《計(jì)算方法》課件1第1章

第一章引論1.1計(jì)算方法的研究?jī)?nèi)容1.2誤差基礎(chǔ)知識(shí)1.3數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題習(xí)題1

1.1計(jì)算方法的研究?jī)?nèi)容

在自然科學(xué)、工程技術(shù)、經(jīng)濟(jì)和醫(yī)學(xué)各領(lǐng)域中產(chǎn)生的許多實(shí)際問題都可以通過(guò)數(shù)學(xué)語(yǔ)言描述為數(shù)學(xué)問題，也就是說(shuō)，由實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型，然后應(yīng)用各種數(shù)學(xué)方法和技巧來(lái)求解，最后把結(jié)果反饋到實(shí)際應(yīng)用中去。不過(guò)，大家應(yīng)該注意到，有許多數(shù)學(xué)問題是得不到精確解的，此時(shí)就需要尋求解決這些問題的近似解的計(jì)算方法，我們把這樣的計(jì)算方法稱為數(shù)值計(jì)算方法或數(shù)值分析。計(jì)算方法是計(jì)算數(shù)學(xué)的一個(gè)主要部分，而計(jì)算數(shù)學(xué)則是數(shù)學(xué)學(xué)科的一大分支，它研究如何借助于計(jì)算機(jī)求解各類數(shù)值問題。應(yīng)用計(jì)算機(jī)求解各類數(shù)值問題需要經(jīng)歷以下幾個(gè)主要過(guò)程：

(1)實(shí)際問題在各個(gè)領(lǐng)域都有許多實(shí)際問題，需要這些不同領(lǐng)域的專家提出具有明確意義的問題，并給出該問題符合本領(lǐng)域所固有的規(guī)則或自然法則。

(2)數(shù)學(xué)模型對(duì)不同領(lǐng)域?qū)＜姨岢龅膶?shí)際問題，用辨證唯物主義的思想進(jìn)行分析，在抓住事物主要因素及在合理假設(shè)下，運(yùn)用該領(lǐng)域中的規(guī)律，結(jié)合數(shù)學(xué)理論、方法和工具，建立問題中各種量之間的聯(lián)系，從而得到完備的數(shù)學(xué)模型。

(3)計(jì)算方法對(duì)數(shù)學(xué)模型先從數(shù)學(xué)理論上進(jìn)行分析，研究解的存在性、唯一性。只有在滿足解的存在性和唯一性條件下，才能進(jìn)行數(shù)據(jù)計(jì)算，有些問題可以給出解析解，但在大多數(shù)情況下，要對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。如何把連續(xù)模型離散化，用什么樣的方法進(jìn)行計(jì)算，算法的相容性、收斂性、穩(wěn)定性等都是計(jì)算方法的研究?jī)?nèi)容。

(4)算法設(shè)計(jì)算法設(shè)計(jì)在應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計(jì)算過(guò)程中起著非常重要的作用，一個(gè)收斂快、精度好的算法，有時(shí)比飛速發(fā)展的計(jì)算機(jī)硬件更有使用價(jià)值。

(5)計(jì)算求解在計(jì)算機(jī)上求出所要的結(jié)果。目前已有的數(shù)學(xué)軟件可以幫助我們實(shí)現(xiàn)上機(jī)計(jì)算，如Maple、Matlab、Mathematica等，基本上已經(jīng)將數(shù)值分析的主要內(nèi)容設(shè)計(jì)成簡(jiǎn)單的函數(shù)，只要調(diào)用這些函數(shù)進(jìn)行運(yùn)算便可得到數(shù)值結(jié)果。在實(shí)際工作中，由于面臨的問題具有明確的特征，其復(fù)雜性有時(shí)已經(jīng)超過(guò)書本所述例證范圍，因而有必要深入掌握計(jì)算方法的基本思想和具體內(nèi)容。

數(shù)值分析的內(nèi)容包括線性代數(shù)方程組求解、非線性方程(組)求解、矩陣的特征值與特征值向量的計(jì)算、函數(shù)插值、函數(shù)逼近、數(shù)值積分與數(shù)值微分以及微分方程數(shù)值解法。

1.2誤差基礎(chǔ)知識(shí)

對(duì)數(shù)學(xué)問題進(jìn)行數(shù)值求解，求得的結(jié)果一般情況下都含有誤差，即所得結(jié)果多數(shù)情況下都是近似解。對(duì)這些結(jié)果的誤差進(jìn)行分析和估計(jì)是計(jì)算方法的主要內(nèi)容。通過(guò)對(duì)它們的研究可以確切地知道誤差的性態(tài)和誤差的范圍。1.2.1誤差來(lái)源與分類

計(jì)算方法中的數(shù)可以分為兩類：一類是精確數(shù)，即它精確地反映了實(shí)際情況，例如某班有學(xué)生４８人，數(shù)字４８就是精確數(shù)；另一類是近似值，它只能近似地反映實(shí)際情況，例如今天早晨溫度是-５℃，數(shù)字-５就僅僅是一個(gè)測(cè)量所得的近似值。數(shù)的精確值與其近似值之差稱為誤差。在數(shù)值計(jì)算中，誤差是不可避免的，大多數(shù)情況下不存在嚴(yán)格的精確

數(shù)，因此，分析誤差產(chǎn)生的原因，把誤差限制在允許的范圍內(nèi)是非常有必要的。

一般來(lái)說(shuō)，我們可以把誤差分為兩大類：固有誤差和計(jì)算誤差。固有誤差包括模型誤差和觀測(cè)誤差；計(jì)算誤差包括截?cái)嗾`差和舍入誤差。

(1)模型誤差對(duì)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型時(shí)存在不可避免的誤差。在定量分析客觀事物時(shí)，總是要抓住主要矛盾，忽略次要矛盾，因此建立起來(lái)的數(shù)學(xué)模型與實(shí)際客觀事物之間存在一定差距，這種差距在數(shù)學(xué)上稱為模型誤差。

(2)觀測(cè)誤差在解決實(shí)際問題時(shí)，有時(shí)需要從實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)中得到各種數(shù)據(jù)，而由于觀測(cè)手段和工具的限制，得到的數(shù)據(jù)必然存在一定誤差，這種數(shù)據(jù)誤差稱為觀測(cè)誤差。觀測(cè)誤差又稱為測(cè)量誤差或參數(shù)誤差。觀測(cè)值的精確程度取決于測(cè)量?jī)x器的精密程度和操作人員的測(cè)量方法等因素。

(3)截?cái)嗾`差數(shù)學(xué)模型的精確值與用數(shù)值方法求得的近似值的差距稱為截?cái)嗾`差。截?cái)嗾`差又稱為方法誤差。這種誤差常常是在用有限過(guò)程來(lái)逼近無(wú)限過(guò)程時(shí)產(chǎn)生的。

例如，用ex的冪級(jí)數(shù)表達(dá)式:

(1.1)計(jì)算ex的值時(shí)，常常取級(jí)數(shù)前n項(xiàng)的部分和作為近似公式，如取:

(1.2)

這樣，用(1.2)式代替(1.1)式計(jì)算ex的近似值與精確值之間的誤差是由于截去(1.1)式后的無(wú)窮多項(xiàng)產(chǎn)生的，故稱為截?cái)嗾`差，其截?cái)嗾`差為。

(4)舍入誤差計(jì)算機(jī)中參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)與原始數(shù)據(jù)之間的差距稱為舍入誤差。由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，參加運(yùn)算的數(shù)據(jù)只能具有有限位，因此原始數(shù)據(jù)在計(jì)算機(jī)中表示時(shí)可能會(huì)產(chǎn)生誤差，當(dāng)然每次運(yùn)算后又會(huì)產(chǎn)生新的誤差，這些誤差都是舍入誤差。

例如，e=2.7182818284590…，

π=3.1415926535897932…等都不可能用全部小數(shù)位參加計(jì)算機(jī)運(yùn)算。在參加計(jì)算機(jī)計(jì)算過(guò)程中，均是取這些數(shù)的近似值進(jìn)行運(yùn)算，那么由此得到的近似值與精確值之間的誤差就是舍入誤差。我們還要注意以下兩點(diǎn)：

(1)在計(jì)算方法中，通常至少有上述一種誤差出現(xiàn)，而事實(shí)上在大多數(shù)數(shù)值方法中，會(huì)有上述多種誤差同時(shí)出現(xiàn)。(2)在計(jì)算方法中，我們要研究的是計(jì)算誤差而不是固有誤差。1.2.2絕對(duì)誤差和相對(duì)誤差

有兩種衡量誤差大小的方法：一是絕對(duì)誤差；二是相對(duì)誤差。

設(shè)某一個(gè)量的精確值是x，其近似值為x*，則x與x*的差：

(1.3)

稱為近似值x*的絕對(duì)誤差，簡(jiǎn)稱誤差。(1.3)式也可以寫成

(1.4)注意，絕對(duì)誤差e(x*)可正也可負(fù)。當(dāng)e(x*)>0時(shí)，x*稱為x的弱(不足)近似值；當(dāng)e(x*)<0時(shí)，x*稱為x的強(qiáng)(過(guò)剩)近似值。|e(x*)|的大小標(biāo)志著x*的精確度，一般地，對(duì)同一個(gè)

量的不同近似值，|e(x*)|越小，x*的精確度就越高。

實(shí)際上，我們只能知道近似值x*，而一般不知道精確值x，但可以根據(jù)測(cè)量與計(jì)算的情況，對(duì)絕對(duì)誤差的大小范圍做出估計(jì)。也就是說(shuō)，可以指出一個(gè)正數(shù)ε，使

(1.5)

我們稱ε為近似值x*的一個(gè)絕對(duì)誤差界，簡(jiǎn)稱誤差界。

(1.5)式還可以寫成

(1.6)

這表明精確值x在區(qū)間［x*—ε，x*+ε］內(nèi)。

例如，對(duì)于π=3.1415926535897932…，取π*=3.14，則

那么0.002就是近似值π*的一個(gè)絕對(duì)誤差界。

在許多情況下，絕對(duì)誤差的大小不能完全刻畫近似值的精確程度。例如，若x=100(cm)，x*=99(cm),則e(x*)=1(cm)；而若y=1000000(cm)，y*=995000(cm),則e(y*)=5000(cm)。從表面上看,后者的絕對(duì)誤差是前者的5000倍。但是，前者每

1cm長(zhǎng)度產(chǎn)生了0.01cm的誤差，而后者每1cm長(zhǎng)度僅產(chǎn)生0.005cm的誤差,所以，后者要比前者精確度高一些。由此可見，要確定一個(gè)量的近似值的精確程度，除了要看

誤差的大小外，往往還應(yīng)該考慮該量本身的大小。

規(guī)定

(1.7)

稱為近似值x*的相對(duì)誤差。相對(duì)誤差說(shuō)明了近似值x*的絕對(duì)誤差e(x*)與精確值x本身比較時(shí)所占的比例，它反映了一個(gè)近似值的精確程度，相對(duì)誤差越小，精確度就越高。相對(duì)誤差是用百分?jǐn)?shù)表示的。事實(shí)上，由于一個(gè)量的精確值往往是不知道的，因此還常常將x*的相對(duì)誤差er(x*)定義為

(1.8)當(dāng)較小，比如

時(shí)，有

它是er(x*)的平方項(xiàng)級(jí)，可忽略不計(jì)。一般來(lái)說(shuō)，計(jì)算出相對(duì)誤差是比較困難的，然而，可以像絕對(duì)誤差那樣估計(jì)它的大小范圍，即可以指出一個(gè)正數(shù)εr，使得

(1.9)

稱εr為近似值x*的一個(gè)相對(duì)誤差界。

根據(jù)以上定義，上例中er(x*)=1%與er(y*)=0.5%分別是x*與y*的相對(duì)誤差。1.2.3有效數(shù)字

我們?cè)诒硎疽粋€(gè)近似值時(shí)，為了能反映它的精確度，經(jīng)常用到“有效數(shù)字”的概念。

若x的某一近似值x*的絕對(duì)誤差界是某一位的半個(gè)單位，則從這一位直到左邊第一個(gè)非零數(shù)字為止的所有數(shù)字都稱為x*的有效數(shù)字。具體地說(shuō)，對(duì)于數(shù)x,經(jīng)四舍五入后得到它的近似值x*為

其中,xi(i=1,2,…,n)是0~9之間的任一個(gè)數(shù)，但x1≠0；n為正整數(shù)；m為整數(shù)。若，則x*是x具有n位有效數(shù)字的近似值，或稱x*精確到第n位，x1,x2，…,xn都是x的有效數(shù)字。例如，π=3.14159265…,取π*1=3.142作為π的近似值時(shí)，

即m-n=-3，m=1,n=4,所以3.142作為π的近似值有4位有效數(shù)字。

當(dāng)取π*2=3.141作為π的近似值時(shí)，

即m-n=-2,m=1,n=3,所以3.141作為π的近似值有3位有效數(shù)字。綜上可知，若近似值x*的絕對(duì)誤差的絕對(duì)值小于某一位的半個(gè)單位，那么從該位到x*的第一位非零數(shù)字一共有幾位，則x*就有幾位有效數(shù)字。關(guān)于有效數(shù)字，我們還要注意以下幾點(diǎn)：

(1)若用四舍五入法取精確值x的前n位作為近似值x*，則x*必有n位有效數(shù)字。但是，若x*僅準(zhǔn)確到某位數(shù)字，而將這位數(shù)字以后的數(shù)字進(jìn)行四舍五入,則得到的不一定是有

效數(shù)字。

例如，若x=5.0145，x*1=5.01，x*2=5.015，則x*1、x*2分別是x的不同近似值，由上可知，x*1有三位有效數(shù)字，而x*2也僅有三位有效數(shù)字，其中由四舍五入得到x*2的千分位上的5不是有效數(shù)字。

(2)有效數(shù)字位數(shù)相同的兩個(gè)近似數(shù)，絕對(duì)誤差界不一定相同。

例如，已知x*1=10706，x*2=11.104,二者都有5位有效數(shù)字，但x*1的絕對(duì)誤差界為，x*2的絕對(duì)誤差界為

，顯然不同。

(3)把任何數(shù)字乘10p(p=0，±1,±2，…)等于移動(dòng)該數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，它并不影響其有效數(shù)字的位數(shù)。例如，g=9.80m/s2具有3位有效數(shù)字，而g=0.00980

×103m/s2也同樣具有3位有效數(shù)字。但是,9.8×103m/s2與9.80×103m/s2的有效數(shù)字是不同的，9.8×103m/s2有2位有效數(shù)字，9.80×103m/s2有3位有效數(shù)字。同理,0.1、0.10、0.100等數(shù)的有效數(shù)字也是不同的。如果整數(shù)并非全是有效數(shù)字，則可以用浮點(diǎn)數(shù)表示。如8000000的絕對(duì)誤差限不超過(guò)500,即，則應(yīng)把

8000000表示為x*=8000×103或0.8000×107。若記為

x*=8000000，則表示其絕對(duì)誤差限不超過(guò)。

例1.1某地糧食產(chǎn)量為888萬(wàn)噸，表示方式不同，絕對(duì)誤差也不同。

解

888萬(wàn)噸=888×104

噸=0.888×107

噸，此時(shí)絕對(duì)誤差為噸，即萬(wàn)噸。

888萬(wàn)噸=8880000噸，此時(shí)絕對(duì)誤差為噸。

(4)有效數(shù)字越多，絕對(duì)誤差就越小，相對(duì)誤差也就越小。

設(shè)近似值x*=±0.x1x2…xn×10m，x1≠0，并且可以確定

x*具有n位有效數(shù)字，其絕對(duì)誤差限為，則在m相同的情況下，n越大ε就越小，所以，有效數(shù)字位數(shù)越多誤差就越小。同樣，可以對(duì)具有n位有效數(shù)字的近似值x*的相對(duì)誤差做出如下估計(jì)：

所以

(1.10)

可見,有效數(shù)字越多，相對(duì)誤差也就越小。

例1.2要使的近似值的相對(duì)誤差限小于0.1%，要取幾位有效數(shù)字?

解設(shè)取n位有效數(shù)字，由(1.10)式可得

由于=4.4…，因此x1=4,由于要求

即只要n取4就行，因此對(duì)的近似值取4位有效數(shù)字，其相對(duì)誤差限就小于0.1%。此時(shí)由開方表得≈4.472。1.2.4數(shù)據(jù)誤差在運(yùn)算中的傳播

設(shè)x*、y*分別是初始數(shù)據(jù)x、y的近似值，即

其中，e(x*)、e(y*)分別為x*、y*的絕對(duì)誤差。下面考察用x*、y*代替x、y時(shí)，函數(shù)值z(mì)=f(x，y)會(huì)產(chǎn)生怎樣的誤差。

假設(shè)e(x*)、e(y*)的絕對(duì)值都很小,而且函數(shù)z=f(x，y)可微，記此時(shí)z的近似值為z*=f(x*，y*)，則有

上式可近似地表示為

(1.11)而且

(1.12)從(1.11)式容易得到，在進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算時(shí)，初始數(shù)據(jù)誤差與計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生的誤差之間有以下關(guān)系：

(1)若f(x,y)=x±y，則

(1.13)

(2)若f(x,y)=xy,則

(1.14)

(3)若

，則

(1.15)從(1.12)式容易得到以下關(guān)系:

(1)若f(x,y)=x±y,則

(1.16)

(2)若f(x,y)=xy,則

(1.17)

(3)若，則

(1.18)

1.3數(shù)值計(jì)算中應(yīng)注意的問題

數(shù)值計(jì)算中的誤差分析是一個(gè)既復(fù)雜而又不可避免的問題。為了保證數(shù)值計(jì)算結(jié)果的正確性，就必須把誤差控制在比較小的范圍內(nèi)，也就是要求掌握誤差產(chǎn)生、傳播的規(guī)律。

可是實(shí)際上，目前尚無(wú)有效的方法對(duì)誤差做出定量的估計(jì)，所以，在解決具體數(shù)值問題時(shí)，往往首先需要對(duì)該問題做出定性的分析。1.3.1算法的數(shù)值穩(wěn)定性

如果在用某種算法進(jìn)行數(shù)值計(jì)算過(guò)程中，舍入誤差在一定條件下能夠控制在一定范圍內(nèi)(即舍入誤差的增長(zhǎng)不會(huì)影響結(jié)果的可靠性)，則稱該算法是數(shù)值穩(wěn)定的,否則稱該算法為數(shù)值不穩(wěn)定的。

例1.3對(duì)n=0，1，2，…，計(jì)算積分。

解由于取I0=ln1.2≈0.182，用如下遞推公式計(jì)算:

①(n=1,2,…,8)

(1.19)

得到(精確到小數(shù)點(diǎn)后第3位)令εn=In-I*n，則有εn=-5εn-1?？梢姡魪腎*n-1計(jì)算I*n，其誤差將以每步5倍的速度增長(zhǎng)，從而有

這表明計(jì)算公式①是數(shù)值不穩(wěn)定的。

現(xiàn)在換一種方案，將(1.19)式倒過(guò)來(lái)算。取I*9=0.018，得到遞推公式:

②

(n=8,7,…,1)

計(jì)算可得且此時(shí)

I*0≈0.182

由此可見,利用公式②得到的結(jié)果與精確值比較相近，這是因?yàn)殡m然e(I*9)較大，但利用公式②計(jì)算時(shí)，每步誤差將縮小為上步誤差的1/5，故算法②是數(shù)值穩(wěn)定的。

此例說(shuō)明，在實(shí)際數(shù)值計(jì)算中，數(shù)值方法不穩(wěn)定的算法是不能使用的。一個(gè)數(shù)值算法，如果對(duì)任何允許的初始值都穩(wěn)定，則稱此算法為無(wú)條件穩(wěn)定的；若對(duì)某些初始值穩(wěn)定，而對(duì)另一些初始值不穩(wěn)定，則這樣的算法稱為條件穩(wěn)定的。1.3.2避免誤差危害的若干原則

數(shù)值計(jì)算中，除了要分清算法是否穩(wěn)定外，還應(yīng)盡量避免誤差危害，防止有效數(shù)字的損失，下面給出若干原則。

1.避免兩相近數(shù)相減

由(1.16)式看到，兩相近的數(shù)字相減時(shí)，會(huì)將計(jì)算結(jié)果的相對(duì)誤差變得很大，稱此時(shí)的精度損失為相減相消。為了防止這種現(xiàn)象產(chǎn)生，最好是改變數(shù)值計(jì)算方法。例1.4求二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根。

解求根x1,x2的公式為

，

若b>0，且b2-4ac>0，計(jì)算x1時(shí)就會(huì)產(chǎn)生兩相近數(shù)字相減相互抵消。為了避免相減相消，可將分子有理化，把計(jì)算x1的公式改為

例1.5求二次方程x2-16x+1=0的最小正根。

解，

此時(shí)x*2僅有一位有效數(shù)字。如果

則此x*2具有3位有效數(shù)字。

例1.6計(jì)算A=107(1-cos2°)的值。

解取cos2°≈0.9994，則

A=107(1-cos2°)≈107(1-0.9994)=6×103

僅有一位有效數(shù)字，若利用1-cosx=2sin2

，sin1°≈

0.0175，則

A=107(1-cos2°)=2×(sin21°)×107≈6.13×103

此時(shí)，A具有3位有效數(shù)字。常見的避免兩相近數(shù)值相減的變換公式還有：

(1)當(dāng)x1與x2很接近時(shí)，有

(2)當(dāng)|x|很小時(shí)，有

(3)當(dāng)|x|很大時(shí)，有

一般情況下，當(dāng)f(x)與f(x*)很接近時(shí)，可用泰勒公式展開：

取右端的有限項(xiàng)代替左端即可。

2．避免大數(shù)“吃”小數(shù)

在數(shù)值運(yùn)算中，參加運(yùn)算的數(shù)有時(shí)數(shù)量級(jí)會(huì)相差很大，而計(jì)算機(jī)位數(shù)又有限，所以不注意運(yùn)算次序就有可能出現(xiàn)大數(shù)“吃掉”小數(shù)的現(xiàn)象，從而影響結(jié)果的準(zhǔn)確性。避免這個(gè)問

題的方法是調(diào)整計(jì)算次序，盡量使數(shù)量級(jí)相近的數(shù)進(jìn)行相加或相減運(yùn)算。

例如，x=105,y=5,z=-105，若按(x+y)+z次序計(jì)算，則結(jié)果近似于零，結(jié)果失真；若按(x+z)+y次序計(jì)算，結(jié)果接近正確值5(此處的計(jì)算是指應(yīng)用計(jì)算機(jī)進(jìn)行計(jì)算)。又如，求解方程x2-(1019+1)x+1019=0的根時(shí)，從分解因式便可知兩根分別為1019和1，但如果用19位計(jì)算機(jī)求解，則由于c=1019

，b=-(1019+1)≈-1019，按求根公式可得

兩根分別為1019和0，顯然在求1這個(gè)根時(shí)出現(xiàn)了大數(shù)“吃”小數(shù)的現(xiàn)象。此時(shí)，可以用

糾正這個(gè)錯(cuò)誤，由x1=1019得x2=1。一般地，在求解二次方程ax2+bx+c=0時(shí)，若，則，若用求根公式:

分別計(jì)算兩根x1,x2，就會(huì)出現(xiàn)大數(shù)b2“吃掉”小數(shù)4ac的現(xiàn)象。為了防止有效數(shù)字的損失，得到更好的結(jié)果，應(yīng)采用以下公式：

此處，sign(b)是b的符號(hào)函數(shù)。

3.避免絕對(duì)值太小的數(shù)作除數(shù)

由(1.15)式可知，用絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)時(shí)，舍入誤差會(huì)增大，故應(yīng)盡量避免。

已知線性方程組的準(zhǔn)確解為

但在4位浮點(diǎn)十進(jìn)制計(jì)算中用消去法計(jì)算，有：

(1)用除第一個(gè)方程減第二個(gè)方

程，則屬于用絕對(duì)值小的數(shù)作除數(shù)，得到的結(jié)果為x1=0,x2=1，顯然嚴(yán)重失真。

(2)用第二個(gè)方程消去第一個(gè)方程中含x1的項(xiàng)，則避免了大數(shù)除小數(shù)的現(xiàn)象，此時(shí)得到的結(jié)果為x1=0.500,x2=1，近似程度相當(dāng)好。

4.注意簡(jiǎn)化計(jì)算步驟，減少運(yùn)算次數(shù)

同樣的一個(gè)計(jì)