2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上冊9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1.經(jīng)過點、兩點的直線的傾斜角為________.2.若方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是______．3.拋物線的焦點坐標(biāo)是______.4.若直線和直線平行，則的值為_________．5.設(shè)兩圓與圓的公共弦所在的直線方程是______6.直線關(guān)于點對稱直線方程是______．7.直線與直線所成夾角的余弦值等于______8.直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)b的取值范圍為________．9.雙曲線與直線無公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_______．10.已知圓上恰好存在2個到直線的距離為1的點，則的取值范圍是________.11.雙曲線的左右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于兩點，若，則_________.12.已知點F是橢圓的右焦點，點到橢圓上的動點Q的距離的最大值不超過，當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時，則的最大值等于__________．二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“”是直線與圓相交（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要14.已知為拋物線的焦點，為上一點，且，則到軸的距離為（）A.4 B. C.8 D.1615.已知曲線，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；B.經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線與曲線有且僅有一個公共點；C.直線與曲線所圍成的圖形的面積為；D.設(shè)直線，當(dāng)時，直線與曲線有兩個公共點.16.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)點，定義.對于下列兩個命題：①設(shè)點P是直線上任意一點，則“使得最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“”；②設(shè)點P是橢圓上任意一點，則.則下列判斷正確的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.解答下列各題，必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知向量（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量求實數(shù)值.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點.（1）求邊所在直線的方程;（2）若的面積等于7，且點的坐標(biāo)滿足，求點的坐標(biāo).19.如圖，某苗圃有兩個入口、，，欲在苗圃內(nèi)開辟一塊區(qū)域種植觀賞植物.現(xiàn)有若干樹苗放在苗圃外的處，已知，，以AB所在直線為軸，AB中點為原點建立直角坐標(biāo)系.（1）工人計劃將樹苗分別沿和兩條折線段路線搬運至處，請判斷哪條搬運路線最短？并說明理由；（2）工人準(zhǔn)備將處樹苗運送到苗圃內(nèi)的點處，計劃合理設(shè)計點的位置，使得沿和兩條折線段路線運輸?shù)木嚯x相等.請寫出所有滿足要求的點的軌跡方程.20.已知圓，點，為坐標(biāo)原點.（1）若，求圓過點的切線方程；（2）若直線與圓交于，兩點，且，求值；（3）若圓上存在點，滿足，求取值范圍.21.已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)點在橢圓上（點不在坐標(biāo)軸上），證明：直線與橢圓相切；（3）設(shè)點在直線上（點在橢圓外），過點作橢圓的兩條切線，切點分別為為坐標(biāo)原點，若和的面積之和為1，求直線的方方程.2024-2025學(xué)年上海市閔行區(qū)高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試卷一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第16題每題4分，第7～12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果1.經(jīng)過點、兩點的直線的傾斜角為________.【正確答案】【分析】根據(jù)兩點的坐標(biāo)求得斜率，結(jié)合傾斜角與斜率的關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意可得直線的斜率，則，解得.故答案為.2.若方程表示一個圓，則實數(shù)的取值范圍是______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意得，再解不等式即可得答案.【詳解】解：因為方程表示一個圓所以，，即，解得或.所以，實數(shù)的取值范圍是故3.拋物線焦點坐標(biāo)是______.【正確答案】1,0【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程直接求出焦點坐標(biāo)即可.【詳解】因為拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以焦點坐標(biāo)為，故答案為.4.若直線和直線平行，則的值為_________．【正確答案】【分析】根據(jù)直線平行列方程來求得的值.【詳解】由于兩直線平行，所以，解得或，當(dāng)時，兩直線方程為、，符合題意.當(dāng)時，兩直線方程為、，即、，兩直線重合，不符合題意.所以的值為.故5.設(shè)兩圓與圓公共弦所在的直線方程是______【正確答案】【分析】利用兩圓的方程相減即可求解.【詳解】由題意，因為圓，圓，由得，，所以兩圓的公共弦所在的直線方程為.故答案為.6.直線關(guān)于點對稱的直線方程是______．【正確答案】【分析】由直線關(guān)于點對稱的直線與已知直線平行，設(shè)出所求直線方程，再根據(jù)點到兩條直線的距離相等可解出答案.【詳解】設(shè)對稱直線為，則有，解這個方程得（舍）或.所以對稱直線的方程中故7.直線與直線所成夾角的余弦值等于______【正確答案】【分析】首先得到兩直線的斜率，即可判斷兩直線的位置關(guān)系，設(shè)直線的傾斜角為，則兩直線的夾角為，依題意可得，再由二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切代入計算可得.【詳解】解：直線，即，則斜率，直線，即，則斜率，所以兩直線關(guān)于軸對稱，設(shè)直線的傾斜角為，則兩直線的夾角為，所以，則.故8.直線與曲線有兩個交點，則實數(shù)b的取值范圍為________．【正確答案】【分析】數(shù)形結(jié)合，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系求解.【詳解】由的為如圖所示的半圓，當(dāng)直線與半圓相切時，解得或（舍），要使直線與曲線有兩個交點，則，故答案為:.9.雙曲線與直線無公共點，則雙曲線C的離心率的取值范圍為_______．【正確答案】【分析】根據(jù)直線與雙曲線的位置關(guān)系求得的關(guān)系，結(jié)合離心率公式，即可容易求得離心率范圍.【詳解】雙曲線的漸近線方程為，若雙曲線與直線無公共點，等價為雙曲線的漸近線的斜率，即，即，即，即，則，則，，離心率滿足，即雙曲線離心率的取值范圍是.故答案為.10.已知圓上恰好存在2個到直線的距離為1的點，則的取值范圍是________.【正確答案】【分析】由圓的方程可得圓心與半徑，整理直線方程為一般式，求得圓心到直線的距離，結(jié)合題意，可得答案.【詳解】由圓，則圓心，半徑為，由直線，則一般式為，圓心到直線的距離，由題意可知，解得.故答案為.11.雙曲線的左右焦點分別為，過坐標(biāo)原點的直線與相交于兩點，若，則_________.【正確答案】4【分析】由雙曲線的對稱性可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)雙曲線的定義和，得，，中，由余弦定理得，，代入求值即可.【詳解】雙曲線，實半軸長為1，虛半軸長為，焦距，由雙曲線的對稱性可得，有四邊形為平行四邊形，令，則，由雙曲線定義可知，故有，即，即，，中，由余弦定理，，即，得，.故4.12.已知點F是橢圓的右焦點，點到橢圓上的動點Q的距離的最大值不超過，當(dāng)橢圓的離心率取到最大值時，則的最大值等于__________．【正確答案】##【分析】設(shè)，求得表達(dá)式，對進(jìn)行分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)、橢圓的定義來求得的最大值.【詳解】設(shè)，則，即且．因為，而，即，所以，當(dāng)，即時，當(dāng)時，取得最大值，．又因為橢圓的離心率，因此當(dāng)時，e最大．設(shè)橢圓的左焦點為，則，因此，所以當(dāng)Q在的延長線上時，取得最大值，，因此的最大值為．當(dāng)，即時，當(dāng)時，取得最大值，，由解得，即．又因為橢圓的離心率，因此當(dāng)時，e最大．設(shè)橢圓的左焦點為，則，因此，所以當(dāng)Q在的延長線上時，取得最大值，，因此的最大值為．綜上所述，的最大值為．故在橢圓有關(guān)線段和差的最值問題求解的過程中，可考慮利用橢圓的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)換，從而求得最值.二、選擇題（本大題共有4題，滿分18分，第13～14題每題4分，第15～16題每題5分）每題有且只有一個正確選項.考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項的小方格涂黑.13.“”是直線與圓相交的（）條件A.充分非必要 B.必要非充分 C.充分必要 D.既非充分也非必要【正確答案】A【分析】根據(jù)直線與圓相交的判定方法，以及充分條件和必要條件的定義分別判斷即可.【詳解】當(dāng)時，直線為，即，顯然此時直線和圓相交，當(dāng)直線與圓相交時，圓心到直線的距離，化簡得，顯然恒成立，故不能推出.所以“”是直線與圓相交的充分非必要條件.故選：A.14.已知為拋物線的焦點，為上一點，且，則到軸的距離為（）A.4 B. C.8 D.16【正確答案】A【分析】由已知求得拋物線的焦點，再設(shè)，由拋物線的性質(zhì)求得，代入可得選項.【詳解】因為為拋物線的焦點，所以，設(shè)，由拋物線的性質(zhì)得：，∴，故到的距離為4.故選：A．本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，拋物線的定義，屬于基礎(chǔ)題.15.已知曲線，為坐標(biāo)原點，則下列結(jié)論中正確的是（）A.曲線關(guān)于直線成軸對稱圖形；B.經(jīng)過坐標(biāo)原點的直線與曲線有且僅有一個公共點；C.直線與曲線所圍成的圖形的面積為；D.設(shè)直線，當(dāng)時，直線與曲線有兩個公共點.【正確答案】C【分析】畫出曲線圖像即可判斷A；分的正負(fù)四種情況去掉絕對值符號得到曲線方程后，當(dāng)斜率為時結(jié)合漸近線可判斷B；由四分之一圓面積減去三角形面積可判斷C；由圖形可判斷D.【詳解】，因為當(dāng)時，無意義，無此曲線，故舍去，所以曲線表示為，作出曲線圖象如圖所示，對于選項A，結(jié)合圖象，顯然不成立，故A錯誤；對于選項B，令直線方程為：，代入曲線得，，無解，故B錯誤；對于選項C，設(shè)直線與軸的交點分別為.因為圓的半徑為2.且點，所以直線與曲線圍成的圖形的面積為，故C正確.對于D選項，由于直線恒過點，當(dāng)時，直線與軸平行，與曲線有一個交點；當(dāng)時，直線與曲線的漸近線平行，此時與曲線有兩個交點.當(dāng)時.結(jié)合斜率的范圍可得直線與曲線有三個交點（如上圖），故D錯誤；故選：C16.在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，設(shè)點，定義.對于下列兩個命題：①設(shè)點P是直線上任意一點，則“使得最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“”；②設(shè)點P是橢圓上任意一點，則.則下列判斷正確的是（）A.①真②真 B.①真②假 C.①假②真 D.①假②假【正確答案】A【分析】對于①，根據(jù)，把代入得到當(dāng)最小時的點有無數(shù)個時，；而時，推導(dǎo)出最小的點有無數(shù)個，即可證明；對于②，的坐標(biāo)用參數(shù)形式表示，然后利用三角函數(shù)的輔助角公式化簡可求得的最大值.【詳解】對于①，先證充分性：由，當(dāng)時，，滿足題意；又，當(dāng)時，，滿足題意.再證必要性：不難得到，當(dāng)時，直線上使得最小的點P有無數(shù)個；所以“使得最小的點P有無數(shù)個”的充要條件是“”，即①是真命題；對于②，因為點P是橢圓上任意一點，則可設(shè)，所以（，且），則當(dāng)時，，即②是真命題；故選：A.三、解答題（本大題共有5題，滿分78分）.解答下列各題，必須在答題紙的相應(yīng)位置寫出必要的步驟.17.已知向量（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若向量求實數(shù)的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）直接利用向量的數(shù)量積求解與的夾角的余弦值；（2）表示出向量與的坐標(biāo)，利用向量平行，列出方程，即可求解的值.【小問1詳解】，，所以，，，所以.【小問2詳解】，，∴，，由與平行，所以，解得.18.在平面直角坐標(biāo)系中，已知的三個頂點.（1）求邊所在直線的方程;（2）若的面積等于7，且點的坐標(biāo)滿足，求點的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）或【分析】（1）根據(jù)直線的兩點式求解直線方程即可；（2）首先求出點到直線的距離及，再根據(jù)，得到，最后解方程組即可求出點的坐標(biāo).【小問1詳解】因為B2,1、，所以邊所在直線的方程為，整理得；【小問2詳解】點到直線的距離，又，因為，所以有，即，又點的坐標(biāo)滿足，因此有或，解得或，所以點的坐標(biāo)為或．19.如圖，某苗圃有兩個入口、，，欲在苗圃內(nèi)開辟一塊區(qū)域種植觀賞植物.現(xiàn)有若干樹苗放在苗圃外的處，已知，，以AB所在直線為軸，AB中點為原點建立直角坐標(biāo)系.（1）工人計劃將樹苗分別沿和兩條折線段路線搬運至處，請判斷哪條搬運路線最短？并說明理由；（2）工人準(zhǔn)備將處樹苗運送到苗圃內(nèi)的點處，計劃合理設(shè)計點的位置，使得沿和兩條折線段路線運輸?shù)木嚯x相等.請寫出所有滿足要求的點的軌跡方程.【正確答案】（1）的長度最短，理由見解析（2）【分析】（1）利用兩點距離公式，通過比較，可得答案；（2）由題意整理等量關(guān)系，結(jié)合雙曲線方程，可得答案.【小問1詳解】由題意可得，，，，，路線的長度：，路線的長度：，因為，則路線的長度最短.小問2詳解】設(shè)點，已知，可得，所以點所有可能的位置是以、為焦點的雙曲線的右支并且在苗圃內(nèi)的部分，則，即，又因為，，則點的軌跡方程為.20.已知圓，點，為坐標(biāo)原點.（1）若，求圓過點的切線方程；（2）若直線與圓交于，兩點，且，求的值；（3）若圓上存在點，滿足，求的取值范圍.【正確答案】（1）或；（2）；（3）.【分析】（1）把代入，設(shè)出切線方程，利用點到直線距離公式計算即得.（2）聯(lián)立直線與圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理及給定的數(shù)量積計算即得.（3）求出點的軌跡方程，利用兩圓有公共點列出不等式求解即得.【小問1詳解】當(dāng)時，圓的圓心，半徑，而點到直線的距離為2，因此圓過點的切線斜率存在，設(shè)方程為，則，解得或，所以所求切線方程為或.【小問2詳解】由消去得，，設(shè)，則，由，得，則，整理得，則，即，