《MATLAB基礎(chǔ)與編程入門》課件-第2章 矩陣和數(shù)組

2.1向量、矩陣和數(shù)組的基本概念2.2創(chuàng)建向量2.3創(chuàng)建矩陣2.4索引2.5基本運(yùn)算2.6稀疏矩陣2.7多維數(shù)組2.1向量、矩陣和數(shù)組的基本概念完整的計(jì)算機(jī)編程語言需要提供對(duì)數(shù)據(jù)的描述方法和操作能力。MATLAB應(yīng)用軟件中包含了一種結(jié)構(gòu)化高級(jí)編程語言—M語言，同樣提供了對(duì)各種類型數(shù)據(jù)的描述方法和操作能力。最常用的數(shù)據(jù)類型表現(xiàn)手段和形式就是變量和常量。由于MATLAB是一種以數(shù)值計(jì)算為主要功能的應(yīng)用軟件，因此M語言的基本處理單位是數(shù)值矩陣或者數(shù)值向量。從編程語言——M語言的角度看，也可以統(tǒng)一將矩陣或者向量稱為數(shù)組。因此掌握一些基本的矩陣和向量、數(shù)組操作知識(shí)也是掌握MATLAB軟件應(yīng)用的基礎(chǔ)。1.變量和常量變量和常量是高級(jí)編程語言中數(shù)據(jù)類型的表現(xiàn)手段和形式，所以從M語言的角度而言，掌握變量和常量的概念也是掌握M語言編程的基礎(chǔ)。所謂變量，就是指在程序運(yùn)行過程中需要改變數(shù)值的量。每個(gè)變量都具有特定的名字，變量將在內(nèi)存中占據(jù)一定的空間，以便在程序運(yùn)行過程中保存其數(shù)值。M語言和C語言類似，對(duì)變量的命名有相應(yīng)的要求：變量必須以字母開頭，后面可以是字母、數(shù)字、下畫線或者它們的組合。盡管在編寫程序的時(shí)候可以使用任意數(shù)量的字符表示變量名，但是MATLAB僅僅識(shí)別前面的N個(gè)，在不同的操作系統(tǒng)下可以識(shí)別的字符個(gè)數(shù)不盡相同，可以使用命令namelengthmax函數(shù)察看相應(yīng)的規(guī)定。所謂常量，就是在程序運(yùn)行過程中不需要改變數(shù)值的量。M語言中的常量不像C語言中的常量。一般地，在M語言中并不存在常量的定義，任何常量和變量都可以修改其數(shù)值，只不過在MATLAB中提供了一些常用的常數(shù)作為常量，這一點(diǎn)請(qǐng)讀者注意。2.數(shù)組一般地，數(shù)組是有序數(shù)據(jù)的集合。在大多數(shù)編程語言中，數(shù)組的每一個(gè)成員(元素)都屬于同一種數(shù)據(jù)類型，它們使用同一個(gè)數(shù)組名稱和不同的下標(biāo)來唯一確定數(shù)組中的成員(元素)。其中，下標(biāo)是指數(shù)組元素在數(shù)組中的序號(hào)。對(duì)于MATLAB而言，大多數(shù)情況下，數(shù)組的每一個(gè)元素都具有相同的數(shù)據(jù)類型，而元胞數(shù)組則不然。和一般的編程語言類似，M語言的數(shù)組有一維、二維和多維數(shù)組的區(qū)別。而在MATLAB中一般不存在數(shù)組的數(shù)組，除非在M語言中使用Java數(shù)據(jù)對(duì)象。3.向量從編程語言的角度來看，向量其實(shí)就是一維數(shù)組，然而從數(shù)學(xué)的角度來看，向量就是1?×?N或者N?×?1的矩陣，即行向量和列向量。也就是說：都是一維數(shù)組，但是從數(shù)學(xué)的角度來看，分別被稱為列向量和行向量。MATLAB的基本運(yùn)算單位是矩陣和向量，M語言是以向量化運(yùn)算為基礎(chǔ)的編程語言。由于在現(xiàn)代控制系統(tǒng)分析與設(shè)計(jì)、信號(hào)處理應(yīng)用、通信系統(tǒng)開發(fā)、數(shù)字圖像處理等領(lǐng)域，線性代數(shù)應(yīng)用得越來越廣泛，因此，M語言成為了目前最流行的工程算法開發(fā)和驗(yàn)證的原型語言。在MATLAB中，將元素個(gè)數(shù)為1的向量稱為標(biāo)量(Scalar)。4.矩陣在MATLAB中，矩陣的概念等同于線性代數(shù)中定義的矩陣，即矩陣是用一對(duì)圓括號(hào)或者方括號(hào)括起來、符合一定規(guī)則的數(shù)學(xué)對(duì)象。隨著線性代數(shù)理論的發(fā)展，矩陣和向量的運(yùn)算在工程領(lǐng)域內(nèi)越來越普遍，因此解決線性代數(shù)的數(shù)值計(jì)算問題成為諸多工程師亟待解決的問題。20世紀(jì)50年代，電子計(jì)算機(jī)以及高級(jí)編程語言開始應(yīng)用于工程以及科研領(lǐng)域，那時(shí)的高級(jí)編程語言使用數(shù)組來表示矩陣，在進(jìn)行計(jì)算時(shí)，這類高級(jí)編程語言僅能處理單個(gè)元素的運(yùn)算，很難按照線性代數(shù)的運(yùn)算法則將矩陣或者向量作為一個(gè)整體來處理，從而增加了程序員的工作量，也降低了程序的執(zhí)行效率，延長了開發(fā)周期。于是在20世紀(jì)60—70年代誕生了專門用于處理矩陣運(yùn)算的軟件包和算法包。MATLAB軟件就是在EISPACK和LINPACK兩個(gè)線性代數(shù)軟件包的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的科學(xué)計(jì)算軟件。2.2創(chuàng)建向量從編程語言的角度上而言，向量就是一維數(shù)組。在MATLAB中創(chuàng)建向量可以使用不同的方法，最直接、最簡(jiǎn)單的就是逐個(gè)輸入向量的元素，見下面的例2-1?！纠?-1】利用逐個(gè)輸入元素的方法在MATLAB中創(chuàng)建向量。在命令行窗體中鍵入：在例2-1中，逐個(gè)輸入向量的元素，元素之間用空格間隔，這樣就創(chuàng)建了一個(gè)向量x。其中，pi為MATLAB中的內(nèi)建函數(shù)，表示常量π。本例中使用了命令whos來察看當(dāng)前MATLAB會(huì)話保存在工作空間內(nèi)存中的變量，這里的結(jié)果表示變量x是1行4列的行向量，占用內(nèi)存64B，是雙精度的復(fù)數(shù)。命令whos是常用的MATLAB命令，在本書后續(xù)的章節(jié)中會(huì)反復(fù)使用該命令。使用逐個(gè)輸入元素的方法創(chuàng)建向量的時(shí)候，元素彼此之間可以使用空格或者逗號(hào)“，”作為間隔符。第二種創(chuàng)建向量的方法是利用運(yùn)算符“：”，參閱例2-2?！纠?-2】利用冒號(hào)運(yùn)算符創(chuàng)建向量。在命令行窗體中鍵入：在例2-2中使用冒號(hào)運(yùn)算符創(chuàng)建了具有十個(gè)元素的向量。利用冒號(hào)運(yùn)算符創(chuàng)建向量的基本語法如下：X=J:INC:K創(chuàng)建向量的第三種方法是使用函數(shù)linspace和logspace。函數(shù)linspace是用來創(chuàng)建線性間隔向量的函數(shù)。函數(shù)linspace的基本語法如下：x=linspace(x1,x2,n)【例2-4】使用linspace函數(shù)創(chuàng)建向量。函數(shù)logspace可用來創(chuàng)建對(duì)數(shù)空間的向量，該函數(shù)的基本語法如下：x=logspace(x1,x2,n)函數(shù)logspace的使用方法參見例2-5?！纠?-5】使用logspace函數(shù)創(chuàng)建向量。在MATLAB的命令行窗體中，鍵入下面的命令：例2-1～例2-5創(chuàng)建的向量都是行向量。從編程語言的角度來看，上述例子創(chuàng)建的變量x實(shí)質(zhì)上是1行n列的數(shù)組(n表示元素的個(gè)數(shù))。如果需要?jiǎng)?chuàng)建列向量，即n行1列的數(shù)組(n表示元素的個(gè)數(shù))，則需要使用分號(hào)作為元素與元素之間的間隔或者直接使用轉(zhuǎn)置運(yùn)算符“'”，參見例2-6?！纠?-6】創(chuàng)建列向量?？刹捎弥苯虞斎朐氐姆椒▌?chuàng)建列向量。在MATLAB的命令行窗體中，鍵入下面的命令：也可使用轉(zhuǎn)置的方法創(chuàng)建列向量：2.3創(chuàng)建矩陣2.3.1直接輸入法直接輸入矩陣元素創(chuàng)建矩陣的方法適合創(chuàng)建元素?cái)?shù)量較少(也就是行列數(shù)較少)的矩陣?！纠?-7】用直接輸入矩陣元素的方法創(chuàng)建矩陣。在MATLAB的命令行窗體中鍵入下面的命令：其實(shí)創(chuàng)建上面的矩陣時(shí)還可以這么做：可以將矩陣的每一行或者每一列看作一個(gè)向量，因?yàn)榫仃嚲褪怯扇舾尚邢蛄炕蛘吡邢蛄拷M合而成的。也就是說，還可以這樣來創(chuàng)建矩陣：2.3.2工作空間瀏覽器例2-1～例2-7中頻繁使用了whos命令來察看當(dāng)前MATLAB會(huì)話保存在工作空間內(nèi)存中的各種變量。這里所謂的工作空間，就是MATLAB用來保存變量、執(zhí)行MATLAB代碼或者命令的內(nèi)存空間。MATLAB工作空間由MATLAB進(jìn)程來管理和維護(hù)。除了who或者whos命令，還可以使用工作空間瀏覽器來察看工作空間所包含的內(nèi)容。在默認(rèn)的MATLAB界面，工作空間瀏覽器內(nèi)嵌于MATLAB桌面環(huán)境左下角的區(qū)域，可以將其浮動(dòng)出來，如圖2-1所示。圖2-1中為執(zhí)行了例2-7之后的工作空間瀏覽器。從工作空間瀏覽器中可以看到變量A和B的基本內(nèi)容，如果變量所包含的元素?cái)?shù)量較多，則無法顯示相應(yīng)的內(nèi)容。默認(rèn)的工作空間瀏覽器僅僅顯示變量的名稱和簡(jiǎn)要信息。用戶可以設(shè)置顯示有關(guān)變量的數(shù)據(jù)類型、最大最小值等各種統(tǒng)計(jì)信息，但是具體顯示哪些信息需要通過工作空間瀏覽器的菜單來完成。單擊工作空間瀏覽器窗體右上角的快捷菜單按鈕，在彈出的菜單中選擇ChooseColumns子菜單內(nèi)相應(yīng)的菜單命令，就可以選擇在工作空間瀏覽器中顯示變量的哪些統(tǒng)計(jì)信息。比如，可以將變量的數(shù)據(jù)類型、最大值、最小值顯示在工作空間瀏覽器內(nèi)，如圖2-4所示。工作空間瀏覽器可以顯示變量的信息，也可以對(duì)工作空間內(nèi)的變量進(jìn)行編輯，或者實(shí)現(xiàn)刪除、重命名、復(fù)制變量等操作，還可以通過交互式工具來實(shí)現(xiàn)在工作空間中變量的可視化工作。這些操作都可以在選擇相應(yīng)的變量后，通過右鍵快捷菜單或者M(jìn)ATLAB工具欄上的工具來實(shí)現(xiàn)，如圖2-6所示。2.3.3變量編輯器在如圖2-6所示的工作空間瀏覽器中變量的右鍵快捷菜單中可以看到EditValue命令。執(zhí)行該命令的效果是直接在工作空間瀏覽器中對(duì)矩陣變量等進(jìn)行編輯工作。這種編輯對(duì)那些元素?cái)?shù)量較少的變量比較方便，然而當(dāng)變量包含的元素?cái)?shù)量較多時(shí)，就需要使用變量編輯器來完成對(duì)矩陣或者向量元素的編輯工作了。打開變量編輯器有幾種不同的方法。第一種方法是通過MATLAB工具條中HOME標(biāo)簽頁內(nèi)的OpenVariable菜單，選擇相應(yīng)的變量就可以打開變量編輯器并且加載相應(yīng)的變量。OpenVariable菜單如圖2-7所示。第二種方法是在工作空間瀏覽器中直接雙擊需要被編輯的變量，其效果也是打開變量編輯器，同時(shí)在編輯器中加載相應(yīng)的變量。第三種方法是通過工作空間瀏覽器中的快捷菜單命令OpenSelection來完成同樣的工作。最后一種方法是使用openvar命令。例如，在MATLAB命令行窗體中鍵入：就可以打開變量編輯器并且加載變量A。此時(shí)變量編輯器默認(rèn)會(huì)嵌入MATLAB桌面環(huán)境內(nèi)，如圖2-8所示。在打開了變量編輯器之后，MATLAB桌面環(huán)境的工具條中將增加兩個(gè)標(biāo)簽頁，分別是VARIABLE和VIEW，這兩個(gè)標(biāo)簽頁僅用于變量編輯器，可以完成相應(yīng)變量的編輯工作。變量編輯器也可以像其他MATLAB桌面工具一樣浮動(dòng)出來。如果變量編輯器打開了多個(gè)變量，則在浮動(dòng)變量編輯器的時(shí)候還可以具體選擇在浮動(dòng)的編輯器中打開哪個(gè)變量。浮動(dòng)的變量編輯器的工具條有三個(gè)標(biāo)簽頁，分別是PLOTS、VARIABLE和VIEW，如圖2-9所示。在命令行窗體中直接輸入元素較多的向量或者矩陣時(shí)比較麻煩，需要利用變量編輯器完成大矩陣的編輯或創(chuàng)建工作。例如，創(chuàng)建一個(gè)15行10列的矩陣，方法如下。(1)在命令行窗體中創(chuàng)建一個(gè)新的變量，并且為其賦值。例如，在MATLAB的命令行窗體中鍵入A=1。(2)打開變量編輯器，并在變量編輯器中正確加載相應(yīng)的變量。(3)在變量編輯器內(nèi)直接編輯第15行第10列的元素。例如，鍵入數(shù)字5，則此15行10列矩陣的其他元素將自動(dòng)賦初值為0，如圖2-10所示。(4)編輯其余矩陣元素，直至最終完成矩陣的定義。就像在MATLAB命令行窗體中顯示數(shù)值一樣，在變量編輯器中也可以使用不同格式來顯示矩陣元素的數(shù)值，就好像使用format命令一樣—通過變量編輯器工具條中的VIEW標(biāo)簽頁內(nèi)的NumberDisplayFormat下拉列表框內(nèi)的不同選項(xiàng)來設(shè)置數(shù)據(jù)的顯示格式，如圖2-11所示。變量編輯器可以同時(shí)打開多個(gè)變量。其方法是：在工作空間瀏覽器中用鼠標(biāo)選擇變量時(shí)，按住Ctrl鍵或者Shift鍵選擇多個(gè)變量，同樣也可以使用快捷鍵Ctrl?+?A選擇工作空間中的所有變量，然后通過前面介紹的方法打開變量編輯器。如圖2-12所示的變量編輯器打開了兩個(gè)變量，不同的變量分別顯示在不同的標(biāo)簽頁內(nèi)。當(dāng)變量編輯器打開了多個(gè)變量之后，工具條VIEW標(biāo)簽頁下的某些命令才能夠執(zhí)行。這些命令大多用于設(shè)置變量編輯器的顯示外觀。如果用右鍵單擊變量編輯器的變量標(biāo)簽，還可以通過彈出的右鍵快捷菜單針對(duì)具體的變量來完成某些操作。MATLAB的變量編輯器是非常好用的交互式圖形化工具，它能夠處理的數(shù)據(jù)大小取決于用戶計(jì)算機(jī)內(nèi)存空間的大小。從操作體驗(yàn)方面來看，MATLAB的變量編輯器與MicrosoftExcel很接近，用戶可以將數(shù)據(jù)直接從Excel電子表格中拷貝粘貼到MATLAB的變量編輯器中來創(chuàng)建變量。2.4索引2.4.1向量元素的訪問要訪問向量的元素，只要使用相應(yīng)元素的索引即可，請(qǐng)參閱例2-8。在例2-8中，操作對(duì)象是一個(gè)向量，該向量為A=[1234567890]。【例2-8】訪問向量中的元素。在MATLAB的命令行窗體中，鍵入下面的命令。訪問向量的第三個(gè)元素：訪問向量的第一、三、七個(gè)元素：訪問向量的第一、三、五個(gè)元素：訪問向量的最后四個(gè)元素：重復(fù)訪問向量中的元素：【例2-9】對(duì)向量的元素進(jìn)行賦值。在MATLAB命令行窗體中鍵入下面的命令。對(duì)向量的第三個(gè)元素賦值：對(duì)向量中不存在的元素賦值：2.4.2矩陣元素的訪問要訪問矩陣的元素，也需要使用矩陣元素的索引。訪問矩陣元素的方式有兩種：第一種方式是使用矩陣元素的行列全下標(biāo)形式，第二種方法是使用矩陣元素的單下標(biāo)形式。【例2-10】訪問矩陣的元素。在MATLAB工作空間中創(chuàng)建一個(gè)5?×?5的矩陣，該矩陣是5階的幻方，然后通過命令行獲取矩陣的第二行第四列的元素，于是在MATLAB命令行窗體中鍵入下面的命令。創(chuàng)建矩陣：使用全下標(biāo)的形式訪問元素：使用單下標(biāo)的形式訪問元素：表2-1總結(jié)了使用索引訪問矩陣元素的方法。2.5基本運(yùn)算2.5.1矩陣生成函數(shù)MATLAB包含若干函數(shù)，可以用來生成某些矩陣，參見表2-2?！纠?-12】矩陣生成函數(shù)的示例。在MATLAB命令行窗體中鍵入下面的命令。創(chuàng)建3階帕斯卡矩陣：由矩陣A生成下三角矩陣：獲取矩陣A的對(duì)角線元素：利用向量生成對(duì)角矩陣：表2-2中所羅列的各種矩陣生成函數(shù)不僅可以用來創(chuàng)建二維矩陣，還可以創(chuàng)建多維數(shù)組。另外，這些函數(shù)中比較重要的是zeros函數(shù)和ones函數(shù)，這兩個(gè)函數(shù)經(jīng)常在編寫M語言程序的時(shí)候用來初始化大矩陣，以提高程序的執(zhí)行效率。2.5.2基本矩陣運(yùn)算MATLAB支持矩陣運(yùn)算的基本規(guī)則，提供了若干用于實(shí)現(xiàn)矩陣運(yùn)算的函數(shù)，這些運(yùn)算規(guī)則和函數(shù)都分別與線性代數(shù)的基本概念和運(yùn)算規(guī)則對(duì)應(yīng)。矩陣的基本運(yùn)算參見表2-3?！纠?-13】矩陣的基本運(yùn)算示例—求解方程組。這類問題可以直接通過矩陣運(yùn)算解決。在MATLAB命令行窗體中鍵入下面的命令。創(chuàng)建線性方程組的系數(shù)矩陣和向量：使用矩陣求逆的方法求解方程：使用矩陣左除運(yùn)算求解方程：從例2-13可以看出以矩陣為基本運(yùn)算單元進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算的優(yōu)勢(shì)。對(duì)于MATLAB，矩陣的基本運(yùn)算都可以用一種最簡(jiǎn)單直觀的表達(dá)式完成，像這種利用向量或者矩陣的運(yùn)算，不僅可以簡(jiǎn)化代碼還能夠提高M(jìn)語言應(yīng)用程序的運(yùn)行速度。矩陣的運(yùn)算同時(shí)也包含了矩陣和標(biāo)量之間的運(yùn)算，MATLAB在處理這種運(yùn)算的時(shí)候，首先對(duì)標(biāo)量進(jìn)行擴(kuò)充。2.5.3基本數(shù)組運(yùn)算1.數(shù)組轉(zhuǎn)置數(shù)組轉(zhuǎn)置的操作符是在矩陣轉(zhuǎn)置操作符前加符號(hào)“.”，見例2-14。【例2-14】數(shù)組轉(zhuǎn)置操作。在MATLAB命令行窗體中，鍵入下面的命令。創(chuàng)建矩陣：矩陣轉(zhuǎn)置：數(shù)組轉(zhuǎn)置：矩陣A成為復(fù)數(shù)矩陣：矩陣轉(zhuǎn)置數(shù)組轉(zhuǎn)置：從例2-14的運(yùn)行效果可以看出，對(duì)于實(shí)數(shù)矩陣，矩陣轉(zhuǎn)置和數(shù)組轉(zhuǎn)置的計(jì)算結(jié)果完全一致，但是對(duì)于復(fù)數(shù)矩陣，數(shù)組轉(zhuǎn)置和矩陣轉(zhuǎn)置的計(jì)算結(jié)果不一致。數(shù)組轉(zhuǎn)置運(yùn)算也被稱為非共軛轉(zhuǎn)置，矩陣轉(zhuǎn)置運(yùn)算則被稱為共軛轉(zhuǎn)置。2.數(shù)組冪數(shù)組冪運(yùn)算符就是在矩陣冪運(yùn)算符前加上符號(hào)“.”，見例2-15?！纠?-15】數(shù)組冪運(yùn)算。在MATLAB命令行窗體中，鍵入下面的命令。本例中使用的矩陣：矩陣冪運(yùn)算：數(shù)組冪運(yùn)算：在例2-15中，可以看出矩陣的冪運(yùn)算僅對(duì)方陣或者標(biāo)量有效，所以在求矩陣A的立方時(shí)，MATLAB報(bào)告了錯(cuò)誤，而數(shù)組冪運(yùn)算則可以對(duì)任意矩陣有效，數(shù)組冪運(yùn)算是將矩陣的對(duì)應(yīng)元素進(jìn)行冪運(yùn)算。3.數(shù)組乘法數(shù)組乘法運(yùn)算符是在矩陣乘法運(yùn)算符前加上符號(hào)“.”，見例2-16?！纠?-16】數(shù)組乘法示例。在MATLAB命令行窗體中，鍵入下面的命令。本例中使用的矩陣：矩陣乘法：數(shù)組乘法：矩陣乘法：數(shù)組乘法：通過本例可以看出，在MATLAB中，矩陣和標(biāo)量之間的乘法運(yùn)算通過矩陣乘法和數(shù)組乘法得到的結(jié)果完全一致，但是矩陣和矩陣之間的乘法運(yùn)算則不然，矩陣之間的乘法需要符合線性代數(shù)定義的基本原則，數(shù)組乘法是將每個(gè)對(duì)應(yīng)位置的元素進(jìn)行了乘法運(yùn)算。4.數(shù)組除法最后一種基本數(shù)組運(yùn)算是數(shù)組除法，這里需要指出，矩陣除法或者數(shù)組除法都有左除法和右除法，請(qǐng)注意其中的區(qū)別。【例2-17】數(shù)組除法示例。本例中使用的矩陣。獲取另外一個(gè)矩陣：數(shù)組右除法：數(shù)組左除法：得到的兩個(gè)矩陣結(jié)果可以通過數(shù)組乘法計(jì)算：矩陣右除法：矩陣左除法：2.5.4基本數(shù)學(xué)函數(shù)作為科學(xué)計(jì)算軟件的MATLAB提供了豐富的數(shù)學(xué)函數(shù)，主要有如下類別：三角函數(shù)(表2-4)、指數(shù)運(yùn)算函數(shù)(表2-5)、復(fù)數(shù)運(yùn)算函數(shù)(表2-6)、圓整和求余函數(shù)(表2-7)。2.5.5矩陣(數(shù)組)操作函數(shù)在MATLAB中還存在一類函數(shù)用來獲取矩陣或者數(shù)組的信息，以及對(duì)數(shù)組進(jìn)行操作，表2-8中列舉了較常用的函數(shù)。2.6稀疏矩陣當(dāng)矩陣中數(shù)值為0的元素居多，則一般被稱為稀疏矩陣。如果使用滿陣的方式來表示稀疏矩陣，則0元素將占用相當(dāng)?shù)膬?nèi)存空間。在MATLAB中，專門提供了稀疏矩陣的表示方法?！纠?-24】創(chuàng)建稀疏矩陣。在MATLAB命令行窗體中鍵入右側(cè)的命令：在例2-24中，首先使用eye函數(shù)創(chuàng)