山東省臨沂市2024-2025學年高二上學期1月期末考試 數(shù)學 含解析

臨沂市級普通高中學科素養(yǎng)水平監(jiān)測試卷數(shù)學注意事項：答卷前，考生務(wù)必將自己的考生號、姓名、考點學校、考場號及座位號填寫在答題卡上.如需要改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上寫在本試卷上無效.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.85分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知直線與平行，則（）A.2B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線一般式中平行滿足的系數(shù)關(guān)系即可求解.【詳解】由于直線與平行，故，解得，故選：D.2.若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量不共面的是（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】C【解析】【分析】利用基底的意義，逐項判斷即得.【詳解】對于A，，向量，，共面，A不是；第1頁/共18頁對于B，，向量，，共面，B不是；對于C，假定向量，，共面，則，而不共面，于是，無解，因此向量，，不共面，C是.對于D，，向量，，共面，D不是.3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，若，，則（）A.9B.12C.15D.18【答案】B【解析】【分析】根據(jù)給定條件，求出等比數(shù)列公比，進而求出.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，，而，，則，解得，所以.故選：B4.已知雙曲線（，）離心率為，則該雙曲線的漸近線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由離心率求出，進而求出漸近線方程.【詳解】由雙曲線的離心率為，得，解得，而曲線的漸近線方程為，即，所以該雙曲線的漸近線方程為.故選：A.5.已知空間向量，，則在上的投影向量為（）第2頁/共18頁A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解.【詳解】空間向量，，則，所以在上的投影向量為.故選：A6.在等差數(shù)列中，若，則（）A.24B.28C.32D.36【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用等差數(shù)列的通項公式列式化簡求解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，則，所以.故選：D.7.已知圓與圓交于，數(shù)的值為（）A.B.C.1D.2【答案】C【解析】【分析】求出圓的圓心及半徑，再求出公共弦所在的直線方程，進而求出弦長最長時的值.【詳解】圓的圓心，半徑，顯然原點在圓內(nèi)，又在圓內(nèi)，第3頁/共18頁因此兩圓必相交，直線方程為，而弦最大值為6，即為圓的直徑，此時直線過點，則，所以.故選：C.8.已知空間直角坐標系中，、、，，，四點共面，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】，根據(jù)空間向量的坐標運算可得出關(guān)于、、、、的等式組，消去、可得結(jié)果.【詳解】在空間直角坐標系中，、、，則，，，因為、、、四點共面，設(shè)，即，可得，消去、可得，即，故選：A.36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.第4頁/共18頁9.橢圓：的左、右焦點分別為，，點為上的任意一點，則（）A.橢圓的長軸長為3B.橢圓的離心率為C.的最大值為5D.存在點，使得【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)給定的橢圓方程，求出其長短半軸長、半焦距，再逐項判斷得解.【詳解】橢圓：的長半軸長，短半軸長，半焦距，對于A，橢圓的長軸長為6，A錯誤；對于B，橢圓的離心率為，B正確；對于C，，C正確；對于D，，以線段為直徑的圓在橢圓內(nèi)，因此不存在點，使得，D錯誤.故選：BC.10.已知圓：，是直線：上的一動點，過點作直線，分別與相切于點，，則（）A.存在圓心在上的圓與相內(nèi)切B.四邊形面積的最小值為C.的最小值是D.點關(guān)于的對稱點在內(nèi)【答案】ABD【解析】【分析】利用兩圓內(nèi)切的條件判斷A；借助切線長定理求出面積最小值判斷B；求出時對應弦長判斷C；求出點關(guān)于直線的對稱點到圓心距離判斷D.【詳解】圓：的圓心，半徑對于A，在直線上取點，，點在圓外，以點為圓心，為半徑的圓與圓相內(nèi)切，A正確；對于B，四邊形面積，第5頁/共18頁點到直線的距離，則，，當且僅當時取等號，B正確；對于C，當時，，由，得，解得，C錯誤；對于D，點到直線的距離為，點與點的距離為5，點與圓心確定的直線斜率為，而直線的斜率為，即點與確定的直線垂直于，因此點關(guān)于的對稱點到點的距離為，則點關(guān)于的對稱點在內(nèi)，D正確.故選：ABD如圖，該幾何體是四分之一圓柱體（點，是正方形，點是圓弧的中點，點是圓弧）A.存在點，使得B.存在點，使得直線∥平面C.存在點，使得平面平面第6頁/共18頁D.存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為【答案】BCD【解析】【分析】建系標點，對于A：利用空間向量說明線線垂直；對于B：利用空間向量說明線面平行；對于C：利用空間向量說明線面垂直；對于D：利用空間向量求線面夾角.【詳解】如圖，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，不妨設(shè)，則，設(shè)，對于選項A：因為，令，可得，顯然該方程無解，所以不存在點，使得，故A錯誤；對于選項B：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，若直線平面，則，可得，第7頁/共18頁且，則，即，所以存在點，使得直線∥平面，故B正確；對于選項C：因為，設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，若平面平面，則，顯然時，上式成立，所以存在點，使得平面平面，故C正確；對于選項D：設(shè)直線與平面的所成角為，若，則，可得：，整理可得，構(gòu)建，因為在內(nèi)連續(xù)不斷，且，可知在內(nèi)有零點，即在內(nèi)有根，所以存在點，使得直線與平面的所成角的余弦值為，故D正確；故選：BCD.【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于方程根問題，應構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合零點存在第8頁/共18頁性定理分析判斷，不能強解.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分.12.拋物線的焦點坐標是______.【答案】【解析】【分析】將拋物線的方程化為標準形式，即可求解出焦點坐標.【詳解】因為拋物線方程，焦點坐標為，且，所以焦點坐標為，故答案為：.13.若數(shù)列滿足（其中，，為常數(shù)，是以為周期，以為周期公差的“類周期性等差數(shù)列”.若“類周期性等差數(shù)列”的前4項為1，1，2，2，周期為4，周期公差為2，則的前16項和為_____.【答案】72【解析】【分析】根據(jù)給定的定義，求出以數(shù)列首項開始的每4項為一組的和，再求出前4組和的和即可.【詳解】依題意，，，，，所以的前16項和為.故答案為：72第9頁/共18頁14.已知雙曲線：（，）的右焦點為.為坐標原點，若在的左支上存在關(guān)于軸對稱的兩點，，使得，且，則的離心率為_____.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合雙曲線的對稱性可得是正三角形，且是其中心，再用半焦距c表示出點坐標，代入雙曲線方程求出離心率.【詳解】軸，令垂足為，由雙曲線的對稱性知，則是正三角形，又，，則是的中心，，而，則，點在雙曲線，因此，即，整理得，即，解得，所以的離心率故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題設(shè)條件，結(jié)合雙曲線對稱性確定出正三角形是求解問題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共5小題，共分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓：，點.（1）若直線與相切，切點為，求；（2）已知直線過點，若圓上恰有三個點到距離都等于1，求的方程.【答案】（1）；第10頁/共18頁（2）或.【解析】1）利用切線的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理計算即得.（2）根據(jù)給定條件，把問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離為1，再列式計算得解.【小問1詳解】圓：的圓心，半徑，，由直線與相切于點，得.【小問2詳解】要圓上恰有三個點到的距離都等于1，當且僅當圓心到直線的距離為1，而點在圓外，直線與圓相離，則直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，即，由，解得或，所以直線的方程為或.16.已知拋物線：（是的焦點，為上的一動點，且的最小值為1.（1）求的方程；（2（不過坐標原點于、兩點，且滿足過定點，并求出該定點的坐標.【答案】（1）（2）證明見解析，定點為【解析】1）由拋物線中的最小值為1，所以，即，即可得到方程.（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用韋達定理得到，由得到，即可求得結(jié)果.小問1詳解】因為的最小值為1，故，即，所以拋物線方程為第11頁/共18頁【小問2詳解】顯然直線的斜率存在，設(shè)方程為，則,即，設(shè)，由韋達定理得，則，因為，所以，解得，故的方程為：，故恒過點.17.已知等差數(shù)列滿足，的前項和為.（1）求的通項公式；（2）若，求數(shù)列的前項和.【答案】（1）（2）【解析】1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計算可求解公差和首項，即可求解，（2）根據(jù)裂項相消法以及等比求和公式分別求解，即可由分組求解.【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由可得，解得，故，【小問2詳解】，第12頁/共18頁故，由于，，其中分別為前項中奇數(shù)項的和以及偶數(shù)項的和，故18.若為平面的一條斜線，為斜足，為在平面內(nèi)的射影，為平面內(nèi)的一條直線，其中為與所成的角，為與所成的角，為與所成的角，那么，簡稱三余弦定理.如圖，直三棱柱中，，，（）.（1）求的余弦值；（2）當點到平面距離最大時，求的值；（3）在（2）的條件下，求平面與平面夾角的大小.【答案】（1）（2）（3）第13頁/共18頁【解析】1）根據(jù)三余弦定理即可求解，（2）建立空間直角坐標系，求解平面法向量，即可利用點到平面的距離公式求解距離表達式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值得解，（3）求解平面法向量，根據(jù)法向量的夾角即可求解.【小問1詳解】在直三棱柱中，又，由三余弦定理可得故【小問2詳解】由（1）知，,在中，由余弦定理可得,在直三棱柱中，平面，以為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，則為平面的一個法向量，第14頁/共18頁由，即,令，則，故點到平面距離為,故時，此時點到平面距離最大，且最大值為，故點到平面距離最大時，【小問3詳解】由（2）知：當時，平面的一個法向量為，設(shè)平面的一個法向量為則，，即,取，則，故故平面與平面夾角的余弦值為，故平面與平面的夾角大小為第15頁/共18頁19.已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，，上頂點為，的面積為，直線與的斜率之積為.（1）求的方程；（2）已知點.（?。┤糁本€過點且與交于、兩點，求的最大值；（ⅱ）若直線過點且與交于，兩點，求證：【答案】（1）（2【解析】1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)，結(jié)合面積公式以及斜率公式聯(lián)立方程求解即可，（2點斜率公式，代入化簡即可求解（ⅱ）.【小問1詳解】由題意可得，解得，故