2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章空間向量與立體幾何3.1.3空間向量的數(shù)量積運算練習(xí)含解析新人教A版選修2-1

PAGE1-3.1.3空間向量的數(shù)量積運算[學(xué)生用書P135(單獨成冊)][A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－eq\f(1,2)，則兩直線的夾角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選B.設(shè)向量a，b的夾角為θ，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝－eq\f(1,2)，所以θ＝120°，則兩個方向向量對應(yīng)的直線的夾角為180°－120°＝60°.2．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a，點E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點，則eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))的值為()A．a(chǎn)2 B．eq\f(1,2)a2C.eq\f(1,4)a2 D．eq\f(\r(3),4)a2解析：選C.eq\o(AE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)(eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→)))＝eq\f(1,4)(a×a×eq\f(1,2)＋a×a×eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)a2.3.如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點E，F(xiàn)，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數(shù)量積等于a2的是()A．2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→)) B．2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))C．2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→)) D．2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))解析：選B.2eq\o(BA,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝2a2cos120°＝－a2，2eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(DB,\s\up6(→))＝2a2cos60°＝a2，2eq\o(FG,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CA,\s\up6(→))＝－a2，2eq\o(EF,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝－eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,2)a2，故選B.4.如圖，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．6eq\r(2) B．6C．12 D．144解析：選C.因為eq\o(PC,\s\up6(→))＝eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，所以eq\o(PC,\s\up6(→))2＝eq\o(PA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BC,\s\up6(→))2＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋2eq\o(PA,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＋2eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以PC＝12.5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，有下列命題：①(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；②eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝0；③eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為60°；④正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))|.其中正確命題的個數(shù)是()A．1 B．2C．3 D．4解析：選B.如圖所示，(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))2＝(eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→))＋eq\o(D1C1,\s\up6(→)))2＝eq\o(AC1,\s\up6(→))2＝3eq\o(AB,\s\up6(→))2；eq\o(A1C,\s\up6(→))·(eq\o(A1B1,\s\up6(→))－eq\o(A1A,\s\up6(→)))＝eq\o(A1C,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝0；eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角是eq\o(D1C,\s\up6(→))與eq\o(D1A,\s\up6(→))夾角的補角，而eq\o(D1C,\s\up6(→))與eq\o(D1A,\s\up6(→))的夾角為60°，故eq\o(AD1,\s\up6(→))與eq\o(A1B,\s\up6(→))的夾角為120°；正方體的體積為|eq\o(AB,\s\up6(→))||eq\o(AA1,\s\up6(→))||eq\o(AD,\s\up6(→))|，綜上可知，①②正確．6．如圖，已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E為棱C1D1的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝________．解析：eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))2＝4×3×cos60°＋0＋eq\f(1,2)×42＝14.答案：147．如圖，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC?α，BD?β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分別為A，B，已知AC＝AB＝BD＝6，則線段CD的長為________．解析：因為AC⊥AB，BD⊥AB，所以eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，又因為二面角α-l-β的平面角為120°，所以〈eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))〉＝60°，所以CD2＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→)))2＝eq\o(CA,\s\up6(→))2＋eq\o(AB,\s\up6(→))2＋eq\o(BD,\s\up6(→))2＋2(eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→)))＝3×62＋2×62×cos60°＝144，所以CD＝12.答案：128.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各條棱長都相等，M是側(cè)棱CC1的中點，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________．解析：不妨設(shè)棱長為2，則eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))－eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(BB1,\s\up6(→))，cos〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝eq\f(（\o(BB1,\s\up6(→))－\o(BA,\s\up6(→))）·（\o(BC,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(BB1,\s\up6(→))）,2\r(2)×\r(5))＝eq\f(0－2＋2－0,2\r(2)×\r(5))＝0，所以〈eq\o(AB1,\s\up6(→))，eq\o(BM,\s\up6(→))〉＝90°.答案：90°9．已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AA1B1B的中心，F(xiàn)為A1D1的中點．求下列向量的數(shù)量積．(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))；(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→)).解：如圖所示，設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c，則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)eq\o(BC,\s\up6(→))·eq\o(ED1,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))·(eq\o(EA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1D1,\s\up6(→)))＝b·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)（c－a）＋b))＝|b|2＝42＝16.(2)eq\o(BF,\s\up6(→))·eq\o(AB1,\s\up6(→))＝(eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1F,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AA1,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c－a＋\f(1,2)b))·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.10．如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M，N分別是A1B，B1C1上的點，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，eq\o(AA1,\s\up6(→))＝c.(1)試用a，b，c表示向量eq\o(MN,\s\up6(→))；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的長．解：(1)eq\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(MA1,\s\up6(→))＋eq\o(A1B1,\s\up6(→))＋eq\o(B1N,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BA1,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(B1C1,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)(c－a)＋a＋eq\f(1,3)(b－a)＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c.(2)因為(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×eq\f(1,2)＋2×1×1×eq\f(1,2)＝5，所以|a＋b＋c|＝eq\r(5)，所以|eq\o(MN,\s\up6(→))|＝eq\f(1,3)|a＋b＋c|＝eq\f(\r(5),3)，即MN＝eq\f(\r(5),3).[B實力提升]11．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選C.依據(jù)已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝(eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＋eq\o(DB,\s\up6(→)))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＋|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＋eq\o(DB,\s\up6(→))·eq\o(CD,\s\up6(→))＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|2＝1，所以cos〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CD,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(AB,\s\up6(→))·\o(CD,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))||\o(CD,\s\up6(→))|)＝eq\f(1,2)，所以AB與CD所成的角為60°.12．在三棱錐O-ABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E為OA的中點，F(xiàn)為BC的中點，則EF＝________．解析：因為eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\o(OF,\s\up6(→))－eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→)))－eq\f(1,2)eq\o(OA,\s\up6(→))，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))2＝eq\f(1,4)(eq\a\vs4\al(\o(OB,\s\up6(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(OC,\s\up6(→)))2＋eq\a\vs4\al(\o(OA,\s\up6(→)))2＋2eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))－2eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))－2eq\o(OC,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→)))．又由已知得|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝2，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))⊥eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))·eq\o(OC,\s\up6(→))＝2×2×eq\f(1,2)＝2，所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|2＝eq\f(1,4)(4＋4＋4＋4)＝4.所以|eq\o(EF,\s\up6(→))|＝2，即EF＝2.答案：213.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F(xiàn)分別是C1D1，D1D的中點，若正方體的棱長為1.求直線CE與AF所成角的余弦值．解：eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))，eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\o(CC1,\s\up6(→))＋eq\o(C1E,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→)).因為eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，eq\o(AD,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝0，所以eq\o(CE,\s\up6(→))·eq\o(AF,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AA1,\s\up6(→))－\f(1,2)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(AD,\s\up6(→))＋\f(1,2)\o(AA1,\s\up6(→))))＝eq\o(AA1,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))2－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AA1,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AA1,\s\up6(→))2＝eq\f(1,2)，又|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CE,\s\up6(→))|＝eq\f(\r(5),2)，所以cos〈eq\o(CE,\s\up6(→))，eq\o(AF,\s\up6(→))〉＝eq\f(\o(CE,\s\up6(→))·\o(AF,\s\up6(→)),|\o(CE,\s\up6(→))||\o(AF,\s\up6(→))|)＝eq\f(\f(1,2),\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(2,5).14.(選做題)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長都為eq\r(2).(1)設(shè)側(cè)棱長為1，求證：AB1⊥BC1；(2)設(shè)AB1與BC1的夾角為eq\f(π,3)，求側(cè)棱的長．解：(1)證明：eq\o(AB1,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BB1,\s\up6(→))，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝eq\o(BB1,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).因為BB1⊥平面ABC，所以eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(BB1,\s\up6(→))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0.又△ABC為正三角形，所以〈eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－〈eq\o(BA,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))〉＝π－eq\f(π,