《三角函數(shù)的定義》教學(xué)設(shè)計(jì)

高中數(shù)學(xué)精選資源3/3《三角函數(shù)的定義》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)設(shè)計(jì)一、情境導(dǎo)入問(wèn)題1：初中時(shí)學(xué)過(guò)的銳角三角函數(shù)是如何定義的？學(xué)生上黑板畫(huà)圖，給出定義，教師根據(jù)學(xué)生展示情況進(jìn)行點(diǎn)評(píng).銳角三角函數(shù)的定義：如圖，在直角△OAP中，∠A是直角，那么.設(shè)計(jì)意圖：學(xué)生在初中學(xué)習(xí)了銳角的三角函數(shù)，現(xiàn)在要學(xué)習(xí)任意角的三角函數(shù)，這是一種推廣和拓展的過(guò)程，對(duì)銳角三角函數(shù)的復(fù)習(xí)就必不可少，而且從學(xué)生很熟悉的知識(shí)引入，能把學(xué)生的注意力和興趣調(diào)動(dòng)起來(lái).問(wèn)題2：如果將銳角置于平面直角坐標(biāo)系中，如何用直角坐標(biāo)系中角的終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)呢？學(xué)生分組討論，展示成果，教師規(guī)范思路和解答步驟.如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，記，于是.問(wèn)題3：對(duì)于確定的銳角，其三角函數(shù)值與終邊上選取的點(diǎn)P有何關(guān)系？這說(shuō)明三角函數(shù)值的決定量是什么？學(xué)生互動(dòng)：銳角的三角函數(shù)值都是比值關(guān)系，與終邊上選取的點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，可以利用相似三角形證明.教師利用幾何畫(huà)板的動(dòng)態(tài)效果，展示三角函數(shù)值與點(diǎn)P的位置無(wú)關(guān)，僅與角有關(guān).問(wèn)題4：你能用學(xué)過(guò)的知識(shí)來(lái)刻畫(huà)一下角與這個(gè)比值的關(guān)系嗎？學(xué)生回答：對(duì)于確定的角，比值都唯一確定，故正弦、余弦、正切都是角的函數(shù).問(wèn)題5：終邊落在第一象限內(nèi)的角能用上述比值表示嗎？任意角呢？請(qǐng)你給出任意角的三角函數(shù)定義.學(xué)生回答，教師板書(shū)課題.二、探究新知1.第一象限角的三角函數(shù)值可以用角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示，那么任意角的三角函數(shù)值能否用點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示？活動(dòng)：先讓學(xué)生自己思考操作，由于有第一象限角的三角函數(shù)值可以用角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示做鋪墊，其他象限學(xué)生也會(huì)想到用終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示.2.任意角是否只在四個(gè)象限里，是否有遺漏？活動(dòng)：先讓學(xué)生自己思考，然后討論交流.設(shè)計(jì)意圖：由于剛才的三角函數(shù)值是從第一象限角引申推廣而來(lái)的，所以大部分學(xué)生會(huì)只考慮其余三個(gè)象限，而把四個(gè)半軸的情況遺漏，這里引導(dǎo)學(xué)生完善任意角的概念，培養(yǎng)學(xué)生全面分析問(wèn)題的能力.3.用角終邊上的點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示的三角函數(shù)值是否會(huì)隨P點(diǎn)的移動(dòng)而變化？活動(dòng)：先讓學(xué)生想象思考，作出主觀判斷，再用幾何畫(huà)板動(dòng)畫(huà)演示，聯(lián)系相似三角形知識(shí)，探索發(fā)現(xiàn).設(shè)計(jì)意圖：對(duì)照函數(shù)的概念，三角函數(shù)值必須是唯一確定的，才滿足函數(shù)定義，此處為后面任意角的三角函數(shù)定義準(zhǔn)備.4.在初中我們把分別叫做銳角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)那么現(xiàn)在我們能否把分別叫做任意角的正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)？活動(dòng)1：先由學(xué)生回想函數(shù)定義，教學(xué)經(jīng)驗(yàn)表明：學(xué)生對(duì)函數(shù)定義的記憶和理解有一定困難，教師根據(jù)回答情況進(jìn)行修正、強(qiáng)調(diào).通過(guò)對(duì)照概念使學(xué)生理解任意角的三角函數(shù)的定義.設(shè)計(jì)意圖：由函數(shù)到三角函數(shù)是一般到特殊的關(guān)系，三角函數(shù)的學(xué)習(xí)就是一個(gè)從一般到特殊的演繹的過(guò)程.先對(duì)函數(shù)概念進(jìn)行回想再認(rèn)，使學(xué)生明確思考的方向.活動(dòng)2：對(duì)照函數(shù)定義，讓學(xué)生主動(dòng)思考，參與判斷，由于前面已經(jīng)分析了任意角的三角函數(shù)值的確定性，同時(shí)確認(rèn)了函數(shù)概念，此處的判斷應(yīng)當(dāng)是水到渠成.設(shè)計(jì)意圖：對(duì)任意角的正弦、余弦、正切的定義是否符合函數(shù)的定義，這是本小節(jié)的核心問(wèn)題.在教學(xué)中充分展示解決這個(gè)問(wèn)題的處理過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生將三角函數(shù)的定義與函數(shù)的定義對(duì)照，在學(xué)生自己觀察和思考中，深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)定義的產(chǎn)生過(guò)程.活動(dòng)3：引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步分析理解，三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).設(shè)計(jì)意圖：深化理解三角函數(shù)的內(nèi)涵，引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上自主地對(duì)三角函數(shù)更為實(shí)用的定義.由于學(xué)生剛學(xué)弧度制，對(duì)弧度制的理解有待于在以后的學(xué)習(xí)應(yīng)用中逐步感悟，因此部分學(xué)生對(duì)“三角函數(shù)可以看成是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù)”的理解還不夠透徹，有待通過(guò)后續(xù)的應(yīng)用加深理解.根據(jù)探究可得，任意角的正弦、余弦與正切可以用類(lèi)似的方式定義.如圖所示，對(duì)于任意角來(lái)說(shuō)，設(shè)是的終邊上異于原點(diǎn)任意一點(diǎn)，，則由三角形相似的知識(shí)可得與跟P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，只與角終邊的位置有關(guān).一般地，稱(chēng)為角的正弦，記作；稱(chēng)為角的余弦，記作，因此.當(dāng)角的終邊不在y軸上時(shí)，同樣可知與點(diǎn)P在終邊上的位置無(wú)關(guān)，此時(shí)稱(chēng)為角的正切，記作，即.由上可知，對(duì)于每一個(gè)角，都有唯一確定的正弦、余弦與之對(duì)應(yīng)；當(dāng)時(shí)，有唯一的正切與之對(duì)應(yīng).角的正弦、余弦與正切，都稱(chēng)為的三角函數(shù).5.判斷下列說(shuō)法是否正確.（1）若角終邊上點(diǎn)P的縱、橫坐標(biāo)均變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，則對(duì)應(yīng)的三角函數(shù)值變?yōu)樵瓉?lái)的2倍.（）（2）任意角的三角函數(shù)均有意義.（）（3）若角不同，則對(duì)應(yīng)的正弦值也不同（）（4）因?yàn)槿呛瘮?shù)值是一個(gè)比值，所以任意角的三角函數(shù)值為正值.（）答案：（1）×（2）×（3）×（4）×6.探究三角函數(shù)值的符號(hào).嘗試與發(fā)現(xiàn)：從定義和實(shí)例都可以看出，任意角的正弦、余弦與正切，都既可能是正數(shù)，也有可能是負(fù)數(shù)，還可能為0.它們的符號(hào)與什么有關(guān)？試總結(jié)出任意角的正弦、余弦與正切符號(hào)的規(guī)律.如果是的終邊上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)，，則，由可知，的正負(fù)與的終邊上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的符號(hào)相同，所以，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第一、二象限，或y軸的正半軸上時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第三、四象限，或y軸的負(fù)半軸上時(shí)，.用類(lèi)似的方法可以得到：當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第一、四象限，或x軸的正半軸上時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第二、三象限，或x軸的負(fù)半軸上時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第一、三象限時(shí)，；當(dāng)且僅當(dāng)?shù)慕K邊在第二、四象限時(shí)；以上結(jié)果可以用下圖直觀表示：師生共同總結(jié)識(shí)記口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”.三、例題講解例1已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求和.解：設(shè)，則所以.例2求下列各角的正弦、余弦和正切：（1）0；（2）；（3）.解：（1）角0的終邊在x軸正半軸上，在x軸的正半軸上取點(diǎn)，即所以.（2）角的終邊在x軸負(fù)半軸上，在x軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，即，所以.（3）角的終邊在y軸負(fù)半軸上，在y軸的負(fù)半軸上取點(diǎn)，即，所以不存在.例3求的正弦、余弦和正切.解：如圖所示，在的終邊上取點(diǎn)P，使得.作，則在Rt△OMP中，.因此，從而可知P點(diǎn)的坐標(biāo)為，因此.例4確定下列三角函數(shù)值的符號(hào)：（1）；（2）；（3）.解：（1）因?yàn)槭堑诙笙藿牵?（2）因?yàn)?，即是第三象限角，所?（3）因?yàn)?，即是第四象限角，所?例5設(shè)且，確定是第幾象限角.解：因?yàn)?，所以的終邊在第三、四象限，或y軸的負(fù)半軸上；又因?yàn)椋缘慕K邊在第一、三象限.因此滿且的是第三象限角.設(shè)計(jì)意圖：例題主要是三角函數(shù)的求值和三角函數(shù)值的符號(hào)判斷，培養(yǎng)學(xué)生利用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力.四、課堂小結(jié)1.你是怎樣把銳角的三角函數(shù)的定義推廣到任意角的？或者說(shuō)任意角的三角函數(shù)具體是怎樣定義的？2.你如何記憶正弦、余弦、正切函數(shù)值的符號(hào)？五、布置作業(yè)必做題：教材第17~18頁(yè)練習(xí)A第1~5題.選做題：教材第18頁(yè)練習(xí)B第3~5題.板書(shū)設(shè)計(jì)7.2.1三角函數(shù)的定義1.三角函數(shù)的定義2.三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷“一全正，二正弦，三正切，四余弦”3.例題講解例1例2例3例4例5教學(xué)研討本節(jié)課的教學(xué)特別注意了以下幾點(diǎn)：（1）前后知識(shí)的聯(lián)系，知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展過(guò)程，如任意角的三角函數(shù)的定義，由初中所講銳角的情況逐漸過(guò)渡到“任意角”的情況.（2）注重了知識(shí)的探究，如三角函數(shù)值在各象限的符號(hào).這里由學(xué)生自己去研究，討論，探索得出一般性結(jié)論，培養(yǎng)了學(xué)生獲取知識(shí)、探究知識(shí)的能力，強(qiáng)化了自主學(xué)習(xí)的意識(shí).（3）注意了概念的理解，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用；（4）注意了例題選取的典型性，練習(xí)的層次性和變化性，鞏固知識(shí)到位.從教學(xué)效果來(lái)看，基本達(dá)到了預(yù)定的教學(xué)