2024-2025學年新教材高中數(shù)學第七章復數(shù)7.3復數(shù)的三角表示學案新人教A版必修第二冊

PAGE1-7．3*復數(shù)的三角表示考點學習目標核心素養(yǎng)復數(shù)的三角形式了解復數(shù)的三角形式，了解復數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關系數(shù)學抽象復數(shù)三角形式乘、除運算的三角表示及其幾何意義了解復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義數(shù)學抽象、數(shù)學運算問題導學預習教材P83－P89的內(nèi)容，思索以下問題：1．復數(shù)z＝a＋bi的三角形式是什么？2．復數(shù)的輻角、輻角的主值是什么？3．復數(shù)三角形式的乘、除運算公式是什么？4．復數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義是什么？1．復數(shù)的三角表示式及復數(shù)的輻角和輻角的主值一般地，任何一個復數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cosθ＋isinθ)的形式，其中，r是復數(shù)z的模；θ是以x軸的非負半軸為始邊，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射線(射線eq\o(OZ,\s\up6(→)))為終邊的角，叫做復數(shù)z＝a＋bi的輻角，我們規(guī)定在0≤θ<2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz.r(cosθ＋isinθ)叫做復數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式．a(chǎn)＋bi叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．■名師點撥(1)任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值，且這些值相差2π的整數(shù)倍．(2)復數(shù)0的輻角是隨意的．(3)在0≤θ＜2π范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作argz，且0≤argz＜2π.(4)兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等．2．復數(shù)三角形式的乘、除運算若復數(shù)z1＝r1(cosθ1＋isinθ1)，z2＝r2(cosθ2＋isinθ2)，且z1≠z2，則(1)z1z2＝r1(cosθ1＋isinθ1)·r2(cosθ2＋isinθ2)＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．(2)eq\f(z1,z2)＝eq\f(r1（cosθ1＋isinθ1）,r2（cosθ2＋isinθ2）)＝eq\f(r1,r2)[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．即：兩個復數(shù)相乘，積的模等于各復數(shù)的模的積，積的輻角等于各復數(shù)的輻角的和．兩個復數(shù)相除，商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商，商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差．推斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)復數(shù)的輻角是唯一的．()(2)z＝cosθ－isinθ是復數(shù)的三角形式．()(3)z＝－2(cosθ＋isinθ)是復數(shù)的三角形式．()(4)復數(shù)z＝cosπ＋isinπ的模是1，輻角的主值是π.()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√復數(shù)z＝1＋i的三角形式為z＝________．解析：r＝eq\r(2)，cosθ＝eq\f(1,\r(2))＝eq\f(\r(2),2)，又因為1＋i對應的點位于第一象限，所以arg(1＋i)＝eq\f(π,4).所以1＋i＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4))).答案：eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))復數(shù)6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2)))的代數(shù)形式為________．解析：6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2)))＝6coseq\f(π,2)＋6isineq\f(π,2)＝6i.答案：6i6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))×4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝________；6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))÷4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝________．解析：6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))×4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝24eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋\f(π,6)))))＝24i.6eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))÷4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝eq\f(6,4)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－\f(π,6)))))＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(3,4)i.答案：24ieq\f(3\r(3),4)＋eq\f(3,4)i復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的互化角度一代數(shù)形式化為三角形式把下列復數(shù)的代數(shù)形式化成三角形式：(1)eq\r(3)＋i；(2)eq\r(2)－eq\r(2)i.【解】(1)r＝eq\r(3＋1)＝2，因為eq\r(3)＋i對應的點在第一象限，所以cosθ＝eq\f(\r(3),2)，即θ＝eq\f(π,6)，所以eq\r(3)＋i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6))).(2)r＝eq\r(2＋2)＝2，cosθ＝eq\f(\r(2),2)，又因為eq\r(2)－eq\r(2)i對應的點位于第四象限，所以θ＝eq\f(7π,4).所以eq\r(2)－eq\r(2)i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,4)＋isin\f(7π,4))).eq\a\vs4\al()復數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟(1)先求復數(shù)的模．(2)確定輻角所在的象限．(3)依據(jù)象限求出輻角．(4)求出復數(shù)的三角形式．[提示]一般在復數(shù)三角形式中的輻角，常取它的主值這既使表達式簡便，又便于運算，但三角形式輻角不肯定取主值．角度二三角形式化為代數(shù)形式分別指出下列復數(shù)的模和輻角的主值，并把這些復數(shù)表示成代數(shù)形式．(1)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))；(2)eq\f(\r(3),2)(cos60°＋isin60°)；(3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)－isin\f(π,3))).【解】(1)復數(shù)4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))的模r＝4，輻角的主值為θ＝eq\f(π,6).4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝4coseq\f(π,6)＋4isineq\f(π,6)＝4×eq\f(\r(3),2)＋4×eq\f(1,2)i＝2eq\r(3)＋2i.(2)eq\f(\r(3),2)(cos60°＋isin60°)的模r＝eq\f(\r(3),2)，輻角的主值為θ＝60°.eq\f(\r(3),2)(cos60°＋isin60°)＝eq\f(\r(3),2)×eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)×eq\f(\r(3),2)i＝eq\f(\r(3),4)＋eq\f(3,4)i.(3)2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)－isin\f(π,3)))＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π)).所以復數(shù)的模r＝2，輻角的主值為eq\f(5,3)π.2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))＝2coseq\f(5,3)π＋2isineq\f(5,3)π＝2×eq\f(1,2)＋2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)))i＝1－eq\r(3)i.eq\a\vs4\al()復數(shù)的三角形式z＝r(cosθ＋isinθ)必需滿意“模非負、余正弦、＋相連、角統(tǒng)一、i跟sin”，否則就不是三角形式，只有化為三角形式才能確定其模和輻角，如本例(3)．下列復數(shù)是不是復數(shù)的三角形式？假如不是，把它們表示成三角形式．(1)eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)－isin\f(π,4)))；(2)－eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))；(3)eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3π,4)＋icos\f(3π,4)))；(4)coseq\f(7π,5)＋isineq\f(7π,5)；(5)eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,6))).解：依據(jù)復數(shù)三角形式的定義可知，(1)、(2)、(3)、(5)不是，(4)是復數(shù)的三角形式．(1)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))；(2)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π＋\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4π,3)＋isin\f(4π,3)))；(3)原式＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(3π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\f(3π,4)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))；(5)原式＝eq\f(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2))).復數(shù)三角形式的乘、除運算計算：(1)8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))；(2)eq\r(3)(cos225°＋isin225°)÷[eq\r(2)(cos150°＋isin150°)]；(3)4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4))).【解】(1)8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(4,3)π＋isin\f(4,3)π))×4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,6)π＋isin\f(5,6)π))＝32eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋\f(5,6)π))))＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝32eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)＋\f(1,2)i))＝16eq\r(3)＋16i.(2)eq\r(3)(cos225°＋isin225°)÷[eq\r(2)(cos150°＋isin150°)]＝eq\f(\r(3),\r(2))[cos(225°－150°)＋isin(225°－150°)]＝eq\f(\r(6),2)(cos75°＋isin75°)＝eq\f(\r(6),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2),4)＋\f(\r(6)＋\r(2),4)i))＝eq\f(6－2\r(3),8)＋eq\f(6＋2\r(3),8)i＝eq\f(3－\r(3),4)＋eq\f(3＋\r(3),4)i.(3)4÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))＝4(cos0＋isin0)÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))＝4eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝2eq\r(2)－2eq\r(2)i.eq\a\vs4\al()(1)乘法法則：模相乘，輻角相加．(2)除法法則：模相除，輻角相減．(3)復數(shù)的n次冪，等于模的n次冪，輻角的n倍．計算：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\up12(2)；(2)eq\r(2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3))))).解：(1)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))eq\s\up12(2)＝(eq\r(2))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝－1＋eq\r(3)i.(2)eq\f(1,2)－eq\f(1,2)i＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)－\f(\r(2),2)i))＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))，所以eq\r(2)(cos75°＋isin75°)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(1,2)i))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,12)π＋isin\f(5,12)π))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7,4)π＋isin\f(7,4)π))))＝eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π＋\f(7,4)π))))＝coseq\f(26,12)π＋isineq\f(26,12)π＝coseq\f(π,6)＋isineq\f(π,6)＝eq\f(\r(3),2)＋eq\f(1,2)i.(3)因為－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i＝coseq\f(2,3)π＋isineq\f(2,3)π，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2,3)π＋isin\f(2,3)π))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)π－\f(π,3)))))＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝eq\f(1,4)＋eq\f(\r(3),4)i.復數(shù)三角形式乘、除運算的幾何意義在復平面內(nèi)，把復數(shù)3－eq\r(3)i對應的向量分別按逆時針和順時針方向旋轉eq\f(π,3)，求所得向量對應的復數(shù)．【解】因為3－eq\r(3)i＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－\f(1,2)i))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))所以2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))＝2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π＋\f(π,3)))))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(13,6)π＋isin\f(13,6)π))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))＝3＋eq\r(3)i，2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,6)π＋isin\f(11,6)π))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))))＝2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π－\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(11,6)π－\f(π,3)))))＝2eq\r(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,2)π＋isin\f(3,2)π))＝－2eq\r(3)i.故把復數(shù)3－eq\r(3)i對應的向量按逆時針旋轉eq\f(π,3)得到的復數(shù)為3＋eq\r(3)i，按順時針旋轉eq\f(π,3)得到的復數(shù)為－2eq\r(3)i.eq\a\vs4\al()兩個復數(shù)z1，z2相乘時，先分別畫出與z1，z2對應的向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，然后把向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))繞點O按逆時針方向旋轉角θ2(假如θ2<0，就要把eq\o(OZ1,\s\up6(→))繞點O按順時針方向旋轉角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量eq\o(OZ,\s\up6(→))，eq\o(OZ,\s\up6(→))表示的復數(shù)就是積z1z2.在復平面內(nèi)，把與復數(shù)eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(3,4)i對應的向量繞原點O按逆時針方向旋轉eq\f(π,3)，然后將其長度伸長為原來的2倍，求與所得向量對應的復數(shù)．(用代數(shù)形式表示)解：eq\f(3\r(3),4)＋eq\f(3,4)i＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，由題意得eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))))＝eq\f(3,2)×2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)＋\f(π,3)))))＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,2)＋isin\f(π,2)))＝3i，即與所得向量對應的復數(shù)為3i.1．復數(shù)1－eq\r(3)i的輻角的主值是()A.eq\f(5,3)π B.eq\f(2,3)πC.eq\f(5,6)π D.eq\f(π,3)解析：選A.因為1－eq\r(3)i＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))，所以1－eq\r(3)i輻角的主值為eq\f(5,3)π.2．復數(shù)9(cosπ＋isinπ)的模是________．答案：93．a(chǎn)rg(－2i)＝________．答案：eq\f(3,2)π4．計算：(1)(cos75°＋isin75°)(cos15°＋isin15°)；(2)2(cos300°＋isin300°)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π)))).解：(1)(cos75°＋isin75°)(cos15°＋isin15°)＝cos(75°＋15°)＋isin(75°＋15°)＝cos90°＋isin90°＝i.(2)2(cos300°＋isin300°)÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5,3)π＋isin\f(5,3)π))÷eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3,4)π＋isin\f(3,4)π))))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)π－\f(3,4)π))))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(11,12)π＋isin\f(11,12)π))＝－eq\f(1＋\r(3),2)＋eq\f(\r(3)－1,2)i.[A基礎鞏固]1．復數(shù)eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i的三角形式是()A．coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))) B．coseq\f(π,3)＋isineq\f(π,3)C．coseq\f(π,3)－isineq\f(π,3) D．coseq\f(π,3)＋isineq\f(5π,6)解析：選A.eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝coseq\f(5,3)π＋isineq\f(5,3)π＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π－\f(π,3)))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3))).2．復數(shù)sin50°－isin140°的輻角的主值是()A．150° B．40°C．－40° D．320°解析：選D.sin50°－isin140°＝cos(270°＋50°)＋isin(180°＋140°)＝cos320°＋isin320°.3．復數(shù)sin4＋icos4的輻角的主值為()A．4 B.eq\f(3π,2)－4C．2π－4 D.eq\f(5π,2)－4解析：選D.sin4＋icos4＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－4))＋isineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)π－4)).4．若復數(shù)cosθ＋isinθ和sinθ＋icosθ相等，則θ的值為()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π,4)或eq\f(5π,4)C．2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z) D．kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)解析：選D.因為cosθ＋isinθ＝sinθ＋icosθ，所以cosθ＝sinθ，即tanθ＝1，所以θ＝eq\f(π,4)＋kπ，(k∈Z)．5．假如θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么復數(shù)(1＋i)(cosθ－isinθ)的三角形式是()A.eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)－θ))))B.eq\r(2)[cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)]C.eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋θ))))D.eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,4)＋θ))))解析：選A.因為1＋i＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))，cosθ－isinθ＝cos(2π－θ)＋isin(2π－θ)，所以(1＋i)(cosθ－isinθ)＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2π－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋2π－θ))))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)－θ))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9π,4)－θ)))).6．已知z＝coseq\f(2π,3)＋isineq\f(2π,3)，則argz2＝________．解析：因為argz＝eq\f(2π,3)，所以argz2＝2argz＝2×eq\f(2π,3)＝eq\f(4π,3).答案：eq\f(4π,3)7．把復數(shù)1＋i對應的向量按順時針方向旋轉eq\f(π,2)，所得到的向量對應的復數(shù)是________．解析：(1＋i)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)))))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(π,2)))))＝eq\r(2)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)))))＝1－i.答案：1－i8．設復數(shù)z1＝1＋eq\r(3)i，z2＝eq\r(3)＋i，則eq\f(z1,z2)的輻角的主值是_________________．解析：由題知，z1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,3)＋isin\f(π,3)))，z2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，所以eq\f(z1,z2)的輻角的主值為eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)9．設復數(shù)z1＝eq\r(3)＋i，復數(shù)z2滿意|z2|＝2，已知z1zeq\o\al(2,2)的對應點在虛軸的負半軸上，且argz2∈(0，π)，求z2的代數(shù)形式．解：因為z1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,6)＋isin\f(π,6)))，設z2＝2(cosα＋isinα)，α∈(0，π)，所以z1zeq\o\al(2,2)＝8eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6)))＋isin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2α＋\f(π,6))))).由題設知2α＋eq\f(π,6)＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)，所以α＝kπ＋eq\f(2π,3)(k∈Z)，又α∈(0，π)，所以α＝eq\f(2π,3)，所以z2＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(2π,3)＋isin\f(2π,3)))＝－1＋eq\r(3)i.10．已知z＝eq\f(－1＋i,i)－2i，z1－eq\o(z,\s\up6(－))z2＝0，argz2＝eq\f(7π,12)，若z1，z2在復平面內(nèi)分別對應點A，B，且|AB|＝eq\r(2)，求z1和z2.解：由題設知z＝1－i，因為|AB|＝eq\r(2)，即|z1－z2|＝eq\r(2)，所以|z1－z2|＝|eq\o(z,\s\up6(－))z2－z2|＝|(1＋i)z2－z2|＝|iz2|＝|z2|＝eq\r(2)，又argz2＝eq\f(7π,12)，所以z2＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,12)＋isin\f(7π,12)))，z1＝eq\o(z,\s\up6(－))z2＝(1＋i)z2＝eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(π,4)＋isin\f(π,4)))·eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(7π,12)＋isin\f(7π,12)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(5π,6)＋isin\f(5π,6))).[B實力提升]11．若復數(shù)z＝(a＋i)2的輻角的主值是eq\f(3π,2)，則實數(shù)a的值是()A．1 B．－1C．－