2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)4.1指數(shù)教師用書新人教A版必修第一冊

PAGE1-4．1指數(shù)考點(diǎn)學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)根式的化簡與求值理解n次方根和根式的概念，駕馭根式的性質(zhì)，會進(jìn)行簡潔的求n次方根的運(yùn)算數(shù)學(xué)抽象根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化理解整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，并能熟練駕馭根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪之間的相互轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)運(yùn)算利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡求值理解指數(shù)冪的含義及其運(yùn)算性質(zhì)數(shù)學(xué)運(yùn)算條件求值問題會依據(jù)已知條件，利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)、根式的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)求值運(yùn)算數(shù)學(xué)運(yùn)算問題導(dǎo)學(xué)預(yù)習(xí)教材P104－P109，并思索以下問題：1．n次方根是怎樣定義的？2．根式的定義是什么？它有哪些性質(zhì)？3．有理數(shù)指數(shù)冪的含義是什么？怎樣理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪？4．有理指數(shù)冪有哪些運(yùn)算性質(zhì)？1．n次方根定義一般地，假如xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*性質(zhì)n是奇數(shù)a＞0x＞0x僅有一個(gè)值，記為eq\r(n,a)a＜0x＜0n是偶數(shù)a＞0x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為±eq\r(n,a)a＜0x在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)不存在■名師點(diǎn)撥0的任何次方根都是0，即eq\r(n,0)＝0.2．根式(1)定義：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù)．(2)性質(zhì)：(n＞1，且n∈N*)①(eq\r(n,a))n＝a．②eq\r(n,an)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，n為奇數(shù)，,|a|，n為偶數(shù).))■名師點(diǎn)撥eq\r(n,an)與(eq\r(n,a))n的區(qū)分(1)eq\r(n,an)是實(shí)數(shù)an的n次方根，是一個(gè)恒有意義的式子，不受n的奇偶限制，但這個(gè)式子的值受n的奇偶限制．(2)(eq\r(n,a))n是實(shí)數(shù)a的n次方根的n次冪，其中實(shí)數(shù)a的取值由n的奇偶確定．其算法是對a先開方，后乘方(都是n次)，結(jié)果恒等于a.3．分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義分?jǐn)?shù)指數(shù)冪正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪規(guī)定：a－eq\f(m,n)＝eq\f(1,a\s\up6(\f(m,n)))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)0的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義■名師點(diǎn)撥分?jǐn)?shù)指數(shù)冪aeq\s\up6(\f(m,n))不行以理解為eq\f(m,n)個(gè)a相乘．4．指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)．(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈R)．(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈R)．推斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)n∈N*時(shí)，(eq\r(n,－3))n有意義．()(2)eq\r(（π－4）2)＝4－π.()(3)只要根式有意義，都能化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式．()(4)0的任何指數(shù)冪都等于0.()答案：(1)×(2)√(3)√(4)×81的4次方根是()A．2 B．±2C．3 D．±3答案：Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,81)))eq\s\up12(－\f(1,4))的值是()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(4,81) D．－eq\f(81,4)答案：B根式eq\r(3,m－5)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為________．答案：meq\s\up12(－\f(5,3))計(jì)算(π－3)0＋3－1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up6(\f(1,2))的結(jié)果為________．解析：原式＝1＋eq\f(1,3)×eq\f(3,2)＝1＋eq\f(1,2)＝eq\f(3,2).答案：eq\f(3,2)根式的化簡與求值求下列各式的值．(1)eq\r(3,（－2）3)；(2)eq\r(4,（－3）2)；(3)eq\r(8,（3－π）8)；(4)eq\r(x2－2xy＋y2)＋eq\r(7,（y－x）7).【解】(1)eq\r(3,（－2）3)＝－2.(2)eq\r(4,（－3）2)＝eq\r(4,32)＝eq\r(3).(3)eq\r(8,（3－π）8)＝|3－π|＝π－3.(4)原式＝eq\r(（x－y）2)＋y－x＝|x－y|＋y－x.當(dāng)x≥y時(shí)，原式＝x－y＋y－x＝0；當(dāng)x＜y時(shí)，原式＝y(tǒng)－x＋y－x＝2(y－x)．所以原式＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(0，x≥y，,2（y－x），x＜y.))eq\a\vs4\al()根式的化簡與求值的思路及留意點(diǎn)(1)思路：首先要分清根式為奇次根式還是偶次根式，然后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡．(2)留意點(diǎn)：①正確區(qū)分(eq\r(n,a))n與eq\r(n,an)兩式；②運(yùn)算時(shí)留意變式、整體代換，以及平方差、立方差和完全平方、完全立方公式的運(yùn)用，必要時(shí)要進(jìn)行分類探討．1．下列各式正確的是()A.eq\r(（－5）2)＝－5 B.eq\r(4,a4)＝aC.eq\r(72)＝7 D.eq\r(3,（－π）3)＝π解析：選C.由于eq\r(（－5）2)＝5，eq\r(4,a4)＝|a|，eq\r(3,（－π）3)＝－π，故A，B，D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選C.2．化簡(eq\r(a－1))2＋eq\r(（1－a）2)＋eq\r(3,（1－a）3)＝________．解析：由(eq\r(a－1))2知a－1≥0，a≥1.故原式＝a－1＋|1－a|＋1－a＝a－1.答案：a－13．若eq\r(（2a－1）2)＝eq\r(3,（1－2a）3)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．解析：eq\r(（2a－1）2)＝|2a－1|，eq\r(3,（1－2a）3)＝1－2a.因?yàn)閨2a－1|＝1－2a，故2a－1≤0，所以a≤eq\f(1,2).答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,2)))根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化把下列根式表示為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，把分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示為根式的形式：(1)(a－b)eq\s\up12(－\f(3,4))(a＞b)；(2)eq\r(5,（ab）2)；(3)eq\r(3,（x－1）5)；(4)eq\f(1,\r(3,a2))；(5)(a－b)eq\s\up6(\f(3,7)).【解】(1)(a－b)eq\s\up12(－\f(3,4))＝eq\f(1,\r(4,（a－b）3)).(2)eq\r(5,（ab）2)＝(ab)eq\s\up6(\f(2,5)).(3)eq\r(3,（x－1）5)＝(x－1)eq\s\up6(\f(5,3)).(4)eq\f(1,\r(3,a2))＝aeq\s\up12(－\f(2,3))(5)(a－b)eq\s\up6(\f(3,7))＝eq\r(7,（a－b）3).eq\a\vs4\al()根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪互化的方法及思路(1)方法：根指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母，被開方數(shù)(式)的指數(shù)分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子．(2)思路：在詳細(xì)計(jì)算中，通常會把根式轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式，然后利用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)解題．[留意]假如根式中含有多重根號，要由里向外用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪寫出．1．下列關(guān)系式中，根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化正確的是________(只填序號)．①－eq\r(x)＝(－x)eq\s\up6(\f(1,2))(x＞0)；②eq\r(6,y2)＝y(tǒng)eq\s\up6(\f(1,3))(y＜0)；③xeq\s\up12(－\f(3,4))＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3))(x＞0)；④xeq\s\up12(－\f(1,3))＝－eq\r(3,x)(x≠0)．解析：對于①，－eq\r(x)＝－xeq\s\up6(\f(1,2))，故①錯(cuò)誤；對于②，當(dāng)y＜0時(shí)，eq\r(6,y2)＞0，yeq\s\up6(\f(1,3))＜0，故②錯(cuò)誤；對于③，xeq\s\up12(－\f(3,4))＝eq\f(1,\r(4,x3))＝eq\r(4,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)))\s\up12(3))(x＞0)，故③正確；對于④，xeq\s\up12(－\f(1,3))＝eq\f(1,\r(3,x))，故④錯(cuò)誤．綜上，故填③.答案：③2．用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示下列各式(a>0，b>0)：(1)a2eq\r(a)；(2)eq\r(3,a2)·eq\r(a3)；(3)(eq\r(3,a))2·eq\r(ab3)；(4)eq\f(a2,\r(6,a5)).解：(1)原式＝a2aeq\s\up6(\f(1,2))＝a2＋eq\f(1,2)＝aeq\s\up6(\f(5,2)).(2)原式＝aeq\s\up6(\f(2,3))·aeq\s\up6(\f(3,2))＝aeq\f(2,3)＋eq\f(3,2)＝aeq\s\up6(\f(13,6)).(3)原式＝(aeq\s\up6(\f(1,3)))2·(ab3)eq\s\up6(\f(1,2))＝aeq\s\up6(\f(2,3))aeq\s\up6(\f(1,2))beq\s\up6(\f(3,2))＝aeq\f(2,3)＋eq\f(1,2)beq\s\up6(\f(3,2))＝aeq\s\up6(\f(7,6))beq\s\up6(\f(3,2)).(4)原式＝a2·aeq\s\up12(－\f(5,6))＝a2－eq\f(5,6)＝aeq\s\up6(\f(7,6)).利用指數(shù)冪的性質(zhì)化簡求值計(jì)算下列各式(式中字母都是正數(shù))：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(3,5)))eq\s\up12(0)＋2－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))－(0.01)0.5；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(7,9)))eq\s\up12(0.5)＋0.1－2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(10,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3π0＋eq\f(37,48)；(3)(a－2b－3)·(－4a－1b)÷(12a－4b－2c)；(4)2eq\r(3,a2)÷4eq\r(6,a·b)·3eq\r(b3).【解】(1)原式＝1＋eq\f(1,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,9)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,100)))eq\s\up6(\f(1,2))＝1＋eq\f(1,6)－eq\f(1,10)＝eq\f(16,15).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(25,9)))eq\s\up6(\f(1,2))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)))eq\s\up12(－2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))－3＋eq\f(37,48)＝eq\f(5,3)＋100＋eq\f(9,16)－3＋eq\f(37,48)＝100.(3)原式＝－4a－2－1b－3＋1÷(12a－4b－2c)＝－eq\f(1,3)a－3－(－4)b－2－(－2)c－1＝－eq\f(1,3)ac－1＝－eq\f(a,3c).(4)原式＝2aeq\s\up6(\f(2,3))÷4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a\s\up6(\f(1,6))b\s\up6(\f(1,6))))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b\s\up6(\f(3,2))))＝eq\f(1,2)aeq\f(2,3)－eq\f(1,6)·b－eq\f(1,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3b\s\up6(\f(3,2))))＝eq\f(3,2)aeq\s\up6(\f(1,2))beq\s\up6(\f(4,3)).eq\a\vs4\al()利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡求值的方法(1)進(jìn)行指數(shù)冪的運(yùn)算時(shí)，一般化負(fù)指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分?jǐn)?shù)，同時(shí)兼顧運(yùn)算的依次．(2)在明確根指數(shù)的奇偶(或詳細(xì)次數(shù))時(shí)，若能明確被開方數(shù)的符號，則可以對根式進(jìn)行化簡運(yùn)算．(3)對于含有字母的化簡求值的結(jié)果，一般用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式表示．計(jì)算：(1)(－1.8)0＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(－2)·eq\r(3,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3\f(3,8)))\s\up12(2))－eq\f(1,\r(0.01))＋eq\r(93)；(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(1,2))·eq\f(（\r(4ab－1)）3,0.1－2·（a3b－3）\s\up6(\f(1,2)))(a＞0，b＞0)．解：(1)原式＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up6(\f(2,3))－10＋9eq\s\up6(\f(3,2))＝1＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(2)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))eq\s\up12(2)－10＋27＝29－10＝19.(2)原式＝4eq\s\up6(\f(1,2))·0.12·eq\f(23·a\s\up6(\f(3,2))·beq\s\up12(－\f(3,2)),a\s\up6(\f(3,2))·beq\s\up12(－\f(3,2)))＝2×eq\f(1,100)×8＝eq\f(4,25).條件求值問題已知xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3，求eq\f(2,x－1＋x＋3)的值．【解】因?yàn)閤eq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3，所以(xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2)))2＝9，所以(xeq\s\up6(\f(1,2)))2＋2xeq\s\up6(\f(1,2))·xeq\s\up12(－\f(1,2))＋(xeq\s\up12(－\f(1,2)))2＝9，所以x＋2＋x－1＝9，所以x＋x－1＝7，所以原式＝eq\f(2,7＋3)＝eq\f(1,5).1．(變條件)若將條件“xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3”改為“xeq\s\up6(\f(1,2))－xeq\s\up12(－\f(1,2))＝1”，如何求值？解：將xeq\s\up6(\f(1,2))－xeq\s\up12(－\f(1,2))＝1兩邊平方，得x＋x－1－2＝1，所以x＋x－1＝3，則eq\f(2,x＋x－1＋3)＝eq\f(2,3＋3)＝eq\f(1,3).2．(變問法)在本例條件下，如何求x2＋x－2的值？解：將xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3兩邊平方可得x＋x－1＋2＝9，則x＋x－1＝7，兩邊再平方，得x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47.eq\a\vs4\al()條件求值問題的解法(1)求解此類問題應(yīng)留意分析已知條件，通過將已知條件中的式子變形(如平方、因式分解等)，找尋已知式和待求式的關(guān)系，可考慮運(yùn)用整體代換法．(2)利用整體代換法解決分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的計(jì)算問題，經(jīng)常運(yùn)用完全平方公式及其變形公式．已知x＋y＝12，xy＝9，且x＜y，求eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))的值．解：eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))))\s\up12(2),（x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2))）（x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2))）)＝eq\f(（x＋y）－2（xy）\s\up6(\f(1,2)),x－y).①因?yàn)閤＋y＝12，xy＝9，②所以(x－y)2＝(x＋y)2－4xy＝122－4×9＝108.因?yàn)閤＜y，所以x－y＝－6eq\r(3).③將②③式代入①式，得eq\f(x\s\up6(\f(1,2))－y\s\up6(\f(1,2)),x\s\up6(\f(1,2))＋y\s\up6(\f(1,2)))＝eq\f(12－2×9\s\up6(\f(1,2)),－6\r(3))＝－eq\f(\r(3),3).1．將5eq\s\up6(\f(3,2))寫成根式的形式，正確的是()A.eq\r(3,52) B.eq\r(\r(3,5))C．eq\r(5,\f(3,2)) D.eq\r(53)答案：D2．計(jì)算eq\r(4,（－5）4)的結(jié)果是()A．5 B．－5C．±5 D．不確定解析：選A.eq\r(4,（－5）4)＝|－5|＝5.3．若a<eq\f(1,4)，則化簡eq\r(（4a－1）2)的結(jié)果是()A．4a－1 B．1－4aC．－eq\r(4a－1) D．－eq\r(1－4a)解析：選B.因?yàn)閍<eq\f(1,4)，所以4a－1<0，所以eq\r(（4a－1）2)＝|4a－1|＝1－4a.4.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝()A.eq\f(9,4) B.eq\f(4,9)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)解析：選B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,8)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(33,23)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(4,9)，故選B.5．計(jì)算下列各式的值：(1)eq\r(\f(25,9))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(27,64)))eq\s\up12(－\f(1,3))－π0；(2)eq\f(a\s\up6(\f(2,3))\r(b),aeq\s\up12(－\f(1,2))·\r(3,b))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1\r(b－1),b\r(a))))eq\s\up12(－\f(2,3)).解：(1)原式＝eq\f(5,3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(64,27)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\f(5,3)＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(3)))eq\s\up6(\f(1,3))－1＝eq\f(5,3)＋eq\f(4,3)－1＝2.(2)原式＝eq\f(a\s\up6(\f(2,3))·b\s\up6(\f(1,2)),aeq\s\up12(－\f(1,2))·b\s\up6(\f(1,3)))÷eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a－1beq\s\up12(－\f(1,2)),b·a\s\up6(\f(1,2)))))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(a\s\up6(\f(2,3))·b\s\up6(\f(1,2)),aeq\s\up12(－\f(1,2))·b\s\up6(\f(1,3)))÷(a－1eq\s\up12(－\f(1,2))beq\s\up12(－\f(1,2))－1)eq\s\up12(－\f(2,3))＝aeq\s\up6(\f(2,3))＋eq\s\up6(\f(1,2))beq\s\up6(\f(1,2))－eq\s\up6(\f(1,3))÷(aeq\s\up12(－\f(3,2))beq\s\up12(－\f(3,2)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝aeq\s\up6(\f(7,6))beq\s\up6(\f(1,6))÷(ab)＝aeq\s\up6(\f(7,6))－1beq\s\up6(\f(1,6))－1＝aeq\s\up6(\f(1,6))beq\s\up12(－\f(5,6)).[A基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．下列說法正確的個(gè)數(shù)是()(1)49的平方根為7；(2)eq\r(n,an)＝a(a≥0)；(3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(5)＝a5beq\s\up6(\f(1,5))；(4)eq\r(6,（－3）2)＝(－3)eq\s\up6(\f(1,3)).A．1 B．2C．3 D．4解析：選A.49的平方根是±7，(1)錯(cuò)；(2)明顯正確；eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)))eq\s\up12(5)＝a5b－5，(3)錯(cuò)；eq\r(6,（－3）2)＝3eq\s\up6(\f(1,3))，(4)錯(cuò)．故選A.2．化簡eq\f(\r(－x3),x)的結(jié)果是()A．－eq\r(－x) B.eq\r(x)C．－eq\r(x) D.eq\r(－x)解析：選A.由題意知x＜0，則eq\f(\r(－x3),x)＝－eq\r(\f(－x3,x2))＝－eq\r(－x).3．(2024·吉林省吉林市五十五中期中測試)計(jì)算：(－27)eq\s\up6(\f(2,3))×9eq\s\up12(－\f(3,2))＝()A．－3 B．－eq\f(1,3)C．3 D.eq\f(1,3)解析：選D.(－27)eq\s\up6(\f(2,3))×9eq\s\up12(－\f(3,2))＝[(－3)3]eq\s\up6(\f(2,3))×(32)eq\s\up12(－\f(3,2))＝(－3)2×3－3＝9×eq\f(1,27)＝eq\f(1,3).故選D.4．計(jì)算(2a－3beq\s\up12(－\f(2,3)))·(－3a－1b)÷(4a－4beq\s\up12(－\f(5,3)))得()A．－eq\f(3,2)b2 B.eq\f(3,2)b2C．－eq\f(3,2)beq\s\up6(\f(7,3)) D.eq\f(3,2)beq\s\up6(\f(7,3))解析：選A.原式＝eq\f(－6a－4b\s\up6(\f(1,3)),4a－4beq\s\up12(－\f(5,3)))＝－eq\f(3,2)b2.5．將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(x\s\up6(\f(1,3))·\r(3,x－2))))eq\s\up12(－\f(8,5))化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為()A．xeq\s\up12(－\f(1,3)) B．xeq\s\up6(\f(4,15))C．xeq\s\up12(－\f(4,15)) D．xeq\s\up6(\f(2,5))解析：選B.原式＝(xeq\s\up6(\f(1,6))·xeq\s\up12(－\f(2,3))×eq\s\up6(\f(1,2)))eq\s\up12(－\f(8,5))＝(xeq\s\up6(\f(1,6))eq\s\up12(－\f(1,3)))eq\s\up12(－\f(8,5))＝xeq\s\up12(－\f(1,6))×(eq\s\up12(－\f(8,5)))＝xeq\s\up6(\f(4,15)).6．[(－5)4]eq\s\up6(\f(1,4))－150的值是________．解析：[(－5)4]eq\s\up6(\f(1,4))－150＝(54)eq\s\up6(\f(1,4))－150＝5－1＝4.答案：47．設(shè)α，β為方程2x2＋3x＋1＝0的兩個(gè)根，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(α＋β)＝________．解析：由根與系數(shù)的關(guān)系得α＋β＝－eq\f(3,2)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(α＋β)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\s\up12(－\f(3,2))＝(2－2)eq\s\up12(－\f(3,2))＝23＝8.答案：88．當(dāng)eq\r(2－x)有意義時(shí)，化簡eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)的結(jié)果為________．解析：由eq\r(2－x)有意義得x≤2，所以eq\r(x2－4x＋4)－eq\r(x2－6x＋9)＝|x－2|－|x－3|＝(2－x)－(3－x)＝－1.答案：－19．計(jì)算與化簡：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))；(2)eq\r(3,a\s\up6(\f(3,2))\r(a－3))·eq\r(（a－5）eq\s\up12(－\f(1,2))·（aeq\s\up12(－\f(1,2))）13).解：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\f(1,4)))eq\s\up12(0.5)－0.752＋6－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,27)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))\s\up12(2)))eq\s\up6(\f(1,2))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))\s\up12(3)))eq\s\up12(－\f(2,3))＝eq\f(3,2)－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)))eq\s\up12(2)＋eq\f(1,36)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))eq\s\up12(－2)＝eq\f(3,2)－eq\f(9,16)＋eq\f(1,36)×eq\f(9,4)＝1.(2)原式＝(aeq\s\up6(\f(3,2))·aeq\s\up12(－\f(3,2)))eq\s\up6(\f(1,3))·[(a－5)eq\s\up12(－\f(1,2))·(aeq\s\up12(－\f(1,2)))13]eq\s\up6(\f(1,2))＝(a0)eq\s\up6(\f(1,3))·(aeq\s\up6(\f(5,2))·aeq\s\up12(－\f(13,2)))eq\s\up6(\f(1,2))＝(a－4)eq\s\up6(\f(1,2))＝a－2.10．已知eq\r(4,a4)＋eq\r(4,b4)＝－a－b，求eq\r(4,（a＋b）4)＋eq\r(3,（a＋b）3)的值．解：因?yàn)閑q\r(4,a4)＋eq\r(4,b4)＝－a－b.所以eq\r(4,a4)＝－a，eq\r(4,b4)＝－b，所以a≤0，b≤0，所以a＋b≤0，所以原式＝|a＋b|＋a＋b＝－(a＋b)＋a＋b＝0.[B實(shí)力提升]11．若2x＝8y＋1，9y＝3x－9，則x＋y＝________．解析：因?yàn)?x＝8y＋1＝23y＋3，9y＝32y＝3x－9，所以x＝3y＋3，①2y＝x－9，②由①②解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝21，,y＝6，))所以x＋y＝27.答案：2712．化簡求值：(1)2×(eq\r(3,2)×eq\r(3))6＋(eq\r(2\r(2)))eq\s\up6(\f(4,3))－4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(16,9)))eq\s\up12(－\f(1,2))－eq\r(4,2)×80.25＋(－2017)0；(2)已知xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3，求eq\f(x\s\up6(\f(3,2))＋xeq\s\up12(－\f(3,2))＋2,x2＋x－2＋3)的值．解：(1)原式＝2×(2eq\s\up6(\f(1,3))×3eq\s\up6(\f(1,2)))6＋(2eq\s\up6(\f(1,2))×2eq\s\up6(\f(1,4)))eq\s\up6(\f(4,3))－4×eq\f(3,4)－2eq\s\up6(\f(1,4))×2eq\s\up6(\f(3,4))＋1＝2×22×33＋2－3－2＋1＝214.(2)由xeq\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))＝3得x＋x－1＝7，x2＋x－2＝47，又因?yàn)閤eq\s\up6(\f(3,2))＋xeq\s\up12(－\f(3,2))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(1,2))))eq\s\up12(3)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(xeq\s\up12(－\f(1,2))))eq\s\up12(3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x\s\up6(\f(1,2))＋xeq\s\up12(－\f(1,2))))(x＋x－1－1)＝3×(7－1)＝18，所以原式＝e