圖形學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)曲線省公開課一等獎(jiǎng)全國示范課微課金獎(jiǎng)?wù)n件

圖形學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)－參數(shù)曲線基礎(chǔ)知識第1頁參數(shù)曲線基本知識表示方法屬性連續(xù)性第2頁曲線表示方法顯式表示：隱式表示：參數(shù)表示：更強(qiáng)控制能力更靈活方便變換及表示第3頁參數(shù)曲線基本概念假設(shè)參數(shù)曲線表示為第4頁曲線上一點(diǎn)處切矢量（1）用以表示曲線上位置矢量大小、方向改變)(ttPD+rrPt()圖1切矢量表示位置矢量改變第5頁曲線上一點(diǎn)處切矢量（2）表示t處位置矢量它方向指向參數(shù)增加方向(曲線正向)該點(diǎn)處切矢量表示為：第6頁曲線上一點(diǎn)處切矢量（3）參數(shù)變換條件下曲線上點(diǎn)切矢量：參數(shù)變換方程：參數(shù)曲線新方程：切矢量表示式：切矢量方向保持不變第7頁正則曲線與自然參數(shù)（1）正則曲線：全部點(diǎn)都是正則點(diǎn)曲線。正則曲線與參數(shù)選取無關(guān)參數(shù)表示方程與參數(shù)選取相關(guān)自然參數(shù)：弧長參數(shù)以弧長為參數(shù)曲線光順性好常采取曲線自然參數(shù)（弧長參數(shù)）來定義曲線。第8頁正則曲線與自然參數(shù)（2）對于正則曲線由弧長函數(shù)反函數(shù)：可得到曲線自然參數(shù)方程：第9頁正則曲線與自然參數(shù)（3）定理：自然參數(shù)曲線切矢量滿足：證實(shí)：除尤其申明外通常討論正則曲線并采取弧長參數(shù)定義曲線。以弧長為參數(shù)曲線若非正則，則畸形。第10頁曲線上一點(diǎn)處主法向量（1）記號自然參數(shù)曲線：任一點(diǎn)處單位切矢量為沿該方向過該點(diǎn)直線稱為該點(diǎn)處主法線定義--衡量曲線彎曲程度？第11頁曲線上一點(diǎn)處曲率曲率可衡量曲線彎曲程度—單位切矢對弧長轉(zhuǎn)動(dòng)率如圖所表示第12頁曲率半徑直線特征：曲率處處為0；圓特征：曲率半徑處處相等第13頁曲線上一點(diǎn)處主法向量（2）定理：主法向量與切矢量正交。證實(shí)：第14頁曲線上一點(diǎn)處從法向量沿該方向過該點(diǎn)直線稱為從法線。第15頁Frent活動(dòng)標(biāo)架第16頁問題：切矢量(垂直于法平面)改變快慢反應(yīng)了曲線彎曲程度問題：從法向量(垂直于親密平面)改變反應(yīng)了曲線何種屬性?第17頁預(yù)備定理定理：證實(shí)：第18頁曲線在一點(diǎn)處撓率含義：從法向量方向?qū)￠L改變率--反應(yīng)曲線扭曲程度。該值大于、小于、等于0分別對應(yīng)右旋、左旋和平面曲線。第19頁曲線幾何不變量（1）曲率和撓率：因與曲線參數(shù)和空間直角坐標(biāo)系選取都無關(guān)，而稱其為曲線幾何不變量。曲線基本定理：

假如兩條曲線在弧長參數(shù)相同點(diǎn)處含有相同曲率和撓率，那么這兩條曲線經(jīng)過旋轉(zhuǎn)和平移運(yùn)動(dòng)后一定會重合。曲線自然方程：第20頁曲線幾何不變量（2）在任意參數(shù)條件下曲率、撓率分別為：第21頁曲線連續(xù)性參數(shù)連續(xù)：函數(shù)可微幾何連續(xù)：曲