平面，平面，又平面，平面平?【小問2詳解】易知，又，，，平面，平面，如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則取得，設(shè)平面的法向量為，則取，得，設(shè)平面與平面所成的角為，則，故平面與平面夾角的余弦值為.18.已知雙曲線與直線：有唯一的公共點(diǎn)，過點(diǎn)且與垂直的直線分別交軸、軸于，兩點(diǎn).（1）求直線的方程（用，表示）；（2）當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)（的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)，的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)）的軌跡的方程；（3）已知點(diǎn)，若直線不過點(diǎn)且與曲線相交于兩點(diǎn)，并且有，問是否存在直線使得的面積為72？若存在，求出此時(shí)直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）（2），（3）存在，或或【解析】【分析】（1）由題意，可知直線與雙曲線相切于點(diǎn)，利用推得，將直線與雙曲線方程聯(lián)立求得點(diǎn)坐標(biāo)，即可寫出直線的方程；（2）由（1）結(jié)論，易求得，取，（），結(jié)合，消去，即得點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)直線的方程為，，將直線與雙曲線方程聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，由推出，即得直線經(jīng)過定點(diǎn)，由的面積求得或，即得直線的方程.【小問1詳解】將代入，整理得，因?yàn)椋请p曲線與直線的唯一公共點(diǎn)，所以，即（*），解得，代入，解得：，即，將（*）代入，即得，其中，所以過點(diǎn)且與直線垂直的直線的方程為，即.【小問2詳解】由（1）已得直線的方程為，分別令即得：，令即得：，所以，即，（），又，故有.即點(diǎn)的軌跡的方程，其中.【小問3詳解】易知直線的斜率不為0（若直線的斜率為0，易知，與題設(shè)條件矛盾），如圖，設(shè)直線的方程為，，，則由得，其中，則，，由，，可得，即，也即，故，整理得：，將，代入上式化簡得：，解得，（因直線不過點(diǎn)，故舍去），則直線的方程為，故經(jīng)過定點(diǎn)，此時(shí)，，則可得的面積：，化簡得：，解得或，故所求直線的方程為或或.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查探求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程和直線過定點(diǎn)問題，屬于難題.對于求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方法，主要有：（1）直接法：利用題設(shè)等式化簡或滿足圓錐曲線的定義條件時(shí)常用；（2）相關(guān)點(diǎn)法：利用動(dòng)點(diǎn)與相關(guān)點(diǎn)（在固定的曲線上）的數(shù)量關(guān)系求解；（3）消參法：利用動(dòng)點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)滿足的關(guān)系式，通過消去參數(shù)求得.19.若正整數(shù)數(shù)列滿足：對任意的，都有恒成立，則稱數(shù)列為“差增數(shù)列”.（1）若1，，，8為“差增數(shù)列”，寫出所有可能的，；（2）若“差增數(shù)列”滿足：，，求的最大值；（3）對所有可能的“差增數(shù)列”，記（表示數(shù)集中的最大值），求的最小值.【答案】（1）或或或（2）65（3）511567【解析】【分析】（1）根據(jù)“差增數(shù)列”的定義可列不等式，結(jié)合正整數(shù)解，即可得解，（2）利用迭代法可得，進(jìn)而得，即可結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，代值求解，（3）根據(jù)可得，又結(jié)合取值得求解.【小問1詳解】依題意，因?yàn)?/p>