湖南省郴州市2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學(xué)試卷 含解析

郴州市年下學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)（試題卷）注意事項(xiàng)：．本試卷分試題卷和答題卡試題卷共6頁，有四道大題，共道小題，滿分分考試時(shí)間分鐘.．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證條形碼粘貼在答題卡的指定位置.考生在答題卡上按答題卡中注意事項(xiàng)的要求答題.．考試結(jié)束后，將答題卡小號在上，大號在下，裝袋密封上交.85分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）1.已知拋物線，則拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的拋物線方程直接求出焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是.故選：A2.已知傾斜角為的直線的方向向量為，則的值為（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先得到直線的斜率，從而求出直線的方向向量.【詳解】因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率，第1頁/共17頁又直線的方向向量為，所以.故選：C3.已知數(shù)列的前項(xiàng)和，則（）A.10B.6C.4D.【答案】D【解析】【分析】利用第項(xiàng)與前項(xiàng)的關(guān)系求出答案.【詳解】數(shù)列的前項(xiàng)和，所以.故選：D4.已知函數(shù)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再根據(jù)計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，則，所以.故選：A5.在正項(xiàng)等比數(shù)列中，若為方程的兩個(gè)實(shí)根，則（）A.10B.C.12D.22【答案】B【解析】【分析】利用韋達(dá)定理求出，再利用對數(shù)運(yùn)算及等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算得解.【詳解】由為方程的兩個(gè)實(shí)根，得，第2頁/共17頁在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，所以.故選：B6.已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為在橢圓上，若（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用橢圓的定義，結(jié)合余弦定理求解即得.【詳解】依題意，，，而，則，在中，由余弦定理得，所以.故選：C7.在平行六面體中，，直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】取空間向量的一個(gè)基底，利用空間向量求出異面直線的夾角余弦值.【詳解】在平行六面體中，，，而，，則，第3頁/共17頁，，，因此，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選：A8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為的圓與雙曲線的一條漸近線的兩個(gè)交點(diǎn)為．若，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求出點(diǎn)到漸近線的距離，結(jié)合圓的性質(zhì)可得，進(jìn)而求出離心率.【詳解】由對稱性，不妨令漸近線為，右焦點(diǎn)，則點(diǎn)到直線距離，由，得，所以該雙曲線的離心率.第4頁/共17頁故選：D36分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分）9.已知公差為的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，且，則下列說法正確的為（）A.B.為等差數(shù)列C.當(dāng)取得最小值時(shí)，D.為遞減數(shù)列【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式，結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)可得，再逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】在等差數(shù)列中，，則，，公差，對于A，，A錯誤；對于B，，則，，為等差數(shù)列，B正確；對于D，由，得為遞增數(shù)列，D錯誤；對于C，數(shù)列前6項(xiàng)都為負(fù)，從第7項(xiàng)起都為正，因此當(dāng)取得最小值時(shí)，，C正確.故選：BC第5頁/共17頁10.已知直線與圓，則下列說法正確的是（）A.直線恒過定點(diǎn)B.當(dāng)直線與圓相切時(shí)，切線方程是C.當(dāng)時(shí)，圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于D.圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是【答案】ACD【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)判斷A；由直線與圓相切判斷B；求出圓心到直線距離判斷CD.【詳解】對于A，直線恒過定點(diǎn)，A正確；對于B，圓的圓心，半徑，點(diǎn)到直線的距離為2，即直線過點(diǎn)與圓相切，因此直線可以是，B錯誤；對于C，當(dāng)時(shí)，直線，點(diǎn)到此直線距離為，因此圓上恰有四個(gè)點(diǎn)到直線的距離等于，C正確；對于D，點(diǎn)到直線距離的最大值為，因此圓上的一點(diǎn)到直線的最大距離是，D正確.故選：ACD在棱長為2的正方體中，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)．則下列說法正確的是（）A.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，則過、、三點(diǎn)的正方體的截面的周長是第6頁/共17頁B.三棱錐的體積是定值C.直線與平面所成的線面角的正弦值是D.異面直線與所成的角的最大值是【答案】ABD【解析】AB空間向量法判斷C、D.【詳解】對于A：連接、，取的中點(diǎn)，連接、，則且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又且，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以，所以四點(diǎn)共面，則截面周長為，故A正確；對于B：，即三棱錐的體積是定值，故B正確；對于C、D：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，設(shè)，所以，又平面的法向量為，設(shè)直線與平面所成的線面角為，則，故C錯誤；因?yàn)椋?，設(shè)異面直線與所成的角為，第7頁/共17頁則，所以當(dāng)時(shí)，，又，所以，即異面直線與所成的角的最大值是，故D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題C、D選項(xiàng)的關(guān)鍵是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法定量計(jì)算.三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共分）12.已知圓，圓，則兩圓公共弦所在直線的方程為______．【答案】【解析】【分析】將兩圓相減即可得到兩圓公共弦所在直線的方程.【詳解】設(shè)兩圓交點(diǎn)為，，則兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，兩式相減得，即，所以兩點(diǎn)坐標(biāo)均滿足此方程，所以即為兩圓的公共弦所在直線的方程，故答案為：13.已知拋物線，過拋物線焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，則第8頁/共17頁______．【答案】【解析】軸，拋物線方程，消元、列出韋達(dá)定理，再由焦點(diǎn)弦公式計(jì)算可得.【詳解】直線過點(diǎn)，又拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得，所以拋物線，設(shè)，，由，消去可得，顯然，所以，則.故答案為：14.任取一個(gè)正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2．反復(fù)進(jìn)行上述兩種運(yùn)算，經(jīng)過有限次步驟后，必進(jìn)入循環(huán)圈．這就是數(shù)學(xué)史上著名的“冰雹猜想”（又稱“角谷猜想”過8個(gè)步驟變成1（簡稱為8步“雹程”滿足：（的前項(xiàng)和為______．【答案】4725或4746【解析】【分析】根據(jù)給定的運(yùn)算法則，逆推進(jìn)出前4項(xiàng)，再結(jié)合數(shù)列周期性求出.【詳解】由，得，或，若，則數(shù)列是周期數(shù)列，其周期為3，因此；若，則數(shù)列去掉前3項(xiàng)后是周期數(shù)列，其周期為3，第9頁/共17頁因此.故答案為：4725或4746【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：由“角谷猜想”的運(yùn)算法則，利用逆推的方法求出前4項(xiàng)，再利用周期性求和.四、解答題（本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）15.已知圓經(jīng)過三點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求過點(diǎn)且被圓截得的弦長為2的直線的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】1）根據(jù)已知條件，聯(lián)立方程組，求出圓一般方程，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）根據(jù)直線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，再根據(jù)圓的弦長公式，即可求得斜率，從而得到直線方程.【小問1詳解】設(shè)圓的一般方程為，將三點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，解得所以圓的一般方程為：，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.【小問2詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為：，此時(shí)直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則被圓截得的弦長為2，符合題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為：，即：由（1）圓心，圓心C到直線的距離為，由得：，解之得第10頁/共17頁所以直線的方程為：，即：綜上所述，直線的方程為：或.16.已知函數(shù)（為常數(shù)）在處的切線與直線垂直．（1）求的值；（2）已知點(diǎn)是函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求點(diǎn)到直線的距離的最小值．【答案】（1）2.（2）；【解析】1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線與已知直線垂直求出的值.（2）由（1）求出函數(shù)，平移直線與曲線相切，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線距離求出最小值.【小問1詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，則，由曲線在處的切線與直線垂直，得，所以的值是2.【小問2詳解】1與函數(shù)，則切線的斜率，解得，切點(diǎn)為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為.17.中，平面，，，，，點(diǎn)為線段上靠近的三等分點(diǎn)．第11頁/共17頁（1）求證：平面平面；（2）求平面和平面夾角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】1）根據(jù)給定條件，結(jié)合余弦定理，利用線面垂直的性質(zhì)判定、面面垂直的判定推理即得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出面面角的余弦值.【小問1詳解】在四棱錐中，，由余弦定理，得，則，而，則，，由平面平面，得，又平面，因此平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】1分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，第12頁/共17頁則，，顯然平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，取，得，設(shè)平面和平面夾角，，所以平面和平面夾角的余弦值.18.已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，數(shù)列的前項(xiàng)和為．求證：．【答案】（1）（2）證明見詳解.【解析】1）由與的關(guān)系，及等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求；（2）由（1）求出，利用裂項(xiàng)相消法求，即可證明.【小問1詳解】由題意，當(dāng)時(shí)，，解得或，因?yàn)?，所以，由得，兩式相減得，整理得，因?yàn)?，所以，所以?shù)列是首項(xiàng)為6，公差為4的等差數(shù)列，第13頁/共17頁所以.【小問2詳解】由（1）可知，，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，?19.已知雙曲線為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，漸近線方程為，點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，且的面積為．（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）、為雙曲線的左右頂點(diǎn)，直線上一點(diǎn)，以為圓心，半徑為的圓與直線交于兩點(diǎn)，直線、與雙曲線分別交于另一點(diǎn)、．①證明：為定值；②探究：直線是否恒過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由．【答案】（1）第14頁/共17頁（2）①證明見解析；②直線恒過定點(diǎn)，理由見解析【解析】1）由漸近線方程得到，再由余弦定理、三角形面積公式及雙曲線的定義得到方程組，求出，，即可得解；（2）①設(shè)，即可表示出、的坐標(biāo)，再由斜率公式計(jì)算可得；②設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與雙曲線方程，消元、列出韋達(dá)定理，根據(jù)，求出、的關(guān)系，即可得解.【小問1詳解】雙曲線的漸近線為，設(shè)，由漸近線方程為，所以，則，由，在中由余弦定理可得，又點(diǎn)為雙曲線在第一象限上的一點(diǎn)，所以，即，所以，又的面積為，即，所以，又，解得，，所以雙曲線方程為；【小問2詳解】①由（1）可得、，設(shè)，則，所以，，所以，，所以，即為定值；第15頁/共17頁②直線恒過定點(diǎn)，理由如