高等流體力學(xué)練習(xí)題

10高等流體力學(xué)練習(xí)題

高等流體力學(xué)練習(xí)題

第一章場論基本學(xué)問第一節(jié)場的定義及其幾何表達(dá)

1、(RX21)設(shè)點(diǎn)電荷q位于坐標(biāo)原點(diǎn)，則在其四周空間的任一點(diǎn)

M(x,y,z)處所

?q?r,其中8為介質(zhì)系數(shù)，產(chǎn)生的電場強(qiáng)度，由電學(xué)知為：

E?34??r?????r?xi?yj?zk為M點(diǎn)的矢徑，r?r。求電場強(qiáng)度的矢量線。

????222、(RX22)求矢量場A?xzi?yzj?(x?y)k,通過點(diǎn)M(2,1)的

矢量線方程。

?rl、(RX32)設(shè)r?x2?y2?z2為點(diǎn)M(x,y,z)的矢徑的模，試證明:gradr?。

r????23

2、(RX33)求數(shù)量場u=xy+yz在點(diǎn)(2,—1,1)處的梯度及在矢

量l?2i?2j?k其次節(jié)梯度

方向的方向?qū)?shù)。

3、(RX34)設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的點(diǎn)電荷q,由電學(xué)知，在其四周空間

的任一點(diǎn)

???q?M(x,y,z)處所產(chǎn)生的電位為：v?,其中E為介質(zhì)系數(shù)，

r?xi?yj?zk4??r?為M點(diǎn)的矢徑，r?r。求電位v的梯度。

????4>(BW7)試證明d??dr?grad?,并證明,若d??dr?a,則a必

為grad?o??5、(BW8)若a=grad?,且?是矢徑r的單值函數(shù)，證

明沿任一封閉曲線L

???的線積分?a?dr?O,并證明，若矢量a沿任一封閉曲線L的線積

分

L?L???a?dr?O,則矢量a必為某一標(biāo)量函數(shù)？的梯度。

第三節(jié)矢量的散度？???1、(RX39)設(shè)由矢徑r?xi?yj?zk構(gòu)成的

矢量場中，有一由圓錐面x2+y2=z2及平面z=H(H>0)所圍成的封閉曲

面So試求矢量場從S內(nèi)穿出S的通量。2、(RX41)在點(diǎn)電荷q

所產(chǎn)生的電場中，任何一點(diǎn)M處的電位移矢量為

?q???rD?r,其中，為從點(diǎn)電荷q指向M點(diǎn)的矢徑，。設(shè)S為以點(diǎn)

r?r4?r3電荷為中心，R為半徑的球面，求從內(nèi)穿出S的電通量。

1

??3、(RX44)若在矢量場A內(nèi)某些點(diǎn)(或區(qū)域)上有divA?0,而

在其他點(diǎn)上都

?有divA?0,試證明穿過包圍這些點(diǎn)(或區(qū)域)的任一封閉曲面的

通量都相等，即為一常數(shù)。

?4、(RX44)在點(diǎn)電荷q所產(chǎn)生的電場中，求電位移矢量D?q?r

在任何一點(diǎn)4?r3M處的散度。

?5、(RX46)已知？？exyz,求div(?r)

第四節(jié)矢量的旋度？??1、(RX51)設(shè)有平面矢量場A??yi?xj,I為

場中的星形線x二Rcos36,y二Rsin36。求此矢量場沿I正向的環(huán)量。

??2?2y?222、(RX55)求A?xyzi?zsinyj?xek的旋度。

???3、(RX57)設(shè)一剛體繞過原點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，其角速度

為？？？li??2j??3k。

?由運(yùn)動(dòng)學(xué)我們知道，剛體上某一點(diǎn)處的線速度為

??????v???r?(?2z??3y)i?(?3x??lz)j?(?ly??2x)k,求此線速度場的旋度。

??4、(BW18)證明rotgrad?=0,并證明，若rota=0,則a必為grad?。

第五節(jié)哈密爾頓算子

?1>(RX80)已知u=3xsinyz,求？？(ur)

????3242>(RX80)設(shè)A?xzi?2xyzj?2yzk,求該矢量在點(diǎn)M(l,2,1)處

的旋度。

??????(a?r)?dl?2a?dSa3s(RX80)證明？，其中為常矢。???IS

第六節(jié)場論基本運(yùn)算公式(見P6?7)

1、(BW19)證明場論各基本運(yùn)算公式。

2

其次章張量基本學(xué)問第一節(jié)指標(biāo)

1、什么是自由指標(biāo)和啞指標(biāo)？2、試簡述商定求和法則。

其次節(jié)張量及其表示法

1、試簡述二價(jià)張量的定義。

2、什么是零階張量？它有幾個(gè)重量?

?x?3、試寫出[A]??xy2?zx?

xy2zyyzx??x2y3?的實(shí)體表示形式。yz??第三節(jié)幾個(gè)特別的張量

1、試寫出單位張量的重量表示形式

2、(BW63)試證明二價(jià)張量可以唯一的分解為一個(gè)對稱張量和

一個(gè)反對稱張

量之和。

第四節(jié)二階張量的運(yùn)算？?1、證明[A]?[B]?aijbjneien

??[B]?[B]?a2,證明當(dāng)[B]為對稱張量時(shí)，則a???3、證明[l]?a?a

?04、若將反對稱張量[B]寫成：

[B]????3????2??30?l?2??????l?[B]?a???a，證明?0??5、證明[l]:[B]?bii

6、證明？？p?????p

7、證明？？？p?A????p??A??p???A?

?T??T??V????V?V?V8、證明？？，其中為的轉(zhuǎn)置張量。？????????9、

第五節(jié)各向同性張量

1、什么是各向同性張量？

2、證明二階各向同性張量的形式必為??ij,?為標(biāo)量。

3

第三章流體力學(xué)的基本概念第一節(jié)流體力學(xué)的基本討論方法

1、試簡述流體質(zhì)點(diǎn)的概念和連續(xù)性假設(shè)。2、試分別簡述描述流

體流淌的兩種方法。

其次節(jié)流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析

1>(U50)設(shè)初始時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的速度與它到某一固定界面的距離

Xo間的關(guān)系為：u=kxO/(xO+l)ok為常數(shù)，此后流體質(zhì)點(diǎn)各自都作等

速直線運(yùn)動(dòng)。速度方向與該固定截面垂直。(1)求速度場；

(2)求變形速度張量；

2、試簡述亥姆霍茲速度分解定理。

3、(QZC31)給定平面流場的極坐標(biāo)表達(dá)式：vr=u(r,6),v0=v(r,0),

求流淌平面上徑向和周向的線變形率，以及平面上的角變形率。

4、(GZ54)設(shè)u=cy,v=0?w=0,求其變形張量和旋轉(zhuǎn)張量。

第三節(jié)作用在流體上的表面力

?1、試表述[P]?n所表達(dá)的意義。

2、試證明應(yīng)力張量的對稱性。

3、(GZ61)設(shè)流體中的應(yīng)力張量由下式給出

OO??p??gz??,沒有一平行于坐標(biāo)軸的六面體，求

[P]??O?p??gzO???OO?p??gz???(1)六面體六個(gè)面上的應(yīng)力分布；(2)

求作用于z=0及x=0面上的合力。

?012??,試問作月于平面1204、(GZ62)流體內(nèi)某處的應(yīng)力張量為

[P]??????201??x+3y+z=l外側(cè)(離開原點(diǎn)的一側(cè))上的應(yīng)力矢量是什

么？這個(gè)平面上的應(yīng)力

向量的法向和切向重量是什么？

第四節(jié)隨體導(dǎo)數(shù)

1、（FY24）已知用拉格朗日變數(shù)表示的速度場為：

u=（a+l）et-lv=（b+l）et-l

式中：a,b是t=0時(shí)刻流體質(zhì)點(diǎn)的直角坐標(biāo)值。試求：（l）t=2時(shí)

刻流場中質(zhì)點(diǎn)的分布規(guī)律；（2）a=l,b=2這個(gè)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律；

（3）流體質(zhì)點(diǎn)的加速度場表達(dá)式。

（4）歐拉變數(shù)下的速度和加速度表達(dá)式。2、（QP44）

已知用歐拉變數(shù)表示的速度場為：

4

u=x+tv=y+t

試求：（1）一般的跡線方程，令t=0時(shí)的坐標(biāo)為a,bo（2）

在t=l時(shí)刻過（1,2）點(diǎn)