九年級數(shù)學下冊圖形的相似和比例線段教師版知識點詳細答案

/圖形的相似和比例線段【學習目標】1、能通過生活中的實例認識圖形的相似，能通過觀察直觀地判斷兩個圖形是否相似；2、了解比例線段的概念與有關(guān)性質(zhì)，探索相似圖形的性質(zhì)，知道兩相似多邊形的主要特征：對應角相等，對應邊的比相等.明確相似比的含義；3、知道兩個相似的平面圖形之間的關(guān)系，會根據(jù)相似多邊形的特征識別兩個多邊形是否相似，并會運用性質(zhì)進行相關(guān)的計算，提高推理能力.【要點梳理】要點一、比例線段1．線段的比：如果選用同一長度單位量得兩條線段a、b長度分別是m、n，那么就說這兩條線段的比是a:b=m:n，或?qū)懗桑?．成比例線段：對于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的比與另兩條線段的比相等，如a:b=c:d，我們就說這四條線段是成比例線段，簡稱比例線段．3．比例的基本性質(zhì)：（1）若a:b=c:d，則ad=bc；（2）若a:b=b:c，則=ac（b稱為a、c的比例中項）．要點二、相似圖形在數(shù)學上，我們把形狀相同的圖形稱為相似圖形(similarfigures).要點詮釋：(1)相似圖形就是指形狀相同，但大小不一定相同的圖形；

(2)“全等”是“相似”的一種特殊情況，即當“形狀相同”且“大小相同”時，兩個圖形是全等；要點三、相似多邊形相似多邊形的概念：如果兩個多邊形的對應角相等，對應邊的比相等，我們就說它們是相似多邊形．要點詮釋：（1）相似多邊形的定義既是判定方法，又是它的性質(zhì)．（2）相似多邊形對應邊的比稱為相似比．【典型例題】類型一、比例線段1.下列四組線段中，成比例線段的有()A．3cm、4cm、5cm、6cmB．4cm、8cm、3cm、5cmC．5cm、15cm、2cm、6cmD．8cm、4cm、1cm、3cm【答案】C.【解析】四個選項中只有，故選C.2.求證：如果，那么.【答案】∵，在等式兩邊同加上1，

∴，

∴．

【總結(jié)】比例有合比性質(zhì)如果，；分比性質(zhì)如果，；更比性質(zhì)如果，.舉一反三：1、判斷下列線段a、b、c、d是否是成比例線段：(1)a=4，b=6，c=5，d=10；(2)a=2，b=，c=，d=．【答案】(1)∵，，

∴，∴線段a、b、c、d不是成比例線段．(2)∵，，∴，∴線段a、b、c、d是成比例線段．2、已知線段a、b、c、d，滿足，求證：.【答案】證明：設(shè)=k∴∴∴類型二、相似圖形3.指出下列各組圖中，哪組肯定是相似形__________：

(1)兩個腰長不等的等腰三角形

(2)兩個半徑不等的圓

(3)兩個面積不等的矩形

(4)兩個邊長不等的正方形【答案】(2)(4).【解析】(1)等腰三角形的形狀不一定相同，因此兩個腰長不等的等腰三角形不一定相似；(3)中面積不等的兩個矩形，雖然它們的邊數(shù)相同，對應角相等，但對應邊的比不一定相等，所以無法確定它們一定相似；(2)(4)中兩個半徑不等的圓與兩個邊長不等的正方形都是形狀完全相同的圖形，是相似形.舉一反三：如圖，左邊是一個橫放的長方形，右邊的圖形是把左邊的長方形各邊放大兩倍，并豎立起來以后得到的，這兩個圖形是相似的嗎？

【答案】這兩個圖形是相似的，這兩個圖形形狀是一樣，對應線段的比都是1:2，雖然它們的擺放方法、位置不一樣，但這并不會影響到它們相似性.類型三、相似多邊形4.如圖，已知四邊形相似于四邊形，求四邊形的周長.

【答案】∵四邊形相似于四邊形

∴，即

∴∴四邊形的周長.5.如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10，在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN與矩形ABCD相似.令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？

【答案】解：∵矩形MFGN與矩形ABCD相似

當時，S有最大值，最大值為.舉一反三：

1、已知四邊形與四邊形相似，且.四邊形的周長為26.求四邊形的各邊長.【答案】∵四邊形與四邊形相似，且

.

又∵四邊形的周長為26

即四邊形的四邊長為：.2、如圖所示的相似四邊形中，求未知邊x、y的長度和角的大小.

【答案】根據(jù)題意，兩個四邊形是相似形，得

，解得

.3、某小區(qū)有一塊矩形草坪長20米，寬10米，沿著草坪四周要修一寬度相等的環(huán)形小路，使得小路外邊緣所成的矩形相似，你能做到嗎？若能，求出這一寬度；若不能，說明理由.

【答案】設(shè)小路寬為x米，則小路的外邊緣圍成的矩形的長為(20+2x)米，寬為(10+2x)米，

將兩個矩形的長與寬分別相比，得長的比為，而寬的比為，

很明顯，所以做不到.

4、等腰梯形與等腰梯形相似，，求出的長與梯形各角的度數(shù).

【答案】∵等腰梯形與等腰梯形相似

【鞏固練習一】一．選擇題1.在比例尺為1︰1000000的地圖上，相距3

cm的兩地，它們的實際距離為（）

A.3

kmB.30

kmC.300

kmD.3000

km2.下列四條線段中，不能成比例的是（）

A.＝2，＝4，＝3，＝6B.＝，＝，＝1，＝C.＝6，＝4，＝10，＝5D.＝，＝2，＝，＝23.下列命題正確的是()

A．所有的等腰三角形都相似B．所有的菱形都相似

C．所有的矩形都相似D．所有的等腰直角三角形都相似4.某學習小組在討論“變化的魚”時，知道大魚與小魚是相似圖形，如圖所示，則小魚上的點(a，b)對應大魚上的點()

A．(-2a，-2b)B．(-a，-2b)C．(-2b，-2a)D．(-2a，-b)一個三角形三邊的長分別為3，5，7，另一個與它相似的三角形的最長邊是21，則此三角形其它兩邊的和是（）A．19B．17C．24D．216..△ABC與△A1B1C1相似且相似比為，△A1B1C1與△A2B2C2相似且相似比為，則△ABC與△A2B2C2的相似比為()

A．B．C．或D．二.填空題7.兩地實際距離為1500m，圖上距離為5cm，這圖的比例尺為_______.8.若，則________9．判定兩個多邊形相似的方法是：當兩個多邊形的對應邊_______,對應角_______時，兩個多邊形相似.10.已知則11.兩個三角形相似，其中一個三角形兩個角分別是40°，60°，則另一個三角形的最大角為______,最小角為____________.12.如圖：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，則三綜合題13.已知，求的值.14.如圖，依次連接一個正方形各邊的中點所形成的四邊形與正方形相似嗎？若相似，求出相似比；若不相似，說明理由.

15.市場上供應的某種紙有如下特征：每次對折后，所得的長方形均和原長方形相似，則紙(矩形)的長與寬應滿足什么條件？

【答案與解析】一、選擇題

1．【答案】B．【解析】圖上距離︰實際距離＝比例尺．2．【答案】C．【解析】求出最大與最小的兩數(shù)的積，以與余下兩數(shù)的積，看所得積是否相等來鑒別它們是否成比例．3．【答案】D4．【答案】A【解析】由圖可知，小魚和大魚的相似比為1：2，若將小魚放大1倍，則小魚和大魚關(guān)于原點對稱.5．【答案】C【解析】相似三角形對應邊的比相等6．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，計算出AB︰A2B2.二、填空題

7.【答案】.1：30000【解析】比例尺=圖上距離︰實際距離.8.【答案】

【解析】由可得，故填.9.【答案】成比例；相等.10.【答案】【解析】提示：設(shè)11.【答案】80°，40°.12.【答案】.【解析】因為梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以,即EF=,所以解答題13.【解析】設(shè)=k則∴==14.【解析】要探究正方形是否與四邊形相似，需知道四邊形是否是正方形，若是正方形，則兩正方形一定相似，若不是正方形，則不相似，因為所有的正方形都是相似的.

設(shè)正方形的邊長為，由題意可知，

同理

由，可得

同理45°，，四邊形是正方形

∴正方形

與正方形相似，

即兩正方形的相似比是.15.【解析】如圖，為了方便分析可先畫出草圖，根據(jù)題意知兩個矩形的長邊之比應等于短邊之比.

設(shè)矩形的長為，寬為，由相似多邊形的特征得

，即紙的長與寬之比為.【鞏固練習二】一．選擇題1.在比例尺為1︰1000000的地圖上，相距3cm的兩地，它們的實際距離為()

A．3kmB．30kmC．300kmD．3000km2.已知線段滿足把它改寫成比例式，其中錯誤的是（）A.B.C.D.3.已知△ABC的三邊長分別為6cm、7.5cm、9cm，△DEF的一邊長為4cm，當△DEF的另兩邊的長是下列哪一組時，這兩個三角形相似()A．2cm，3cmB．4cm，5cmC．5cm，6cmD．6cm，7cm4.△ABC與△A1B1C1相似且相似比為，△A1B1C1與△A2B2C2相似且相似比為，則△ABC與△A2B2C2的相似比為()A．B．C．或D．5.下列兩個圖形：①兩個等腰三角形；②兩個直角三角形；③兩個正方形；④兩個矩形；⑤兩個菱形；⑥兩個正五邊形.其中一定相似的有（）A.2組B.3組C.4組D.5組6.一個鋼筋三角架三邊長分別是20cm，50cm，60cm，現(xiàn)要做一個與其相似的三角架，只有長30cm，50cm的兩根鋼筋，要求以其中一根為一邊，從另一根截下兩段（允許有余料）做為其他兩邊，則不同的截法有（）A.一種B.兩種C.三種D.四種二.填空題7.小明有一的地圖，他想繪制一幅較小的地圖，若新地圖寬為30cm，則新地圖長為_________cm.8.△ABC的三條邊長分別為、2、，△A′B′C′的兩邊長分別為1和，且△ABC與△A′B′C′相似，那么△A′B′C′的第三邊長為____________9．如圖：梯形ADFE相似于梯形EFCB,若AD=3，BC=4，則10.已知若若:=___.11.如圖：AB:BC=________,AB:CD=_________,BC:DE=________,AC:CD=__________,CD:DE=________.12.用一個放大鏡看一個四邊形ABCD，若四邊形的邊長被放大為原來的10倍，下列結(jié)論①放大后的∠B是原來∠B的10倍；②兩個四邊形的對應邊相等；③兩個四邊形的對應角相等，則正確的有.三．綜合題13.如果，一次函數(shù)經(jīng)過點（-1,2），求此一次函數(shù)解析式.14.如圖，在矩形ABCD中，AB=2AD，線段EF=10，在EF上取一點M，分別以EM、MF為一邊作矩形EMNH、MFGN，使矩形MFGN與矩形ABCD相似.令MN=x，當x為何值時，矩形EMNH的面積S有最大值？最大值是多少？

15.從一個矩形中剪去一個盡可能大的正方形，如圖所示，若剩下的矩形與原矩形相似，求原矩形的長與寬的比.

【答案與解析】一、選擇題1.【答案】B【解析】圖上距離︰實際距離=1：1000000.2.【答案】B3．【答案】C【解析】設(shè)△DEF的另兩邊的長分別為xcm，ycm，因為△ABC與△DEF相似，所以有下列幾種情況：

當時，解得；

當時，解得；

當時，解得；所以選C.4．【答案】A【解析】相似比AB︰A1B1=，A1B1︰A2B2=，計算出AB︰A2B2.5．【答案】A【解析】只有兩個正方形和正五邊形相似.6．【答案】B二、填空題

7.【答案】40.【解析】提示：兩地圖形狀相同，是相似形，所以它們對應邊的比相等8.【答案】

【解析】提示：△A′B′C′已知兩邊之比為1：，在△ABC中找出兩邊、，它們長度之比也為1︰，根據(jù)相似三角形對應邊的對應關(guān)系，求出相似比.9.【答案】.【解析】因為梯形ADFE相似于梯形EFCB，所以,