
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文檔簡介
第=page11頁,共=sectionpages11頁2024-2025學年貴州省黔西南州金成實驗學校高二(上)期末數(shù)學試卷一、單選題:本題共8小題,每小題5分,共40分。在每小題給出的選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設點M(1,1,1),A(2,1,?1),O(0,0,0).若OM=AB,則點B的坐標為(
)A.(1,0,?2) B.(3,2,0) C.(1,0,2) D.(3,?2,0)2.如圖,空間四邊形OABC中,OA=a,OB=b,OC=c,點M在OA上,OM=2MA,點N為BC中點,則A.12a?23b+123.直線l:3x?y?6=0被圓C:x2+y2?2x?4y=0截得的弦A.10 B.5 C.10 D.4.中國明代商人程大位對文學和數(shù)學也頗感興趣,他于60歲時完成杰作《直指算法統(tǒng)宗》,這是一本風行東亞的數(shù)學名著,該書第五卷有問題云:“今有白米一百八十石,令三人從上及和減率分之,只云甲多丙米三十六石,問:各該若干?”翻譯成現(xiàn)代文就是:“今有白米一百八十石,甲乙丙三個人來分,他們分得的米數(shù)構成等差數(shù)列,只知道甲比丙多分三十六石,那么三人各分得多少米?”請你計算甲應該分得(
)A.78石 B.76石 C.75石 D.74石5.已知函數(shù)f(x)=x(x?c)2在x=2處有極大值,則c=(
)A.2或23 B.6 C.2 D.2或6.在拋物線y2=4x上求一點P,使得點P到直線y=x+3的距離最短是(
)A.1 B.2 C.3 7.若曲線在y=e2ax點(0,1)處的切線與直線2x?y+1=0垂直,則a的值為(
)A.?14 B.?12 C.8.19世紀法國著名數(shù)學家加斯帕爾?蒙日,創(chuàng)立了畫法幾何學,推動了空間幾何學的獨立發(fā)展.提出了著名的蒙日圓定理:橢圓的兩條切線互相垂直,則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上,稱為蒙日圓,且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根.若圓(x?2)個點在橢圓x23+y2A.±1 B.±5 C.±21 二、多選題:本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。9.如圖是導函數(shù)y=f′(x)的圖象,則下列說法正確的是(
)A.(?1,3)為函數(shù)y=f(x)的單調遞增區(qū)間
B.(3,5)為函數(shù)y=f(x)的單調遞減區(qū)間
C.函數(shù)y=f(x)在x=0處取得極大值
D.函數(shù)y=f(x)在x=5處取得極小值10.對于函數(shù)f(x)=lnxx,下列說法正確的有A.f(x)在x=e處取得極大值1e
B.f(x)有兩個不同的零點
C.f(2)<f(π)<f(3)
D.若11.某同學利用圖形計算器研究教材中一例問題“設點A?5,0,B5,0,直線AM,BM相交于點M,且它們的斜率之積為?49,求點M的軌跡方程”時,將其中已知條件“斜率之積為?49”拓展為“斜率之積為常數(shù)kk≠0”之后,進行了如圖所示的作圖探究:A.k<0時,點M的軌跡為橢圓(不含與x軸的交點)
B.?1<k<0時,點M的軌跡為焦點在x軸上的橢圓(不含與x軸的交點)
C.k<?1時,點M的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(不含與x軸的交點)
D.k>0時,點M的軌跡為焦點在x軸上的雙曲線(不含與x軸的交點)三、填空題:本題共3小題,每小題5分,共15分。12.已知雙曲線的一條漸近線方程為y=2x,則雙曲線的方程可以為
(寫出一個正確答案即可);此時,你所寫的方程對應的雙曲線的離心率為
.13.已知函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f′(x),且滿足f(x)=2xf′(1)+lnx,則f′(1)=
.14.已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若Sn=2四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明,證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)
已知函數(shù)f(x)=ex?2x.
(1)求曲線y=f(x)在點(0,1)處的切線;
(2)求函數(shù)f(x)在16.(本小題15分)
證明不等式:
(1)x?1≥lnx,x∈(0,+∞);
(2)ex17.(本小題15分)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且S4(1)求數(shù)列an(2)若bn=3n?1,令cn=an18.(本小題17分)
如圖,在四棱錐P?ABCD中,PD⊥底面ABCD,AB//DC,CD=2AB=2AD=2,PD=4,AD⊥CD,E為棱PD上一點.
(Ⅰ)求證:無論點E在棱PD的任何位置,都有CD⊥AE成立;
(Ⅱ)若E為PD中點,求二面角A?EC?P的余弦值;
(Ⅲ)在棱PD上是否存在一點E,使PB//平面AEC?若存在,說明點E的位置,若不存在,說明理由.19.(本小題17分)
已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦點分別為F1,F(xiàn)2,右頂點為P,點Q(0,b),PF2=1,∠F1PQ=60°.
(1)求雙曲線C的方程;
(2)直線l經(jīng)過點參考答案1.B
2.B
3.C
4.A
5.B
6.B
7.A
8.C
9.ABD
10.ACD
11.BCD
12.x
13.?1
14.1?215.解:(1)函數(shù)f(x)=ex?2x的導數(shù)為f′(x)=ex?2,
可得y=f(x)在點(0,1)處的切線的斜率為1?2=?1,
則線y=f(x)在點(0,1)處的切線方程為y=?x+1;
(2)由f′(x)=ex?2,
則f(x)在(?∞,ln2)遞減,在(ln2,+∞)遞增,
因此x=ln2為極小值點,
又f(0)=1,f(2)=e2?416.解:(1)設f(x)=lnx?x+1,x∈(0,+∞),則f′(x)=1x?1=1?xx.
令f′(x)=0,得x=1.
當0<x<1時,f′(x)>0,從而f(x)在(0,1)內單調遞增;
當x>1時,f′(x)<0,從而f(x)在(1,+∞)內單調遞減.
所以當x=1時,f(x)在區(qū)間(0,+∞)上取最大值.
所以f(x)≤f(1)=ln1?1+1=0,所以,x?1≥lnx,x∈(0,+∞).
(2)設g(x)=ex?1?x,則g′(x)=ex?1.令g′(x)=0,得x=0.
當x>0時,g′(x)>0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,+∞)上單調遞增;
當x<0時,g′(x)<0,函數(shù)g(x)在區(qū)間(?∞,0)上單調遞減.
所以當17.解:(1)設等差數(shù)列an的首項為a1,公差為d,
則4a1+(2)∵bn=3n?1,∴cn=(2n?1)?3n?1,
∴Tn=1+3×3+5×32+?+(2n?1)?3n?1
18.(Ⅰ)證明:因為PD⊥底面ABCD,DC?底面ABCD,所以PD⊥DC.
又AD⊥DC,AD∩PD=D,所以CD⊥平面PAD.
又E∈PD,AE?平面PAD,所以無論點E在棱PD的任何位置,都有CD⊥AE成立.
(Ⅱ)解:由(1)知DA、DC、DP兩兩垂直,建系如圖,
E(0,0,2),A(1,0,0),C(0,2,0),
EA=(1,0,?2),EC=(0,2,?2),
設平面EAC的法向量為n=(x,y,z)
則EA?n=x?2z=0EC?n=2y?2z=0,令x=2,得n=(2,1,1),
又因為AD⊥PD,AD⊥DC,PD∩DC=D,
所以AD⊥平面PDC.
所以平面PEC的法向量為DA=(1,0,0),
因為二面角A?EC?P的平面角為鈍角,所以二面角A?EC?P的余弦值為?|DA?n||DA|?|n|=?21?6=?63.
(Ⅲ)解:假設在棱PD上是否存在一點E,使PB/?/平面AEC,設E(0,0,a),(0≤a≤4),
PB=(1,1,?4),EA=(1,0,?a
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