固體物理 第一章 第二節(jié)專業(yè)課教材

固體物理學(xué)周健2011.02.172011-2012學(xué)年第二學(xué)期第一章晶體的結(jié)構(gòu)及其對(duì)稱性§1.2晶列和晶面一、晶列及其晶向標(biāo)志晶列和晶向點(diǎn)陣中的結(jié)點(diǎn)是周期排列，這些結(jié)點(diǎn)可以看做分布在一系列相互平行的直線上，這些直線稱為一族晶列。每一族的晶列定義了一個(gè)方向，稱為晶向。一族晶列應(yīng)該包含點(diǎn)陣中所有結(jié)點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)陣中應(yīng)有無(wú)窮多族晶列。一族晶列不同平行線之間間距一樣。正方形點(diǎn)陣中的某一族晶列其晶向就是沿著直線的方向同一個(gè)點(diǎn)陣中可以有很多族晶列通常用元胞的基矢來(lái)定義晶向。如果取任一格點(diǎn)O,到最近鄰結(jié)點(diǎn)A的平移矢量是：那么l1,l2,l3就用來(lái)標(biāo)記OA方向，即晶向。我們用[l1,l2,l3]來(lái)表示晶向指數(shù)。注意方括號(hào)！OA為最近鄰，所以l1,l2,l3一定為互質(zhì)整數(shù)。如果遇到l為負(fù)數(shù)，則負(fù)號(hào)放l上面：由于晶體對(duì)稱性，我們用<l1,l2,l3>表示點(diǎn)陣中的一組對(duì)稱的晶向。二維點(diǎn)陣的某一個(gè)晶向OA:[23]OA=2a1+3a2簡(jiǎn)單立方的幾個(gè)晶向OA=a1+0+0[100]OB=a1+a2+0[110]OC=a1+a2+a3[111]a1a2a3OABCDE例：如圖在立方體中，D是BC的中點(diǎn)，求BE,AD的晶列指數(shù)。解：晶列BE的晶列指數(shù)為：[011]AD的晶列指數(shù)為:求AD的晶列指數(shù)。注意:(1)晶列指數(shù)一定是一組互質(zhì)的整數(shù)；(2)晶列指數(shù)用方括號(hào)表示[]；(3)遇到負(fù)數(shù)在該數(shù)上方加一橫線。晶列(11-1)晶列[11-1]晶列(111)晶列[111]

<100>代表了以下6個(gè)晶向。分別代表了立方體的三個(gè)棱邊，每個(gè)邊有正負(fù)兩個(gè)方向。<110>代表了立方體的6條面對(duì)角線，每條對(duì)角線2個(gè)方向，所以共12個(gè)晶向。<111>代表了立方體的4條體對(duì)角線，每條對(duì)角線2個(gè)方向，所以共8個(gè)晶向。由于立方體的對(duì)稱性，所有的棱邊是等效的，所有的面對(duì)角線也是等效的，所有的體對(duì)角線也是等效的。所以才可以用<100>，<110>,<111>來(lái)統(tǒng)一表示。二、晶面及有理指數(shù)定律晶面點(diǎn)陣的結(jié)點(diǎn)也可以看作分布在一系列平行且等間距的平面上，這些平面稱作一族晶面。用垂直于晶面的方向來(lái)表示晶面的方向。一族晶面內(nèi)應(yīng)包含所有結(jié)點(diǎn)。同一點(diǎn)陣可以有無(wú)數(shù)族晶面。同一點(diǎn)陣的兩種不同的晶面族晶面指數(shù)為了描述晶面，就需要在選定的坐標(biāo)系內(nèi)，寫出該平面法線的方向余弦，或者表示出該平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距。取a1,a2,a3為三個(gè)基矢的長(zhǎng)度，晶面的面間距為d，法線為矢量en即過(guò)原點(diǎn)的晶面為第0個(gè)晶面，其余晶面均與切割坐標(biāo)軸?？紤]第μ個(gè)晶面，到原點(diǎn)距離為μd，設(shè)它在坐標(biāo)軸上的截距為：分別求三個(gè)截距在法線方向的投影長(zhǎng)度即為μ

d.因此很容易得到：即晶面法線方向余弦之比，等于三個(gè)截距倒數(shù)之比。兩者標(biāo)志晶面是等價(jià)的。晶面有理數(shù)指數(shù)定律可以證明，必定為有理數(shù)我們考慮三個(gè)基矢頂點(diǎn)處的結(jié)點(diǎn)，由于晶面包含所有結(jié)點(diǎn)，所以基矢端點(diǎn)也必然有一個(gè)晶面通過(guò)，假設(shè)分別是第h1,h2,h3個(gè)晶面通過(guò)三個(gè)基矢端點(diǎn)。也就是在基矢長(zhǎng)度范圍內(nèi)有h1,h2,h3個(gè)晶面切過(guò)基矢，把基矢分成h1,h2,h3段，每段長(zhǎng)度為那么第μ個(gè)晶面的截距為每段長(zhǎng)度的μ倍?？紤]到前面的我們定義的截距，則有下面等式：兩個(gè)整數(shù)之比，必為有理數(shù)，這就是阿羽依的晶面有理數(shù)指數(shù)定律。晶面有理數(shù)定律：晶體中任一晶面，在基矢天然坐標(biāo)系中的截距為有理數(shù)。它是點(diǎn)陣周期性的必然結(jié)果。對(duì)于一族晶面，通常取晶面族中的從原點(diǎn)算起的第一個(gè)界面截距的倒數(shù)來(lái)標(biāo)記晶面族，稱為該晶面的晶面指數(shù)，記作：必為互質(zhì)。同樣，負(fù)號(hào)放在數(shù)字上方用橫線表示對(duì)于方位不同的等效晶面族，用花括號(hào)表示互質(zhì)的證明：

取第一個(gè)晶面，即μ=1，根據(jù)公式1.2.2有：同樣考慮該晶面上某結(jié)點(diǎn)，其矢量為R。對(duì)其做法線上投影，得到長(zhǎng)度就是晶面距離d把前面的公式得到的方向余弦?guī)肷鲜剑喝绻鹔1,h2,h3不互質(zhì)，有公因子m，m為大于1的整數(shù)。令：上式化作：由于上面式子中m大于1，括號(hào)內(nèi)整數(shù)求和為非零整數(shù)，所以上式不能成立。所以h1,h2,h3必然為互質(zhì)的整數(shù)。晶面指標(biāo)化程序：在一族晶面中，找到任一晶面在基矢坐標(biāo)軸上的以天然長(zhǎng)度單位度量（分?jǐn)?shù)坐標(biāo)）的截距。(如果平面平行于某一坐標(biāo)軸，那么它在該坐標(biāo)軸上的截距是無(wú)窮大∞)取截距的倒數(shù)，把它們化作三個(gè)互質(zhì)的整數(shù)h1,h2,h3。用圓括號(hào)標(biāo)記(h1h2h3)。負(fù)號(hào)用上面橫線表示，用花括號(hào)表示一組等效的對(duì)稱晶面。紅色三角形代表的晶面指數(shù)：很顯然，紅色三角形在三個(gè)軸上的截距之比為2:2:3取倒數(shù)之比為1/2:1/2:1/3化為互質(zhì)整數(shù)：3:3:2即該晶面的指數(shù)為(332)立方點(diǎn)陣在晶體中，晶面指數(shù)整體相差一個(gè)負(fù)號(hào)，代表同一族晶面，沒(méi)任何區(qū)別。只在晶體的外表面才有意義。密勒Miller指數(shù)以晶體學(xué)單胞的基矢a,b,c為坐標(biāo)來(lái)表示的晶面指數(shù)，也是互質(zhì)的整數(shù)，稱為密勒指數(shù)，記作（hkl）。密勒指數(shù)的確定方法同前面的晶面指數(shù)，只是基矢和元胞不同。同一點(diǎn)陣的晶面指數(shù)和密勒指數(shù)可能不同。由密勒指數(shù)確定的晶面族可能會(huì)遺漏部分結(jié)點(diǎn)。密勒指數(shù)簡(jiǎn)單的晶面族中，面間距大，這種晶面容易解理。面間距大的晶面上，結(jié)點(diǎn)的面密度大。這樣的晶面由于單位表面的能量小，容易在晶體生長(zhǎng)過(guò)程中顯露出來(lái)。例：如圖所示，I和H分別為BC，EF之中點(diǎn)，試求晶面AEG，ABCD，DIHG的密勒指數(shù)。AEG

ABCD

DIHG111

121

rst在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距OABCDEFGHI

AEG

ABCD

DIHG111

121

rst在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距1:1:1(hkl)(111)(001)(120)AEG

的密勒指數(shù)是(111)；OEFG的密勒指數(shù)是(001)；DIHG的密勒指數(shù)是(120)。OABCDEFGHIABCDEFG例:在立方晶系中畫(huà)出(210)、晶面。晶面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別為：1(210)11密勒指數(shù)是(210)的晶面是ABCD面；(121)密勒指數(shù)是

的晶面是EFG面；晶面間距晶面組中最鄰近的兩個(gè)晶面間的距離叫晶面間距dhkl對(duì)于簡(jiǎn)單立方：小結(jié)晶列：[l1l2l3];等效晶列