2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題（含解析）

2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.已知直線，，則與距離為()A1 B.2 C. D.3.已知、，則以AB為直徑圓的一般方程為（）A. B.C. D.4.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.-1 D.-25.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，，，則的最小值為（）A.5 B. C.2 D.16.已知直線與橢圓相交于A、B，且AB的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.7.已知點(diǎn)、在圓上，且的中點(diǎn)在圓上，則弦長的最小值為（）A. B. C. D.8.已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓的離心率范圍為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目耍求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則下列描述正確的有（）A.直線BC的傾斜角不存在B.直線AB的斜率為-2C.邊AB上的高所在直線的方程為D.邊AB上的中線所在直線的方程為10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則下列描述正確的有（）A.直線l與圓C相交 B.最小值為C.四邊形面積的最小值為4 D.存在點(diǎn)，使得11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（）A.若的周長為6，則B.若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則C.若存在點(diǎn)，使得，則D.若的最大值為2b，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.焦點(diǎn)在軸的橢圓，長軸長為，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.13.經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為______.14.已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為_______.四、解答題：本西共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線.（1）求點(diǎn)P到直線l的距離；（2）求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).16.已知、，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切直線的方程.17.已知直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.18.已知圓，點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）斜率存在且不過的直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，BM與BN的斜率之積為.①證明：直線l過定點(diǎn)；②求面積的最大值.19.如圖1，已知圓心在軸的圓經(jīng)過點(diǎn)和.過原點(diǎn)且不與鈾重合的直線與圓交于A、B兩點(diǎn)（在軸上方）.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的面積為，求直線l的方程；（3）將平面xOy沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面AOD)與y軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如圖2，求折疊后的范圍。2024-2025學(xué)年重慶市南岸區(qū)高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)學(xué)情檢測試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】求出直線的斜率，進(jìn)而得到傾斜角.【詳解】直線的斜率為，故傾斜角為.故選：D.2.已知直線，，則與的距離為()A1 B.2 C. D.【正確答案】D【分析】利用兩條平行線間的距離公式求解即可.【詳解】由題意得，與的距離.故選：D.3.已知、，則以AB為直徑的圓的一般方程為（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】求出AB的中點(diǎn)和可得以AB為直徑的圓的圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而得所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，再將其轉(zhuǎn)化為一般方程即可得解.【詳解】已知、，則AB中點(diǎn)坐標(biāo)為即.，所以以AB為直徑的圓的圓心為，半徑為.所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，展開可得，整理得.故選：B.4.已知直線，，若，則實(shí)數(shù)（）A. B. C.-1 D.-2【正確答案】C【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合兩直線垂直的性質(zhì)列出方程即可求解.【詳解】因?yàn)橹本€，所以，解得.故選：C.5.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，，，則的最小值為（）A.5 B. C.2 D.1【正確答案】D【分析】利用橢圓定義轉(zhuǎn)化為，即求的最小值，根據(jù)三角形性質(zhì)，當(dāng)三點(diǎn)共線得答案.【詳解】，為一個(gè)焦點(diǎn)，設(shè)另一焦點(diǎn)為，且，因?yàn)?，所以在橢圓外部，所以，即求的最小值，由于，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取到最小值，此時(shí)，，所以的最小值為1.故選：D6.已知直線與橢圓相交于A、B，且AB的中點(diǎn)為，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用點(diǎn)差法求得關(guān)系，再利用橢圓的離心率公式可得答案.【詳解】設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，因?yàn)榍褹B的中點(diǎn)為，所以，因?yàn)樵跈E圓上，所以①，兩式相減，得，根據(jù)，上式可化簡為，整理得，又，所以，即，所以.故選：B7.已知點(diǎn)、在圓上，且的中點(diǎn)在圓上，則弦長的最小值為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由弦長公式可得，由此可通過求的最大值，確定弦長的最小值.【詳解】圓的圓心為O0,0，半徑為，因?yàn)辄c(diǎn)、在圓上，的中點(diǎn)為，所以，其中，即，因?yàn)閳A的圓心為，半徑，點(diǎn)在圓上，所以，故，所以當(dāng)時(shí)，AB取最小值，最小值為，故選：B.8.已知橢圓的焦距為，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，則橢圓的離心率范圍為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)橢圓焦點(diǎn)坐標(biāo)以及直線過定點(diǎn)可得點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，整理不等式可得離心率.【詳解】將直線整理可得，易知該直線恒過定點(diǎn)，若直線恒與橢圓有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)，可知點(diǎn)在橢圓內(nèi)部；易知橢圓上的點(diǎn)當(dāng)其橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)為，即可得，整理可得，即，解得.故選：A二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目耍求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知的三個(gè)頂點(diǎn)，，，則下列描述正確的有（）A.直線BC的傾斜角不存在B.直線AB的斜率為-2C.邊AB上的高所在直線的方程為D.邊AB上的中線所在直線的方程為【正確答案】BCD【分析】利用斜率與傾斜角的關(guān)系可判斷A選項(xiàng)；利用斜率公式可判斷B選項(xiàng)；利用直線的點(diǎn)斜式方程可判斷CD選項(xiàng).【詳解】直線BC的傾斜角為，斜率不存在，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；直線AB的斜率為，B選項(xiàng)正確；邊AB上的高線與AB垂直，斜率，又高線過點(diǎn)C，邊AB上的高所在直線的方程為，即，C選項(xiàng)正確；邊AB上的中點(diǎn)坐標(biāo)為0,3，則邊AB上中線所在直線斜率為，所以中線方程為，即，D選項(xiàng)正確.故選：BCD.10.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則下列描述正確的有（）A.直線l與圓C相交 B.最小值為C.四邊形面積的最小值為4 D.存在點(diǎn)，使得【正確答案】BC【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式及切線長定理，逐項(xiàng)分析判斷即可.【詳解】圓的圓心，半徑，連接，對于A，點(diǎn)到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯(cuò)誤；對于B，點(diǎn)在圓上，則，B正確；對于C，由切線長定理知，四邊形面積：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此四邊形面積最小值為，C正確；對于D，由切線長定理知，，而，又是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，D錯(cuò)誤.故選：BC11.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，上頂點(diǎn)為，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上，則下列描述正確的有（）A.若的周長為6，則B.若當(dāng)時(shí)，的內(nèi)切圓半徑為，則C.若存在點(diǎn)，使得，則D.若的最大值為2b，則【正確答案】ABD【分析】利用焦點(diǎn)三角形的周長求得，可求判斷A；利用余弦定理求得焦點(diǎn)三角形的面積，可得，求解可判斷B；若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，求解可判斷C；，利用二次函數(shù)的最值可求得的范圍判斷D.【詳解】對于A,由橢圓，可得，因?yàn)榈闹荛L為6，所以，解得，因?yàn)?，所以，解得，故A正確；對于B，由，可得，當(dāng)時(shí)，由余弦定理可得，則，解得，所以，又的內(nèi)切圓半徑為，所以，所以，所以，解得（舍去）或，所以，故B正確；對于C，若，則以為圓心，為半徑的圓與橢圓有交點(diǎn)，則，所以，所以，解得，所以存在點(diǎn)，使得，則，故C錯(cuò)誤；對于D，設(shè)，，又因?yàn)?，因?yàn)橄马旤c(diǎn)到上頂點(diǎn)的距離為2b，又的最大值為2b，故時(shí)取最大值，所以，解得，故D正確.故選：ABD.結(jié)論點(diǎn)睛：橢圓中焦點(diǎn)三角形的有關(guān)結(jié)論（1）焦點(diǎn)三角形的周長為；（2）當(dāng)點(diǎn)為橢圓短軸的一個(gè)端點(diǎn)時(shí)，為最大.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.焦點(diǎn)在軸的橢圓，長軸長為，離心率為，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______.【正確答案】【分析】根據(jù)長軸長求出，利用離心率求，根據(jù)求出，得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.由題意得，，∴，∵，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故13.經(jīng)過點(diǎn)作直線，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段總有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為______.【正確答案】【分析】畫出圖形，利用斜率坐標(biāo)公式，數(shù)形結(jié)合求出范圍.【詳解】如圖，直線的斜率，直線的斜率，而直線與線段總有公共點(diǎn)，所以直線l斜率的取值范圍為.故14.已知點(diǎn)，，，動(dòng)點(diǎn)P滿足：，且，則點(diǎn)P的軌跡長度為_______.【正確答案】0【分析】分別求出兩種條件下動(dòng)點(diǎn)P滿足的軌跡方程，再結(jié)合圖形即可求解.【詳解】因?yàn)閨PA|+|PB|=10>AB所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓，且，則，所以，所以滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.設(shè)Px,y，由，得，整理得，即，所以滿足的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡在以0,2為圓心，以2為半徑的圓上及圓的內(nèi)部，且不過0,1點(diǎn).如圖，動(dòng)點(diǎn)P的兩種軌跡沒有交點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡不存在，因此點(diǎn)P的軌跡長度為0.故0.四、解答題：本西共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程成演算步驟.15.已知點(diǎn)，直線.（1）求點(diǎn)P到直線l的距離；（2）求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)Q的坐標(biāo).【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由點(diǎn)到直線距離公式即可得解；（2）設(shè)對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，利用兩直線垂直的性質(zhì)與中點(diǎn)坐標(biāo)公式列方程組即可得解.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，直線，所以點(diǎn)P到直線l的距離為；【小問2詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則中點(diǎn)的坐標(biāo)為，又直線的斜率為，所以，解得，即.16.已知、，動(dòng)點(diǎn)滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程.【正確答案】（1）（2）或.【分析】（1）設(shè)Px,y，由，得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2）利用圓心到直線距離等于半徑，求切線方程.【小問1詳解】設(shè)Px,y，則，，由，得，所以曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】曲線是以為圓心，1為半徑的圓，過點(diǎn)的直線若斜率不存在，直線方程這，滿足與圓相切；過點(diǎn)的切線若斜率存在，設(shè)切線方程為，即，有圓心到直線距離，解得，則方程為.過點(diǎn)且與曲線相切的直線的方程為或.17.已知直線與橢圓相交于不同的兩點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】（1）或（2）或【分析】（1）聯(lián)立直線與橢圓方程，消得到，利用，即可求解；（2）設(shè)，根據(jù)違達(dá)定量，利用（1）結(jié)果，得到，進(jìn)而有，根據(jù)題設(shè)有，即可求解.【小問1詳解】由，消得到，由題知，整理得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為或.【小問2詳解】設(shè)，由（1），根據(jù)韋達(dá)定理得到，所以，又，所以，得到，又，所以，得到，整理得到，解得或，所以實(shí)數(shù)的值為或.18.已知圓，點(diǎn)在圓上，過作軸的垂線，垂足為，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）斜率存在且不過的直線l與曲線C相交于M、N兩點(diǎn)，BM與BN的斜率之積為.①證明：直線l過定點(diǎn)；②求面積的最大值.【正確答案】（1）（2）①；②【分析】（1）利用相關(guān)點(diǎn)法，結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可得解；（2）①聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理與已知條件得到關(guān)于的方程，解之即可得解；②利用三角形面積公式，結(jié)合韋達(dá)定理與基本不等式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)，則，因?yàn)椋?，則，解得，因?yàn)閳A上，所以，則，即，所以曲線的方程為.【小問2詳解】①依題意，設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消去，得，則Δ=18bk2所以，則，則，則，整理得，解得或（此時(shí)直線過點(diǎn)，舍去），所以直線過定點(diǎn)；②由①得，，則，所以，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立，滿足，所以面積的最大值為.方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.19.如圖1，已知圓心在軸的圓經(jīng)過點(diǎn)和.過原點(diǎn)且不與鈾重合的直線與圓交于A、B兩點(diǎn)（在軸上方）.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若的面積為，求直線l的方程；（3）將平面xOy沿軸折疊，使軸正半軸和軸所確定的半平面（平面AOD)與y軸負(fù)半軸和軸所確定的半平面（平面BOD）互相垂宜，如圖2，求折疊后的范圍.【正確答案】（1）（2）（3）【分析】（1）設(shè)圓心，半徑為，根據(jù)，列出方程求得的值，即可求得圓的方程；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求得的面積為，舍去；設(shè)直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式和圓的弦長公式，求得弦長，進(jìn)而求得到直線的距離為，根據(jù)題意列出方程，求得的值，即可求解；（3）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由為等腰直角三角形