2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)分層作業(yè)22導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用含解析新人教B版選修1-1

PAGE1-課時(shí)分層作業(yè)(二十二)導(dǎo)數(shù)的實(shí)際應(yīng)用(建議用時(shí)：40分鐘)[基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練]1．以長(zhǎng)為10的線段AB為直徑作半圓，則它的內(nèi)接矩形面積的最大值為()A．10B．15C．25D．50C[如圖，設(shè)∠NOB＝θ，則矩形面積S＝5sinθ·2·5cosθ＝50sinθcosθ＝25sin2θ，∴當(dāng)sin2θ＝1時(shí)，函數(shù)取得最大值25，此時(shí)θ＝45°，故Smax＝25.]2．某箱子的體積與底面邊長(zhǎng)x的關(guān)系為V(x)＝x2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(60－x,2)))(0＜x＜60)，則當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為()A．30B．40C．50D．60B[V′(x)＝－eq\f(3,2)x2＋60x＝－eq\f(3,2)x(x－40)，因?yàn)?＜x＜60，所以當(dāng)0＜x＜40時(shí)，V′(x)＞0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞增；當(dāng)40＜x＜60時(shí)，V′(x)＜0，此時(shí)V(x)單調(diào)遞減，所以x＝40是V(x)的極大值，即當(dāng)箱子的體積最大時(shí)，箱子底面邊長(zhǎng)為40.]3．設(shè)底為正三角形的直棱柱的體積為V，那么其表面積最小時(shí)，底面邊長(zhǎng)為()A．eq\r(3,V)B．eq\r(3,2V)C.eq\r(3,4V)D．2eq\r(3,V)C[設(shè)底面邊長(zhǎng)為x，側(cè)棱長(zhǎng)為l，則V＝eq\f(1,2)x2·sin60°·l，∴l(xiāng)＝eq\f(4V,\r(3)x2)，∴S表＝x2·sin60°＋3·x·l＝eq\f(\r(3),2)x2＋eq\f(4\r(3)V,x)，S′表＝eq\r(3)x－eq\f(4\r(3)V,x2).令S′表＝0，∴x3＝4V，即x＝eq\r(3,4V).又當(dāng)x∈(0，eq\r(3,4V))時(shí)，S′表＜0，當(dāng)x∈(eq\r(3,4V)，＋∞)時(shí)，S′表＞0，∴當(dāng)x＝eq\r(3,4V)時(shí)，表面積最?。甝4．某工廠要圍建一個(gè)面積為512平方米的矩形堆料場(chǎng)，一邊可以利用原有的墻壁(墻壁足夠長(zhǎng))，其他三邊須要砌新的墻壁，若使所用的材料最省，則堆料場(chǎng)的長(zhǎng)和寬應(yīng)分別為()A．32米，16米 B．30米，15米C．64米，8米 D．36米，18米A[要使材料最省，則新砌的墻壁的總長(zhǎng)度應(yīng)最短．設(shè)堆料場(chǎng)寬為x米，則長(zhǎng)為eq\f(512,x)米，因此新墻總長(zhǎng)L(x)＝2x＋eq\f(512,x)(x＞0)，則L′(x)＝2－eq\f(512,x2).令L′(x)＝0，解得x＝16(x＝－16舍去)．故當(dāng)x＝16時(shí)，L(x)取得最小值，此時(shí)長(zhǎng)為eq\f(512,16)＝32(米)．]5．某銀行打算新設(shè)一種定期存款業(yè)務(wù)，經(jīng)預(yù)算，存款量與存款利率的平方成正比，比例系數(shù)為k(k>0)．已知貸款的利率為0.0486，且假設(shè)銀行汲取的存款能全部放貸出去．設(shè)存款利率為x，x∈(0,0.0486)，若使銀行獲得最大收益，則x的取值為()A．0.0162 B．0.0324C．0.0243 D．0.0486B[依題意，得存款量是kx2，銀行支付的利息是kx3，獲得的貸款利息是0.0486kx2，其中x∈(0,0.0486)．所以銀行的收益是y＝0.0486kx2－kx3(0<x<0.0486)，則y′＝0.0972kx－3kx2(0<x<0.0486)．令y′＝0，得x＝0.0324或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<0.0324時(shí)，y′>0；當(dāng)0.0324<x<0.0486時(shí)，y′<0.所以當(dāng)x＝0.0324時(shí)，y取得最大值，即當(dāng)存款利率為0.0324時(shí)，銀行獲得最大收益．]6．某商品每件的成本為30元，在某段時(shí)間內(nèi)，若以每件x元出售，可賣(mài)出(200－x)件，當(dāng)每件商品的定價(jià)為_(kāi)_______元時(shí)，利潤(rùn)最大．115[由題意知，利潤(rùn)S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6000(30≤x≤200)，所以S′(x)＝－2x＋230.令S′(x)＝0，解得x＝115.當(dāng)30≤x<115時(shí)，S′(x)>0；當(dāng)115<x≤200時(shí)，S′(x)<0.所以當(dāng)x＝115時(shí)，利潤(rùn)S(x)取得極大值，也是最大值．]7．用長(zhǎng)為18米的鋼條圍成一個(gè)長(zhǎng)方體的框架，要求長(zhǎng)方體的長(zhǎng)與寬之比為2∶1，則該長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬及高分別為_(kāi)_______時(shí)，框架的體積最大．2米、1米和eq\f(3,2)米[設(shè)長(zhǎng)方體的寬為x米，則長(zhǎng)為2x米，高為eq\f(18－12x,4)＝eq\f(9,2)－3xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0＜x＜\f(3,2)))，則V＝x·2x·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,2)－3x))＝9x2－6x3，令V′＝18x－18x2＝0，解得x＝1，或x＝0(舍去)．當(dāng)0<x<1時(shí)，V′>0；當(dāng)1<x<eq\f(3,2)時(shí)，V′<0.所以x＝1時(shí)體積V取得極大值，也就是最大值，此時(shí)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)為2米，高為eq\f(3,2)米．]8．某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品x件的總成本C(x)＝1200＋eq\f(2,75)x3(萬(wàn)元)，已知產(chǎn)品單價(jià)的平方與產(chǎn)品件數(shù)x成反比，生產(chǎn)100件這樣的產(chǎn)品單價(jià)為50萬(wàn)元，則產(chǎn)量定為_(kāi)_______件時(shí)，總利潤(rùn)最大．25[設(shè)產(chǎn)品的單價(jià)為P萬(wàn)元，依據(jù)已知，可設(shè)P2＝eq\f(k,x)，其中k為比例系數(shù)．因?yàn)楫?dāng)x＝100時(shí)，P＝50，所以k＝250000，所以P2＝eq\f(250000,x)，P＝eq\f(500,\r(x))，x＞0.設(shè)總利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則y＝eq\f(500,\r(x))·x－1200－eq\f(2,75)x3＝500eq\r(x)－eq\f(2,75)x3－1200.求導(dǎo)數(shù)得，y′＝eq\f(250,\r(x))－eq\f(2,25)x2.令y′＝0得x＝25.故當(dāng)x<25時(shí)，y′>0；當(dāng)x>25時(shí)，y′<0.因此當(dāng)x＝25時(shí)，函數(shù)y取得極大值，也是最大值．]9．某工廠共有10臺(tái)機(jī)器，生產(chǎn)一種儀器元件，由于受生產(chǎn)實(shí)力和技術(shù)水同等因素限制，會(huì)產(chǎn)生肯定數(shù)量的次品．依據(jù)閱歷知道，每臺(tái)機(jī)器產(chǎn)生的次品數(shù)P(萬(wàn)件)與每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)(4≤x≤12)之間滿(mǎn)意關(guān)系：P＝0.1x2－3.2lnx＋3.已知每生產(chǎn)1萬(wàn)件合格的元件可以盈利2萬(wàn)元，但每產(chǎn)生1萬(wàn)件次品將虧損1萬(wàn)元．(利潤(rùn)＝盈利－虧損)(1)試將該工廠每天生產(chǎn)這種元件所獲得的利潤(rùn)y(萬(wàn)元)表示為x的函數(shù)；(2)當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量x(萬(wàn)件)為多少時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為多少？[解](1)由題意得，所獲得的利潤(rùn)為y＝10[2(x－P)－P]＝20x－3x2＋96lnx－90(4≤x≤12)．(2)由(1)知，y′＝eq\f(－6x2＋20x＋96,x)＝eq\f(－23x＋8x－6,x).當(dāng)4≤x<6時(shí)，y′>0，函數(shù)在[4,6]上為增函數(shù)；當(dāng)6<x≤12時(shí)，y′<0，函數(shù)在[6,12]上為減函數(shù)，所以當(dāng)x＝6時(shí)，函數(shù)取得極大值，且為最大值，最大利潤(rùn)為y＝20×6－3×62＋96ln6－90＝96ln6－78(萬(wàn)元)即當(dāng)每臺(tái)機(jī)器的日產(chǎn)量為6萬(wàn)件時(shí)所獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為96ln6－78萬(wàn)元．10．如圖所示，ABCD是正方形空地，邊長(zhǎng)為30m，電源在點(diǎn)P處，點(diǎn)P到邊AD，AB距離分別為9m,3m．某廣告公司安排在此空地上豎一塊長(zhǎng)方形液晶廣告屏幕MNEF，MN∶NE＝16∶9.線段MN必需過(guò)點(diǎn)P，端點(diǎn)M，N分別在邊AD，AB上，設(shè)AN＝xm，液晶廣告屏幕MNEF的面積為Sm2.(1)用含x的代數(shù)式表示AM；(2)求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式及該函數(shù)的定義域；(3)當(dāng)x取何值時(shí)，液晶廣告屏幕MNEF的面積S最??？[解](1)AM＝eq\f(3x,x－9)(10≤x≤30)．(2)MN2＝AN2＋AM2＝x2＋eq\f(9x2,x－92).因?yàn)镸N∶NE＝16∶9，所以NE＝eq\f(9,16)MN，所以S＝MN·NE＝eq\f(9,16)MN2＝eq\f(9,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(x2＋\f(9x2,x－92)))，定義域?yàn)閇10,30]．(3)S′＝eq\f(9,16)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2x＋\f(18xx－92－9x22x－18,x－94)))＝eq\f(9,8)×eq\f(x[x－93－81],x－93)，令S′＝0，得x＝9＋3eq\r(3,3)或x＝0(舍去)．當(dāng)10≤x＜9＋3eq\r(3,3)時(shí)，S′＜0，S為減函數(shù)；當(dāng)9＋3eq\r(3,3)＜x≤30時(shí)，S′＞0，S為增函數(shù)，所以當(dāng)x＝9＋3eq\r(3,3)時(shí)，S取得最小值．[實(shí)力提升練]1．某商場(chǎng)從生產(chǎn)廠家以每件20元的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批商品．若該商品零售價(jià)定為P元，銷(xiāo)售量為Q，則銷(xiāo)量Q(單位：件)與零售價(jià)P(單位：元)有如下關(guān)系：Q＝8300－170P－P2，則最大毛利潤(rùn)為(毛利潤(rùn)＝銷(xiāo)售收入－進(jìn)支出)()A．30元 B．60元C．28000元 D．23000元D[毛利潤(rùn)為(P－20)Q，即f(P)＝(P－20)(8300－170P－P2)，f′(P)＝－3P2－300P＋11700＝－3(P＋130)(P－30)．令f′(P)＝0，得P＝30或P＝－130(舍去)，當(dāng)20≤P<30時(shí)，f′(P)>0，當(dāng)P>30時(shí)，f′(P)<0.故當(dāng)P＝30時(shí)，毛利潤(rùn)最大，所以f(P)max＝f(30)＝23000(元)．]2．某公司生產(chǎn)一種產(chǎn)品，固定成本為20000元，每生產(chǎn)一單位的產(chǎn)品，成本增加100元，若總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x0≤x≤390，,90090x＞390，))則當(dāng)總利潤(rùn)最大時(shí)，每年生產(chǎn)產(chǎn)品的單位數(shù)是()A．150 B．200C．250 D．300D[由題意當(dāng)年產(chǎn)量為x時(shí)，總成本為20000＋100x，又總收入R與年產(chǎn)量x的關(guān)系是R(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x，0≤x≤390，,90090，x＞390，))∴總利潤(rùn)Q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋400x－20000－100x，0≤x≤390，,90090－20000－100x，x＞390，))即Q(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(x3,900)＋300x－20000，0≤x≤390，,－100x＋70090，x＞390.))①當(dāng)0≤x≤390時(shí)，Q′(x)＝－eq\f(x2,300)＋300，令Q′(x)＝0得x＝300，由300＜x≤390得Q′(x)＜0，此時(shí)Q(x)是減函數(shù)；由0＜x＜300得Q′(x)＞0，此時(shí)Q(x)是增函數(shù)，∴當(dāng)0≤x≤390時(shí)，Q(x)max＝Q(300)＝40000(元)；②當(dāng)x＞390時(shí)，Q(x)＝－100x＋70090是減函數(shù)，∴Q(x)＜Q(390)＝31090(元)；∴當(dāng)x＝300時(shí)，Q(x)的最大值為40000.]3．將邊長(zhǎng)為1m的正三角形薄片沿一條平行于底面的直線剪成兩塊，其中一塊是梯形，記S＝eq\f(梯形的周長(zhǎng)2,梯形的面積)，則S的最小值是________．eq\f(32\r(3),3)[設(shè)剪成的小正三角形的邊長(zhǎng)為x，則S(x)＝eq\f(3－x2,\f(\r(3),4)12－x2)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(3－x2,1－x2)(0＜x＜1)，S′(x)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(2x－61－x2－3－x2－2x,1－x22)＝eq\f(4,\r(3))·eq\f(－23x－1x－3,1－x22)，令S′(x)＝0(0＜x＜1)，得x＝eq\f(1,3).當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))時(shí)，S′(x)＜0，S(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，1))時(shí)，S′(x)＞0，S(x)單調(diào)遞增，故當(dāng)x＝eq\f(1,3)時(shí)，S取得最小值，是eq\f(32\r(3),3).]4．已知某商品生產(chǎn)成本C與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為C＝100＋4q，價(jià)格p與產(chǎn)量q的函數(shù)關(guān)系式為p＝25－eq\f(1,8)q.則產(chǎn)量q為_(kāi)_______時(shí)，利潤(rùn)L最大．84[收入R＝qp＝qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25－\f(1,8)q))＝25q－eq\f(1,8)q2.利潤(rùn)L＝R－C＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(25q－\f(1,8)q2))－(100＋4q)＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100(0＜q＜200)，法一：L′＝－eq\f(1,4)q＋21，令L′＝0，即－eq\f(1,4)q＋21＝0，解得q＝84.當(dāng)0＜q＜84時(shí)，L′＞0；當(dāng)84＜q＜200時(shí)，L′＜0，所以當(dāng)q＝84時(shí)，L取得最大值，即產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大．法二：L＝－eq\f(1,8)q2＋21q－100＝－eq\f(1,8)(q2－168q＋842)＋eq\f(842,8)－100＝－eq\f(1,8)(q－84)2＋782(0＜q＜200)，所以當(dāng)q＝84時(shí)，L取最大值782.故產(chǎn)量為84時(shí)，利潤(rùn)L最大．]5．經(jīng)過(guò)多年的運(yùn)作，“雙十一”搶購(gòu)活動(dòng)已經(jīng)演化成為整個(gè)電商行業(yè)的大型集體促銷(xiāo)盛宴．為迎接2024年“雙十一”網(wǎng)購(gòu)狂歡節(jié)，某廠家擬投入適當(dāng)?shù)馁M(fèi)用，對(duì)網(wǎng)上所售產(chǎn)品進(jìn)行促銷(xiāo)．經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該促銷(xiāo)產(chǎn)品在“雙十一”期間的銷(xiāo)售量p萬(wàn)件與促銷(xiāo)費(fèi)用x(0≤x≤a，a為正常數(shù))萬(wàn)元滿(mǎn)意p＝3－eq\f(2,x＋1).已知生產(chǎn)該批產(chǎn)品p萬(wàn)件需投入成本(10＋2p)萬(wàn)元(不含促銷(xiāo)費(fèi)用)，產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)格定為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))元/件，假定廠家的生產(chǎn)實(shí)力完全能滿(mǎn)意市場(chǎng)的銷(xiāo)售需求．(1)將該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為促銷(xiāo)費(fèi)用x萬(wàn)元的函數(shù)；(2)投入促銷(xiāo)費(fèi)用多少萬(wàn)元時(shí)，廠家獲得的利潤(rùn)最大？[解](1)由題意知y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(20,p)))p－x－(10＋2p)＝2p－x＋10，將p＝3－eq\f(2,x＋1)代入化簡(jiǎn)，得y＝16－x－eq\f(4,x＋1)(0≤x≤a)．(2)法一：當(dāng)a＞1時(shí)，y＝17－eq\b\lc\