4.3.1 等比數(shù)列的概念（8大題型）精練（原卷版）

.3.1等比數(shù)列的概念【題型1等比數(shù)列的定義】1、（2021·陜西延安·高二校考階段練習）下面各數(shù)列是等比數(shù)列的是（）（1），，，；（2）1，2，3，4；（3）x，x，x，x；（4），，，.A．（1）（2）（3）（4）B．（1）（3）（4）C．（1）（4）D．（1）（2）（4）2、（2022·高二課時練習）已知數(shù)列a，，，…是等比數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（）．A．B．或C．D．且3、（2023·貴州黔東南·高二校考階段練習）數(shù)列1，1，1，…，1，…必為（）A．等差數(shù)列，但不是等比數(shù)列B．等比數(shù)列，但不是等差數(shù)列C．既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列D．既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列4、（2022·高二課時練習）已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an－1(a是不為零且不等于1的常數(shù))，則數(shù)列{an}（）A．一定是等差數(shù)列B．一定是等比數(shù)列C．是等差數(shù)列或等比數(shù)列D．既非等差數(shù)列，也非等比數(shù)列5、（2023·湖南長沙·高二長郡中學?？计谥校ǘ噙x）已知數(shù)列是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是（）A．B．C．D．【題型2等比數(shù)列的通項與基本量】1、（2023·甘肅甘南·高二?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，則（）A．-3B．3C．3或-3D．或2、（2023·遼寧沈陽·高二康平高級中學校聯(lián)考階段練習）等比數(shù)列中，若，則公比為（）A．B．C．D．或3、（2023·河北衡水·高二衡水第二中學?？计谥校┰诘缺葦?shù)列中，，，成等差數(shù)列，則（）A．B．C．2D．44、（2023·云南曲靖·高二曲靖民族中學校考期末）（多選）在等比數(shù)列中，，則的公比可能為（）A．B．C．2D．45、（2023·高二課時練習）已知等比數(shù)列是遞減數(shù)列，若，是方程的兩個根，求和．【題型3等比中項及其應用】1、（2022·廣西梧州·高二?？计谥校┡c的等差中項和等比中項分別是（）A．B．C．D．2、（2023·上海普陀·高二?？计谥校啊笔恰癎是a、b的等比中項”的（）條件A．既不充分也不必要B．充分不必要C．必要不充分D．充要3、（2023·河南信陽·高二信陽高中?？茧A段練習）已知數(shù)列是等比數(shù)列，函數(shù)的零點分別是，則（）A．2B．C．D．4、（2021·河南洛陽·高二?？茧A段練習）等比數(shù)列的各項都為正數(shù)，且，則等于（）A．12B．10C．8D．305、（2023·甘肅蘭州·高二?？计谀┮阎獢?shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，若，則（）A．5B．C．D．無法確定【題型4等比數(shù)列的性質(zhì)】1、（2022·全國·高二課時練習）設是等比數(shù)列，且，，則（）A．12B．2C．30D．322、（2023·遼寧葫蘆島·高三校聯(lián)考階段練習）在等比數(shù)列中，已知，則必有（）A．B．C．D．3、（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期中）已知正項等比數(shù)列中，，則（）A．1012B．2024C．D．4、（2023·全國·模擬預測）已知各項均為正數(shù)的數(shù)列滿足對任意的正整數(shù)m，n都有，，則（）A．B．C．D．5、（2023·云南昆明·高三昆明市第十中學?？奸_學考試）設是等比數(shù)列，且，，則.【題型5等比數(shù)列的證明】1、（2023·全國·高二專題練習）記為數(shù)列的前項和，已知．證明：為等比數(shù)列；2、（2023·高二課時練習）已知數(shù)列滿足：，．（1）求證：為等比數(shù)列；（2）求的通項公式．3、（2023·天津·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的前項和為，且.在數(shù)列中，，.（1）求的通項公式；（2）證明：是等比數(shù)列.4、（2023·甘肅張掖·高二高臺縣第一中學?？茧A段練習）已知數(shù)列的首項，.（1）證明：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式.5、（2023·高二課時練習）數(shù)列中，，，且是以3為公比的等比數(shù)列，記．（1）求、、、的值；（2）求證：是等比數(shù)列．【題型6由等比數(shù)列構(gòu)造新數(shù)列】1、（2022·寧夏銀川·高三銀川一中?？茧A段練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年（公元1584年），他寫成《律學新說》，提出了十二平均律的理論，這一成果被意大利傳教士利瑪竇通過絲綢之路帶到了西方，對西方音樂產(chǎn)生了深遠的影響.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，新插入的第4個數(shù)應為（）A．B．C．D．2、（2023·福建福州·高二福州第一中學?？计谀┮阎獢?shù)列是等差數(shù)列，且，將去掉一項后，剩下三項依次為等比數(shù)列的前三項，則（）A．B．C．D．3、（2023·山東青島·高二統(tǒng)考期中）（多選）已知數(shù)列是一個無窮等比數(shù)列，前項和為，公比為，則（）A．將數(shù)列中的前項去掉，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列B．取出數(shù)列的偶數(shù)項，剩余項按在原數(shù)列的順序組成的新數(shù)列仍是等比數(shù)列C．從數(shù)列中每隔10項取出一項組成的新數(shù)列仍為等比數(shù)列D．數(shù)列不是等比數(shù)列4、（2023·北京·高二北京市八一中學校考期中）在和之間插入三個數(shù)，使這五個數(shù)組成正項等比數(shù)列，則中間三個數(shù)的積等于.5、（2023·上?！じ叨？计谥校┰O、、…、是各項不為零的等差數(shù)列，，且公差，若將此數(shù)列刪去某一項后，得到的數(shù)列（按原來順序）是等比數(shù)列，則滿足題意的所有數(shù)對為．【題型7等比數(shù)列的單調(diào)性與最值】1、（2023·北京房山·高二統(tǒng)考期末）設各項均為正數(shù)的等比數(shù)列的公比為q，且，則“為遞減數(shù)列”是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2、（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預測）已知正項等比數(shù)列滿足，則取最大值時的值為（）A．8B．9C．10D．113、（2023·山西忻州·統(tǒng)考模擬預測）在等比數(shù)列中，若，，則當取得最大值時，．4、（2022·黑龍江齊齊哈爾·高二恒昌中學校校考期末）設等比數(shù)列的公比為q，前n項積為，并且滿足條件，，，則下列結(jié)論正確的是（）A．B．C．D．沒有最大值5、（2023·甘肅武威·高二天祝藏族自治縣第一中學?？茧A段練習）（多選）關(guān)于遞減等比數(shù)列，下列說法正確的是（）A．當時，B．當時，C．當時，D．【題型8等比數(shù)列的實際應用】1、（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）“巴赫十二平均律”是世界上通用的音樂律制，它與五度相生律、純律并稱三大律制．“十二平均律”將一個純八度音程分成十二份，依次得到十三個單音，從第二個單音起，每一個單音的頻率與它的前一個單音的頻率的比都等于．而早在16世紀，明代朱載最早用精湛的數(shù)學方法近似計算出這個比例，為這個理論的發(fā)展做出了重要貢獻．若第一個單音的頻率為，則第四個單音的頻率為（）A．B．C．D．2、（2023·河北保定·高二校聯(lián)考階段練習）提丟斯—波得定則是關(guān)于太陽系中行星軌道的一個簡單的幾何學規(guī)則，它是1766年由德國的一位中學老師戴維·提丟斯發(fā)現(xiàn)的，后來被柏林天文臺的臺長波得歸納成一條定律，即太陽系第顆行星與太陽的平均距離（以天文單位A．U.為單位）構(gòu)成數(shù)列，且數(shù)列從第二項開始各項乘以10后再減4構(gòu)成一個等比數(shù)列.已知，，則太陽系第5顆行星與太陽的平均距離為（）A．1.6B．2C．2.8D．2003、（2023·廣西柳州·高三統(tǒng)考階段練習）《九章算術(shù)》中有一題：今有牛、馬、羊、豬食人苗，苗主責之粟9斗，豬主曰：“我豬食半羊．”羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？其意是：今有牛、馬、羊、豬吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償9斗粟，豬主人說：“我豬所吃的禾苗只有羊的一半．”羊主人說：“我羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說：“我馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比率償還，牛、馬、羊、豬的主人各應賠償多少粟？在這個問題中，馬主人比豬主人多賠償了（）斗．A．B．C．3D．4、（2023·福建莆田·高二?？茧A段練習）為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經(jīng)濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關(guān)政策去鼓勵“地攤經(jīng)濟”．老王2020年6月1日向銀行借了免息貸款10000元，用于進貨.因質(zhì)優(yōu)價廉，供不應求，據(jù)測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費1000元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年5月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A．32500元B．40000元C．42500元D．50000元5、（2022·四川·高三四川外國語大學附屬外國語學校校考期中）1883年，德國數(shù)學