2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上冊第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，如果，則（）A. B.0 C. D.2.已知直線與直線間的距離為，則（）A或 B.C.或11 D.6或3.若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.4.已知點，，若直線上存在點P，使得，則稱該直線為“相關(guān)點直線”．給出下列直線:①；②③；④，其中為“相關(guān)點直線”是（）A①③ B.②④ C.②③ D.③④5.已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若為等邊三角形，則（）A. B. C. D.6.一個工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）A. B.1 C.2 D.7.如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）A.－ B.C.－ D.8.已知橢圓，離心率為．點為橢圓C上一動點（其中，），點，為橢圓C左右焦點，直線與直線在一象限交于點，則線段長度為（）A.2 B. C.1 D.4二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.點P在圓上，點Q在圓上，則（）A.的最小值為0B.的最大值為7C.兩個圓心所在直線的斜率為D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為10.我們把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實軸頂點，、是虛軸頂點，、是焦點，過右焦點且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，則下列命題正確的是（）A.雙曲線黃金雙曲線B.若，則該雙曲線是黃金雙曲線C.若，則該雙曲線是黃金雙曲線D.若，則該雙曲線是黃金雙曲線11.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點，是棱上的動點，則（）A.B.存在點，使平面C.存在點，使直線與所成的角為D.點到平面與平面的距離和為定值三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知圓是圓上兩個動點，點，則矩形的頂點的軌跡方程是___________．13.如圖，在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點，點是棱上的點．若，則線段的長度為______．14.拋物線與圓交于A、B兩點，圓心，點為劣弧上不同于A、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是______．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓，點.（1）若，半徑為的圓過點，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求.16.已知四棱錐中，底面是矩形，，，是的中點．（1）證明：；（2）若，，點是上的動點，直線與平面所成角的正弦值為，求．17.已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；（2）設(shè)線段AB的中點為N，求的取值范圍.18.如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，點N為PC上的動點.（1）求證：存在點N，使得.（2）求二面角的正弦值.19.在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與橢圓，A，B分別為的左?右頂點，點在雙曲線上，且位于第一象限.（1）直線與橢圓相交于第一象限內(nèi)的點，設(shè)直線，，，的斜率分別為，，，，求的值；（2）直線與橢圓相交于點（異于點A），求的取值范圍.2024-2025學(xué)年湖南省衡陽市衡陽縣高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)檢測試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知，，如果，則（）A. B.0 C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)向量共線定理，結(jié)合空間向量線性關(guān)系的坐標(biāo)關(guān)系列方程求參數(shù)，即可得結(jié)果.【詳解】由，則存在，使，則，解得，所以.故選：A.2.已知直線與直線間距離為，則（）A.或 B.C.或11 D.6或【正確答案】A【分析】運用兩條平行直線間的距離公式計算即可.【詳解】直線可化為，所以，解得或．故選：A.3.若橢圓滿足，則該橢圓的離心率（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】由橢圓離心率的公式計算.【詳解】橢圓滿足，則該橢圓的離心率.故選：B.4.已知點，，若直線上存在點P，使得，則稱該直線為“相關(guān)點直線”．給出下列直線:①；②③；④，其中為“相關(guān)點直線”是（）A.①③ B.②④ C.②③ D.③④【正確答案】B【分析】根據(jù)可判斷點的軌跡為圓，將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓有共同點即可，利用代數(shù)法聯(lián)立方程判別式法或者利用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系的幾何法即可求解.【詳解】由題意可知，點P的軌跡是以O(shè)為圓心、1為半徑的圓，其方程是．解法一:①把代入并整理得，，∴，∴直線與圓相離，∴直線不是“相關(guān)點直線”．同理，通過聯(lián)立直線和圓的方程，可得直線②，④與圓相交，直線③與圓相離．所以②④符合題意．故選:B．解法二:①圓心到直線，即的距離為，∴直線與圓相離，∴直線不是“相關(guān)點直線”．同理，通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小，可得直線②，④與圓相交，直線③與圓相離．所以②④符合題意．故選:B．5.已知，是雙曲線的左、右焦點，過的直線與雙曲線的左、右兩支分別交于A，B兩點，若為等邊三角形，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】等邊三角形中，中，，，，由余弦定理列方程求解.【詳解】∵為等邊三角形，∴，∴，，，中，由余弦定理有，∴，∴，∴.故選:B.6.一個工業(yè)凹槽的截面是一條拋物線的一部分，它的方程是，在凹槽內(nèi)放入一個清潔鋼球（規(guī)則的球體），要求清潔鋼球能擦凈凹槽的最底部，則清潔鋼球的最大半徑為（）A. B.1 C.2 D.【正確答案】B【分析】設(shè)小球圓心，求出拋物線上點點到圓心距離平方，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出的取值范圍，即可得解.【詳解】設(shè)小球圓心，若小球觸及凹槽的最底部，則小球半徑，又拋物線上點點到圓心距離平方為：，若最小值在時取到，則小球觸及凹槽的最底部，故此二次函數(shù)的對稱軸位置應(yīng)在軸的左側(cè)，所以，所以，所以，從而清潔鋼球半徑的范圍為，所以清潔鋼球的最大半徑為.故選：B．7.如圖，在正方體ABEF-DCE′F′中，M，N分別為AC，BF的中點，則平面MNA與平面MNB的夾角的余弦值為（）A.－ B.C.－ D.【正確答案】B【分析】法一：先利用二面角平面角的定義，在兩個半平面內(nèi)分別找到與二面角的棱垂直的兩條直線，將問題轉(zhuǎn)化為求兩直線方向向量的夾角即可；法二：直接轉(zhuǎn)化為求兩平面的法向量的夾角即可.【詳解】設(shè)正方體棱長為1，以B為坐標(biāo)原點，BA，BE，BC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系B-xyz，則M，N，.解法一取MN的中點G，連接BG，AG，則G.因為為等腰三角形，所以AG⊥MN，BG⊥MN，故∠AGB為兩平面夾角或其補角．又因為，，所以，，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.解法二設(shè)平面AMN的法向量由于，，則，即，令x＝1，解得y＝1，z＝1，于是，同理可求得平面BMN的一個法向量.所以，設(shè)平面MNA與平面MNB的夾角為θ，則.故所求兩平面夾角的余弦值為.故選：B.8.已知橢圓，離心率為．點為橢圓C上一動點（其中，），點，為橢圓C左右焦點，直線與直線在一象限交于點，則線段長度為（）A.2 B. C.1 D.4【正確答案】A【分析】有橢圓的離心率可求得，則橢圓方程為，結(jié)合和，可得直線的方程為，在再聯(lián)立方程組，求出，利用兩點間距離公式即可求解.【詳解】橢圓的離心率為，，則，橢圓，此時，則直線的方程為，又點在橢圓C上，則有，設(shè)，聯(lián)立，解得，則，由得：，代入上式得.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.點P在圓上，點Q在圓上，則（）A.的最小值為0B.的最大值為7C.兩個圓心所在直線的斜率為D.兩個圓的公共弦所在直線的方程為【正確答案】BC【分析】求兩圓的圓心坐標(biāo)和半徑，結(jié)合圓心距求的最值判斷AB選項；由斜率公式計算兩個圓心所在直線的斜率，判斷選項C；由兩圓位置關(guān)系判斷選項D.【詳解】圓，圓心，半徑.圓的一般方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得，則圓心，半徑，兩圓圓心距，，，A選項錯誤，B選項正確.兩個圓心所在直線的斜率，C選項正確.又，所以兩圓外離，不相交，沒有公共弦，D選項錯誤.故選：BC.10.我們把離心率為的雙曲線稱為黃金雙曲線。如圖所示，、是雙曲線的實軸頂點，、是虛軸頂點，、是焦點，過右焦點且垂直于軸的直線交雙曲線于、兩點，則下列命題正確的是（）A.雙曲線是黃金雙曲線B.若，則該雙曲線黃金雙曲線C.若，則該雙曲線是黃金雙曲線D.若，則該雙曲線是黃金雙曲線【正確答案】BCD【分析】A選項，，不是黃金雙曲線；通過計算得到BCD是黃金雙曲線.【詳解】A選項，，不是黃金雙曲線；B選項，，化成，即，又，解得，是黃金雙曲線；C選項，∵，∴，∴，化簡得，由選項知是黃金雙曲線；D選項，∵，∴軸，，且是等腰，∴，即，由選項知是黃金雙曲線.綜上，BCD是黃金雙曲線.故選：BCD.方法點睛：求雙曲線的離心率常用的方法有：（1）公式法（求出再求離心率）；（2）方程法（通過已知得到關(guān)于的方程，解方程得解）.11.如圖，四棱錐中，底面是正方形，平面，，、分別是的中點，是棱上的動點，則（）A.B.存在點，使平面C.存在點，使直線與所成的角為D.點到平面與平面的距離和為定值【正確答案】ABD【分析】根據(jù)已知條件，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的方法逐一判斷各個選項即可.【詳解】根據(jù)已知條件，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，；由是棱上的動點，設(shè)，，因為，，所以，即，故A正確；當(dāng)為中點時，是的中位線，所以，又平面，平面，所以平面，故B正確；，，若存在點，使直線與所成的角為，則，化簡得，無解，故C錯誤；由題意可知：點到平面的距離，為平面的法向量，所以點到平面的距離為，所以，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，已知圓是圓上兩個動點，點，則矩形的頂點的軌跡方程是___________．【正確答案】【分析】設(shè)點，連接交于，可寫出的坐標(biāo)，再在直角中，，利用勾股定理列方程可得x,y的關(guān)系式，即頂點的軌跡方程.【詳解】設(shè)點，如圖連接交于，由矩形可知為的中點，，連接，在直角中，，則即，整理得，所以頂點的軌跡方程是故關(guān)鍵點睛：本題考查求軌跡方程，解題的關(guān)鍵是求誰設(shè)誰，設(shè)點，然后再利用圖像的幾何關(guān)系找到x,y的關(guān)系式，即求得軌跡方程，考查學(xué)生的直觀想象能力與運算求解能力，屬于中檔題.13.如圖，在直三棱柱中，，，點，，分別是棱，，的中點，點是棱上的點．若，則線段的長度為______．【正確答案】【分析】根據(jù)題意，以點為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出點坐標(biāo)，根據(jù)題意，列出方程，求出點坐標(biāo)，進(jìn)而可求出結(jié)果.【詳解】因為在直三棱柱中，，因此，以點為坐標(biāo)原點，以分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，點，，分別是棱，，的中點，所以，，，則，又點是棱上的點，所以設(shè)，則，因為，所以，因此.所以，因此.故答案為本題主要考查空間中兩點間的距離，靈活運用空間向量法求解即可，屬于?？碱}型.14.拋物線與圓交于A、B兩點，圓心，點為劣弧上不同于A、的一個動點，平行于軸的直線交拋物線于點，則的周長的取值范圍是______．【正確答案】【分析】由題可得拋物線的焦點，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長為，聯(lián)立圓與拋物線可得點坐標(biāo)，可得的取值范圍，可得答案.【詳解】解：∵圓交，拋物線，∴圓心也是拋物線的焦點，拋物線的準(zhǔn)線為，過作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，根據(jù)拋物線的定義，可得，故的周長，由可得，又圓與軸正半軸交于，所以，又因為，所以取值范圍為，所以的周長的取值范圍為.故答案為.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知圓，點.（1）若，半徑為的圓過點，且與圓相外切，求圓的方程；（2）若過點的兩條直線被圓截得的弦長均為，且與軸分別交于點、，，求.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）設(shè)圓心，根據(jù)已知條件可得出關(guān)于、的方程組，解出、的值，即可得出圓的方程；（2）分析可知直線、的斜率存在，設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，利用勾股定理可得出，可知直線、的斜率、是關(guān)于的二次方程的兩根，求出、的坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理可求得的值.【小問1詳解】解：設(shè)圓心，圓的圓心為，由題意可得，解得或，因此，圓的方程為或.【小問2詳解】解：若過點的直線斜率不存在，則該直線的方程為，圓心到直線的距離為，不合乎題意.設(shè)過點且斜率存在的直線的方程為，即，由題意可得，整理可得，設(shè)直線、的斜率分別為、，則、為關(guān)于的二次方程的兩根，，由韋達(dá)定理可得，，在直線的方程中，令，可得，即點在直線的方程中，令，可得，即點，所以，，解得.16.已知四棱錐中，底面是矩形，，，是的中點．（1）證明：；（2）若，，點是上的動點，直線與平面所成角的正弦值為，求．【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接、，推導(dǎo)出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，求出平面的一個法向量的坐標(biāo)，利用空間向量法可得出關(guān)于的方程，解出的值，即可得解.【小問1詳解】取的中點，連接、，因為、分別為、的中點，則，因為，所以，，設(shè)直線與直線交于點，因為，則，，所以，，所以，，故，設(shè)，則，，所以，，且，，所以，，所以，，又因為，、平面，則平面，因為平面，故.【小問2詳解】因為，，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，則、、、、，設(shè)平面的法向量為，則，，則，取，則，設(shè)，其中，，因為直線與平面所成角的正弦值為，則，解得，即.17.已知拋物線，過點的直線l交拋物線于A，B兩點，拋物線在點A處的切線為，在點B處的切線為，直線與交于點M.（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，證明：；（2）設(shè)線段AB的中點為N，求的取值范圍.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）設(shè)切線方程，分別用點的橫坐標(biāo)表示，聯(lián)立直線l與拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，可得結(jié)果；（2）聯(lián)立直線方程求點M坐標(biāo)，由中點坐標(biāo)公式可得點坐標(biāo)，從而得到MN，再由弦長公式可得AB，由的表達(dá)式求取值范圍即可.【小問1詳解】由題意知，直線l的斜率存在，設(shè)點Ax1,y1，B由得，，，.由，得切點，，則切線的方程為，代入，得，所以，解得，同理，得切線的斜率，所以.【小問2詳解】由（1）可得，故，.由（1）得，可化為，①同理得，②由①②，得，，即，則.，所以.由，，得，故，即的取值范圍為.方法點睛：解答直線與圓錐曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系，涉及到直線方程的設(shè)法時，務(wù)必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形，強化有關(guān)直線與圓錐曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．18.如圖所示的多面體中，四邊形ABCD是菱形且，，平面ABCD，，點N為PC上的動點.（1）求證：存在點N，使得.（2）求二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）證明平面PBC，平面MABN與PC交于點N，有；（2）以D為原點建立空間直角坐標(biāo)系，向量法解決二面角問題.【小問1詳解】證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以，又平面PBC，平面PBC，所以平面PBC.又，平面，平面PBC，所以平面PBC.又，平面ADM，所以平面平面PBC.又平面AMD，所以平面PBC，所以平面MABN與PC必有交點，且該交點為N，滿足.【小問2詳解】以D為原點，DC，DM所在直線分別為y，z軸，過點D在平面ABCD內(nèi)作垂直于DC的直線為x軸，建立如圖所示的空間直