新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義：函數(shù)概念與基本初等函數(shù)

§2.1函數(shù)的概念及其表示

【考試要求】

1.了解構(gòu)成函數(shù)的要素，會求簡單函數(shù)的定義域和值域.

2.在實際情景中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當(dāng)?shù)姆椒?如圖象法、列表法、解析法)表示函數(shù).

3.了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應(yīng)用.

【知識梳理】

1.函數(shù)的概念

一般地，設(shè)兒4是非空的數(shù)集,如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系H使對于集合力中的任意

一個數(shù)x在集合夕中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)，那么就稱f：力一方為從集合A到集

合5的一個函數(shù)，記作y=f(x),A.

2.函數(shù)的定義域、值域

(1)在函數(shù)y=F(x),力中，x口」做自變量，x的取值范圍:叫做函數(shù)的定義域;與A■的值

相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合｛f(x)|x￡4｝叫做函數(shù)的值域.

(2)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)關(guān)系完全一致,我們就稱這兩個函數(shù)相等.

3.函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

4.分段函數(shù)

(1)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示,這

種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是一個函數(shù).分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)

的定義域的并集，值域等于各段函數(shù)的值域的并集.

【微思考】

1.直線x=a(a是常數(shù))與函數(shù)y=F(x)的圖象有多少個交點？

提示0個或1個.

2.函數(shù)定義中，非空數(shù)集4夕與函數(shù)的定義域、值域有什么關(guān)系？

提示函數(shù)的定義域即為集合小值域為集合8的子集.

【基礎(chǔ)自測】

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“J”或“X”)

(D若n=R,3=｛x\x>0］,ftx^y=\x\,其對應(yīng)是從力到〃的函數(shù).(X)

(2)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)相等.(X)

(3)尸3+，2—x是一個函數(shù).(X)

(4)函數(shù)/=〃>)的圖象可以是一條封閉的曲線.(X)

題組二教材改編

2.函數(shù)/'(另二*7二1+七的定義域為

X4

答案［0,2)U(2,4-00)

2-1^0,

解析依題意

x—2K0

解得x20且刀片2,

???原函數(shù)的定義域為［0,2)U(2,+oo).

［2\xWl,

3.已知函數(shù)/'(力=則f(2)=________,

fx—1,x>l,

答案2

解析A2)=f(l)=2l=2.

4.函數(shù)FCr)=x-,在區(qū)間⑵4］上的值域為.

X

公上「-

口案|_35'T15

解析F(x)=x-1在區(qū)間⑵4］上單調(diào)遞增，

X

又A2)=-,

f(4)=竽，

「315-

故f(x)的值域為佟-.

題組三易錯自糾

5.下列圖形中可以表示以，仁｛xIOWxWl｝為定義域，N=｛y［0Wj<l｝為值域的函數(shù)的圖象

是()

答案c

解析A選項中的值域不滿足,B選項中的定義域不滿足，D選項不是函數(shù)的圖象，由函數(shù)

的定義可知選項C正確.

6.已知f(y[x)=*+、「一1,則f(x)=

答案*十彳一1,x'O

解析令t=y[x,則t^O,x=t2,

???r&Ql+LlgO),

f[x)=x+x—1,0.

第1課時函數(shù)的概念及其表示

題型一函數(shù)的概念

1.下列各曲線表示的尸與彳之間的關(guān)系中，y不是x的函數(shù)的是（）

答案C

2.(多選)下列各組函數(shù)相等的是()

A.f(x)=JV-2x-1,g(s)=s-2s—\

^-1

B.f(x)=x-1,g(x)=.

IX1

x,x20,

c.f[x}=y[7,g(x)='

一x,KO

D.f（x）=yj—xtg（公=￡=x

答案AC

3.已知集合A{xOW啟4},0=bdOWj<2},下列從尸到0的各對應(yīng)關(guān)系F不是函數(shù)的

是.（填序號）

1?2

①￡尸尸產(chǎn)@f：x-y=-x\?fzx—尸淳；④fx-^y=y[x.

Jo

答案③

解析③中，ft.￥-*y=1x,x￡[0,4]時，y=|xe0,翡。，故不滿足函數(shù)的定義.

思維升華（1）函數(shù)的定義要求第一個非空數(shù)集A中的任何一個元素在第二個非空數(shù)集B中

有且只有一個元素與之對應(yīng)，即可以“多對一”，不能“一對多”，而〃中有可能存在與/

中元素不對應(yīng)的元素.

（2）構(gòu)成函數(shù)的三要素中，定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同.

題型二求函數(shù)的解析式

例1求下列函數(shù)的解析式：

(1)已知/'(1—sinx)=cos2^r,求/'(x)的解析式；

⑵已知F(葉+系++求/U)的解析式；

(3)已知F5)是一次函數(shù)且3F(x+D—2F(x—l)=2x+17,求f(x)的解析式;

(4)已知F(x)滿足2f(x)+〃一力=3右求Ax)的解析式.

解(1)(換元法)設(shè)l—sinx=bEW[0,2],

2

則sinx=l—tfW(l-sinx)=COSAT=1—sinxf

.,./(t)=l-(i-t)2=2t-t2,te[0,2].

即f(x)=2x—M,xW[0,2].

⑵(配湊法)??"(，+號=*++=(*+52—2,

.\ra)=/-2,(—8,-2]U[2,+8).

(3)(待定系數(shù)法),?"(x)是一次函數(shù)，

可設(shè)f(x)=ax+Z?(a#O),

/.3[a(x+1)+8]—2[a(x—1)+b]=2x+17.

即ax+(5a+A)=2x+17,

a=2,a=2t

解得

5a+6=17,b=l.

???〃/)的解析式是fix)=2x+7.

(4)(方程組法)???2F(x)+f(—x)=3x,①

，將x用一x替換，得2f(—x)+f(x)=-3必②

由①@解得/U)=3x

思維升華函數(shù)解析式的求法

(1)配湊法：由已知條件*晨力)=網(wǎng)力，可將ax)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式，然后以x替

代點⑼，便得”力的表達(dá)式.

(2)待定系數(shù)法：若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.

(3)換元法：己知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式，可用換元法，此時要注意新元的取值范圍.

(4)方程思想：已知關(guān)于F(力與f(號或M-x)等的表達(dá)式，可根據(jù)已知條件再構(gòu)造出另

外一個等式組成方程組，通過解方程組求出Ax).

跟蹤訓(xùn)練1(1)若F則f(*)=.

答案一1(萬/0且xWD

X—\

\

X1

解析fix)=-=---且xW1).

1x—\

1—

X

(2)已知y=f(>)是二次函數(shù)，若方程f(x)=O有兩個相等實根，且/(>)=2>+2,則人>)

答案/4-2x4-1

解析設(shè)f(x)=a/+8x+c(aW0),

則F(x)=2ax+b,

；?2ax+Z?=2x+2,則a=l,b=2.

=V+2x+c,又f5)=0,即V+2x+c=0有兩個相等實根.

:.d=4—4c=0,則c=l.故f*(力=4+2*+1.

(3)已知F(x)滿足F(x)—2f0)=2后則f(x)=.

出金2x4

答案一1■一五

解析Vf(x)—2f(：)=2必①

以工代替①中的x,得F￡)—2〃力=2,②

XX

4

①+②X2得一3F(x)=2才+-,

X

?f()=_目__￡

??八刈33/

題型三分段函數(shù)

命題點1求分段函數(shù)的函數(shù)值

cosnx,xW1>則f(號+F(一胃的值為()

例2己知f(x)=

fx-1+1,x>lt

3

八

3-2-

命題點2分段函數(shù)與方程、不等式問題

[2\x>C,

例3(1)已知函數(shù)/Xx)=.…若F(a)+f(D=0,則實數(shù)a的值等于()

[x+1,W0.

A.—3B.—1C.1D.3

答案A

解析V/-(l)=21=2,???/?(&)+2=0,???f?=—2,

當(dāng)aWO時，F(xiàn)(a)=a+l=-2,；?a=-3,

當(dāng)a>0時，f(a)=2fl=-2,方程尢解,

綜上有a=-3.

10g2X,心1,

⑵已知函數(shù)F(x)=(1則不等式〃x)這1的解集為()

XI>

1-/

A.(—8,2]B.(-OO,0]U(1,2]

C.[0,2]D.(—8,0]U[l,2]

答案D

解析???當(dāng)時，log2啟1,；?1W啟2.

當(dāng)水1時，—W1,解得xWO,

???f(x)Wl的解集為(-8,OJUL1,2J.

思維升華(1)分段函數(shù)的求值問題的解題思路

①求函數(shù)值：當(dāng)出現(xiàn)/、(〃&))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.

②求自變量的值:先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上,然后求出相應(yīng)自變量的值,

切記要代入檢驗.

(2)分段函數(shù)與方程、不等式問題的求解思路

依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來.

2

才+—3

跟蹤訓(xùn)練2(1)設(shè)/'(x)=Jx'"'則/'(/*(-1))=,FJ)的最小值

.4+1,K1.

是________.

答案02也一3

解析vr(-i)=2,

2

AAA-D)=/(2)=2+--3=0,

2

當(dāng)時，F(xiàn)(x)=x+:—322/—3,

當(dāng)且僅當(dāng)才=/時取等號，f(x).=2鏡一3,

當(dāng)水1時，f(x)=9+121,x=Q時取等號，

：?/>(A)min=1>

綜上有f(x)的最小值為2位一3.

fx+1,xWO,(j\

⑵設(shè)函數(shù)5則滿足f(*)+F*—撲1的”的取值范圍是________.

(2\x>0,\2/

答案?，+8)

解析當(dāng)X*時，2*+201恒成立，???*,

當(dāng)時，2r+x—1>1，

即2"+x>1?恒成立，

乙

當(dāng)xWO時，x+1+x—解得一宗xWO,

綜上有X的取值范圍是（一［,+8）

課時精練

【基礎(chǔ)保分練】

1.下列所給圖象是函數(shù)圖象的個數(shù)為（）

答案B

解析圖象①關(guān)于x軸對稱，*>0時，每一個x對應(yīng)2個必圖象②中刖對應(yīng)2個M所以

??均不是函數(shù)圖象；圖象③④是函數(shù)圖象.

（2r+,,xWO,

2.已知函數(shù)F（x）=,?、八則f"（8））等于（）

1—log2x,x>0,

11

A.-1B.--C-D.2

乙乙

答案c

解析vr(8)=1-log28=1-3=-2,

/.AA8))-/(-2)-2-2+,-1.

3.設(shè)函數(shù)Fx,則的表達(dá)式為（）

l+x.,.B.當(dāng)D

X—1

1—x2x/、

C京(B—1)

答案C

解析令則k1，

?**At)=]+-

即f（x）一D.

4.如圖，△力如是一直角邊長為1的等腰直角三角形，平面圖形如〃是四分之一圓的扇形，

點〃在線段加上，PQLAB,且用交力?；蚪换”赜邳c0,設(shè)加三雙僅水2）,圖中陰影部分

表示的平面圖形力々（或APQD）的面積為y,則函數(shù)y=f（x）的大致圖象是（）

答案A

解析觀察可知陰影部分的面積y的變化情況為：（D當(dāng)時，y隨x的增大而增大,

而且增加的速度越來越快.（2）當(dāng)1<水2時，y隨4的增大而增大，而且增加的速度越來越

慢.分析四個選項中的圖象，只有選項A符合條件.

[2r,啟0,1

5.（多選）設(shè)函數(shù)f（x）=「.、八則使〃向=9的a的值為（）

Ilog2x|,x>0,乙

A.—1B.1C.D.

答案ACD

解析由題意知，若aWO,則解得a=-1；

11-1

若a〉0,則|log2al=5，解得a=2?或a=22.

即a=巾或&=乎.故選ACD.

6.（多選）具有性質(zhì)：f（力的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)，下列函

數(shù)滿足“倒負(fù)”變換的函數(shù)的是（）

11—X

A.y=x—B.y=lnT^一

X1+X

.x,0<KL

—0,x=l,

C.y=QxD.f(x)=<

—,x>1

IX

答案AD

解析對于A,f(x)=x一±f(3=1-x=—f(x),滿足題意：

XX

對于B,F(x)=lnA：，則F(；)=ln31r—F(x),不滿足；

i--

對于C,fa=e"=ex~1,—f(x)=-ev豐fg,不滿足;

rii

o<-<i,

XX

對于D,f自=<0,；=1，

x

則f(3=一1(*)滿足“倒負(fù)”變換，故選AD,

7.已知F(J)=lgx,則〃2)=.

答案jig2

￡

解析令f=2,則X=23

.e./(2)=lg2^=1lg2.

(x+bKI,

8.已知函數(shù)f(x)=Jf?若FCrt—l))=3,則方=

[2-1,Gl,

答案3

解析??"(-1)=6—1,

???W=3,

當(dāng)b-1^1即42時，

21—1=3,解得6=3,

當(dāng)。-1<1即從2時，。-1+6=3,解得。=2(舍)，

綜上有6=3.

—殳—2*+1X0

9.已知函數(shù)f(x)=L、八’’則滿足〃血>1的實數(shù)a的取值范圍是

答案(一2,0)U(0,+8)

解析因為/Xa)”,

仿20,

解得a〉0,

ZZ1?

p<0,

2

@|-a-2a+l>E解得一2〈水0.

由①②知一2<水0或a>0.

10.已知函數(shù)/(*)滿足fd+：f(一力=2x(xW0),則F(—2)=

79

答案-

2-4

解析令x=2,可得F(習(xí)+義人一2)=4,①

令廣一去可得F(—2)—2fQ)=-l,②

聯(lián)立①②解得/*(—2)=：,f

3x4-5,啟0,

11.已知函數(shù)/'(x)的解析式為f(x)=x+5,0<xCl,

.—2x4-8,x>\.

(1)求f0，f(十)，「(一1)的值；

(2)畫出這個函數(shù)的圖象；

(3)求f(x)的最大值.

3

解⑴???5>i,

:.ff|j=-2x|+8=5.

?.yi,

“用」+5=3

)nn

V-l<0,???f(-l)=-3+5=2.

(2)這個函數(shù)的圖象如圖.

在函數(shù)f(x)=3x+5的圖象上截取xWO的部分，

在函數(shù)f(x)=x+5的圖象上截取0＜啟1的部分，

在函數(shù)F(力=-2＞十8的圖象上截取x＞\的部分.

圖中實線組成的圖形就是函數(shù)fCr)的圖象.

(3)由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=l時，f(x)取最大值6.

12.行駛中的汽車在剎車時由于慣性作用，要繼續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫

做剎車距離.在某種路面上，某種型號汽車的剎車距離門m)與汽車的車速x(km/h)滿足下列

關(guān)系：尸痣+加葉〃(%〃是常數(shù)).如圖是根據(jù)多次實驗數(shù)據(jù)繪制的剎車距離y(m)與汽車

的車速x(km/h)的關(guān)系圖.

(1)求出y關(guān)于x的函數(shù)解析式；

(2)如果要求剎車距離不超過25.2m,求行駛的最大速度.

解(1)由題意及函數(shù)圖象，

「40?

TTT+40/W+/7=8.4,

乙UU

得＜

602

TTT+60/?+/?=18.6,

、乙UU

解得〃=0,

/x

所以y=200+l00^^0^,

(2)令前+礪W25.2,

得一72WxW70.

?"20,???0WxW70.

故行駛的最大速度是70km/h.

【技能提分練】

[2-\啟0,

13.設(shè)函數(shù)f(x)=、八則滿足f(x+l)〈F(2x)的x的取值范圍是—

1,x>0,

答案(一8,0)

解析畫出〃X)的圖象如圖所示，

解得水0,故X的取值范圍是(一8,0).

fj/4-x,*20,

14.已知函數(shù)Ax)=°/八若則實數(shù)a的取值范圍為

[―3x,K0,

答案(一8,-2)U(2,+8)

解析當(dāng)a=0時，顯然不成立.

當(dāng)a>0時，不等式f(a)—f[-a)]>0等價于a—2a>0,解得a>2.

當(dāng)水0時，不等式a[f(a)—f(-a)]>0等價于一才一2水0,解得水一2.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為(-8,-2)U(2,+8).

【拓展沖刺練】

2x+a,-1<XO,

15.設(shè)/(約是定義在R上的函數(shù)，且/(*+2)=/八力，f[x)=其

be\OWxWl,

中a,6為正實數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)，若f?=/??,則2的取值范圍為.

答案(平e,+8)

解析因為f(x+2)=隹F(x),

C)=2e”fe+2

2

所以啦(a-D=2eZ?,

所以a=^eb+l,

因為b為正實數(shù)，

所以今=亞華旦=啦。+呆(鏡e,+8),

故慨的取值范圍為(、「e,+8).

16.已知函數(shù)f(x)

(1)求/'(2)與fe)，f⑶與f

(2)由(1)中求得的結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)〃才)與fg)有什么關(guān)系？證明你的發(fā)現(xiàn);

(3)求F(2)+f◎+F(3)+Ft)+…+F(2021)+/,(端)的值.

￥1

解⑴由《)=訐7n—7Tp

所以"2)=1一瑪=(f?=1T^=5-

4+1

/、i9mii

A3)=l-3，+1=-,f句=1-7^=而

9+1

(2)由(1)中求得的結(jié)果發(fā)現(xiàn)f(x)+f0=1.

1

f(4)+f?=1，…，A2021)+//)=L

???f(2)+f?+f(3)+f@+…+F(202D+F(2^21)=2020.

第2課時函數(shù)的定義域與值域

題型一函數(shù)的定義域

1.函數(shù)/'(*)=珀(41一/+^7/定義域為()

A.(0,4)B.[0,2)U(2,4]

C.(0,2)U(2,4)D.(—8,o)U(4,+°°)

答案C

解析要使函數(shù)有意義,

4x—#>0,

則

A-2W0,

解得0<水4且>W2.

2.函數(shù)尸乂二U產(chǎn)的定義域為()

A.(-1,3]B.(-1,0)U(0,3]

C.[-1,3]D.[-1,0)U(0,3]

答案B

—x'+2x+320,

解析要使函數(shù)有意義，x需滿足，*+1>0，

解得一1<水0或0<xW3,

所以函數(shù)的定義域為(-1,0)U(0,3］.

3.若函數(shù)f(x)的定義域為［0,8］,則函數(shù)4(>)='恁的定義域為

答案［0,3)

0W2A<8,

解析依題意有

8-2*>0,

解得0WK3,

，g(x)的定義域為［0,3).

思維升華(1)根據(jù)具體的函數(shù)解析式求定義域的策略

已知解析式的函數(shù)，其定義域是使解析式有意義的自變量的取值集合，求解時只要根據(jù)函數(shù)

解析式列出自變量滿足的不等式(組)，得出不等式(組)的解集即可.

(2)求抽象函數(shù)的定義域的策略

①若已知函數(shù)F(x)的定義域為[a8,則復(fù)合函數(shù)F(g(x))的定義域由不等式少

求出；

②若已知函數(shù)F(gJ))的定義域為[a,⑸，則Ax)的定義域為g(x)在*￡[4句上的值域.

(3)求函數(shù)定義域應(yīng)注意的問題

①不要對解析式進行化簡變形，以免定義域發(fā)生變化；

②定義域是一個集合，要用集合或區(qū)間表示，若用區(qū)間表示數(shù)集，不能用“或”連接，而應(yīng)

該用并集符號“U”連接.

題型二函數(shù)的值域

例1求下列函數(shù)的值域：

(l)y=/—2x+3,[0,3)；

2x±]_

（2）y=x-3；

（3）y=2x—M＞一1；

⑷尸近門+行*

解（1）（配方法）y=V—2x+3=[x—1產(chǎn)+2,

由xR[0,3),

再結(jié)合函數(shù)的圖象(如圖①所示)，可得函數(shù)的值域為[2,6).

9V-I-19V—3+7

⑵（分離常數(shù)法"==1=2卜一，

.7

顯然_

XJQ#0,y^2.

故函數(shù)的值域為（一8,2）U（2,4-00）.

⑶（換元法）設(shè)1,則x=1+1,.且￡20,

，y=2（d+1）—￡=2（+墨

由，20,再結(jié)合函數(shù)的圖象（如圖②所示），可得函數(shù)的值域為華，+8）

（4）函數(shù)的定義域為",+8）,

,.?尸5+1與7=5-1在［1,+8）上均為增函數(shù)，

，7='*+1+5*—1在［1,+8）上為單調(diào)遞增函數(shù)，

???當(dāng)*=1時，ynin=y/2,即函數(shù)的值域為［小,+8）.

思維升華求函數(shù)值域的一般方法

（D分離常數(shù)法；（2）配方法；（3）不等式法；（4）單調(diào)性法；（5）換元法；（6）數(shù)形結(jié)合法；（7）導(dǎo)

數(shù)法.

跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的值域：

2'—1

（Dy=］:

乙-I1

(2)y=log[x+g,[1,2)：

(^±2(x>l).

3)7=x—\

9r—12

解(1)方法一片不工7=1-RT，

乙I14I1

V2x>0,.\2'+1>1,

22

A0<2T+T<2,，，，-1<1-27+T<1,

??.函數(shù)的值域為(-1,1).

2X—1v-\-1

方法二由y=亍百得2'=1丁

又???2'〉0,

即(y+l)(y-l)<0,

即—.

???函數(shù)的值域為(-1,1).

(2)函數(shù)y=log]x+J在[1,2)上單調(diào)遞減，

—乙

2

113

當(dāng)x=l時，y=-t當(dāng)x=2時，y=-14-T=-p

永國

???函數(shù)的值域為(一*I.

(3)令￡=x—1,???￡>(),x=t+l,

f+l2-t+1+2F+2+2,2,

----------------------)

22啦+1,

當(dāng)且僅當(dāng)即￡=/時取等號，

???函數(shù)的值域為［2、「+1,+8).

題型三定義域與值域的應(yīng)用

例2⑴若函數(shù)f(x)=q+abx+。的定義域為{x|1WXW2},則a+b的值為________..

y

答案一另

解析函數(shù)Ax)的定義域是不等式aV+abx+b2O的解集.不等式/+,"+620的解集

為{X|1WA<2},

(水0，3

所以J解得J2

1X2=-,16=-3,

【a

39

所以a-\-b=~~-3=-T.

(2)已知函數(shù)y=7文+ax—1+2a的值域為［0,+8),求&的取值范圍.

解令t=g{x)=x-\-ax—1+2a,要使函數(shù)y=5的值域為［0,+?■?),則說明［0,+

8)￡{y|y=g(x)},即函數(shù)對應(yīng)的一元二次方程的判別式420,即立一4(2&—1)20,即才

-8&+420,解得a>4+2鎘或aW4-24，

的取值范圍是{a|a24+2，5或廬4一2小}.

思維升華已知函數(shù)的定義域、值域求參數(shù)問題，可通過分析函數(shù)解析式的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合

函數(shù)的圖象、性質(zhì)、轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的方程(組)、不等式(組)，然后求解.

跟蹤訓(xùn)練2(1)若函數(shù)r(*)=ln(a*-l)在(2,+8)上有意義，則實數(shù)a的取值范圍為

答案a+8)

解析要使函數(shù)F(x)=ln(ax-1)有意義，則ax—1>0,

即a>-l〉O在(2,+8)上恒成立,

a>0,

2a~120,

解得a*.

(2)已知函數(shù)/*(*)=)(*-1)2+1的定義域與值域都是[1，⑸(垃1)，則實數(shù)b=

答案3

解析f(x)=^(x-1)2+1,xG[1,ZJ且少1,

則f(l)=l,F(b)=J(b—1尸+1,

???F(x)在[1,二上為增函數(shù),

???函數(shù)/U)的值域為1，：b-\2+1.

由已知得J(6-1)2+1=8,

解得b=3或6=1(舍).

課時精練

E基礎(chǔ)保分練

1.函數(shù)/(X)=Jlog：(x-1)+1的定義域為()

A.(—8,3]B.(1,+°°)

C.(1,3]D.[3,+8)

答案C

解析依題意log|(x—1)+120,

2

gpiog,(x-l)>-l,

2

?4x—1W2,

解得1<XW3.

2.下列函數(shù)中，定義域與值域相同的是()

A.y=ylx—1B.y=lnx

答案D

x+1,2

解析y=---7=1+---7,

X—1X—1

函數(shù)的定義域為{x|xKl},值域為3m，故選D.

3.函數(shù)F（x）=log“（加r+D的定義域為（-8,2）,則/〃的值為（）

A.—2B.—~C.JD.2

答案B

解析依題意的+1>0的解集為（一8,2）,

成0,1

則m=--

2/7rFl=O,2

4.函數(shù)y—\+x—y[T—2M值域為()

A.(_8,號B.1-8,青

C-(?+8)+8)

答案B

22

解析設(shè)R1-2X=3則￡20,所以■—￡=)(-——2t+3)=—)(￡+

1）2+2,因為￡20,所以?所以函數(shù)尸l+x—4iF的值域為（―8,故選B.

]—2a3d]

5.已知函數(shù)r（M=\'的值域為R,則實數(shù)a的取值范圍是（）

Inx,欄1

A.（—8,—1]B.（—1,C.-1,0D.（0,3

答案C

解析時，f（x）=lnx,ln1=0,

又rJ）的值域為R,

故當(dāng)水1時，F(xiàn)（x）的值域包含（一8,0）.

1一2給0,

故

1—2a+3a20,

解得一1w水;.

6.（多選）下列函數(shù)中值域為R的有（）

A.ra)=3x-lB.fW=lg(7-2)

xy04啟2,

C.f(x)~D.Ax)—A3-1

2x,x>2

答案ABD

解析A項，f(x)=3x—l為增函數(shù)，函數(shù)的值域為R,滿足條件；

B項，由9一2〉0得^或水一近，

此時F(x)=lg(V-2)的值域為R,滿足條件；

\xy0W/W2,

C項，f(x)=<當(dāng)x>2時，f(x)=2x>4,

[2x,x>2,

當(dāng)0〈后2時，f(x)=/￡[0,4],所以F(x)20,

即函數(shù)的值域為[0,+8),不滿足條件；

D項，力(力=f-1是增函數(shù)，

函數(shù)的值域為R,滿足條件.

7.(多選)已知函數(shù)y=f(x)的定義域是R,值域為則值域也為[-1,2]的函數(shù)是

()

A.y=2f(x)4-1B.y=/(2x+1)

C.y=—f(x)4-1D.y=\f(x)\

答案BC

解析y=f(x),xGR,f(x)的值域為[—1,2],

對于A,用力???2/U)+l￡[T,5L故A不滿足；

對于B,當(dāng)x￡R時，2x4-1eR,

???F(2x+l)￡[-l,2],故B滿足；

對于C,vra)e[-i,2],A-Ax)e[-2,1],

???一/(力+1￡[-1,2],故C滿足；

對于D,ra)e[-l,2],A|ra)|e[0,2],

故D不滿足.

8.(多選)若函數(shù)y=V—4x—4的定義域為[0,加，值域為[—8,—4],則實數(shù)勿的值可能

為()

A.2B.3C.4D.5

答案ABC

解析函數(shù)y=x—\x—\的對稱軸方程為x=2,

當(dāng)0<mW2時，函數(shù)在[0,就上單調(diào)遞減，

當(dāng)*=0時，取最大值一4,

當(dāng)彳=勿時，有最小值痛一4k4=-8,解得勿=2.

則當(dāng)卬>2時，最小值為一8,

而f(0)=—4,由對稱性可知，2<mW4.

???實數(shù)m的值可能為2,3,4.

9.函數(shù)/Xx)=ln(l+O+dl—T的定義域為—

答案@1]

解析要使函數(shù)F(x)有意義，

(1

H■一>0,(水一1或x〉0,

x

則<一八=(導(dǎo)0,=0<xWl.

「0lx

???F(x)的定義域為(0,1].

10.函數(shù)尸1。w3(9+4彳+5)的值域為—

答案(一8,0]

解析令￡=/+4￥+5=(X+2)2+1,1,

而y=logD.3￡在[1,+8)上單調(diào)遞減,

，產(chǎn)《logo.31=0,

故原函數(shù)的值域為(-8,0].

2-5,A<2,

11.函數(shù)f(x)—的值域為

3sinx,x>2

答案(一5,3]

解析當(dāng)啟2時，f(x)=2、-5單調(diào)遞增，

則一5<f(x)W—1；

當(dāng)才〉2時,sin[—1,1],???f(x)=3sin*￡[—3,3].

故f(x)的值域是(一5,3].

12.函數(shù)7=、二,的定義域為R,則〃的取值范圍是

答案[0,12)

解析依題意kx—4x+3W0恒成立，

①當(dāng)〃=0時3W0恒成立，???〃=：)滿足條件，

②當(dāng)總0時4<0即*一12K0,A0<Ar<12,

綜上有0WK12.

E技能提升練

13.高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名

字命名的“高斯函數(shù)”為：設(shè)x￡R,用[x]表示不超過x的最大整數(shù)，則y=Ld稱為高斯函

2'+3

數(shù).例如：=-3,[3.1]=3,已知函數(shù)/?(￥)=一■,則函數(shù)尸"(x)]的值域為

()

A.{0,1,2,3}B.{0,1,2}

C.{1,2,3}D.{1,2)

答案D

“l(fā)。，、2*+32'+1+2…2

解析F(X)=^Y=2，+]—I+FTT

V24>0,Al+24>l,0<T7q-j-<l,

乙I1

29

貝I」0<衣工7<2,1<1+懣匚7<3,即KAx)<3.

乙I1乙IL

當(dāng)l<F(x)<2時，[F(x)]=l,

當(dāng)2<F(x)<3時，[f(x)]=2.

綜上，函數(shù)尸[「(*)]的值域為{1,2}.

14.已知函數(shù)/'(x)=log2*,g(x)=2x+a,若存在汨，麴￡2,使得/'(汨)=g(42),則

a的取值范圍是_______.

答案[-5,0]

解析依題意，(x)的值域與式彳)的值域有交集，

2時，ra)e[-i,i],

乙

xE.2時，g(x)￡[a+l,a+4],

a+1W—1,a+1W1,

故或

a+42-la+42L

解得一5WaW0.

E拓展沖刺練

15.(多選)若一系列函數(shù)的解析式和值域相同，但定義域不相同，則稱這些函數(shù)為“同值函

數(shù)”，例如函數(shù)y=V,x￡[l,2]與函數(shù)y=V,*￡[—2,—1]即為"同值函數(shù)"，給出下

面四個函數(shù)，其中能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是()

A.尸[打([*]表示不超過>的最大整數(shù)，例如[0.1]=0)

B.y=x+*\/x+l

C.y=--log3X

X

D.尸x+S

答案AD

解析根據(jù)題意，“同值函數(shù)”需滿足：對于同一函數(shù)值，有不同的自變量與其對應(yīng).

因此，能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的函數(shù)必須滿足在其定義域內(nèi)不單調(diào).

對于選項A,y=[x],定義域為R,在定義域內(nèi)不是單調(diào)函數(shù)，有不同的自變量對應(yīng)同一函

數(shù)值，故A可以構(gòu)造“同值函數(shù)”；

對于選項B,尸x+4幣為定義在[-1,+8)上的單調(diào)增函數(shù)，故B不可以構(gòu)造“同值函

數(shù)”；

對于選項C,7=1一log3*為定義在(0,+8)上的單調(diào)減函數(shù)，故C不可以構(gòu)造“同值函

X

數(shù)”；

對于選項D,，=x+士，不是定義域上的單調(diào)函數(shù),

AIJL

有不同的自變量對應(yīng)同一函數(shù)值，

故D可以構(gòu)造“同值函數(shù)”.

所以能夠被用來構(gòu)造“同值函數(shù)”的是A,D.

16.已知函數(shù)f(x)=2+log3*,x￡[l,9],則函數(shù)尸"(必了+/⑴的值域為

答案[6,13]

解析F(x)的定義域為[1,9],

“一<9,

即1W啟3,

：.\[1W*W9

故人="。)]2+〃0的定義域為[1,3],

Vy="(*)『+Af)=(24-log3Ar)J+2+log3X2=(log3X)'+61og3x+6.

令￡=log3MtG[0,1],

"=干+6什6=(什3)2—3,回0,1],

￡=0時，y=6,￡=1時，y=13,

故6<j<13.

§2.2函數(shù)的基本性質(zhì)

【考試要求】

1.借助函數(shù)圖象，會用數(shù)學(xué)符號語言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解實際意義.

2.了解函數(shù)奇偶性的含義.

3.結(jié)合三角函數(shù)，了解函數(shù)的周期性、對稱性及其幾何意義.

Q知識梳理

i.函數(shù)的單調(diào)性

(1)單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)/.(動的定義域為/,如果對于定義域/內(nèi)某個區(qū)間〃

上的任意兩個自變量的值汨，X2

定義當(dāng)水彳2時，都有F(X1)<f(X2),當(dāng)汨<盟時，都有F(xi)》/(才2),那

那么就說函數(shù)F(x)在區(qū)間。上是么就說函數(shù)F(x)在區(qū)間。上是減

增函數(shù)函數(shù)

y=/ix)

1回產(chǎn)

圖象描述

-Op~-x

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=f(彳)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù),那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有(嚴(yán)

格的)單調(diào)性，區(qū)回2叫做y=F(x)的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提一般地，設(shè)函數(shù)/=**)的定義域為1,如果存在實數(shù)"滿足

(1)對于任意的才￡/,都有

(1)對于任意的都有f(x)部

條件f(x)WM；

(2)存在加￡/,使得〃照)=時

(2)存在用￡/,使得代幻=加

結(jié)論時為最大值必為最小值

3.函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點

一般地，如果對于函數(shù)〃彳)的定義域內(nèi)任

偶函數(shù)意一個x,都有f(—x)=f(x),那么函數(shù)關(guān)于y軸對稱

Ax)就叫做偶函數(shù)

奇函數(shù)一般地，如果對于函數(shù)八》的定義域內(nèi)任關(guān)于原點對稱

意一個M都有f(—x)=-F(x),那么函

數(shù)/'(才)就叫做奇函數(shù)

4.周期性

(1)周期函數(shù)：對于函數(shù)尸/'(M，如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值

時，都有f(x+7)=f(x),那么就稱函數(shù)y=f(x)為周期函數(shù)，非零常數(shù)7為這個函數(shù)的周

期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)/'(*)的所有周期中存在一個地小的正數(shù)，那么這個最小正

數(shù)就叫做/'(>)的最小正周期.

【思考】

1.函數(shù)y=f(x)滿足Vx］，汨力尼，J--------->0?0),能否判斷f(x)在區(qū)間〃

X\—X2

上的單調(diào)性？

提示能，''_"〉O(〈O)0f(x)在〃上單調(diào)遞增(單調(diào)遞減).

XLX2

2.奇函數(shù)、偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性是怎樣的？

提示奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)在美于原點對稱的區(qū)間上

具有相反的單調(diào)性.

基礎(chǔ)自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“或“X”)

(D函數(shù)尸1的單調(diào)遞減區(qū)間是(-8,0)U(0,+oo).(X)

X

⑵若函數(shù)F5)為奇函數(shù)，則f(0)=0.(X)

(3)若尸F(xiàn)(x)在區(qū)間〃上單調(diào)遞增，則函數(shù)尸〃F(*)(伙0),尸土一在區(qū)間〃上單調(diào)遞

減.(X)

(4)若函數(shù)-(*)滿足/(4一*)=/(*),則〃*)的圖象關(guān)于>=2對稱.(V)

題組二教材改編

2.下列函數(shù)為奇函數(shù)且在定義域內(nèi)為增函數(shù)的是(