第01講 平面向量與三角形中的范圍與最值問題（五大題型）（解析版）

第01講平面向量與三角形中的范圍與最值問題【題型歸納目錄】題型一：定義法題型二：坐標(biāo)法題型三：基底法題型四：幾何意義法題型五：極化恒等式【知識(shí)點(diǎn)梳理】知識(shí)點(diǎn)一．平面向量范圍與最值問題常用方法：1、定義法第一步：利用向量的概念及其基本運(yùn)算將所求問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的等式關(guān)系第二步：運(yùn)用基木不等式求其最值問題第三步：得出結(jié)論2、坐標(biāo)法第一步：根據(jù)題意建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系并寫出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)第二步：將平面向量的運(yùn)算坐標(biāo)化第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解3、基底法第一步：利用其底轉(zhuǎn)化向量第二步：根據(jù)向量運(yùn)算律化簡(jiǎn)目標(biāo)第三步：運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法如二次函數(shù)的思想、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等得出結(jié)論4、幾何意義法第一步：先確定向量所表達(dá)的點(diǎn)的軌跡第二步：根據(jù)直線與曲線位置關(guān)系列式第三步：解得結(jié)果知識(shí)點(diǎn)二．極化恒等式1、平行四邊形平行四邊形對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和：（1）（2）（2）兩式相加得：2、極化恒等式：上面兩式相減，得：————極化恒等式（1）平行四邊形模式：幾何意義：向量的數(shù)量積可以表示為以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對(duì)角線”與“差對(duì)角線”平方差的．（2）三角形模式：（M為BD的中點(diǎn)）AABCM知識(shí)點(diǎn)三．在解三角形專題中，求其“范圍與最值”的問題，一直都是這部分內(nèi)容的重點(diǎn)、難點(diǎn)．解決這類問題，通常有下列五種解題技巧：（1）利用基本不等式求范圍或最值；（2）利用三角函數(shù)求范圍或最值；（3）利用三角形中的不等關(guān)系求范圍或最值；（4）根據(jù)三角形解的個(gè)數(shù)求范圍或最值；（5）利用二次函數(shù)求范圍或最值．要建立所求量（式子）與已知角或邊的關(guān)系，然后把角或邊作為自變量，所求量（式子）的值作為函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為函數(shù)關(guān)系，將原問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題．這里要利用條件中的范圍限制，以及三角形自身范圍限制，要盡量把角或邊的范圍（也就是函數(shù)的定義域）找完善，避免結(jié)果的范圍過大．【典例例題】題型一：定義法【例1】（2023·廣西·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）已知點(diǎn)是的邊上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一點(diǎn)（不包括端點(diǎn)），若，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】

由題意得：，.因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào).故選：D.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】（2023·江蘇南京·高一南京市寧海中學(xué)校聯(lián)考期中）已知向量均為單位向量，且，向量滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)，則易知，又，所以，因?yàn)?，所以，所以最大值為．故選：C.題型二：坐標(biāo)法【例2】（2023·江蘇南通·高一校考期末）如圖所示，邊長(zhǎng)為的正，以的中點(diǎn)為圓心，為直徑在點(diǎn)的另一側(cè)作半圓弧，點(diǎn)在圓弧上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍為______.

【答案】【解析】連接，因?yàn)闉榈冗吶切?，且為的中點(diǎn)，則，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則點(diǎn)、，設(shè)點(diǎn)，其中，則，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，故.因此，的取值范圍為.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】（2023·上海閔行·高一閔行中學(xué)?？计谀┮阎矫嫦蛄浚渲?，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】

如圖所示建立直角坐標(biāo)系，，則,，，設(shè)，則，所以，,，故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】（2023·北京通州·高一統(tǒng)考期中）在正方形中，，P為邊的中點(diǎn)，Q為邊的中點(diǎn)，M為邊（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍是_________．【答案】【解析】

如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，所以，所以.故答案為：.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4】（2023·四川廣元·高一廣元中學(xué)?？计谥校┮阎蛄?，，當(dāng)取得最大值時(shí)，______．【答案】【解析】因?yàn)椋?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最大值，此時(shí)，所以，所以.故答案為：.題型三：基底法【例3】（2023·福建三明·高一三明一中?？计谥校┮阎詾閳A心的單位圓上有兩個(gè)定點(diǎn)、及兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)、，且，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意可知，，所以，，易知，所以，，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)與方向相反時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.故選：A.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5】（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知的外心為，且滿足，（其中，則的最大值為（

）A．2 B． C． D．5【答案】A【解析】如圖所示，過點(diǎn)分別作，，其垂足分別為，，

則，分別為弦，的中點(diǎn)．，，，，化為：，即，①，化為，即，②，由①②解得，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最大值為2.故選：A．題型四：幾何意義法【例4】（2023·江蘇南京·高一南京市第一中學(xué)?？计谥校┫蛄?，，若與的夾角為，則的最大值為（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【解析】由題意，記，則，故由向量加減的三角形法則可得，與構(gòu)成三角形，則與的夾角等于，則，由正弦定理可得，又，則，所以，即的最大值為.故選：C.【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練6】（2023·高一課時(shí)練習(xí)）已知向量，，，滿足，記的最大值為，最小值為，則（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【解析】在中，設(shè)，則，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，以為鄰邊作平行四邊形，設(shè)交于點(diǎn)，可得，則，因?yàn)椋〉钠瘘c(diǎn)為，可知的終點(diǎn)的軌跡為以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓，如圖，當(dāng)點(diǎn)為的延長(zhǎng)線與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最大值為；當(dāng)點(diǎn)為線段與圓的交點(diǎn)時(shí)，的最小值為；所以.故選：A.題型五：極化恒等式【例5】（2023·浙江·高一校聯(lián)考期中）已知圖中正六邊形的邊長(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，若點(diǎn)P在正六邊形的邊上運(yùn)動(dòng)，為圓O的直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因?yàn)檎呅蔚倪呴L(zhǎng)為6，圓O的圓心為正六邊形的中心，直徑為4，所以正六邊形的內(nèi)切圓的半徑為，外接圓的半徑，又由，因?yàn)?，即，可得，所以的取值范圍?故選：D【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練7】（2023·福建福州·高一福建省福州高級(jí)中學(xué)?？计谥校┮阎呴L(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于圓O，點(diǎn)P是正方形ABCD四條邊上的動(dòng)點(diǎn)，MN是圓O的一條直徑，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)圓的半徑為，則，所以.如圖，根據(jù)向量加法的三角形法則可知，，且，所以.由已知可得，正方形上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，所以，所以.故選：D.【真題演練】1．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）在中，．P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，因?yàn)椋栽谝詾閳A心，為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因?yàn)?，所以，即；故選：D

2．（2020·海南·統(tǒng)考高考真題）已知P是邊長(zhǎng)為2的正六邊形ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】的模為2，根據(jù)正六邊形的特征，可以得到在方向上的投影的取值范圍是，結(jié)合向量數(shù)量積的定義式，可知等于的模與在方向上的投影的乘積，所以的取值范圍是，故選：A.3．（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，若設(shè)，則可用表示為_________；若，則的最大值為_________．【答案】【解析】空1：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，則，可得，兩式相加，可得到，即，則；空2：因?yàn)?，則，可得，得到，即，即.于是.記，則，在中，根據(jù)余弦定理：，于是，由和基本不等式，，故，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號(hào)，則時(shí)，有最大值.故答案為：；.

4．（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）在中，，D是AC中點(diǎn)，，試用表示為___________，若，則的最大值為____________【答案】【解析】方法一：，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，而，所以．故答案為：；．5．（2021·天津·統(tǒng)考高考真題）在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且交AB于點(diǎn)E．且交AC于點(diǎn)F,則的值為____________；的最小值為____________．【答案】1【解析】設(shè)，，為邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，，，，為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，，，，，所以當(dāng)時(shí)，的最小值為.故答案為：1；.6．（2020·天津·統(tǒng)考高考真題）如圖，在四邊形中，，，且，則實(shí)數(shù)的值為_________，若是線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為_________．【答案】【解析】，，，，解得，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，,∵，∴的坐標(biāo)為,∵又∵,則，設(shè)，則（其中），，，，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.故答案為：；.7．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)點(diǎn)P在單位圓的內(nèi)接正八邊形的邊上，則的取值范圍是_______．【答案】【解析】以圓心為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示：則,，設(shè),于是，因?yàn)?，所以，故的取值范圍?故答案為：．8．（2021·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知平面向量滿足.記向量在方向上的投影分別為x，y，在方向上的投影為z，則的最小值為___________.【答案】【解析】由題意，設(shè)，則，即，又向量在方向上的投影分別為x，y，所以，所以在方向上的投影，即,所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：.9．（2020·浙江·統(tǒng)考高考真題）設(shè)，為單位向量，滿足，，，設(shè)，的夾角為，則的最小值為_______．【答案】【解析】，，，.故答案為：.【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2023·北京·高一中關(guān)村中學(xué)?？计谥校┮阎菃挝幌蛄浚蛄繚M足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】設(shè)的夾角為，由題意得，因?yàn)槭菃挝幌蛄?，故，顯然，且，所以，因?yàn)?，所以，所以，解?故選：C2．（2023·山東菏澤·高一統(tǒng)考期中）在中，AC＝5，BC＝12，∠C＝90°.P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝2，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在中，以直角頂點(diǎn)為原點(diǎn)，射線分別為軸非負(fù)半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

令角的始邊為射線，終邊經(jīng)過點(diǎn)，由，得，而，于是，因此，其中銳角由確定，顯然，則，所以的取值范圍是.故選：D3．（2023·北京大興·高一統(tǒng)考期中）已知是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，是邊上的動(dòng)點(diǎn)，是邊的中點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】

設(shè)，則，，所以的取值范圍為.故選：C.4．（2023·全國·高一專題練習(xí)）若，是兩個(gè)互相垂直的單位向量，且向量滿足，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．以上答案均不對(duì)【答案】A【解析】根據(jù)垂直可得，不妨取，設(shè)，于是，，并取，注意到.于是.故點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，由直線的截距式方程可得，直線方程為：，即，設(shè)，，則，，故，設(shè)，，則；由，，于是時(shí)，，于是.故選：A5．（2023·全國·高一專題練習(xí)）已知平面向量與的夾角為，若恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意可知，利用平面向量的三角形法則畫出其幾何關(guān)系，如下圖所示：

記，則；由平面向量的三角形法則可知，點(diǎn)可以在射線（除點(diǎn)外）上移動(dòng)，易知當(dāng)，即時(shí)，取最小值，此時(shí)，即；若恒成立時(shí)，即即可，由可得，，即;所以，實(shí)數(shù)t的取值范圍為.故選：A6．（2023·福建泉州·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）若正的邊長(zhǎng)為4，為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由題知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，由題意設(shè)，則，，，，，可得.故選：D7．（2023·四川南充·高一四川省南充市白塔中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形內(nèi)的一點(diǎn)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖，取A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，

易知正六邊形的每個(gè)內(nèi)角為，所以，則，，設(shè)，則，且，所以．故選：B8．（2023·江蘇·高一專題練習(xí)）已知平面向量，，均為單位向量，且，的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由平面向量，，均為單位向量，且，根據(jù)向量的減法的幾何意義，可判定，與構(gòu)成等邊三角形，所以，向量夾角為，,所以當(dāng)與同向時(shí)，原式取到最小值；當(dāng)與反向時(shí)，原式取到最大值4.故選：C.二、多選題9．（2023·河北唐山·高一校聯(lián)考期中）在正方形中，，點(diǎn)滿足，則下列說法正確的是（

）A．當(dāng)時(shí)，B．當(dāng)時(shí)，C．存在，使得D．的最小值為2【答案】AD【解析】在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

由，得，由，得，，對(duì)于A，，而，則，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若，則，而方程無實(shí)根，則不存在，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：AD10．（2023·江蘇連云港·高一?？计谥校┤鐖D，在四邊形ABCD中，，，，且，，則（

）

A．B．實(shí)數(shù)的值為C．D．若M，N是線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為【答案】BCD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)?，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，所以，，所以，，所以，所以，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，所以，，故C正確；對(duì)于D項(xiàng)，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意可知，，，，則，不妨設(shè)，，則，所以，，，所以，，所以，當(dāng)時(shí)，有最小值為，故D正確.故選：BCD.11．（2023·遼寧·高一校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)非零向量，滿足，則下列說法正確的有（

）A．與的夾角為 B．C．有最大值 D．【答案】BD【解析】由兩邊平方可得，即，所以與的夾角為，故A錯(cuò)誤，D正確；代入上式可得：，即，故B正確；，故，故C錯(cuò)誤.故選：BD12．（2023·福建南平·高一武夷山一中?？计谥校﹫A冪定理是平面幾何中的一個(gè)定理，是相交弦定理、割線定理、切割線定理的統(tǒng)一，（其中相交弦定理:圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長(zhǎng)的積相等，例如，如果交點(diǎn)為的兩條相交直線與圓相交于與，則），如下圖，已知圓的半徑為3，點(diǎn)是圓內(nèi)的定點(diǎn)，且，弦、均過點(diǎn)，則下列說法正確的是（

）

A．· B．·的取值范圍是C．當(dāng)AC⊥BD時(shí)，·為定值 D．AC⊥BD時(shí)，·的最大值為28【答案】CD【解析】如圖，設(shè)直線與圓于，．

則，故A錯(cuò)誤；取的中點(diǎn)為，連接，

因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，即，，則，而，故的取值范圍是，故B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故C正確；當(dāng)時(shí)，圓半徑，取中點(diǎn)為，中點(diǎn)為，

則，又，所以四邊形為矩形，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，不等式等號(hào)成立，所以·的最大值為28，故D正確．故選：CD．三、填空題13．（2023·重慶·高一重慶一中校考期中）已知平面向量滿足，則的最大值為__________.【答案】12【解析】設(shè)，則由，則，B點(diǎn)在以A為圓心2為半徑的圓周上，C點(diǎn)在以A為圓心1為半徑的圓周上，如圖所示，，由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線，在如圖所示的位置，有最大值4，有最大