湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題 含解析

湖北省恩施州高中教育聯(lián)盟學(xué)年高一上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)試題命題單位：恩施州高中教育聯(lián)盟咸豐一中命題人：楊金煜謝勇謝輝考試滿分：分考試用時：分鐘注意事項：答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出兩個集合后可求它們的交集.【詳解】，故，故選：C.2.設(shè)命題，則的否定為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由全稱命題的否定即可得解.【詳解】因為命題為全稱命題，第1頁/共18頁所以該命題的否定為.故選：B.3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷充分性，舉例說明判斷必要性，進(jìn)而求解.【詳解】由，得，所以充分性成立；當(dāng)時，滿足，但不滿足，所以必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A4.已知關(guān)于的不等式的解集為的不等式）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由不等式的解集得出關(guān)系，再解分式不等式即可.【詳解】由不等式的解集為，可得，，即，所以不等式可化為，即，所以可得，解得或，所以不等式的解集為，故選：C第2頁/共18頁5.已知函數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)特殊點的函數(shù)值來確定正確答案.【詳解】，所以AD選項錯誤，，所以C選項錯誤.綜上所述，B選項正確.故選：B6.當(dāng)生物死亡后，機體內(nèi)原有的碳14含量會按確定的比率（稱為衰減率）衰減，大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個時間稱為“半衰期”.如果是某生物剛死亡時機體內(nèi)碳14的質(zhì)量，那么經(jīng)過年后，其機體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量.考古學(xué)家經(jīng)常利用生物機體內(nèi)碳14的含量來推斷古生物死亡的大致時間.現(xiàn)考古發(fā)現(xiàn)某生物機體內(nèi)碳14的含量是剛死亡時的，根據(jù)以上知識推斷該生物的死亡時間距今約（，）A.年B.年C.年D.年【答案】C【解析】第3頁/共18頁【分析】由生物機體內(nèi)碳14所剩的質(zhì)量，生物機體內(nèi)碳14的含量是剛死亡時的，列出方程，利用對數(shù)運算求出.14所剩的質(zhì)量14的含量是剛死亡時的，則，所以，則，則，又，又，，所以，解得，所以該生物的死亡時間距今約年.故選：C.7.已知函數(shù)的定義域為，，當(dāng)時，恒有.若，則的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分析條件可得為奇函數(shù)且為上的增函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)可得，結(jié)合自變量的大小可得答案.【詳解】令，則，∴.令，則，∴，故為奇函數(shù).當(dāng)時，，∵當(dāng)時，恒有，第4頁/共18頁∴，即，∴為上的增函數(shù).∵，且，∴，即.故選：B.8.已知函數(shù)且且，，則實數(shù)取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件構(gòu)造新函數(shù)得到它在上是增函數(shù)，再利用分段函數(shù)的單調(diào)性列式求解即可.【詳解】因為且，不妨設(shè)，則，則，所以，令函數(shù)第5頁/共18頁則為上的增函數(shù)，則解得.故選：D.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.下列選項正確的是（）A.B.若扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的面積為C.若是第二象限角，則是第一或第四象限角D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)值、扇形面積、象限角、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，，所以，所以A選項錯誤.B選項，對應(yīng)的弧度為，所以扇形的半徑為，所以扇形的面積為，所以B選項正確.C選項，是第二象限角，則，，所以是第一或第三象限角，C選項錯誤.D選項，若，兩邊平方可得：由于，所以，即或。當(dāng)時，，此時，第6頁/共18頁當(dāng)時，，此時，綜上，若，則（所以D選項正確.故選：BD10.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）AB.若方程有兩個不等實根，則C.若方程有四個不等實根，則D.方程所有實數(shù)根的和為10【答案】ACD【解析】【分析】畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象對四個結(jié)論依次分析，即可求解.【詳解】畫出函數(shù)的圖象，對于A，由的圖象可知其關(guān)于直線對稱，所以，故A選項正確；對于B，如圖1，當(dāng)方程有兩個不等實根時，或，故B選項錯誤.對于C，若方程有四個不等實根，由前分析知，根據(jù)對稱性可知，而是方程的兩個不等實根，所以，所以，故C選項正確.第7頁/共18頁對于D，方程可化為，則，令，則，即的圖象關(guān)于直線對稱，由A選項知，的圖象也關(guān)于直線對稱，而，下面僅討論當(dāng)時兩個函數(shù)圖象公共點的情況：，如圖2，當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以沒有公共點；當(dāng)時，聯(lián)立和，得0，即，所以曲線和在上僅有一個公共點；當(dāng)和，所以曲線和在上僅有一個交點；故的圖象與的圖象在上有兩個公共點，根據(jù)函數(shù)對稱性，的圖象與的圖象在上也有兩個公共點.第8頁/共18頁綜上，的圖象與的圖象共有五個公共點，且關(guān)于直線對稱，如圖3，所以方程所有實數(shù)根的和為10，故D選項正確.故選：ACD.已知函數(shù)，則下列選項正確的是（）A.若，則函數(shù)的最小值為0B.若且，則C.函數(shù)的圖象關(guān)于點中心對稱D.若是的三邊，則【答案】ABD【解析】【分析】利用基本不等式判斷AB；利用函數(shù)定義域不對稱判斷C判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)時，函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)1，即時，等號成立，所以函數(shù)的最小值為0，故A選項正確；對于B，由，得，即（當(dāng)且僅當(dāng)4B選項正確；對于C的定義域為且的定義域不關(guān)于點對稱，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點中心對稱，故C選項錯誤；第9頁/共18頁對于D，在上單調(diào)遞增，是的三邊，則，，所以，故D選項正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分12.函數(shù)稱為Gauss函數(shù)，表示不超過實數(shù)的最大整數(shù)，例如：，.若函數(shù)，則______________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題中定義求出的值，即可求得的值.【詳解】因為，所以；，.故答案為：.13.已知是圓心在原點，半徑為2的圓上一點，點從開始，在圓上按逆時針方向做勻速圓周運動，角速度為，則2s時點的坐標(biāo)為______________.【答案】【解析】【分析】記點是角終邊上的一點，求出角；經(jīng)過2s，記點是角終邊上的一點，根據(jù)三角函數(shù)定義，即可求出點的坐標(biāo).【詳解】記點是角終邊上的一點，第10頁/共18頁則，，則；經(jīng)過2s，記點是角終邊上的一點，由題意，則，，即點的坐標(biāo)為.故答案為：14.正實數(shù)x，y滿足，則的最小值為______________.【答案】##2.5【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性可得，再利用均值不等式即可求解.詳解】由，有，令函數(shù)，因為和都是增函數(shù)，則是增函數(shù)，所以，則，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.（1）若，求的值；（2）計算：.【答案】（1）32）7第11頁/共18頁【解析】1）根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)先求出，再由指數(shù)運算法則，即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)對數(shù)運算和指數(shù)冪的運算法則，即可求出結(jié)果.1），.（2）原式.16.已知.（1）若，求的值；（2）已知的三個內(nèi)角分別為，且，若，求的值.【答案】（1）3（2）【解析】1）利用誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得正確答案.（2）利用誘導(dǎo)公式求得正確答案.【小問1詳解】，因，所以，.【小問2詳解】由（1）得，第12頁/共18頁因為的三個內(nèi)角分別為，所以，所以，即，又因為，所以，所以.17.已知函數(shù).（1）若函數(shù)的定義域為，求實數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時，判斷函數(shù)在區(qū)間上的零點個數(shù)并證明.【答案】（1）（2）唯一一個零點，證明見解析【解析】1對任意，可求出結(jié)果；（2）當(dāng)時，，先根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，判斷其單調(diào)性，再由零點存在性定理，即可判斷出零點個數(shù).1）因為函數(shù)的定義域為，所以對任意恒成立；當(dāng)時，不等式可化為，解得，不符合題意；當(dāng)時，只需，解得，所以實數(shù)取值范圍為.（2）在區(qū)間上有唯一一個零點，證明如下：第13頁/共18頁當(dāng)時，，令，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增.又因為在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，而，又，所以，因為，又，所以，所以，結(jié)合在區(qū)間上單調(diào)遞增.所以在區(qū)間上有唯一一個零點.18.矩形的周長為20，設(shè).（1）求矩形面積的最大值及此時的值；（2）當(dāng)矩形為正方形時，將矩形分割成如圖1所示的四個全等的直角三角形和一個正方形，若正方形的邊長為1，求；（3）若，如圖2，把矩形沿某條直線折疊，使得重合，記為，折疊后，折痕與原矩形邊分別交于點的面積為，求的最小值.第14頁/共18頁【答案】（1）最大值為25，此時（2）（3）【解析】1）根據(jù)基本不等式可求最大值；（2可求的長，從而求得角的正切值；（3）利用面積差或等積法可得，再結(jié)合基本不等式可求最小值【小問1詳解】設(shè)，由題意，，所以矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以矩形面積的最大值為25，此時.【小問2詳解】設(shè)，由題意，，即，又，所以，所以.另解：設(shè)，則，在中，，解得，所以，所以.【小問3詳解】因為，所以，設(shè)，第15頁/共18頁所以，即，易知直線PQ過矩形中心，所以梯形APQD的面積為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故的最小值為.另解：因為，所以，設(shè)，所以，即，易證，所以，所以，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.故的最小值為.19.中國橋梁建筑的奇跡——跨雙鉸鋼桁架加勁梁懸索橋，兩座橋墩之間的鋼索構(gòu)成的曲線形態(tài)在數(shù)學(xué)上被稱為懸鏈線，懸鏈線在建筑和工程等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用.懸鏈線是生活中常見的一種曲線，如沾滿露珠自然下垂的蜘蛛絲、兩根電線桿之間的電線、橫跨深澗的觀光索道的電纜等，這類懸鏈線對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為是非零常數(shù)，無理數(shù)）（1線對應(yīng)的函數(shù)又稱為雙曲余弦函數(shù)，記為.求證：；（2）若為偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，請寫出一組符合條件的a，b的值，并說明理由；第16頁/共18頁（32的不等式的解集實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】1）根據(jù)新定義計算求證即可；（2）利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)單調(diào)性的定義求解即可；（3）利用函數(shù)的單調(diào)性轉(zhuǎn)化為，再由解集為的子集，列出不等式求解即可.【小問1詳解】證明：由題意，，所以，【小問2詳解】因為為偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，即，此時，任取且，所以.因為，所以，所以，所以，要使在上單調(diào)遞增，則，可以取.（答案不