2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)19不等式的實(shí)際應(yīng)用含解析新人教B版必修5

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(十九)不等式的實(shí)際應(yīng)用(建議用時(shí)：60分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]一、選擇題1．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無(wú)蓋長(zhǎng)方體容器，已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是A．80元 B．120元C．160元 D．240元C[設(shè)底面長(zhǎng)為xm，則寬為eq\f(4,x)m，(x>0)則該容器的總造價(jià)y＝4×20＋10×(2x＋2×eq\f(4,x))×1＝80＋20(x＋eq\f(4,x))≥80＋20×2eq\r(x×\f(4,x))＝160.當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時(shí)等號(hào)成立．]2．某出版社，假如以每本2.50元的價(jià)格發(fā)行一種圖書，可發(fā)行80000本．假如一本書的定價(jià)每上升0.1元，發(fā)行量就削減2000本，那么要使收入不低于200000元，這種書的最高定價(jià)應(yīng)當(dāng)是()A．2元 B．3元C．4元 D．5元C[設(shè)這本書定價(jià)x元時(shí)收入為y，則y＝x(80000－2000×eq\f(x－2.5,0.1))，要使收入不低于200000，即y≥200000.解得2.5≤x≤4，所以最高定價(jià)應(yīng)當(dāng)是4元．]3．某商品在最近30天內(nèi)的價(jià)格f(t)與時(shí)間t(單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10(0＜t≤20，t∈N)；銷售量g(t)與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系是g(t)＝－t＋35(0＜t≤30，t∈N)，則使這種商品日銷售金額不小于500元的時(shí)間t滿意()A．15≤t≤20 B．10≤t≤15C．10＜t＜15 D．0＜t≤10B[由題知，日銷售金額h(t)＝f(t)g(t)＝(t＋10)(－t＋35)≥500，即t2－25t＋150≤0，解得10≤t≤15.]4．在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)xA．[15,20] B．[12,25]C．[10,30] D．[20,30]C[如圖所示，過A作AH⊥BC于H，交DE于F，易知eq\f(DE,BC)＝eq\f(x,40)＝eq\f(AD,AB)＝eq\f(AF,AH)＝eq\f(AF,40)，則有AF＝x，F(xiàn)H＝40－x，由題意知陰影部分的面積S＝x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，即x的取值范圍為[10,30]．]5．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)打算費(fèi)用為800元，若每批生產(chǎn)x件(x＞0)，則平均倉(cāng)儲(chǔ)時(shí)間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用為1元，為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)打算費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件 D．120件B[由題意知，平均每件的生產(chǎn)打算費(fèi)用與倉(cāng)儲(chǔ)費(fèi)用之和為f(x)＝eq\f(800＋\f(1,8)x2,x)＝eq\f(800,x)＋eq\f(1,8)x(x∈N＋)，f(x)≥2eq\r(\f(800,x)×\f(1,8)x)＝20.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(800,x)＝eq\f(1,8)x，即x＝80時(shí)，f(x)取得最小值．]二、填空題6．某家庭用14.4萬(wàn)元購(gòu)買了一輛汽車，運(yùn)用中修理費(fèi)用逐年上升，第n年修理費(fèi)用約為0.2n萬(wàn)元，每年其他費(fèi)用為0.9萬(wàn)元．報(bào)廢損失最小指的是購(gòu)車費(fèi)、修理費(fèi)及其他費(fèi)用之和的年平均值最小，則這輛車應(yīng)在________年后報(bào)廢損失最?。?2[年平均值eq\x\to(y)＝eq\f(14.4＋0.9n＋0.21＋2＋…＋n,n)＝eq\f(14.4,n)＋0.1n＋1≥3.4，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(14.4,n)＝0.1n，即n＝12時(shí)，年平均值最小，所以12年后報(bào)廢損失最小．]7．某公司一年購(gòu)買某種貨物400噸，每次都購(gòu)買x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x＝________噸．20[設(shè)一年總費(fèi)用為y萬(wàn)元，每年購(gòu)買次數(shù)為eq\f(400,x)次，則y＝eq\f(400,x)·4＋4x＝eq\f(1600,x)＋4x≥2eq\r(\f(1600,x)·4x)＝2eq\r(6400)＝160(萬(wàn)元)．當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1600,x)＝4x，即x＝20時(shí)等號(hào)成立，故x＝20.]8．某校要建一個(gè)面積為392m2的長(zhǎng)方形游泳池，并且在四周要修建出寬為2m和4m的小路(如圖所示)，則占地面積的最小值為________m2648[設(shè)游泳池的長(zhǎng)為xm，則游泳池的寬為eq\f(392,x)m，又設(shè)占地面積為ym2，依題意，得y＝(x＋8)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(392,x)＋4))＝424＋4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(784,x)))≥424＋224＝648(m2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(784,x)，即x＝28時(shí)，取“＝”．]三、解答題9．甲廠以x千克/小時(shí)的速度勻速生產(chǎn)某種產(chǎn)品(生產(chǎn)條件要求1≤x≤10)，每小時(shí)可獲得利潤(rùn)是100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))元．(1)要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，求x的取值范圍；(2)要使生產(chǎn)900千克該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，問：甲廠應(yīng)當(dāng)選取何種生產(chǎn)速度？并求最大利潤(rùn)．[解](1)依據(jù)題意，200eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))≥3000，整理得5x－14－eq\f(3,x)≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.即要使生產(chǎn)該產(chǎn)品2小時(shí)獲得的利潤(rùn)不低于3000元，x的取值范圍是[3,10]．(2)設(shè)利潤(rùn)為y元，則y＝eq\f(900,x)·100eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5x＋1－\f(3,x)))＝9×104eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5＋\f(1,x)－\f(3,x2)))＝9×104eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)－\f(1,6)))2＋\f(61,12)))，故x＝6時(shí)，ymax＝457500元．即甲廠以6千克/小時(shí)的生產(chǎn)速度生產(chǎn)900千克，該產(chǎn)品獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為457500元．10．某單位用2160萬(wàn)元購(gòu)得一塊空地，安排在該空地上建立一棟至少10層，每層2000平方米的樓房．經(jīng)測(cè)算，假如將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費(fèi)用為560＋48x(單位：元)．(1)寫出樓房平均綜合費(fèi)用y關(guān)于建立層數(shù)x的函數(shù)關(guān)系式；(2)該樓房應(yīng)建立多少層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少？最少值是多少？(注：平均綜合費(fèi)用＝平均建筑費(fèi)用＋平均購(gòu)地費(fèi)用，平均購(gòu)地費(fèi)用＝eq\f(購(gòu)地總費(fèi)用,建筑總面積))[解](1)依題意得y＝(560＋48x)＋eq\f(2160×10000,2000x)＝560＋48x＋eq\f(10800,x)(x≥10，x∈N＋)．(2)∵x>0，∴48x＋eq\f(10800,x)≥2eq\r(48×10800)＝1440，當(dāng)且僅當(dāng)48x＝eq\f(10800,x)，即x＝15時(shí)取到“＝”，此時(shí)，平均綜合費(fèi)用的最小值為560＋1440＝2000(元)．答：當(dāng)該樓房建立15層時(shí)，可使樓房每平方米的平均綜合費(fèi)用最少，最少值為2000元．[實(shí)力提升練]1．小王從甲地到乙地來(lái)回的時(shí)速分別為a和b(a<b)，其全程的平均時(shí)速為v，則()A．a(chǎn)<v<eq\r(ab) B．v＝eq\r(ab)C．eq\r(ab)<v<eq\f(a＋b,2) D．v＝eq\f(a＋b,2)A[設(shè)路程為s，則v＝eq\f(2s,\f(s,a)＋\f(s,b))＝eq\f(2ab,a＋b)，因?yàn)?<a<b，所以a＋b>2eq\r(ab)>0，∴eq\f(2ab,a＋b)<eq\f(2ab,2\r(ab))＝eq\r(ab).因?yàn)関－a＝eq\f(2ab,a＋b)－a＝eq\f(2ab－a2－ab,a＋b)＝eq\f(ab－a,a＋b)>0，所以v>A．綜上可得，a<v<eq\r(ab).]2．如圖所示，P是球O的直徑AB上的動(dòng)點(diǎn)，PA＝x，過P點(diǎn)且與AB垂直的截面面積記為y，則y＝f(x)的大致圖象是以下選項(xiàng)中的()A[設(shè)球的半徑為R，截面圓的半徑為r，則r2＝x(2R－x)，∴f(x)＝πr2＝π·x(2R－x)＝－π(x－R)2＋πR2，其圖象是過原點(diǎn)且開口向下的拋物線的一部分．]3．某商家一月份至五月份累計(jì)銷售額達(dá)3860萬(wàn)元，預(yù)料六月份銷售額為500萬(wàn)元，七月份銷售額比六月份遞增x%，八月份銷售額比七月份遞增x%，九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等．若一月份至十月份銷售總額至少達(dá)7000萬(wàn)元，則x的最小值是________．20[七月份的銷售額為500(1＋x%)，八月份的銷售額為500(1＋x%)2，則一月份到十月份的銷售總額是3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，依據(jù)題意有3860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥eq\f(6,5)或者t≤－eq\f(11,5)(舍去)，故1＋x%≥eq\f(6,5)，解得x≥20.]4．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上須要含鹽5%以上、6%以下的食鹽水，設(shè)須要加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是________．(100,400)[依題意，得5%＜eq\f(x·4%＋200·7%,x＋200)＜6%，解得x的范圍是(100,400)．]5．某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每日的成本C(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x(單位：噸)滿意函數(shù)關(guān)系式C＝3＋x，每日的銷售額S(單位：萬(wàn)元)與日產(chǎn)量x滿意函數(shù)關(guān)系式S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋\f(k,x－8)＋50<x<6，,14x≥6.))已知每日的利潤(rùn)L＝S－C，且當(dāng)x＝2時(shí)，L＝3.(1)求k的值；(2)當(dāng)日產(chǎn)量為多少噸時(shí)，每日的利潤(rùn)可以達(dá)到最大？并求出最大值．[解]由題意得，每日的利潤(rùn)L與日產(chǎn)量x的函數(shù)關(guān)系式為L(zhǎng)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(k,x－8)＋